Penerapan Meode Seepes Descen dalam Menenukan Konservasi Solusi Persamaan Kadomsev-Peviashvili I Arah aau y Oleh: Rusano Rahardi Absrak: Peneliian ini meliha benuk gelombang solusi Kadomsev- Peviashvili (KP) I dalam arah aau y apabila didekai dengan dere Fourier dan penerapan meode Seepes Descen. Bekerja pada u yang direpresenasikan dere Fourier dapa diperoleh hampiran yang layak unuk diasumsikan sebagai fenomena konservasi gelombang solusi KP I. Masalahnya dengan kondisi u ersebu dan penerapan meode Seepes Descen apakah dapa diperoleh gelombang konservasi solusi KP I arah aau y? Persamaan KP dapa juga dirumuskan sebagai sisem Hamilonian dengan Hamilonian H (u). Konservasi Momenum Arah dibangun dengan I, sedangkan konservasi momenum Arah y dibangun dengan I. Hampiran solusi KP I, berari mencari u yang memenuhi masalah peminimuman/ pemaksimuman Hamilonian H ( u) dengan kendala I ( u ) dan I ( u ). Dasar unuk menenukan ini adalah dengan menerapkan meode Seepes Descen. Sedang perhiungan numerik dan fenomena konservasi gelombangnya digunakan program kompuer. Kekonvergenan H dan I (I maupun I ) dapa diperoleh dan benuk animasi gelombang dapa diamai. Gelombang idak berubah benuknya apabila H dan I elah mencapai nilai konvergen, eapi bila belum mencapai konvergen maka benuk gelombangnya berbeda seiring dengan perubahan wakunya. Perlu adanya peneliian yang lebih mendalam uamanya perluasan fungsi awal sebagai gelombangnya. Kaa-kaa Kunci: Hamilonian, gelombang arah aau y, Kadomsev- Peviashvili I, Momenum, Seepes Descen. A. LATAR BELAKANG MASALAH Persamaan Kadomsev-Peviashvili (KP) merupakan generalisasi dimensi dua dari persamaan Koreweg de Vries (KdV) dan menggambarkan gelombang dimensi dua yang meramba pada arah dengan variasi yang lamban dalam arah y. Sekedar dikeahui bahwa persamaan KdV idak menerima perhaian yang lebih sampai ahun 965, keika N. Zabusky dan M. Kruskal menyebarkan hasil-hasil eperimen perhiungan aas persamaan KdV ersebu. Perhiungan mereka menghasilkan penyelesaian aas persamaan KdV dan pada akhirnya memua gelombang yang bergerak dengan benuk sama seperi yang Hasil Peneliian Dosen Muda 5 Dosen Jurusan Maemaika FMIPA UM
diemukan perama kali oleh D.J Koreweg dan G. de Vries pada ahun 895. Apalagi, keika dua gelombang iu berumbukan, keduanya akan muncul dari umbukan iu sebagai pasangan gelombang yang bergerak lain dengan sau fase perganian sebagai sau-saunya akiba dari ineraksi yang erjadi. Karena gelombang menyendiri yang menghasilkan penyelesaian-penyelesaian iu seperi parikel, Zabusky dan Kruskal menamakan solion unuk menggambarkan gelombang menyendiri ersebu (Kasman, anpa ahun). Isilah solion diperkenalkan sekiar ahun 96-an, eapi peneliian ilmiah enang solion iu sendiri elah dimulai sejak abad ke-9, keika John Sco Russel menelii sebuah gelombang besar yang menyendiri di saluran air deka Edinburgh. Pada masa John Sco Russel, para ahli maemaika sering erjadi perbedaan pendapa enang keberadaan yang sebenarnya dari gelombang yang menyendiri ersebu (Takasaki, anpa ahun). Menuru Takasaki (anpa ahun), Solion merupakan riak air yang bergerak pada aliran yang mempunyai benuk eap. Juga bisa dikaakan bahwa solion merupakan gelombang menyendiri yang sanga sabil. Seperi apapun isilah solion, gelombang ersebu berindak seperi parikel, yang bergerak dengan benuk dan kecepaan eap. Persamaan KdV ermasuk dalam kaegori persamaan gelombang, liha (Weissein, 4). Gelombang ranslasi dari KdV juga elah dapa diperoleh secara deail, liha (Rahardi, ). Perilaku seperi ini menarik unuk dielii dalam persamaan KP, karena persamaan KP mempunyai Srukur Hamilonian seperi persamaan KdV. Persamaan KP I elah disajikan oleh Rahardi (4) unuk membahas momenum arah dan arah y, akan eapi benuk konservasi solusinya belum diperoleh secara sempurna sehingga dengan adanya peneliian ini merupakan kesempaan unuk memahami perilaku solusi gelombang dalam dimensi dua jika dipandang dalam sau arah aau arah y saja dan dalam dimensi iga jika dipandang dalam dua arah bersamaan dan y. Alasan lain mengapa peneliian ini dilakukan, karena belum banyak peneliian yang membahas enang solusi umum dari persamaan KP. Peneliian ini akan meliha bagaimana benuk konservasi solusi KP I dalam arah, aau y, aau dalam dua arah dan y apabila didekai dengan dere Fourier dan dengan menerapkan meode Seepes Descen. Sebagaimana dengan penerapan meode ini pada KdV yang memenuhi peminimuman erkendala dari Hamilonian H dengan kendala Inegral momenum I, maka meode ini dipilih unuk dierapkan pada KP I. Penerapan ini
akan sanga menarik sebab pengamaan konservasinya divisualisasikan dengan kompuer sehingga perpaduan anara eori analiis dengan program kompuer dapa dianalisa keepaannya. B. RUMUSAN MASALAH Berdasarkan uraian di aas maka dalam peneliian ini dirumuskan beberapa masalah yang uama yaiu:. Bagaimana srukur Hamilonian dari persamaan KP dan I sebagai konservasi momenum arah sera I sebagai konservasi momenum arah y.. Masalahnya adalah dengan kondisi u yang direpresenasikan dengan sejumlah hingga dere Fourier dari ruang fungsi berperiode π (erhadap dua variabel dan y) dan penerapan meode Seepes Descen apakah fenomena konservasi solusi KP I seelah Hamilonian H mencapai minimum dengan kendala konservasi momenum I aau I sesuai dengan eori analiisnya dapa diperoleh? Tenu saja unuk memperoleh ini harus melakukan penghiungan secara numerik dengan membua programnya sesuai dengan eori analiisnya. C. TUJUAN DAN KONTRIBUSI HASIL PENELITIAN Peneliian dilakukan harus mempunyai nilai ambah baik bagi diri sendiri sebagai im penelii maupun bagi orang lain. Paling idak adalah menambah perkembangan aau wawasan ilmu dan eknologi. Masalah dalam peneliian ini berangka dari perumusan maemaika persamaan KP yang merupakan model dari suau gejala alam. Fokus peneliian baru pada ahap eori analiis perilaku gelombangnya, belum sampai pada ahap percobaan di lapangan, sehingga ke depan masih membuka banyak peluang unuk mengungkapkan secara lebih jelas enang persamaan KP. Beriku ini adalah uraian beberapa enang ujuan peneliian, manfaa, dan peningnya peneliian. Tujuan Peneliian Berdasarkan laar belakang masalah dan rumusan masalahnya, maka peneliian ini mempunyai beberapa ujuan dianaranya adalah: 3
. Dapa dienukan srukur Hamilonian dari persamaan KP dan I sebagai konservasi momenum arah sera I sebagai konservasi momenum arah y.. Dapa diperoleh fenomena konservasi solusi KP I seelah Hamilonian H mencapai minimum dengan kendala konservasi momenum I aau I sesuai dengan eori analiisnya dengan membua programnya sesuai dengan eori analiisnya. Konribusi Hasil Peneliian Konribusi hasil peneliian dapa dinikmai oleh beberapa komponen yaiu :. Bagi mahasiswa :.. Mahasiswa dapa mengembangkan unuk melakukan peneliian semacam ini unuk persamaan yang dapa dikaegorikan mempunyai srukur Hamilonian. Dengan demikian mereka dapa mengerjakan skripsi lebih cepa karena sudah ada peper sejenis yang dapa dipakai sebagai bahan rujukan... Mahasiswa akan merasa lebih puas sebab peneliian semacam ini merupakan pemodelan dari gejala fisis alam.. Bagi dosen : Menambah wawasan bagi dosen unuk mendalami fenomena persamaan diferensial parsial sebagai model dari suau gejala fisis. Hasil wawasan ini dapa dikembangkan dalam pengajaran pemodelan maemaika sehingga perkuliahan idak membosankan. 3. Bagi Lembaga UM : Hasil dari peneliian ini yang merupakan aplikasi dari model gelombang permukaan air maka erkumpul dokumenasi peneliian erapan dari maemaika yang dapa diindaklanjui dengan melakukan kerjasama dengan deparemen di luar UM. Sebagai misal peneliian enang uji kekuaan kapal, enu memerlukan model gelombang yang dapa disimulasikan dengan kompuer. Dari model ini dapa diperoleh gambaran kekuaan kapal yang akan dibua. D. STRUKTUR HAMILTONIAN Persamaan KdV u u + 6 uu = () + dikaakan memiliki srukur Hamilonian apabila memenuhi persamaan 4
u = δh (u). () Misalkan hampiran gelombang yang merupakan solusi KdV adalah KdV u(, ) = u( φ), dengan φ = λ, (3) maka u = λuφ dan u = uφ, sehingga persamaan () dapa diulis dalam benuk dengan menginegralkannya diperoleh Persamaan (5) ini idenik dengan persamaan λuφ = ( 3u uφφ ), (4) λu = u uφφ dengan δ H (u) adalah urunan variasi 3 dari Hamilonian dan δ I(u) urunan variasi dari inegral momenum 3. (5) λδ I( u) = δh ( u), (6) 3 H ( u) = u u d (7) I( u) = u d. (8) Jika persamaan () diulis dalam benuk u = ( 3 u u ) dan dengan persamaan (7) maka dapa diperoleh kesimpulan bahwa persamaan KdV memenuhi srukur Hamilonian (). Berdasarkan hukum Pelipa Lagrange liha (Rahardi, ), maka dari persamaan (6) dapa dikaakan bahwa, kia mencari u yang meminimumkan aau memaksimumkan Hamilonian H dengan kendala inegral momenum I konsan, yaiu { H ( u) I( u) = γ, γ konsan} cri. (9) Persamaan (9) ini dikenal dengan isilah peminimuman/pemaksimuman erkendala dari Hamilonian H dengan kendala inegral momenum I. Selanjunya dalam peneliian ini hanya akan mengkaji masalah peminimuman erkendala saja. f d f d f 3 Jika F = f ( u, u, u, L ) d maka δ F = + L u d u d u 5
E. METODE STEEPEST DESCENT Misalkan ingin diselesaikan masalah pengopimuman akberkendala min Z = f (,, L, n ), dengan n (,, L, n ) R. () Jika f merupakan fungsi konveks maka solusi opimal (jika ada) akan erjadi pada iik saioner * yang memenuhi f * * * ( ) f ( ) f ( ) = = = = L. n Akan eapi, sering dalam banyak masalah pencarian iik sasioner ini sanga suli dilakukan. Dalam pasal ini akan dibahas meode seepes descen yang dapa digunakan unuk mencari hampiran iik sasioner fungsi f. Berdasarkan aljabar linear kia keahui bahwa suau vekor dimensi-n dapa menyaakan suau arah di n R. Sayang sekali unuk sau arah dapa dinyaakan dengan akhingga banyaknya vekor. Sebagai conoh : vecor (,), (,), dan (3,3) menyaakan arah yang sama (bergerak ke arah sudu 45 posiif) di R. Maka unuk suau vekor, vekor akan mempunyai panjang dan mendefinisikan arah yang sama dengan. Sebagai conoh, karena vekor mempunyai = maka arah yang didefinisikan vekor = (, ) dipadankan dengan vekor sauan,. Pada umumnya, unuk suau vekor maka vekor sauan disebu benuk yang dinormalkan dari. Sekarang, misalkan diberikan fungsi f,, L, ) dengan semua urunan ( n parsialnya ada di seiap iik, maka vekor gradien mendefinisakan arah: f ( () = ) f ( ) f ( ) f,. L, n ( ) ( ). 6
Dari definisi f ( ), erliha bahwa jika nilai i dinaikkan sebesar δ maka nilai f () i f ( ) akan berubah hampir sebesar δ. Sekarang misalkan kia bergerak dari suau iik i dengan panjang δ yang cukup kecil dalam arah yang didefinisikan sebagai vekor kolom δ ( ). d yang dinormalkan, yaiu d, maka nilai f () akan berambah sebesar. ( ) Jadi ( ). d jika > ( ) maka ini berari kia bergerak menjauhi pada arah d dan menaikkan ( ). d fungsi f () ; sedangkan jika < ( ) maka ini berari kia bergerak menjauhi pada arah d dan menurunkan fungsi f (). Sebagai conoh adalah misalkan unuk fungsi f ( = + dan kia bergerak sepanjang δ dalam arah, ) nilai fungsi f, ) akan berambah hampir sebesar ( / δ (.6.8) =.99δ. / 45 dari iik (3,4) maka Solusi opimal v unuk masalah pengopimuman () memenuhi ( v) = (aau v merupakan iik saioner). Sekarang misalkan kia berada di iik v dan ingin mencari v yang mengopimumkan (). Logikanya, kia bergerak sepanjang arah yang akan memaksimumkan (walaupun hanya bersifa lokal) kecepaan penurunan (karena fungsi ujuannya meminimumkan) nilai fungsi f, perhaikan eorema beriku. Teorema. Misalkan dari iik bergerak dengan panjang langkah yang cukup kecil δ pada arah d. Maka unuk nilai δ yang diberikan, penambahan nilai fungsi f akan maksimal jika dipilih d = ( ( ) ). 7
Misalkan diberikan iik awal dan bergerak dalam arah ( ). Unuk suau nilai aknegaif p, kia bergerak ke iik = p ( ). Penurunan nilai fungsi f paling cepa erjadi jika bergerak dari iik dalam arah ( ) ke iik * = p ( ), dengan * p adalah solusi dari masalah pengopimuman sau dimensi beriku min f ( p ( )), dengan p...() Masalah pengopimuman () dapa diselesaikan dengan meode analiik aau meode numerik. Jika f ( ) cukup kecil (misalkan sekarang kurang dari.) maka proses ini dapa dihenikan dengan kesimpulan bahwa cukup deka dengan iik saioner fungsi f, yaiu ˆ, yang memenuhi syara ( ˆ) =. Jika f ( ) idak cukup kecil, maka kia bergerak dari iik sejauh * p yang merupakan solusi dari min f ( p ( )), dengan p. Dari proses ini akan diperoleh iik = p ( ). Jika f ( ) cukup kecil maka proses dihenikan dan dipilih sebagai pendekaan dari iik saioner fungsi f,, L, ). Jika idak demikian maka proses harus diulangi sampai diporoleh iik ( n m dengan f ( m ) cukup kecil. F. BEBERAPA PENELITIAN TENTANG PERSAMAAN GELOMBANG Banyak persamaan yang ermasuk dalam kaegori persamaan gelombang dianaranya adalah. Persamaan Sine-Gordon u u + sin u =, sebagaimana persamaan KP persamaan ini idak mempunyai solusi umum, akan eapi salah sau klas solusi dapa diperoleh dalam benuk u(, ) = 4 an β sinh( βm), cosh( ) βm 8
dengan m >. Jenis solusi ini memberikan fenomena gelombang dua solion (Knobel, ). Animasi benuk solusi ini dapa diliha dengan compuer sehingga perilaku gelombang solionnya dapa diamai.. Persamaan Sine-Gordon Dobel: u ± [sin u + η sin( u)] = (Calogero dan Degasperis 98; Zwillinger 997). Dalam persamaan ini dengan menggunakan urunan variasi dapa dienukan benuk Hamilonian H dan juga inegral momenum I. 3. Persamaan Boussinesq Linear: u α u = β u (Whiham 974; Zwillinger 997). Dengan memilih α = = β gelombang jalan dari persamaan ini dapa dienukan. Meode penenuannya dengan menggunakan Seepes Descen. 4. Persamaan Boussinesq Tak-Linear: u u u + 3( u ) = (Calogero dan Degasperis 98; Zwillinger 997). Benuk persamaan ini ak linear sebab memua benuk ak linear ( u. Modifikasi dan penerapan urunan variasi parameer dapa ) diperoleh benuk pemaksimuman dan peminimuman erkendala. Dengan opimasi peminimuman dapa diperoleh ranslasi gelombang jalannya. Meode yang digunakan dari bermacam-macam persamaan gelombang di aas berbeda dengan yang dilakukan pada peneliian ini, hal ini karena srukur persamaan gelombangnya berbeda dengan KP I. Akan eapi hasil akhir ranslasi gelombangnya pada prinsipnya adalah sama. Sebagaimana persamaan KdV hampiran gelombangnya dapa dicari dengan menggunakan meode Hiroa, dapa juga dengan menggunakan dere Fourier dan penerapan meode Seepes Descen (Rahardi, ). G. STRUKTUR HAMILTONIAN DAN INTEGRAL MOMENTUM KP I Benuk baku persamaan KP unuk inggi gelombang u = u(, y, ) diberikan dengan ( u + u + 6uu ) + u =, ε ±. () ε yy Konsana ε = berkenaan dengan persamaan KP I, sedangkan unuk ε = berkenaan dengan persamaan KP II. Apabila u bebas dari variabel y diperoleh persamaan sandar KdV (Koreweg & de Vries, 895). Dengan menggunakan srukur pemeaan yang sama, persamaan KP dapa juga dirumuskan sebagai srukur Hamilonian: u = δh (u) (3) 9
dengan δ H (u) urunan variasi dari Hamilonian KP. Persamaan KP I merupakan generalisasi dari KdV, oleh karena iu pada bagian ini akan dibahas penurunan KP yang memiliki srukur Hamilonian dan bagaimana benuk inegral Hamiloniannya. Sesuai dengan uraian di aas maka benuk umum dari persamaan KP I adalah ( u u + 6uu ) + u = (4) + yy aau benuk dari persamaan ini dapa diulis dengan Penginegralan kedua ruas persamaan (5) ini menghasilkan ( u + u + 6uu ) = u. (5) u + u + 6 uu = u y y y aau dalam benuk aau u = u 6 uu u, (6) y u = ( u 3u u ). (7) Persamaan (7) ini memenuhi srukur Hamilonian (3) dengan ( u ) 3 H ( u) = u u y ddy. (8) Sebagaimana dalam KdV Hamilonian H ini dapa diperoleh dengan menggunakan urunan variasi. y Konservasi Momenum Arah Translasi dibangun dengan persamaan u = dengan I adalah inegral momenum arah : u δi ( u) I ( u) = u. (9) Dari urunan ini sifa konservasi dari I jelas dan mudah dicek (Groesen, 995).
Konservasi Momenum Arah y Translasi dibangun dengan persamaan u = y u dengan I adalah inegral momenum arah : I [ u ] δi u) [ u ] y y ( ( u) = y. () u Dari urunan ini sifa konservasi dari I jelas dan mudah dicek (Groesen, 995). Perumusan Konservasi Solusi KP I Konservasi solusi KP I dibangun dengan benuk umum u(, y, ) = f ( ψ ), ψ = + y λ. () Sehingga, u = λuψ, u = uψ, dan u y = uψ. Persamaan-persamaan ini disubsiusikan ke dalam persamaan (6) diperoleh λ u = ( u 3u ). () ψ ψ ψψ ψ u y Sebagaimana dalam KdV (liha Rahardi, ), unuk memperoleh hampiran solusi KP I, berari kia harus mencari u yang memenuhi masalah peminimuman/ pemaksimuman Hamilonian H pada (8) dengan kendala I ( ) pada (9) aau I ( ) pada (). Secara u eoriis hal ini menyaakan bahwa KP I berada pada aau { H u) I ( u) = γ, γ konsan} ( cri (3) { H u) I ( u) = γ, γ konsan} cri. (4) ( Dasar unuk menenukan persamaan (3) aau (4) adalah dengan menerapkan meode Seepes Descen. Sedangkan perhiungan numeriknya dan fenomena konservasi gelombangnya digunakan program kompuer, dalam peneliian ini menggunakan sofware Maple. u H. GELOMBANG KP I Sesi ini membicarakan enang hasil pendekaan solusi dengan mengambil fungsi secara umum
n [ v + k ( )cos( k + ky) vk ( )sin( k + ky) ] u(, y, ) = (5) k = sebagai profil awal gelombang arah aau y. Sebagaimana disebukan di awal bahwa profil ini bukan solusi eksak unuk KP I karena pada dasarnya solusi eksak belum diperoleh. Penghiungan numeriknya menggunakan inerval [-π,π] sebagai selang posisi, dan u pada (5) dengan n = 4. Simulasi animasi gelombangnya secara lengkap dapa diliha dari hasil eksekusi program yang elah disusun dengan sofware Maple pada kompuer. Sebagai buki fisik bahwa inegral Hamilonian H dengan kendala inegral momenum I elah konvergen seelah ierasi ke n diserakan hasil awal nilai H dan beberapa hasil akhir nilai H yang konvergen. Sedangkan gelombang solusi seelah konvergen hasilnya digambarkan unuk beberapa nilai saja. Hasil Program Gelombang Arah Berdasarkan perhiungan kompuer H dalam persamaan (8) dan I dalam persamaan (9) akan konvergen sebelum ierasi ke 35, beriku ini adalah nilai awal dan beberapa nilai dari H dan I seelah mencapai konvergen. Mula-mula nilai H dan I masing-masing adalah [ H = -.988747, I_ =.6484 ]. Teapi seelah ierasi ke 3495 hingga 35 nilai H dan I masing-masing adalah [ H 3495 = -5.39435, I_ 3495 =.644437 ] [ H 3496 = -5.39435, I_ 3496 =.644437 ] [ H 3497 = -5.39435, I_ 3497 =.644437 ] [ H 3498 = -5.39435, I_ 3498 =.644437 ] [ H 3499 = -5.39435, I_ 3499 =.644437 ] [ H 35 = -5.39435, I_ 35 =.644437 ] Nilai-nilai erakhir ini adalah sebagian dari nilai yang sudah mencapai konvergen, sebab apabila ierasi dieruskan maka nilai dari H dan I akan eap yaiu masing-masing sebesar -5.39435 dan.644437. Perhaikan bahwa H dan I sebagai nilai ierasi perama dan beberapa nilai H dan I seelah konvergen yaiu ierasi ke 3495 sampai 35.
Beriku ini adalah grafik gelombang sebelum H dan I mencapai konvergen. (a) Keika = - (b) Keika = (c) Keika = Gambar Gelombang solusi arah sebelum H dan I konvergen Pengamaan erhadap Gambar menunjukkan bahwa gelombang bergerak ke arah kanan aau ke arah waku yang semakin meningka (naik) dengan berjalan idak dalam benuk yang sama. Animasi gelombang ini jika diamai pada kompuer akan nampak seperi ali yang bergerak dengan kedua ujungnya bebas bergerak. Berbeda apabila H dan I elah mencapai nilai konvergen, maka gelombangnya akan berjalan dalam benuk yang sama. Beriku ini adalah gambar-gambar gelombang solusi seelah H dan I mencapai nilai konvergen. (a) Keika = - (b) Keika = (c) Keika = Gambar Gelombang solusi arah seelah H dan I konvergen Dari Gambar, ampak bahwa gelombang bergerak ke arah kanan aau ke arah waku yang semakin meningka (naik) dengan benuk gelombang yang eap. Hasil Program Gelombang Arah y Sebagaimana dalam gelombang arah, perhiungan kompuer H dalam persamaan (8) dan I dalam persamaan () akan konvergen sebelum ierasi ke 35, beriku ini adalah nilai awal dan beberapa nilai dari H dan I sebelum dan seelah mencapai konvergen. 3
(a) Keika = - (b) Keika = (c) Keika = Gambar 3 Gelombang solusi arah y sebelum H dan I konvergen (a) Keika = - (b) Keika = (c) Keika = Gambar 4 Gelombang solusi arah y seelah H dan I konvergen Seperi dalam arah, pengamaan sebelum H dan I konvergen menunjukkan bahwa gelombang bergerak dalam benuk yang idak sama (liha Gambar 3). Sedangkan pengamaan seelah H dan I konvergen, menunjukkan bahwa gelombangnya bergerak dalam benuk yang sama (liha Gambar 4). Kenyaaan ini sudah sesuai dengan eori analiisnya. Hasil Program Gelombang Arah dan y Beriku ini adalah gelombang dimensi iga dalam arah dan y sekaligus. Perlu diegaskan bahwa pendekaan solusi dengan mengambil fungsi secara umum N N [ Cmn ( )cos( m + ny) + S mn ( )sin( m + ny) ] u(, y, ) = (6) n= m= sebagai profil awal gelombangnya. 4
(a) Keika = -5 (b) Keika = (c) Keika = 5 Gambar 5 Gelombang solusi arah dan y seelah H dan I konvergen Berdasarkan pengamaan dalam Gambar 5 erliha bahwa inggi gelombangnya selalu sama idak mengalami perubahan. Animasi akan jelas jika diliha dari hasil visualisasi program di kompuer. I. KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan kajian eori dan hasil solusi gelombang yang elah diuraikan di aas, beriku ini adalah hsil kesimpulan dan saran yang dapa disampaikan dari hasil peneliian ini. Kesimpulan Adapun kesimpulan yang dapa diuraikan di sini adalah sebagaiberiku.. Solusi gelombang arah aau y didekai dengan gelombang awal sebagai dere Fourier dalam benuk u(, y, ) = n [ v + k ( )cos( k + ky) vk ( )sin( k + ky) ] k = dengan mengambil n = 4.. Penerapan meode Seepes Descen digunakan unuk menenukan hiungan secara numerik klekonvergenan dari H dan I. 3. Seelah H dan I mencapai konvergen gelombang bergerak dalam benuk yang sama di seiap waku dapa diperoleh. Akan eapi apabila belum mencapai konvergen maka gelombang di seiap waku benuknya berbeda. 5
4. Pendekaan solusi arah dan y secara sekaligus sebagai dere Fourier dalam benuk fungsi N N [ Cmn ( )cos( m + ny) + S mn ( )sin( m + ny) ] u(, y, ) =. n= m= 5. Gelombang dimensi iga ini juga dapa diperoleh benuk yang sama diseiap waku. Saran Perlu adanya perluasan besarnya n dari fungsi pendekaan awal gelombang saolusinya. Peneliian ini baru mengambil unuk n = 4 dari persamaan (5) unuk gelombang arah aau y, sedangkan unuk kedua arah sekaligus mengambil n = dari persamaan (6). Perluasan ini memerlukan kompuer yang memiliki ram inggi yaiu 5 aau spesifikasi lainnya yang memadai unuk proses kompuasi. DAFTAR PUSTAKA Calogero, F dan Degaspires, A. 98. Specral Transform and Solions: Tools o Solve and Invesigae Nonlinear Evoluion Equaions. New York : Norh-Holland. Groesen, E.van. 995. On Two-Dimensional Surface Waves Medelled by KP Equaion. Join Research Projec Repor No 7. Bandung Kasman, Ale. Tanpa ahun. The Hisory and Significance of he KdV Equaion, (online), (hp://mah.cofc.edu/faculy/kasman/solitonpics/kdv.hml, diakses anggal 5 Mare 3). Knobel, Roger.. An Inroducion o he Mahemaical Theory of Waves. hp://www.ams.org/ Rahardi, Rusano.. Gelombang Jalan pada Solusi Persamaan Koreweg-de Vries Tingka Tinggi. Jurnal Maemaika aau Pembelajarannya Tahun IX, Nomor, April, ISSN 85-779. Malang. Rahardi, Rusano.. Hampiran Selesaian Persamaan Koreweg-de Vries Orde Lima. Prosiding Konferensi Nasional Maemaika XI Bagian II, -5 Juli di UM. Malang. Rahardi, Rusano. 4. Konservasi Momenum Genus Persamaan KP Arah dan arah y. Prosiding Konferensi Nasional Maemaika XII, di Udayana Bali. 6
Takasaki, Kanehisa. Tanpa ahun. Many Faces of Solions, (online), (hp://www.mah.h.kyoo-u.ac.jp/~akasaki/solion-lab/gallery/solions/inde-e.hml, diakses anggal 5 Mare 3). Weissein, Eric W. 4. Wave Equaion. hp://mahworld.wolfram.com/waveequaion.hml Whiham, G. B. 974. Linear and Nonlinear Waves. New York: Wiley. Zwillinger, D. 997. Handbook of Differenial Equaions, 3 rd ed. Boson, MA: Academic Press, pp. 9-3. 7