Vol. 7. No. 1, 31-41, April 24, ISSN : 141-8518 Peetua Kestabila Sistem Kotrol Lup Tertutup Waktu Kotiu dega Metode Trasformasi ke Betuk Kaoik Terkotrol Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Kestabila suatu sistem kotrol lup tertutup, baik waktu kotiu maupu waktu diskrit ditetuka oleh letak pole (pembuat ol utuk suku bayak peyebut) di bidag s atau z. Suatu sistem cotrol lup tertutup waktu kotiu dikataka stabil jika poleya terletak di sebelah kiri sumbu imajier (bagia real dari ilai eige bertada egatif). Meskipu suatu sistem sudah stabil, belum tetu pole-pole dari system tersebut sesuai yag diigika, sebab hal ii meetuka tigkat kecepata terjadiya kestabila system tersebut. Peempata pole sesuai yag diigika, dimugkika jika da haya jika sistem dalam keadaa terkotrol legkap. Tulisa ii membahas suatu tekik peempata pole dari sistem waktu kotiu dega megubah suatu sistem mejadi betuk kaoik terkotrol. Kata kuci: sistem kotrol lup tertutup, pole, terkotrol legkap. 1. PENDAHULUAN Dalam teori kotrol, fugsi trasfer secara umum diguaka utuk megkarakterisasi hubuga masuka-keluara yag diyataka dega persamaa diferesial liear yag tak bergatug waktu. Fugsi trasfer (fugsi alih) didefiisika sebagai perbadiga trasformasi Laplace fugsi keluara da trasformasi Laplace fugsi masuka, dega asumsi semua syarat awal adalah ol (Ogata Katsuhiko, 1997). Perhatika sistem liear yag tak bergatug waktu yag didefiisika dega persamaa diferesial berikut ii: y + a y + a y +... + a yɺ + a y b x + b x +... + b xɺ + b x ( ) ( ) ( 2) ( m ) ( m ) 1 2 1 m m dimaa y da x berturut-turut adalah output da iput sistem. Fugsi trasfer dari persamaa di atas diperoleh dega metrasformasika Laplace kedua ruas persamaa tersebut, dega syarat awal ol. 31
Peetua Kestabila Sistem Kotrol Lup Tertutup Waktu Kotiu dega Metode Trasformasi ke Betuk Kaoik Terkotrol (Robertus Heri) L [ output] Fugsi trasfer G( s) L [ iput] Y ( s) U ( s) syarat awal ol b s + b s +... + b s + b a s + a s + + a s + a m m 1 m 1... m (1) Titik-titik di bidag s dimaa fugsi G(s) aalitik disebut titik ordier. Semetara titik-titik di bidag s dimaa fugsi G(s) tidak aalitik disebut titik sigular. Titiktitik sigular yag meyebabka fugsi G(s) atau turuaya, medekati tak higga disebut pole. Kestabila dari suatu sistem lup tertutup ditetuka dari letak pole lup tertutup di bidag s atau ilai eige dari matriks kostata A. Jika terdapat pole lup tertutup yag terletak di sebelah kaa sumbu imajier bidag s (berarti bagia real dari pole bertada positif), maka dega bertambahya waktu, pole tersebut aka memberika pegaruh yag sagat domia, sehigga respo sistem dalam selag waktu tertetu aka aik turu atau berosilasi dega amplitudo yag semaki besar. Sedagka suatu sistem kotrol dikataka stabil bila pole lup tertutup terletak disebelah kiri sumbu imajier bidag s. Jadi masalah kestabila dari sistem kotrol lup tertutup waktu kotiu dapat diselesaika dega tidak memilih pole-pole lup tertutup yag terletak di sebelah kaa atau pada sumbu imajier. 2. PENEMPATAN POLE DENGAN METODE TRANSFORMASI KE BENTUK KANONIK TERKONTROL Persamaa ruag keadaa waktu kotiu berbetuk: xɺ ( t) Ax( t) + Bu( t) (2) dimaa x vektor keadaa (x1), u siyal kotrol, A matriks kosta x, B vektor kosta x1. 32
Vol. 7. No. 1, 31-41, April 24, ISSN : 141-8518 Bila dipilih suatu kotrol u Kx( t), da substitusi u ke (2) meghasilka persamaa Solusi dari (3) adalah: ( ) xɺ ( t) A BK x( t) (3) ( ) A BK t x( t) e x() Kestabila dari sistem (3) ditetuka oleh ilai eige dari ( A BK ), artiya jika matriks K dapat dipilih secara tepat, maka bagia riil dari ilai eige matriks ( A BK ) terletak di sebelah kiri sumbu imajier bidag s, hal itu bearti, utuk semua x(), x( t) utuk t. Dari pembahasa di atas dapat disimpulka ilai eige dari ( A BK ) adalah juga pole-pole yag diigika. Masalah peempata pole adalah memilih matriks umpa balik K sedemikia sehigga bagia riil dari ilai eige matriks (A-BK) berada di sebelah kiri sumbu imajier bidag s. Metode yag diguaka dalam meyelesaika masalah peempata pole ii adalah metode trasformasi ke betuk kaoik Jorda, yaitu megguaka matriks trasformasi utuk metrasformasika persamaa ruag keadaa mejadi betuk kaoik terkotrol, kemudia membadigka persamaa karakteristik yag dikehedaki dega persamaa karakteristik yag memuat matriks K. Dega meyamaka koefisie dari suku-suku yag bersesuaia dari kedua persamaa ii, matriks umpa balik K dapat ditetuka. Defiisi [Ogata Katsuhiko, 1997] Diamik dari sistem waktu kotiu yag diyataka dega persamaa (2), dikataka terkotrol pada t t jika terdapat kotrol yag membawa keadaa awal ke keadaa akhir dalam suatu iterval waktu berhigga. Jika setiap keadaa terkotrol, maka sistem tersebut dikataka terkotrol secara legkap. 33
Peetua Kestabila Sistem Kotrol Lup Tertutup Waktu Kotiu dega Metode Trasformasi ke Betuk Kaoik Terkotrol (Robertus Heri) Syarat utuk suatu sistem terkotrol secara legkap adalah tidak terdapat baris atau kolom dari matriks keterkotrola yag B AB A B berkelipata, atau rak B AB A B Syarat perlu da cukup utuk peempata pole diyataka dalam teorema berikut. Teorema [Ogata Katsuhiko, 1997] Jika diberika suatu sistem, maka syarat perlu da cukup utuk peempata sebarag pole yag diigika adalah bahwa sistem tersebut terkotrol secara legkap. Bukti Aka dibuktika syarat perlu terlebih dahulu dega kotraposisi, yaitu jika sistem tidak terkotrol secara legkap maka ada ilai eige dari ( A BK ) tidak dapat dikotrol oleh keadaa umpa balik (state feedback) yag ( ) Misalka sistem tidak terkotrol secara legkap, maka < rak B AB A B q. Hal ii berarti terdapat sebayak q vektor yag bebas liear. Misalka q vektor yag bebas liear tersebut adalah: f1, f2,..., f q. Pilih sebayak -q vektor sedemikia sehigga P [ f f... f v v... v ] full rak. Maka meurut [1] 1 2 q q+ 1 q+ 2 Bila didefiisika ˆK A 1 11 A12 1 11 ˆ, ˆ B A P AP B P B A22 KP, maka ( ) si A + BK P si A + BK P si P AP P BKP + si Aˆ + BK ˆ ˆ 34
Vol. 7. No. 1, 31-41, April 24, ISSN : 141-8518 A11 A12 B11 si + k k A22 q si A + B k si A [ ] 1 2 si A11 + B11k 1 A12 + B11k 2 si A 11 11 1 q 22 dimaa I q da I q berturut-turut matriks idetitas berdimesi q da (-q). Dari persamaa (4) terlihat, bahwa ilai eige dari A 22 tidak bergatug pada K. Hal ii berarti bahwa ada ilai eige dari A yag tidak bisa ditempatka di tempat yag diigika. 22 (4) ( ) Kemudia aka dibuktika syarat perlu, yaitu jika sistem terkotrol secara legkap maka sebarag ilai eige dari A dapat ditempatka di sebarag tempat yag diigika, Dalam membuktika syarat perlu ii, persamaa ruag keadaa yag diberika oleh persamaa (2) diubah mejadi betuk kaoik terkotrol. Utuk itu didefiisika matriks trasformasi T dega T MW (5) dega M adalah matriks keterkotrola dega betuk M [ B AB A 1 B] da a a 2 a1 1 a 2 a 3 1 W a1 1 1 dimaa a, i 1,2,..., adalah koefisie dari suku bayak karakteristik i 2 1 2 (6) si A s + a s + a s +... + a s + a (7) Defiisika vektor keadaa baru ˆx dega ˆx Tx (8) Jika rak dari M adalah (berarti matriks keterkotrola dalam keadaa terkotrol legkap). maka ivers dari matriks T ada. Sehigga persamaa (2) mejadi 35
Peetua Kestabila Sistem Kotrol Lup Tertutup Waktu Kotiu dega Metode Trasformasi ke Betuk Kaoik Terkotrol (Robertus Heri) dimaa ɺ (9) 1 1 ˆx T ATx + T Bu da T 1 1 AT, (1) 1 a a 1 a 2 a 1 T B (11) 1 Persamaa (1) da (11) adalah betuk kaoik terkotrol. Jadi bila diberika suatu persamaa ruag keadaa, maka persamaa (2) dapat diubah ke betuk kaoik terkotrol jika matriks keterkotrola terkotrol secara legkap da jika vektor keadaa x ditrasformasika mejadi ˆx oleh matriks trasformasi T seperti persamaa (8). Kemudia aka dibuktika, jika sistem dalam keadaa terkotrol secara legkap, maka dimugkika utuk memilih pole-pole yag diigika. Misalka ilai eige (pole-pole) yag diigika adalah s µ 1, s µ 2,..., s µ, maka persamaa karakteristikya adalah: ( s µ )( s µ )...( s µ ) s + α s + α s +... + α s + α (12) 2 1 2 1 2 Tulis Kˆ KT [ δ δ δ ] (13) 1 Bila u Kx ˆ ˆ diguaka utuk megotrol sistem persamaa (9) maka dihasilka persamaa ˆɺ ˆ (14) 1 1 x T ATx T BKTx Persamaa karakteristik dari (14) adalah + ˆ (15) si T ATx T BKTx Persamaa karakteristik ii sama dega persamaa karakteristik utuk persamaa (2) utuk u Kx( t). Hal tersebut bisa dilihat sebagai berikut. 36
Vol. 7. No. 1, 31-41, April 24, ISSN : 141-8518 Substitusi u ke dalam persamaa (2), meghasilka: xɺ ( A BK) x. Persamaa karakteristik utuk xɺ ( A BK) x adalah ( ) si A BK T si A BK T si T AT T BKT + + + Dega megguaka (1), (11) da (13) diperoleh: 1 1 + + 1 a a 1 a 2 a 1 1 si T AT T BKT si s s a + δ a + δ a + δ 1 1 s + ( a + δ ) s +... + ( a + δ ) s + ( a + δ ) 1 1 [ δ δ δ ] 1 Persamaa karakteristik ii sama dega persamaa karakteristik (12). Sehigga dega meyamaka koefisieya diperoleh: a a a + δ α 1 1 1 + δ α 2 2 2 + δ α Meyelesaika persamaa terakhir utuk δ i, i 1, 2,..., da disubstitusi ke persamaa (13) diperoleh matriks umpa balik K : [ α α α α ] ˆ (16) K KT a a 1 2 a2 1 a1 Jadi jika sistem terkotrol secara legkap, dapat dipilih pole-pole yag diigika dega memilih matriks umpa balik seperti persamaa (16). 37
Peetua Kestabila Sistem Kotrol Lup Tertutup Waktu Kotiu dega Metode Trasformasi ke Betuk Kaoik Terkotrol (Robertus Heri) Dari pembahasa di atas, matriks umpa balik K dapat ditetuka dega lagkah-lagkah sebagai berikut: 1. Megecek rak dari matriks keterkotrola M. Jika M full rak, maka dilakuka lagkah ke 2. Jika tidak maka lagkah berheti sebab tidak dipeuhi syarat perlu da syarat cukup utuk peempata pole. 2. Meetuka ilai a1, a2,..., a suku bayak karakteristik utuk matriks A si A s + a s + a s +... + a s + a 2 1 2 3. Meetuka matriks trasformasi T yag metrasformasika ke betuk kaoik terkotrol, yaitu TMW dega W seperti persamaa (6). Jika dari sistem yag diberika sudah dalam betuk kaoik terkotrol, maka dapat dipilih TI 4. Tulis suku bayak karakteristik dega akar-akarya adalah pole-pole yag diigika dalam betuk ( s µ )( s µ )...( s µ ) s + α s + α s +... + α s + α 2 1 2 1 2 utuk meetuka ilai-ilai α1, α2,..., α 5. Meetuka matriks umpa balik K dega persamaa [ α α α α ] K a a a a T 2 2 1 1 Berikut aka diberika cotoh dari teori di atas. Y ( s) 1 1. Diketahui suatu sistem dega fugsi alih U ( s) ( s + 1)( s + 2)( s + 3) Bila pole-pole yag dikehedaki adalah s1 3, s2 5, s3 7, maka matriks umpa balik K dicari dega cara sebagai berikut: Karea yag diketahui adalah fugsi alih, maka lagkah pertama adalah megubah fugsi alih tersebut mejadi persamaa ruag keadaa. Karea persamaa karakteristik dari matriks keadaa adalah peyebut fugsi alih, maka diperoleh a1 6, a2 11, a3 6. 38
Vol. 7. No. 1, 31-41, April 24, ISSN : 141-8518 Sehigga 1 A 1, B 6 1 6 1 Dapat dicari bahwa rak M3, sehigga lagkah peempata pole dapat dilajutka. Persamaa karakteristik dari pole-pole yag diigika adalah: ( )( )( ) 3 2 s + 3 s + 5 s + 7 s + 15s + 71s + 15, sehigga diperoleh α1 15, α2 71, α1 15 Matriks umpa balik yag dicari adalah K [ 99 6 9] 2. Jika diberika suatu sistem xɺ ( t) Ax( t) + Bu( t), dega 1 7 1 3 2 2 1 3 1 A 9 2 1 3, B 4, 1 1 3 2 3 5 5 2 1 da dikehedaki ilai eige dari ( A BK ) s1 s2 s3 1, 3, 2, s 4 6, da s 5 4 maka matriks umpa balik K dapat dicari sebagai berikut. PENEMPATAN POLE DENGAN METODE TRANSFORMASI KE BENTUK KANONIK TERKONTROL A[1 7 1 3; 2 1 3;9 2 1 3;1 1 3 2 3; 5 2 ]; B[2 1 4 5 1]'; -----Megecek rak dari matriks keterkotrola M----- M[B A*B A^2*B A^3*B A^4*B] rak(m) -----Mecari koefisie dari persamaa karakteristik matriks A utuk membetuk matriks W----- Jpoly(A); a1j(2), a2j(3), a3j(4), a4j(5), a5j(6) -----Eleme-eleme matriks W diperoleh dari koefisie suku bayak karakteristik A----- W[a4 a3 a2 a1 1;a3 a2 a1 1 ;a2 a1 1 ;a1 1 ;1 ]; TM*W 39
Peetua Kestabila Sistem Kotrol Lup Tertutup Waktu Kotiu dega Metode Trasformasi ke Betuk Kaoik Terkotrol (Robertus Heri) -----Matriks L adalah matriks diagoal dega eleme-elemya adalah pole-pole yag diigika----- L[-1 ; -3 ; -2 ; -6 ; -4] -----Mecari koefisie dari suku bayak karakteristik matriks L--- -- Npoly(L); a11n(2), a22n(3), a33n(4), a44n(5), a55n(6) -----Meetuka matriks umpa balik K----- K[a11-a1 a22-a2 a33-a3 a44-a4 a55-a5]*iv(t) -----Megecek apakah iv(t)*a*t da iv(t)*b dalam betuk kaoik terkotrol----- iv(t)*a*t iv(t)*b Output program di atas adalah K -37.2812-6.2547 43.897 41.4349 31.2837 as -. 1. -. -. -. -. 1.... -. 1. -. -... -. 1. 186. 415. 156. 22. 4. as -.. 1. Terlihat dari output bahwa T AT -. -. -. 186. 1. -... 415. -. -. 1... -. 1. -.. -. 1. 156. 22. 4. da T 4 B -. merupaka matriks dalam betuk kaoik terkotrol, berturut-. 1. turut seperti betuk persamaa (1) da (11).
Vol. 7. No. 1, 31-41, April 24, ISSN : 141-8518 3. KESIMPULAN 1. Matriks umpa balik K tidaklah tuggal utuk suatu sistem diamik yag diberika. Hal ii bergatug pada ilai eige atau pole-pole yag dikehedaki. 2. Utuk matriks dega ordo redah ( 3), perhituga determia secara maual relatif mudah da tidak membutuhka waktu yag lama. Namu tidak demikia halya dega matriks berordo tiggi ( 3). Cotoh kedua diatas membahas pecaria matriks umpa balik dari suatu sistem dega matriks koefisie ordo lima megguaka Matlab. DAFTAR PUSTAKA Ogata Katsuhiko, 1995, Discrete Time Cotrol Systems, Pretice Hall Ic. Ogata Katsuhiko, 1997, Moder Cotrol Egieerig, Third Editio, Pretice Hall Ic. Ogata Katsuhiko, 1994, Desigig Liear Cotrol system with MATLAB, Pretice Hall Ic. R.W.Brocket,197, Fiite Dimesioal Liear Systems, Joh Wiley ad Sos Ic. 41