LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37
Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 2 / 37
Limit Fungsi Limit Fungsi di Suatu Titik Menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya mendekati suatu titik Ilustrasi: Diketahui f (x) = x3 1 x 1 Dari tabel dan grafik: nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 1, tetapi x = 1. Notasi: lim x 1 f (x) = 3 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 3 / 37
Limit Fungsi Definisi (Limit fungsi di suatu titik) Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, ditulis lim f (x) = L apabila nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi x = a. Catatan: 1 Notasi lain untuk limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L adalah f (x) L, bila x a. 2 Fungsi f tidak harus terdefinisi di a. 3 Jika f terdefinisi di a, f (a) tidak harus sama dengan L. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 4 / 37
Limit Fungsi Kasus-kasus Limit yang Sama Ketiga kasus di bawah ini memberikan limit yang sama, yaitu lim f (x) = L Kasus 1 Kasus 2 Kasus 3 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 5 / 37
Limit Fungsi Contoh Tentukan limit berikut. 1 lim x 0 (x + 1) 2 lim x 2 x 1 3 lim x 4 x x 2 x 6 4 lim x 3 x 3 x 1 5 lim x 1 x 1 6 lim [[x]] x 2 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 6 / 37
Limit Satu Sisi Limit Fungsi Menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya mendekati suatu titik dari satu arah saja, kiri atau kanan Ilustrasi: Diketahui: f (x) = [[x]], x [ 1, 2) Dari grafik: nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 1, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0 dari arah kiri dan x = 0. Notasi: lim f (x) = 1 x 0 nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 0, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0 dari arah kanan dan x = 0. Notasi: lim f (x) = 0 x 0 + (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 7 / 37
Limit Fungsi Definisi (Limit kanan) Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval [a, b), kecuali mungkin di a. Limit kanan f (x) ketika x mendekati a (atau Limit f (x) ketika x mendekati a dari sisi kanan) sama dengan L, ditulis lim f (x) = L + apabila nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a dan x > a. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 8 / 37
Limit Fungsi Definisi (Limit kiri) Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval (b, a], kecuali mungkin di a. Limit kiri f (x) ketika x mendekati a (atau Limit f (x) ketika x mendekati a dari sisi kiri) sama dengan L, ditulis lim f (x) = L apabila nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a dan x < a. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 9 / 37
Limit Fungsi Teorema (Hubungan limit di suatu titik dengan limit satu sisi) lim f (x) = L jika dan hanya jika lim f (x) = L = lim f (x). + Contoh Tentukan limit berikut. 1 lim x 1 + f (x) 2 lim x 1 f (x) 3 lim x 1 f (x) 4 lim x 3 + f (x) 5 lim x 3 f (x) 6 lim x 3 f (x) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 10 / 37
Limit Fungsi Contoh Tentukan limit berikut jika ada. Jika tidak ada jelaskan mengapa. 1 lim x 2 x 2 2 lim x 1 x 1 x 1 3 lim x 0 x 4 lim x 2 [[x]] (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 11 / 37
Limit Tak-hingga Limit Fungsi Menggambarkan perilaku nilai fungsi yang membesar atau mengecil tanpa batas jika peubahnya mendekati suatu titik Ilustrasi: Diketahui: f (x) = 1 x 2 Dari grafik: nilai f (x) dapat dibuat sebesar mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0, tetapi x = 0. Notasi: lim x 0 f (x) = (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 12 / 37
Limit Fungsi Definisi Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan, ditulis lim f (x) = apabila nilai f (x) dapat dibuat sebesar mungkin, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi x = a. Catatan: Notasi lain untuk limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan adalah f (x), bila x a. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 13 / 37
Limit Fungsi Ilustrasi: Diketahui: f (x) = 1 x 2 Dari grafik: nilai f (x) dapat dibuat sekecil mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0, tetapi x = 0. Notasi: lim x 0 f (x) = (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 14 / 37
Limit Fungsi Definisi Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan, ditulis lim f (x) = apabila nilai f (x) dapat dibuat sekecil mungkin, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi x = a. Catatan: Notasi lain untuk limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan adalah f (x), bila x a. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 15 / 37
Limit Fungsi Catatan: Definisi serupa dapat diberikan untuk limit tak-hingga satu sisi: 1 lim f (x) = + 2 lim f (x) = 3 lim f (x) = + 4 lim f (x) = (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 16 / 37
Limit Fungsi Contoh Tentukan limit berikut. 2 1 lim x 3 + x 3 2 lim x 1 1 (x 1) (x 2) 3 lim x 1 + x 1 x 2 (x + 2) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 17 / 37
Hukum Limit Teorema Limit Utama Teorema Misalkan c konstanta, n bilangan bulat positif dan kedua limit ada, maka lim c = c lim x = a lim lim lim (cf (x)) = c lim f (x) (f (x) + g (x)) = lim (f (x) g (x)) = lim lim f (x) dan lim g (x) f (x) + lim g (x) f (x) lim g (x) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 18 / 37
Hukum Limit Teorema ( ) ( ) lim (f (x) g (x)) = lim f (x) lim g (x) f (x) lim f (x) lim g (x) = lim g (x) lim xn = a n asalkan lim g (x) = 0 ( ) n lim (f (x))n = lim f (x) lim n x = n a asalkan a > 0 ketika n genap n lim f (x) = n lim f (x) asalkan lim f (x) > 0 ketika n genap (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 19 / 37
Hukum Limit Contoh Dengan menggunakan sifat-sifat limit, tentukan limit berikut: 1 lim x 3 7x + 1 (( 2 lim x 2 1 ) (x + 1) ) x 2 2x 3 lim x 1 2x + 1 4 lim 3x 4 x 2 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 20 / 37
Teorema Substitusi Hukum Limit Teorema Jika f adalah polinom atau fungsi rasional dan a di dalam daerah asal f, maka lim f (x) = f (a). Contoh Tentukan limit berikut. x 1 1 lim x 1 x 2 1 (2 + h) 2 2 2 lim h 0 h x 2 2x 3 lim x 2 x 2 4 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 21 / 37
Hukum Limit Pertidaksamaan Limit Teorema Jika f (x) g (x) pada waktu x dekat a (kecuali mungkin di a) dan limit f dan g keduanya ada untuk x mendekati a, maka lim f (x) lim g (x). (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 22 / 37
Teorema Apit Hukum Limit Teorema Jika f (x) g (x) h (x) pada waktu x dekat a (kecuali mungkin di a) dan lim f (x) = L = lim h (x), maka lim g (x) = L. Contoh 1 Tentukan limit berikut. a. lim x 2 sin 1 x 0 x b. lim x 0 + x ( 1 + sin 2 ( 2π x )) 2 Jika 3x f (x) x 3 + 2 untuk 0 x 2, tentukan lim x 1 f (x). (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 23 / 37
Kekontinuan Fungsi Kekontinuan di Satu Titik Definisi (Kekontinuan di satu titik) Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval I yang memuat a. Fungsi f disebut kontinu di a, bila lim f (x) = f (a). Catatan: 1 Secara implisit definisi di atas mensyaratkan: f (a) terdefinisi ( lim f (x) ada lim f (x) = f (a) lim f (x) = lim + ) f (x) 2 Ciri fungsi kontinu di suatu titik adalah grafik fungsinya tersambung di titik tersebut. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 24 / 37
Kekontinuan Fungsi Contoh Periksa kekontinuan fungsi f berikut. Di titik mana fungsi tersebut tidak kontinu, jelaskan alasannya. 1 f (x) = x2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 f (x) =, x = 2 x 2 1, x = 2 3 f (x) = { 1 x 2, x = 0 1, x = 0 4 f (x) = [[x]] (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 25 / 37
Kekontinuan Fungsi Operasi Aljabar Fungsi Kontinu di Satu Titik Teorema Jika fungsi f dan g kontinu di x = a dan c adalah konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu pada a: 1 f + g 2 f g 3 cf 4 fg f 5 g jika g (a) = 0 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 26 / 37
Kekontinuan Fungsi Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposit Teorema (Limit fungsi komposit) Jika f kontinu pada b dan lim g (x) = b, maka ( ) lim f (g (x)) = f lim g (x) = f (b). Teorema (Kekontinuan fungsi komposit) Jika fungsi g kontinu pada a dan f kontinu pada g (a), maka fungsi komposit f g kontinu pada a. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 27 / 37
Kekontinuan Fungsi Contoh Diketahui fungsi f dan g dengan f (x) = x dan g (x) = 4 x 2. 1 Tentukan lim (f g) (x). x 1 2 Periksa kekontinuan fungsi f g di 0. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 28 / 37
Kekontinuan Fungsi Kontinu Kiri dan Kontinu Kanan Definisi (Kontinu kiri) Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval (b, a]. Fungsi f disebut kontinu kiri di a, bila lim f (x) = f (a). Definisi (Kontinu kanan) Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval [a, b). Fungsi f disebut kontinu kanan di a, bila lim f (x) = f (a). + (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 29 / 37
Kekontinuan Fungsi Contoh Diketahui fungsi f dengan f (x) = [[x]]. Fungsi f kontinu kanan di x = 1, 2, 3, tetapi tidak kontinu kiri di titik-titik tersebut. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 30 / 37
Kekontinuan Fungsi Kekontinuan pada Interval Definisi (Kekontinuan pada interval) 1 Fungsi f kontinu pada interval (a, b), jika f kontinu di setiap titik pada interval tersebut. 2 Fungsi f kontinu pada interval [a, b], jika f kontinu pada interval (a, b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b. Contoh Tentukan daerah kekontinuan fungsi f, jika f (x) = 1 x 2. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 31 / 37
Kekontinuan Fungsi Teorema Fungsi-fungsi berikut kontinu pada daerah asalnya: 1 fungsi polinom 2 fungsi rasional 3 fungsi trigonometri 4 fungsi akar 5 fungsi eksponen 6 fungsi logaritma 7 fungsi nilai mutlak (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 32 / 37
Kekontinuan Fungsi Contoh 1 Tunjukkan bahwa fungsi f dengan f (x) = 5 x kontinu pada interval [4, 5], tetapi f tidak kontinu di x = 5. 2 Tentukan konstanta A dan B sehingga f kontinu pada R x 2 A, x 0 f (x) = Ax + B, 0 < x 1 x B, x > 1 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 33 / 37
Kekontinuan Fungsi Contoh Tentukan daerah kekontinuan fungsi berikut: 1 f (x) = sin (x + 1) 2 f (x) = x 2 3x + 6 3 f (x) = 1 x 2 + x 2 1 x 4 f (x) = x 2 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 34 / 37
Kekontinuan Fungsi Teorema Nilai Antara Teorema Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [a, b] dan N adalah bilangan di antara f (a) dan f (b), maka terdapat c (a, b) sedemikian sehingga f (c) = N. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 35 / 37
Kekontinuan Fungsi Kegunaan Teorema Nilai Antara 1 Menunjukkan keberadaan akar suatu persamaan pada suatu interval. 2 Menunjukkan keberadaan penyelesaian suatu persamaan pada suatu interval. 3 Menunjukkan keberadaan titik potong dua kurva pada suatu interval. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 36 / 37
Kekontinuan Fungsi Contoh 1 Dengan menggunakan Teorema Nilai Antara, tunjukkan bahwa fungsi f dengan f (x) = x 5 3x 4 2x 3 + x + 1 memiliki akar real pada interval [0, 1]. 2 Dengan menggunakan Teorema Nilai Antara, buktikan bahwa jika f (x) = x 3 x 2 + x, maka terdapat bilangan real c sehingga f (c) = 10. 3 Dengan menggunakan Teorema Nilai Antara, buktikan bahwa grafik fungsi f dan g dengan f (x) = x 3 5x 1 dan g (x) = x 5 + 1 berpotongan di x = c dengan c [ 2, 0]. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 37 / 37