Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi Fourier ataupu trasformasi osius Fourier da trasformasi Sius Fourier. Hal ii cukup petig, terutama dalam peyelesaia berbagai masalah syarat batas yag peyelesaiaya disajika dalam betuk deret fugsi sius-cosius. Pada bagia akhir modul ii dibahas pula berbagai aplikasi deret Fourier. Setelah mempelajari modul ii Ada diharapka mampu memahami masalah ekspasi deret Fourier ataupu trasformasi Fourier suatu fugsi, da mempuyai keterampila dalam megaplikasika Deret Fourier. Setelah mempelajari modul ii, Ada diharapka:. mampu meyajika ekspasi deret Fourier ataupu trasformasi Fourier suatu fugsi,. terampil memperguaka trasformasi Fourier utuk meghitug ilai suatu itegral tertetu, 3. terampil meyelesaika suatu masalah syarat batas dega memafaatka ekspasi deret Fourier suatu fugsi.
. Metode Matematis I P Kegiata Belajar Deret Fourier ada kegiata belajar ii dibahas ekspasi suatu fugsi dalam betuk Deret Fourier. Deret Fourier merupaka suatu deret tak higga dega suku-suku memuat kompoe trigoometri, sius-cosius, yag koverge ke suatu fugsi periodik. FORMULA DERET FOURIER Suatu fugsi f merupaka fugsi periodik jika da haya jika terdapat kostata c, sehigga utuk setiap dalam domai f dipeuhi f ( c) f ( ), da c disebut periode dari fugsi f. Mudah dipahami apabila c merupaka periode dari fugsi f, maka c juga merupaka periode dari fugsi yag sama, fugsi f. otoh pada aplikasi, suatu gaya dega besar (magitude) kosta bekerja pada suatu sistem mekaik aka digambarka sebagai grafik fugsi periodik sebagaimaa disajika dega Gambar. di bawah ii. Gambar.
MATA443/MODUL.3 Misalka f, y f ( t ) suatu fugsi periodik dega periode, da disajika sebagai: a acos t bsi t L acos t bsi t L (.) dega a, b kostata, da jika utuk setiap deret tersebut koverge ke f, maka a f ( ) acos bsi L acos bsi L (.) Selajutya, deret (.) disebut deret Fourier utuk fugsi periodik f, dega periode. Jika kedua ruas persamaa (.) dikalika dega cosm (m iteger) da selajutya diitegralka terhadap dari higga, diperoleh: a f cos m d= cos m d+a cos cos m d b si cos m d + L +a cos cos m d +b si cos m d+ L da dega megigat: jika m cos cos m d jika m diperoleh π si cos m d= utuk setiap iteger m, π f ( )cos m d a, m,, K m atau dapat disajika sebagai a f ( )cos d,,, K (.3) da utuk =, a f ( ) d. (.4)
.4 Metode Matematis I Jika kedua ruas persamaa (.) dikalika dega si m (m iteger) da selajutya diitegralka terhadap dari higga, diperoleh a f si m d= si m d+a cos si m d+b si si m d - - + L a cos si m d b si si m d L - dega megigat jika m si si m d jika m maka diperoleh b f ( )si d,,, K (.5) Dega demikia, setiap fugsi f, y f merupaka fugsi periodik dega periode selalu dapat disajika dalam betuk deret Fourier (.) dega a, b ditetuka dega persamaa (.3), (.4), da (.5). otoh. Diberika f, y f suatu fugsi periodik dega periode da f, f, f, f f
MATA443/MODUL.5 Gambar. Sajika y f () dalam betuk deret Fourier. Peyelesaia: Perdereta Fourier utuk fugsi f, y f di atas berbetuk f a acos bsi dega a a f d d a f cos d cos d si si utuk 3,7,,5,... utuk,5,9,3,... utuk,4,6,8,...
.6 Metode Matematis I b f si d si d cos cos utuk,, 3,.... Dega demikia deret Fourier di atas dapat ditulis f ( ) cos cos3 cos5 cos7 3 5 7 L. Selajutya, jika diambil: S( ) S( ) cos S( ) cos cos3 3 maka grafik kurva S, S, da S disajika dega Gambar.3. Gambar.3
MATA443/MODUL.7 Diketahui fugsi f, y f merupaka fugsi kotiu da terdefiisi pada iterval, da di luar iterval tersebut dipeuhi f ( ) f ( ), misalka f( ) merupaka fugsi kotiu da periodik dega periode, dega demikia fugsi f dapat disajika dalam betuk deret Fourier. Utuk meyusu perdereta Fourier fugsi f tersebut dilakuka substitusi variabel Sehigga t. f f t t dega suatu fugsi periodik dega periode da perdereta Fourierya adalah dega a f ( t) acos bsi (.6) a f t cos t dt f cos d atau dapat disajika sebagai a f ( )cos d,,,... da b f t si t dt f si d atau dapat disajika sebagai b f ( )si d,,,....
.8 Metode Matematis I Dega demikia persamaa (.6) dapat disajika sebagai a f ( ) acos bsi (.7) dega a f ( )cos d,,,... b f ( )si d,,,... (.8) dega a, b diperoleh dari persamaa (.8). Apabila f( ) suatu fugsi kotiu dega periode, maka perdereta Fourier fugsi f( ) dapat disajika dega persamaa (.7) di atas dega koefisie a da b disajika sebagai L a f ( )cos d,,,... L L b f ( )si d,,,... (.9) L dega L suatu bilaga real. otoh. Sajika fugsi apabila fugsi tersebut mempuyai periode 6. Peyelesaia: f ( ), 6 dalam deret Fourier
MATA443/MODUL.9 Fugsi f ( ) mempuyai periode 6 berarti 3 da dega megambil L, dega demikia koefisie Fourier (.9) mejadi L a f ( )cos d L 6 cos d 3 3 A,93 A A A 3 4,73,,68 L b f ( )si d L d B B B B 3 4 6 si 3 3 34,36 7,8,45 8,39 Dega demikia diperoleh f ( ) 4, 93cos, 73cos, cos, 68cos L 3 3 3 4 34, 36si 7,8si, 45si 8, 39si 3 3 3 L
. Metode Matematis I DERET SINUS FOURIER, DERET OSINUS FOURIER Suatu fugsi f, y f terdefiisi pada selag a a dikataka fugsi geap jika f f da dikataka fugsi gajil jika f f, dega demikia dipeuhi a a f jika f fugsi gajil d a f d jika f fugsi geap (.) Karea cos merupaka fugsi geap da si merupaka fugsi gajil, maka persamaa (.8) mejadi a f cos d f cos d (.) jika f merupaka fugsi geap, da a f cos d jika f merupaka fugsi gajil, da b f si d jika f merupaka fugsi geap, da b f si d f si d (.) jika f merupaka fugsi gajil. Selajutya, jika f merupaka fugsi periodik dega periode da juga merupaka fugsi geap, maka perdereta Fourier (.7) utuk fugsi f tersebut mejadi a f a cos (.3) dega a,,,,..., diperoleh dari persamaa (.). Jika f merupaka fugsi periodik dega periode da juga merupaka fugsi gajil, maka perdereta Fourier (.7) utuk fugsi f tersebut mejadi f b si (.4)
MATA443/MODUL. dega b,,,..., diperoleh dari persamaa (.). Jika fugsi f, y f terdefiisi pada selag,, da selajutya didefiisika fugsi f, fugsi periodik dega periode, f f, f, berarti f merupaka fugsi geap, sehigga perdereta Fourier utuk fugsi f berbetuk a f a cos. Karea f ( ) f,, maka diperoleh a f a cos, (.5) dega a f cos d,,,,.... (.6) Persamaa (.5) disebut perdereta osius Fourier utuk fugsi f, y f,. Dega cara yag sama, didefiisika fugsi f, fugsi periodik dega periode, f f, f, berarti f merupaka fugsi gajil, sehigga perdereta Fourier utuk fugsi f berbetuk f b si. Karea f f utuk, maka diperoleh f b si, (.7)
. Metode Matematis I dega b f si d. (.8) Persamaa (.7) disebut perdereta Sius Fourier utuk fugsi f, y f,. otoh.3 Sajika fugsi f, dalam betuk deret osius Fourier. Peyelesaia: a d a a a cos d 4 Deret osius Fourier utuk f adalah 4 cos. otoh.4 Fourier. Sajika fugsi f, dalam betuk deret Sius Peyelesaia: b si d 3 3
MATA443/MODUL.3 Deret Sius Fourier utuk f adalah si. 3 3 LATIHAN Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! ) Ekspasika fugsi f utuk 4, f 6 utuk 4 8, dalam betuk deret Fourier dega periode 8. ) Ekspasika fugsi, f, ke dalam betuk deret Sius Fourier. 3) Tetuka ekspasi deret Fourier utuk fugsi, t t, t f t t, t, t Petujuk Jawaba Latiha 6 3 5 ) f cos cos cos L 4 3 4 5 4 cos ) f si
.4 Metode Matematis I 4 8 3) a, a utuk,3,5,..., a utuk,6,,..., a utuk 4,8,, da b utuk,, 3,... RANGKUMAN Setiap fugsi f, y f merupaka fugsi periodik dega periode dapat disajika dalam betuk deret Fourier: a f acos bsi dega a a f cos d,,,... b f si d,,,.... f d Jika fugsi f, y f merupaka fugsi periodik dega periode, maka ekspasi deret Fourierya berbetuk a f acos bsi dega a f cos d,,,,... b f si d,,,... atau dapat pula disajika sebagai L a f ( )cos d, L,,... L b f ( )si d, L,,... dega L kostata.
MATA443/MODUL.5 Jika fugsi f, y f terdefiisi pada selag L da juga kotiu (kotiu bagia demi bagia), maka ekspasi deret osius Fourierya berbetuk: a f a cos, L dega L a f cos d,,,,... L L da ekspasi deret Sius Fourierya berbetuk f b si, L L dega L b f si d,,,... L L TES FORMATIF Pilihlah satu jawaba yag palig tepat! ) Jika fugsi f, 5 3, 5 fugsi periodik dega periode diperderetka ke dalam betuk deret Fourier, maka koefisie-koefisieya adalah. A. 3 cos a 3; a, ; b,,,3, K B. 3 cos a,,,,... ; b,,,3,.... 3 cos a 3; a,,,... ; b,,,3, K 3 cos D. a,,,,... ; b,,,3,...
.6 Metode Matematis I ) Ekspasi deret Fourier fugsi f pada soal omor adalah. 3 cos A. f cos 5 3 3 cos B. f cos 5 3 cos. f si 5 3 3 cos D. f si 5 3) Berdasarka jawaba soal omor, deret di ruas kaa koverge titik demi titik ke f, da utuk deret tersebut koverge ke. A. B. 3. 3 D. 3 4) Ekspasi deret Sius Fourier fugai f cos, adalah. 8 A. f si 8 B. f si 8. f si 4 8 D. f si 4
MATA443/MODUL.7 ocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear % Jumlah Soal Arti tigkat peguasaa: 9 - % = baik sekali 8-89% = baik 7-79% = cukup < 7% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 8% atau lebih, Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 8%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.
.8 Metode Matematis I P Kegiata Belajar Itegral Fourier ada kegiata belajar ii dibahas ekspasi suatu fugsi dalam betuk itegral Fourier. Itegral Fourier merupaka suatu itegral tak sebearya yag merupaka betuk pedekata suatu fugsi, dega demikia kegiata belajar ii didasarka pada itegral tak sebearya da juga kekovergea itegral tak sebearya. FORMULA INTEGRAL FOURIER Sebagaimaa telah dipelajari, apabila diberika fugsi f, y f (), terdefiisi pada selag ( cc, ) da juga merupaka fugsi periodik dega periode c, maka fugsi f dapat diperderetka dalam deret fourier sebagai a f ( ) acos bsi dega c a f ( ) d c c c a f ( )cos c c c d c b f ( )si c c c d atau dapat disajika sebagai c c f ( ) f ( ) d f ( )cos( c c c c c ( )) d. (.9) Apabila fugsi f terdefiisi da memeuhi kodisi di atas utuk setiap iterval, utuk setiap ilai c cukup besar tetapi berhigga, maka deret c c f ( ) d f ( )cos( ( )) d c c c c c koverge ke f( ).
MATA443/MODUL.9 Hal di atas meujukka suatu gambara bahwa deret tersebut koverge utuk c cukup besar dekat pada tak higga, da fugsi f buka fugsi periodik. Dalam hal ii suku pertama dari deret berilai ol, c ( ) f d c, utuk c, karea f( ) d c mempuyai ilai berhigga. Selajutya diambil c c c da deret di atas dapat disajika sebagai f ( )cos( ( )) d, c atau dapat pula disajika sebagai c f ( )cos( ( )) d, c c. Misalka diagap tetap, da υ positif cukup kecil, maka berjala sepajag sumbu υ positif, dega demikia diperoleh lim da c lim f ( )cos( ( )) d c f ( )cos( ( )) d d. Sehigga diperoleh hubuga f ( ) f ( )cos( ( )) d d (.) yag dikeal sebagai formula itegral Fourier utuk fugsi f( ). Formula itegral Fourier utuk fugsi f( ) sebagaimaa disajika dega persamaa (.) mudah dijabarka mejadi (.) f ( ) A( )cos B( )si d, A( ) f ( )cos d (.) B( ) f ( )si d. (.3)
. Metode Matematis I otoh.5 Bila diberika fugsi f ( ) e, tetuka betuk itegral Fourier utuk fugsi f( ) tersebut. a Peyelesaia: Formula itegral Fourier disajika sebagai f ( ) A( )cos B( )si d dega A( ) a e cos d a e acosb bsib a b a B( ) e si d a e asib bcosb a b sehigga diperoleh a a a e a cosb bsib e asib bcosb e cos si a b a b otoh.6 Tetuka formula itegral Sius Fourier utuk fugsi, f, c, c. c d. Peyelesaia: Fugsi f dapat diaggap sebagai fugsi gajil, sehigga formula itegral Sius Fourier utuk fugsi f tersebut adalah f f t si t si dt d f t si t dt si d.
MATA443/MODUL. f t si t dt f t si t dt f t si t dt c c si t dt cos c. Dega demikia formula di atas mejadi cos c f si d. otoh.7 Tetuka formula itegral osius Fourier utuk fugsi f e cos,. c Peyelesaia: Fugsi f, f e cos, dapat diaggap sebagai fugsi geap, sehigga formula itegral osius Fourier utuk fugsi tersebut adalah f f t cos t cos dt d f t cos t dt cos d. f t cos e cos t cos t dt t e cos t cos t dt t t e cos t dt e cos t dt 4 t 4 t dt.
. Metode Matematis I Dega demikia formula di atas mejadi f cos d. 4 4 Formula itegral Fourier utuk fugsi f( ) sebagaimaa disajika dega persamaa (.), f ( ) f ( )cos( ( )) d d dapat pula disajika sebagai i ( ) f ( ) f ( ) e d d. (.4) Apabila f( ) tidak kotiu di, maka persamaa (.4) disajika sebagai f ( ) f ( ) f ( ) i ( ) f ( ) e d d (.5) da apabila f( ) suatu fugsi geap maka persamaa (.) mejadi f ( ) f ( )cos cos d d, (.6) da apabila f( ) suatu fugsi gajil maka persamaa (.) mejadi f ( ) f ( )si si d d,. (.7) atata: f ( ) lim f ( ) limit kaa f ( ) lim f ( ) limit kiri otoh.8 Buktika bahwa cos, d e.
MATA443/MODUL.3 Bukti: Misalka f ( ) e, mudah ditujukka bahwa f( ) suatu fugsi geap, maka berdasarka formula itegral Fourier diketahui f ( ) f ( )cos cos d d. Dega demikia diperoleh e cos cos d d e Mudah ditujukka bahwa e cos d sehigga cos e cos cos d d d e terbukti cos d e atau cos d e. Selajutya teorema di bawah ii membuktika bahwa utuk setiap f( ) suatu fugsi kotiu bagia demi bagia pada selag berhigga f ( ) f ( ) da utuk setiap titik diskotiu dipeuhi f( ) maka fugsi f( ) juga dapat disajika dalam betuk formula itegral Fourier. Teorema. Misalka f suatu fugsi kotiu bagia demi bagia pada setiap selag berhigga da utuk setiap titik diskotiu berlaku f f f.
.4 Metode Matematis I Jika f d ada, maka utuk setiap, fr da f L fugsi f dapat disajika dalam betuk formula itegral Fourier: f f t cos t dt d dega kiri fugsi f. f R da L Bukti: Ditijau itegral ada, (.8) f berturut-turut meyataka derivatif kaa da derivatif f t cos t dt d lim f tcos t dt d lim f t cos t d dt si t lim f t dt t dega demikia diperoleh si t f t cos t dt d lim f t dt. (.9) t Selajutya ditijau itegral si t a si t f t dt lim f t dt t a a t si t lim f t dt a a t a si t lim f t dt. a t Jika diambil substitusi t, diperoleh si t si f t dt f d t a a da jika diambil substitusi t, diperoleh a si t a si f t dt f d. t
MATA443/MODUL.5 Didefiisika fugsi g da h, dega g f da h f. Dega demikia diperoleh da dega g f da h f g f da h f R L f L da f R R R berturut-turut meyataka derivatif kiri da derivatif kaa fugsi f. Karea utuk setiap titik diskotiu fugsi f, amaka titik, berlaku f f f atau dapat pula ditulis f f f berlaku utuk setiap, dega demikia diperoleh a si t si t a si t f t dt f t dt f t dt a t a t t si si g d h d a a g a si a g g d si d h a si a h h d si d.
.6 Metode Matematis I Selajutya utuk diperoleh a si t a si a g g lim f ( t) dt g lim d lim si d a t h h f f f. h a si a h h lim d lim si d g g Dega demikia persamaa (.9) mejadi si t cos lim f t t dt d f t dt t a si t lim lim f t a a t lim f a f cos da diperoleh f f t t dt d. otoh.9 Tetuka formula itegral Fourier utuk fugsi f,, f, dega f() f ( ). dt
MATA443/MODUL.7 Peyelesaia: Karea fugsi f merupaka fugsi kotiu bagia demi bagia pada setiap selag berhigga da utuk titik diskotiu da f f berlaku f, maka cos f A B si d dega A f cos d f cos d f cos d f cos d cos d si da B f si d f si d f si d f si d si d. Dega demikia diperoleh f si cos si cos d d. otoh. Tetuka formula itegral Fourier utuk fugsi f,, da f( ) si,.
.8 Metode Matematis I Peyelesaia: Karea fugsi f merupaka fugsi kotiu bagia demi bagia pada setiap selag berhigga maka formula itegral Fourier utuk fugsi f adalah cos f A B si d dega B f si d f si d f si d f si d si si cos cos si si si d da A f cos d d f cos d f cos d f cos d si si d cos cos cos. si cos d
MATA443/MODUL.9 Dega demikia diperoleh cos si f cos si d cos cos cos si si d cos cos cos cos cos cos cos d d otoh. Tetuka formula itegral Fourier utuk fugsi f,, f ( ), e,. Peyelesaia: Karea fugsi f merupaka fugsi kotiu bagia demi bagia pada setiap selag berhigga maka diperoleh cos f A B si d dega A f cos d f cos d f cos d e cos d.
.3 Metode Matematis I da B f si d e f si d f si d si d. Dega demikia diperoleh f cos si d cos si d. LATIHAN ) Tetuka represetasi itegral Fourier utuk fugsi a. b. Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! f f e e a, a, a,, ) Tetuka represetasi itegral Fourier utuk fugsi, t f, t, t, t
MATA443/MODUL.3 3) Jika diberika fugsi f( ) utuk, f ( ) e utuk, da f, maka buktika bahwa fugsi f( ) memeuhi kodisi formula itegral Fourier, da selajutya utuk setiap ilai berlaku cos si v f d,. 4) Perguaka formula itegral cosius Fourier utuk membuktika v e cos cos d, 4 4 5) Perguaka idetitas Parseval utuk meetuka ilai itegral d a. b. Petujuk Jawaba Latiha d a cos f d a 4 si cos b. f 3 ) a. ) f cos si d cos d 5) Perguaka trasformasi sius Fourier da trasformasi cosius Fourier utuk f ( ) e,. a. b. 4 4
.3 Metode Matematis I Apabila fugsi f terdefiisi da merupaka fugsi periodik dega periode c utuk setiap iterval, utuk setiap ilai c cukup besar tetapi berhigga, maka deret c c f ( ) d f ( )cos ( ) d c c c c c koverge ke f( ). Hal di atas meujukka suatu gambara bahwa deret tersebut koverge utuk c cukup besar dekat pada tak higga, da fugsi f buka fugsi periodik. Sehigga diperoleh hubuga f ( ) f ( )cos( ( )) d d yag dikeal sebagai formula itegral Fourier utuk fugsi f( ). Formula itegral Fourier utuk fugsi f( ) mudah dijabarka mejadi f ( ) A( )cos B( )si d, A( ) f ( )cos d B( ) f ( )si d. Selajutya apabila f suatu fugsi kotiu bagia demi bagia pada setiap selag berhigga da utuk setiap titik diskotiu berlaku da jika RANGKUMAN f f f f d ada maka utuk setiap, f da f R dalam betuk formula itegral Fourier: f f t cos t dt d L ada, fugsi f dapat disajika
MATA443/MODUL.33 dega f R da f L berturut-turut meyataka derivatif kaa da derivatif kiri fugsi f. TES FORMATIF Pilihlah satu jawaba yag palig tepat! ) Jika diketahui Fc f f cos d maka. A. f Fc f cos d f Fc f cos d f Fc f cos d B.. f Fc f cos d D. ) Jika diketahui, f cos d, maka f adalah. A. B.. D. si si cos cos
.34 Metode Matematis I 3) Dega memperguaka soal omor diperoleh ilai itegral si d adalah. A. B.. 3 D. 4) Betuk umum persamaa gelombag satu dimesi, jika sebuah sear diretagka dega kedua ujugya terikat, adalah. y, t y, t L A., t t y, t y( L, t), t y, f y, t g, y, t y, t L B., t t y, t y( L, t), t y, y, t g, y, t y, t L., t t y, t y( L, t), t y, f y, t, L L L
MATA443/MODUL.35 y, t y, t L D., t t y, t y( L, t), t y, y,, L t ocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear % Jumlah Soal Arti tigkat peguasaa: 9 - % = baik sekali 8-89% = baik 7-79% = cukup < 7% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 8% atau lebih, Ada dapat meeruska dega modul selajutya. Bagus! Jika masih di bawah 8%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.
.36 Metode Matematis I Kuci Jawaba Tes Formatif Tes Formatif ) D ) A 3) B 4) Tes Formatif ) B ) 3) D 4) A
MATA443/MODUL.37 Daftar Pustaka Kreider D.L. et al. (966). Itroductio to Liear Aalysis. Massachusetts: Addiso-Wesley Publishig ompay. Wylie.R. ad Barrett L.. (98). Advaced Egieerig Mathematics. Sigapore: McGraw-Hill Iteratioal Book o. Murray R Spiegel, PhD. 97. Theory ad Problems of Advaced Mathematics for Egieers ad Scietists, Schaum s Outlie Series, New York: McGraw-Hill Book ompay. Ruel V hurchill. 963. Fourier Series ad Boudary Value Problems, New York: McGraw-Hill Book ompay.