JURNAL MATEMATKA DAN KOMPUTER Vol 5 No, 39-46, April 22, SSN : 4-858 MENCAR SOLUS PENAKSR PARAMETER PADA ANALSS VARANS DENGAN PENDEKATAN GENERAL NVERS Sukestiaro Jurusa Matematika FMPA Uiversitas Negeri Semarag Abstrak Pada model liear metode kuadarat terkecil diguaka utuk mecari peaksir koefisie parameter Pada model liier aalisis regresi aka diperoleh solusi peaksir ag uik (tuggal), karea pada matriks regresora mempuai rak peuh Aka tetapi pada model liear aalisis variasi aka diperoleh solusi peaksir ag tidak tuggal Hal tersebut terjadi karea pada matriks koefisie regresora mempuai rak tak peuh (vektor kolom matriks regressor bergatug liier) Utuk medapatka solusi ag tuggal maka orag meempuh jala meambahka persarata dega memasukka suatu kedala Pada makalah ii aka membahas masalah mecari alteratif solusi peaksir parameter dega tapa memasukka kedala Dega memilih salah satu geeral ivers perkalia matriks regresor ag mempuai sifat khusus dapat diperoleh suatu peaksir ag lebih baik dari pada peaksir ag diperoleh dega memasukka kedala Kata kuci : Model liier, aalisis regresi, aalisis variasi, geeral ivers LATAR BELAKANG MASALAH Model liier adalah suatu betuk hubuga liier atar variabel bebas X dega variabel bergatug Y Hubuga tersebut diberika sebagai berikut : = β + β X + + β p X p + u, () atau ditulis dalam betuk persamaa matriks : dimaa = Xβ + u, (2) = (,, )' vektor respos (variabel bergatug) X = (ι,x,x 2,,X p ) matriks ( x p+) sebagai matriks regresor (bebas) ι = (,,)' vektor satua 39
Mecari Solusi Peaksir (Sukestiaro) β = parameter kosta (iterecept) β = (β, β,, β p )' vektor koefisie parameter u = (u,,u )' vektor galat (error) X i = (x i,x 2i,,x i ) vektor ( x ) sebagai vektor kolom matriks regresor Sebagai asumsi utuk memperoleh peaksira Ordiar Least Squares (OLS) atau dega metode kuadrat terkecil dipersaratka bahwa : Matriks X buka variabel stokastik melaika merupaka suatu besara desai matriks 2 u i merupaka variabel stokastik galat (error) berdistribusi ormal dega rataa da varias σ 2 ditulis u ~ N(,σ 2 ) Akibata Y merupaka variabel stokastik dega distribusi Y ~ N(Xβ, σ 2 ) Dega Teorema Gauss-Markov aki metode kuadrat terkecil dega memiimum-ka fugsi jumlah kuadrat galat : u'u = (Y - Xβ)'(Y- Xβ) = Y Y - β'x'y Y' Xβ + β'x'xβ = Y'Y - 2β'X'Y + β'x'xβ, terhadap parameter beta (β) aka diperoleh persamaa ag diamaka persamaa ormal : X' Xβ = X'Y (3) Pada aalisis regresi liier solusi persamaa ormal tersebut adalah uik karea matriks (X'X) tidak sigular, solusia b (sebagai peaksir β) adalah b = (X'X) - X'Y (4) Pada aalisis variasi solusi persamaa ormal tersebut adalah tidak uik karea matriks (X'X) sigular (Draper/Smith, 966) Hal tersebut dapat dijelaska sebagai berikut : Misalka diberika kelompok data Aka membadigka ke kelompok tersebut dega aalisis variasi Pegolaha data tersebut dapat didekati seperti pada aalisis regresi, aki data disusu sebagai berikut 4
JURNAL MATEMATKA DAN KOMPUTER Vol 5 No, 39-46, April 22, SSN : 4-858 Kelompok 2 2 2 22 22 Rata-rata 2 2 i Dalam hal tersebut ada kelompok variabel ag aka dibadigka Jadi hipotesis ag aka diuji Ho : β =β 2 =β = H : tidak semua sama dega ol Data tersebut dapat ditulis dalam betuk model liier: Y ij = µ i + β i + u ij, j=,2,, i ; i =,2,,, dimaa Y ij adalah pegamata ke j dalam kelompok i µ adalah parameter iterecept, sedagka β i adalah koefisie parameter ag aka ditaksir Dalam lambag matriks persamaa tersebut di atas dapat ditulis: dega Y = Xβ + u, (5) Y = (,, 2, 22,,, )', X = µ β = β β u = u u u u u u 2 22 4
Mecari Solusi Peaksir (Sukestiaro) Jika kita perhatika matriks regresor X terlihat bahwa mejumlahka kolom ke 2 sampai dega kolom ke aka sama hasila dega kolom Hal ii meujukka bahwa matriks koloma salig bergatug liier Akibata dega metode kuadrat terkecil diperoleh persamaa ormal (3) dimaa matriks X'X adalah sigular Agar persamaa ormal mempuai solusi ag tuggal, maka selama ii orag mema-sukka kedala dalam sistem persamaa tersebut Kedala ag dipilih adalah (Sembirig, 989): β + 2 β 2 + + β = (6) Dega metode kuadrat terkecil diperoleh pesamaa ormal: 2 2 2 β β = β X'X β X'Y Betuk matriks X'X adalah sigular, kemudia orag megambil lagkah memasukka kedala (6) pada persamaa ormal tersebut Dega demikia diperoleh solusi b (sebagai peaksir β) : b =, b = -, b = - (7) Timbul pemikira, apabila persamaa ormal (3) tersebut diteruska dicari solusi (dega tapa meambah kedala), maka aka diperoleh solusi ag baak sekali (tidak tuggal) Hal tersebut disebabka matriks X'X adalah sigular Yag mejadi masalah dalam tulisa ii adalah bagaimaa medapatka solusi ag tidak tuggal tersebut, apakah diatara solusi tersebut dapat dipilih salah satu geeral ivers ag lebih baik dari pada solusi ag diperoleh dega memasukka kedala persamaa (6)? 42
JURNAL MATEMATKA DAN KOMPUTER Vol 5 No, 39-46, April 22, SSN : 4-858 2 MATRKS GENERAL NVERS Misalka X adalah suatu matriks Matriks X dikataka geeral ivers dari matriks sebarag A, jika dipeuhi persamaa AXA = A, dega otasi ditulis X=A - Sifat-sifat ag berlaku pada matriks geeral ivers: - utuk matriks tak sigular, matriks A - sama dega matriks ivers - setiap matriks sebarag A dega ordo mx maka A - pasti ada - (A - ) - = A Utuk memperoleh matriks geeral dapat ditempuh dega cara melakuka operasi baris elemeter da operasi kolom elemeter (Searle, 97) Misalka A matriks sebarag berordo mx, pasti mempuai rak r (dimaa r<<m) Maka pasti ada matriks o sigular P da Q sedemikia higga berlaku PAQ = r dimaa P da Q adalah hasil gada matriks elemeter Jadi dapat diperoleh A = P - r Q - r U, dega megambil X =Q P dega U,V,W VW sebarag matriks ag sesuai Dapat ditujukka berlaku AXA =A Jadi X = A - Dega demikia aka diperoleh solusi ag baak sekali dega memilih sebarag U, V da W Atau alteratif lai, dega cara meggati semua usur -r kolom da baris dega ol, sedag usur ag lai digati dega usur matriks ivers usur ag tidak diolka (Searle,97) Dalam hal khusus matriks X'X adalah simetris, maka matriks geeral ivers dapat dicari sebagai berikut Dijami ada matriks ortogoal P sehigga berlaku: P'X'XP AA2 = dimaa A matriks persegi ag mempuai rak peuh ag sama A2A 22 dega rak matriks X'X Dega memilih A G = P P' (8) sebagai matriks geeral ivers, maka berlaku GX'XG' = G 43
Mecari Solusi Peaksir (Sukestiaro) 3 SOLUS PERSAMAAN NOMAL DENGAN MEMLH SUATU 44 GENERAL NVERS Perhatika kembali persamaa ormal (3) utuk model liier aalisis variasi Persamaa tersebut memiliki kompoe matriks X'X ag sigular Misalka geeral ivers matriks tersebut adalah G, maka solusi persamaa ormal tersebut adalah: b = G X'Y, (9) dimaa berlaku X'XGX'X = X'X Nilai harapa solusi tersebut adalah E(b) = GX'XE(Y) = GX'Xβ Sedagka varia utuk solusi tersebut adalah var(b) = var (GX'Y)= GX'var(Y)XG' = GX'XG' σ 2 Misalka G da G 2 adalah geeral ivers matriks X'X Dapat ditujukka dega mudah bahwa solusi b = G X'Y da b 2 = G 2 X'Y adalah bersifat ivaria terhadap pemiliha matriks geeral iversa Artia Xb = Xb 2 atau XG X'=XG 2 X' (Sukestiaro, 99) Utuk matriks sigular X'X, dega memilih matriks geeral ivers G = D{/ aka diperoleh peaksir parameter b=gx'y dega total var(b) = / i i } i= () Apabila kita perhatika solusi peaksir (7) ag diperoleh dega memasukka kedala, aki b = (, -, - )', bila dihitug aka mempuai total var(b)= / + / i Dalam hal ii total varia peaksir dega pegambila i= matriks geeral ivers() lebih kecil dari total varias peaksir dega memasukka kedala Dega perkataa lai peaksir dega pegambila matriks geeral ivers () lebih baik dari pada peaksir ag diperoleh dega memasukka kedala (3) Utuk memperjelas permasalaha tersebut di atas diberika cotoh pegguaa sebagai berikut :
JURNAL MATEMATKA DAN KOMPUTER Vol 5 No, 39-46, April 22, SSN : 4-858 Cotoh aka membadigka suatu metode diajarka oleh 4 orag guru Setelah dilakuka tes diperoleh ilai sebagai berikut : Guru A B C D Siswa 8 7 8 2 Siswa 2 6 9 Siswa 3 2 8 9 Siswa 4 7 Apakah ada perbedaa dari ke 4 guru tersebut terhadap pegajaraa dilakuka uji aalisis varia Dega meusu dalam betuk matriks diperoleh: Y = ( 8 6 7 2 9 9)' 4 3 X'X = 4 4 3 3 3 4 4 4 4 3 3 X'Y = 36 34 38 34 3 Dega memasukka kedala 3β + 4β 2 + 4β 3 + 3β 4 =, diperoleh: b = (9-5 -5 ) ' dega Total varia (b ) = /4 + /3 +/4 +/4 +/3 Apabila kita memilih matriks geeral ivers: G = / 3 / 4 / 4, / 3 maka aka diperoleh b 2 = ( 33 95 85 )' dega Total varia (b 2 ) = + /3 +/4 +/4 +/3 45
Mecari Solusi Peaksir (Sukestiaro) 4 PENUTUP Berdasarka iformasi seperti tersebut di atas dapatlah disumpulka bahwa permasalaha mecari solusi persamaa ormal pada aalisis variasi dega cara memasukka suatu kedala agar diperoleh solusi ag tuggal, karea dalam persamaa tersebut megadug matriks ag sigular Dega melajutka mecari mecari solusi persamaa ormal ag megadug matriks sigular tersebut aki dega memeraka matriks geeral ivers aka diperoleh solusi ag tak higga jumlaha (tidak uik) Dega memilih matriks geeral ivers dimaa usur-usura adalah ol kecuali usur diagoal utama mulai dari baris kedua adalah / i, i=,2, dimaa i adalah baaka usur tiap kelompok, aka memberika peaksir ag lebih baik dari pada peaksir ag diperoleh dega memasukka kedala DAFTAR PURTAKA Draper N, Smith H, Applied Regressio Aalssis, Joh Wile & Sos, New York, 966 2 Searle SR, Liear Models, Joh Wile & Sos, New York, 97 3 Sembirig K, Aalisa Regresi, Percetaka TB Badug, 989 4 Sukestiaro, Peaksira da Uji Hipotesis pada Model Liier Rak Peuh da Rak tak Peuh, Thesis, TB Badug, 99 46