HIMPUNN da OPERSINY 1. HIMPUNN 1.1 Pedahulua da Notasi 1.2 Cardiality 1.3 Power Set 1.4 Cartesia Products. Pegertia :Himpua adalah kumpula eleme yag tak beratura. Cotoh. {1, 2, 3} adl himpua yag memuat 1 da 2 da 3. {1, 1, 2, 3, 3} = {1, 2, 3} kr pegulaga tidak petig. {1, 2, 3} = {3, 2, 1} kr himpua tidak beruruta. {0,1, 2, 3, } adl himpua bilaga asli tak terbatas. = {} adl himpua kosog, karea tidak mmpuyai eleme. Catata: { } x S artiya x adl sebuah eleme dalam himpua S. x S artiya x buka sebuah eleme dalam himpua S. artiya adl himpua bagia (subset) dari. atau, megadug. atau, setiap eleme juga terdapat dalam. atau, x ((x ) (x )). Diagram Ve
artiya adl himpua bagia dari. artiya adl superset dari. = jika da haya jika da mempuyai eleme yag tepat sama iff, da iff, da iff, x ((x ) (x )). Utuk meujukka kesamaa himp da, tujukka: artiya adl himpua bagia layak dari.,, da. x ((x ) (x )) x ((x ) (x )) Cotoh: {1,2,3} {1,2,3,4,5} {1,2,3} {1,2,3,4,5} Is {1,2,3}? Is {1,2,3}? Ya! x (x ) (x {1,2,3}) terpeuhi, kr (x ) tidak bear. Is {,1,2,3}? Is {,1,2,3}? Tidak! Ya! Ya! Quiz time: pakah {x}{ {x}? pakah {x} {x,{x}}? pakah {x} {x,{x}}? pakah {x} {x}? Ya Ya Ya Tidak
Medefiisika Himpua Explicit: {Joh, Paul, George, Rigo} Implicit: {1,2,3, }, atau {2,3,5,7,11,13,17, } Pembagu Himpua: { x : x adl bil prima }, { x x adl bil gajil }. Umum { x : P(x)}, dimaa P(x) ) adl semacam sebuta. Medefiisika Himpua Cot. Jika D(x,y) merupaka sebuta= x bisa dibagi oleh y da P(x) merupaka sebuta Maka y ((y > 1) (y < x)) D(x,y) { x : y ((y > 1) (y < x)) D(x,y) }. adl himpua semua bil prima 1.2 Kardialitas (Cardiality) Jika S terbatas, maka cardiality dari S,, S,, adl bayakya eleme berbeda dalam S. S = {1,2,3} S = 3. S = {3,3,3,3,3} S = S = 0. S = {, { }, {,{ }} } S = {0,1,2,3, }, S terbatas S = 1. S = 3. 1.3 Power sets If S is a set, the the power set of S is P(S) = 2 S = { x : x S }. If S = {a} If S = {a,b} If S = If S = {,{ }} 2 S = {, {a}}. 2 S = { }. We say, P(S) is the set of all subsets of S. 2 S = {, {a}, {b}, {a,b}}. 2 S = {, { }, {{ }}, {,{ }}}. Fact: if S is fiite, 2 S = 2 S. (if S =, 2 S = 2 )
1.4 Perkalia Kartesia Perkalia Cartesia dari dua himpua da adl: = { (a,( b) : a b } Jika = {Charlie, Lucy, Lius}, da = {row, VaPelt}, maka = {(Charlie, row), (Lucy, row), (Lius, row), (Charlie, VaPelt), VaPelt)} (Lucy, VaPelt), (Lius, 2. Operasi pada Himpua 2.1 Pedahulua 2.2 Idetitas Himpua 2.3 Operasi umum pada himpua 2.4 Represetasi Computer terhadap himpua 1 2 = = {(a 1, a 2,, a ): a 1 1, a 2 2,, a }, terbatas = 2.1 Pedahulua Gabuga (uio) dari dua himpua da adl: = { x : x x } Jika = {Charlie, Lucy, Lius}, da = {Lucy, Desi}, maka 2.1 Pedahulua Irisa (itersectio) dari dua himpua da adl: = { x : x x } Jika = {Charlie, Lucy, Lius}, da = {Lucy, Desi}, maka = {Lucy} = {Charlie, Lucy, Lius, Desi}
2.1 Pedahulua Irisa dari dua himpua da adl: = { x : x x } 2.1 Pedahlua Kompleme (complemet) dari himpua adl: { x : x } Jika = {x : x adl preside Idoesia}, da = {x : x sesiapa dalam ruaga ii}, maka = {x : x adl pres. Id dlm ruaga ii} = Himpua yg irisaya kosog disebut himp. lepas If = {x : x tdk diarsir}, maka ={x: x yag diarsir} U = U da U = 2.1 Pedahulua eda Simetri (symmetric differece),, adl: = { x : (x( x ) (x x )} = ( ) ( ) = { x : x x } U 2.2 Himpua Idetitas Idetitas Domiasi U = = U = U = Idempotet = =
2.2 Himpua Idetitas Excluded Middle Uiqueess Double complemet U 2.2 Himpua Idetitas Commutatif = = = ssociatif ( ) C = ( C) ( ) C = ( C) Distributif ( C) ) = (( ) ( C) ( C) ) = (( ) ( C) 2.2 Set Idetities 4 cara membuktika idetitas DeMorga s I perlihatka bhw da bhw. DeMorga s II Guaka tabel aggota. Guaka bukti idetitas sebelumya. Guaka persamaa logika.
4 cara membuktika idetitas Prove that x x x x x x x 4 cara membuktika idetitas Prove that Megguaka tabel aggota 0 : x terdapat dalam himpua yg disebut 1 : laiya 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 4 cara membuktika idetitas Prove that Megguaka persamaa logika ( ) = {x : (x x )} = {x : (x ) (x )} = {x : (x ) (x )} = 4 cara membuktika idetitas Prove that ( C) ( C ) Megguaka idetitas yag telah dibuktika ( C) ( C) ( C ) ( C ) ( C )
2.3 Operasi Umum pd Himpua Gabuga Umum i = 1 2 i=1 ={x : x 1 x 2 x } i 1 i 1 Irisa Umum 2 { x : x 1 x 2 cotoh. Jika U = N, da: x } cotoh. Jika U = N, da: Maka i = {i,i 1,i 2,...}={1,2,3,...} i=1 i ={i, i+1, i+2, } i=1 Maka i i 1 i ={i, i+1, i+2, } {, 1, 2,...} 2.4 Represetasi Computer Diberika U = {x 1, x 2,, x }, da pilih sebarag eleme U, misal x 1, x 2,, x Jika U. Maka bit strig represetatio dari adl the bit strig dg pajag : a 1 a 2 a sdh a i =1 jika x i, da 0 utuk laiya. Cot. Jika U = {x 1, x 2,, x 6 }, da = {x 1, x 3, x 5, x 6 }, maka bit strig represetatio dari adl (101011) Himpua sbg bit strigs cot. Jika U = {x 1, x 2,, x 6 }, = {x 1, x 3, x 5, x 6 }, da = {x 2, x 3, x 6 }. Maka cara medapatka da adl sbb: it-wise OR it-wise ND 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1