JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat mucul kembali membetuk proses pembahaurua. Proses pembaharua adalah proses meghitug dega variabel acakya berilai itejer da kejadiaya dapat terulag lagi. Pada proses pembaharua aka mucul waktu berheti, yaitu waktu suatu proses selesai da disambug dega proses yag baru berikutya. Distribusi waktu berheti merupaka selisih kovolusi dari distribusiya. Meurut persamaa Wald bahwa ilai harapa waktu berheti sama dega ekspektasi waktu tuggu dibagi dega rataaya. Sedagka persamaa Wald dapat dipakai bilamaa rataaya berhigga. Kata kuci : Proses pembaharua, Waktu berheti, Persamaa Wald.. PEDAHULUA Serig dijumpai dalam kehidupa sehari-hari adaya proses atria. Cotohya pada Bak, Jala Tol, Swalaya, da sebagaiya. Dalam proses atria terdapat orag yag megatri. Hal pokok yag perlu diperhatika dalam proses atria da khususya yag berhubuga dega proses pembaharua adalah waktu atar kedataga da waktu tuggu pegatri. Dalam Ross (997), dikataka bahwa waktu atar kedataga merupaka variabel acak berdistribusi idetik ekspoesial da salig bebas yag mempuyai rataa /λ. Sedagka waktu tuggu adalah berdistribusi gamma dega parameter da λ. Pada proses Poisso diyataka bahwa waktu atar kedataga merupaka variabel acak salig bebas da berdistribusi idetik ekspoesial (Ross, 996). Masalah ii aka dikembagka utuk proses pembaharua, yaitu proses meghitug dega waktu atar kedataga salig bebas da berdistribusi idetik, tetapi utuk sembarag distribusi. Proses pembaharua merupaka proses 77
Distribusi Waktu Berheti (Sudaro) stokhastik yag maa distribusiya sembarag da terdapat pembaharua setelah terjadi waktu berheti. 78 Tujua dari tulisa ii adalah utuk megetahui distribusi waktu berheti da ilai harapa waktu berheti utuk suatu proses stokhastik. Sehigga waktu berheti dari suatu proses stokhastik aka dapat ditaksir.. HUKUM KUAT BLAGA BESAR DA KOVOLUS Hukum kuat bilaga besar merupaka teorema peluag, yag meyataka bahwa rata-rata barisa dari variabel acak yag berdistribusi sama, dega peluag aka koverge ke rataa dari distribusi tersebut. Secara formal ditulis sebagai berikut: Jika, adalah barisa variabel acak berdistribusi idetik da salig bebas + + + dega rataa µ, maka P lim µ. Sedagka misal da Y adalah variabel radom yag salig bebas, masig-masig berdistribusi F da G. Maka distribusi + Y yag diyataka dega F*G, disebut kovolusi dari F da G diberika dega ( F * G)( a) + Y a} + Y a Y y} dg( y) P { + y a} Y y} dg( y) F( a y) dg( y). otasi F*F ditulis dega F, sehigga secara umum dapat diyataka bahwa F*F - F yag merupaka kovolusi kali dari F dega diriya sediri, yaitu distribusi jumlah dari variabel radom salig bebas masig-masig berdistribusi F. 3. DSTRBUS WAKTU BERHET Misal {,,, } merupaka barisa variabel acak oegatif salig bebas berdistribusi F. Aggap F ( 0) P{ 0} <. Diiterpretasika bahwa sebagai waktu atara kejadia ke-(-) da ke-. Misal
JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 0 µ ] x df( x) meyataka rataa waktu atar kejadia yag berturuta da diasumsika bahwa 0 da F ( 0) <, maka 0 < µ. Dega megambil S 0, 0 S i, i, maka S adalah waktu kejadia ke-. Karea bayakya kejadia sampai waktu t aka sama dega ilai terbesar sedemikia higga kejadia ke- terjadi sebelum atau pada waktu t, maka yaitu bayakya kejadia sampai waktu t, diberika dega Defiisi sup { : S t}. () Proses meghitug { (, t 0} disebut proses pembaharua. Dalam proses meghitug, istilah kejadia sama dega pembaharua. Sehigga dapat dikataka bahwa pembaharua ke- terjadi pada waktu S. Apakah tak higga bayak pembaharua dapat terjadi dalam waktu yag berhigga? Utuk meujukka bahwa ii tidak mugki terjadi, dega megguaka hukum kuat bilaga besar, bahwa dega peluag, S µ utuk. Tetapi karea µ > 0, ii berarti bahwa S harus meuju tak higga utuk meuju tak higga. Dega demikia S dapat kurag dari atau sama dega t utuk palig bayak sejumlah berhigga ilai dari. Makaya, meurut (), harus berhigga, da dapat ditulis mak{ : S t}. Distribusi dapat diperoleh dega memperhatika hubuga bahwa bayakya pembaharua sampai dega waktu t lebih besar atau sama dega 79
Distribusi Waktu Berheti (Sudaro) jika da haya jika pembaharua ke- terjadi sebelum atau pada waktu t. Peryataa ii dapat ditulis dega S t () Meurut () diperoleh P { } } P{ + } S t} P{ S + t}. (3) Karea variabel acak i, i i, adalah salig bebas da berdistribusi F, maka S i i adalah berdistribusi F, yag merupaka kovolusi -kali F dega diriya sediri. Oleh sebab itu, meurut (3) didapat P { ( t ) } F ( t ) F ( t ). + Jika m ( ], maka m( disebut fugsi pembaharua. Hubuga atara m( da F diberika oleh proposisi berikut ii. Proposisi m ( Bukti : F (. Ambil (, dega Sehigga,, jika pembaharua ke - terjadi dalam[0, t], 0, yag laiya. ] ] Karea adalah oegatif. P{ } P{ S t} ] F ( Utuk proposisi berikut ii meujukka bahwa mempuyai ilai harapa yag berhigga. 80
JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 Proposisi Bukti : m ( <, utuk semua 0 t <. Karea P { 0} <, maka meurut sifat kotiuitas dari peluag bahwa terdapat α > 0 sedemikia higga P { α} > 0. Selajutya didefiisika proses pembaharua yag berhubuga dega masalah ii, yaitu {, } dega 0, jika α, jika < α α, da misal ( sup{ : + + t}. Maka utuk proses tersebut, pembaharua haya terjadi pada waktu t α, 0,,,, da juga bayakya pembaharua pada tiap-tiap waktu merupaka variabel acak berdistribusi geometrik yag salig bebas dega rataa. P{ α} Sehigga t / α + E [ ( ] <, karea yag berarti (. Jika P{ α} diambil harga ekspektasiya, maka E [ ] ( ] <. Selajutya aka dibahas teorema limit tetag itesitas proses pembaharua da persamaa Wald. Misal ) lim meyataka bayakya keseluruha pembaharua yag t terjadi, maka ( ), dega peluag. Karea bayakya keseluruha pembaharua yag terjadi dapat berhigga utuk waktu atar kedataga tak higga. Oleh karea itu, P{ ) < } utuk suatu } P { } P [ } 0. Dega demikia euju tak higga utuk t meuju tak higga. Aka dicari itesitas dari proses pembaharua pada saat meuju tak higga, yaitu lim, dalam proposisi berikut. t t 8
Distribusi Waktu Berheti (Sudaro) Proposisi 3 Dega peluag, utuk t. t µ Bukti : Karea S t < S, maka ( ( + S ( t S ( + < (4) Karea S ( t ) / adalah rataa waktu atar kedataga pertama, maka meurut hukum kuat bilaga besar bahwa S ( t ) / µ utuk (. Karea S ( t ) ( bila t, maka µ utuk t. Lebih lajut, dega meulis S ( + S ( + +, dega alasa yag + S ( t ) + sama didapat µ utuk t. Sehigga meurut (4), t/ diapit oleh dua bilaga yag koverge ke µ utuk t. Maka utuk t. t µ Cotoh Suatu kotak berisi tak higga koi. Setiap koi jika dilemparka mempuyai peluag utuk mucul gambar. ilai dari peluag merupaka variabel acak yag salig bebas berdistribusi seragam atas (0,). Jika koi-koi tersebut dilemparka terus-meerus, bagaimaa prosesya memaksimalka peluag mucul gambar, utuk waktu yag lama? Peyelesaia : Misal ) meyataka bayakya mucul agka dalam lempara pertama. Sehigga peluag jagka pajag mucul gambar, disebut P h, diberika dega P h ) ) lim lim. Caraya dega megambil koi terus dilemparka, demikia seterusya sampai mucul agka. Jika sudah demikia, maka koi-koi itu dibuag da utuk proses 8
JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 selajutya dega megambil koi-koi yag baru. Proses diulag terusmeerus. Utuk meetuka P h dega cara ii, maka waktu koi dilemparka sampai mucul agka aka membetuk pembaharua. Sehigga, meurut Proposisi 3, ) lim / bayakya lempara atara mucul agka yag beruruta]. Jika diberika peluag mucul gambar adalah p, maka bayakya lempara koi sampai mucul agka merupaka distribusi geometric dega rataa /(-p). Jadi, bayakya lempara diatara mucul agka yag beruruta] ) dp, yag berarti, dega peluag, lim 0. Sehigga peluag p 0 utuk jagka pajag mucul gambar sama dega. Dega demikia Proposisi 3 meyataka bahwa dega peluag, itesitas jagka pajag yag maa pembaharua terjadi aka sama dega /µ. Utuk alasa ii /µ disebut itesitas proses pembaharua. Misal, meyataka barisa variabel acak salig bebas. Aka disajika defiisi berikut ii. Defiisi Variabel acak berilai itejer disebut waktu berheti utuk barisa, jika kejadia { } adalah salig bebas dari,, utuk semua,. + + Secara ituitif, memperlihatka barisa terurut da meyataka bayakya pegamata sebelum proses berheti. Jika, maka proses berheti sesudah pegamata, da sebelum pegamata,,. + + Teorema (Persamaa Wald) Jika, adalah variabel acak salig bebas da berdistribusi idetik yag mempuyai ekspektasi berhigga, da jika adalah waktu berheti utuk, sedemikia higga E [ ] <, maka E ] ]. 83
Distribusi Waktu Berheti (Sudaro) Bukti : Dega megambil, jika 0, jika <, didapat. Sehigga E E ]. (5) Tetapi, jika da haya jika proses belum berheti sesudah pegamata beruruta,,. Oleh sebab itu, ditetuka dega, da dega demikia salig bebas dari. Meurut (5), diperoleh E ] ] ] ] P{ } ] ]. ] Cotoh Misal,,,, adalah salig bebas sedemikia higga P{ 0} },,. Jika diambil mi{ : + + 0}, maka adalah waktu berheti. dapat dipadag sebagai waktu berheti dari suatu percobaa melempar koi secara jujur da berheti bilamaa jumlah gambar yag mucul telah mecapai 0. Meurut Persamaa Wald didapat + + ] ]. Tetapi, + + 0, meurut defiisi dari. Sehigga ] 0. Cotoh 3 Misal,,,, adalah salig bebas sedemikia higga P { } }. Maka mi{ : + + } adalah waktu berheti. i dapat dipadag sebagai waktu berheti utuk pemai yag tiap-tiap pemai berkemugkia sama utuk meag atau kalah uit da memutuska berheti bermai bilamaa meag uit. Meurut Persamaa Wald 84
JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 meghasilka + + ] ] ]. Tetapi, + da ] + 0. Sehigga kotradiksi. Dega demikia Persamaa Wald tidak berlaku, utuk ]. 4. KESMPULA Distribusi waktu berheti merupaka selisih kovolusi dari distribusiya. Fugsi pembaharua berhigga utuk waktu yag berhigga. Sedagka itesitas proses pembaharua aka koverge berbadig terbalik dega rataya utuk waktu jagka pajag. Meurut persamaa Wald bahwa ilai harapa waktu berheti sama dega ekspektasi waktu tuggu dibagi dega rataaya. Sedagka persamaa Wald dapat dipakai bilamaa rataaya berhigga. DAFTAR PUSTAKA. Feller, S., A troductio to Probability Theory ad ts Applicatios, Volume, Joh Wiley & Sos, c., ew York, 966.. Karli, S. ad H. Taylor, A First Course i Stochastic Processes, Secod Editio, Academic, ew York, 975. 3. Ross, S.M., troductio to Probability Models, Sixth Editio, Academic Press, ew York, 997. 4. Ross, S.M., Stochastic Processes, Secod Editio, Joh Wiley & Sos, c., ew York, 996. 5. Tijms, H.C., Stochastic Models, A Algorithmic Approach, Joh Wiley & Sos, c., ew York, 994. 85