Bab III : Lingkaran 30 Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik ang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Jarak ang sama itu disebut jari-jari sedangkan titik tetap dinamakan pusat lingkaran 3.. PERSAMAAN LINGKARAN YANG BERPUSAT DI O(0,0) P(,) searah pada O r P(,) Sb. X OP = OP' + + = r Contoh : PP' Persamaan Lngkaran ang berpusat di O Persamaan lingkaran ang berpusat O (0, 0) dan jari jari 5 adalah + = 5 3.. PERSAMAAN LINGKARAN YANG BERPUSAT DI (a,b) PA PB AB P(,) r = ( a) + ( b) b r M(a,b) Persamaan Lingkaran ang berpusat di (a,b) Sb. X a 3.3.PERSAMAAN UMUM LINGKARAN ( a) + ( b) = r a + a + b + b r = 0 + a b + (a + b r ) = 0 Persamaan umum lingkaran adalah + + A + B + C = 0 Karena : A = - a a = B = - b b = A B C = a + b r r = a + b C B : Turmudi E-mail : toermoed@ahoo.co.id blog: www.toermoed.wordpress.com
3 Geometri Analitik Datar dan Ruang Maka : Pusat lingkaran P ( A, B ) Koordinat titik Pusat Lingkaran dengan persamaan + + A + B + C = 0 Jari-jari lingkaran r = r = r = a b C A B C 4 A 4 B C Jarr-jari Lingkaran dengan persamaan + + A + B + C = 0 Beberapa kemungkinan untuk jari-jari r :. Jika A B C > 0, maka lingkaran itu real 4 4. Jika A B C = 0, maka lingkaran itu berupa titik 4 4 3. Jika A B C < 0, maka lingkaran itu imajiner. artina pusatna ada dan nata, tetapi 4 4 lingkaran itu haal karena r negatif sehingga tidak ada titik real Peninjauan persamaan lingkaran + + A + B + C = 0 :. Jika A = 0 maka persamaan lingkaran menjadi + + B + C = 0, sehingga pusat lingkaran terletak pada sumbu Y atau P (0, - ½ B). Jika B = 0 maka persamaan lingkaran menjadi + + A + C = 0, sehingga pusat lingkaran terletak pada sumbu X atau P (- ½ A, 0) 3. Jika C = 0 maka persamaan lingkaran menjadi + + A + B = 0, sehingga lingkaran melalui (0, 0) Contoh 7: Tentukan persamaan lingkaran ang berpusat di (,) dengan r = 0! Penelesaian : ( a) + ( b) = r, pusat (,), r = 0 ( ) + ( ) = 0 + + 4 + 4 = 00 + 4 5 00 = 0 Persamaan lingkaran + 4 5 00 = 0
Bab III : Lingkaran 3 3.4.PERSAMAAN PARAMETER LINGKARAN. Persamaan parameter lingkaran + = r P(-,) P - r Sb. X = sudut ang dibetuk terhadap sumbu OP = r = jari-jari lingkaran + = r cos = r cos r sin = r sin r = r cos = r sin Persamaan Parameter lingkaran + = r. Persamaan Parameter Lingkaran ( a) + ( b) = r PR = a QR = b Q(,) a = r cos P(a,b) T r cos r sin θ Sb. X b = r sin = a + r cos = b + r sin Persamaan Parameter lingkaran ( a) + ( b) = r 3.5.HUBUNGAN GARIS DAN LINGKARAN D < 0 D > 0 D = 0 0 Kedudukan sebah garis lingkaran ada 3 kemungkinan :. Memotong, D > 0. Meninggung, D = 0 3. Tidak memotong, D < 0 Persamaan umum garis lurus : = m + n...(i) Persamaan Lingkaran : + = r...(ii) B : Turmudi E-mail : toermoed@ahoo.co.id blog: www.toermoed.wordpress.com
33 Geometri Analitik Datar dan Ruang Subs. (ii) (i) + (m + n) = r + m + mn + n - r = 0 ( + m ) +mn + (n - r ) = 0 Sehingga : D = (mn) - 4 ( + m) (n - r ) Sarat : D = 0, garis meninggung lingkaran D > 0, garis memotong lingkaran D < 0, garis tidak memotong lingkaran 3.6.PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN. Persamaan Garis Singgung P(, ) pada Lingkaran dengan Pusat O ( + = r) P( ) Persamaan garis singgung di titik P(, ) dengan pusat O Sb. X g Misal : garis g meninggung di titik P(, ) OP g mop = tg mop = = mg ( ) = ( ) = + + = + + = r sarat mop mop mg g mg = -. Persamaan Garis Singgung di P(, ) pada Berpusat (a, b) P(, ) Misalkan g meninggung di titik P(, ) OP g mop = b a - b mop g a (a,b) - a Sb. X mop mg b mg = a b
Bab III : Lingkaran 34 = a ( ) b ( ) ( - b) = ( a) ( ) dengan menguraikan sendiri akan diperoleh a + a + a + b b + b = - a + a + b + b ( - a) ( a) + ( b) ( b) = ( a) + ( b) ( a) ( a) + ( b) ( b) = r Persamaan garis singgung di P(, ) pada ( a) + ( - b) = r Analog : Persamaan garis singgung pada lingkaran + + A + B + C = 0 + + A( + ) + B( + ) + C = 0 3. Persamaan Gari Singgung dengan Gradien m Sb. X Misal : persamaan garis singgung dengan gradien m = m + n..() + = r..() + = r + (m + n) = r +m +mn + n = r (+ m ) + mn + ( n r ) = 0..(3) sarat meninggung D = 0 b 4ac = 0 (mn) 4 ( + m ). (n r ) = 0 4m n 4 (n r + m n m r ) = 0 m n 4n + 4r 4m n + 4m n = 0-4n + 4r + 4m r = 0 : 4 - n + r + m n = 0 n = r + m r n = r ( + m ) n = r.( m ) m = r ( m ) Sehingga : = m r ( m ) Persamaan garis singgung pada lingkaran + = r dengan gradien m Analog : Persamaan garis singgung pada lingkaran( a) + ( b) = r dengan gradien m adalah b = m ( a) r ( m ) B : Turmudi E-mail : toermoed@ahoo.co.id blog: www.toermoed.wordpress.com
35 Geometri Analitik Datar dan Ruang Contoh 8 : Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran + = 5 di titik ang a) Ber-absis 4 b) Ber-ordinat 4 Penelesaian : a) Ber-absis 4 = 4 memenuhi + = 5 ( 4) + = 5 6 + = 5 = 9 = 3 Persamaan garis singgung pada + = 5 adalah + = r aitu, b) Ber-ordinat 4 4 3 5 dan 4 3 5 = 4 memenuhi + = 5 + (4) = 5 + 6 = 5 = 9 = 3 Persamaan garis singgung pada + = 5 adalah + = r aitu, 3 4 5 dan 3 4 5 3.7. PERSAMAAN GARIS KUTUB (GARIS POLAR) Jika titik P( o, o ) di luar lingkaran + = 0, maka dapat ditarik dua garis singgung melalui titik- titik S (, ) dan S (, ) Kedua persamaan garis singgung itu adalah S S S PS : + = r S PS : + = r O karena kedua garis singgung tersebut melalui titik P( 0, 0 ) maka berlaku bahwa S PS : 0 + 0 = r dan 0 + 0 = r S PS : 0 + 0 = r Dari dua persamaan diatas, dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat titik S dan S memenuhi persamaan : Dan berarti juga bahwa persamaan garis itu melalui titik singgung S dan S, hal itu biasa disebut tali busur singgung dari titik P.
Bab III : Lingkaran 36 Jika diperhatikan persamaan tali busur singgung tersebut bentukna sama dengan persamaan garis singgung, jika titik P sebagai titik singgungna. Tanpa memperhatikan letak titik P, di dalam, di luar, atau pada lingkaran, maka persamaan 0 + 0 = r dinamakan persamaan garis kutub di P( 0, 0 ) terhadap lingkaran + =r Analog (dengan cara ang mirip / sama), maka kita dapat menentukan persamaan garis kutub (garis polar) titik P( 0, 0 ) terhadap lingkaran ( a) ( b) = r Yaitu : ( 0 a) ( - a) + ( 0 b) ( b) = r Sedangkan persamaan garis kutub di titik P( 0, 0 ) terhadap lingkaran + + A + B + C = 0 aitu: 0 + 0 + A( + 0 ) + B( + 0 ) + C = 0 Dari penelesaian dengan menggunakan rumus-rumus di atas, dapat disimpulkan bahwa :. Jika titik P diluar, maka garis kutubna berupa tali busur singgung. Jika titik P pada, maka garis kutubna merupakan garis singgung lingkaran 3. Jika titik P dalam, maka garis kutubna tidak memotong Contoh 9 : ) Buatlah persamaan garis singgung dari titik (, 3) pada lingkaran 4 8 0! Penelesaian: Dari 4 8 0, diperoleh pusatna A, B 4, ( 8) (,4) dan Jari-jari :l r = 4 A 4 B C = 46 4 64 0 40 Kita periksa dulu apakah titik (, 3) di luar, di dalam, atau pada lingkaran 3 4 8 3 0 9 4 4 0 0 0, berarti titik (, 3) diluar lingkaran, ini berakibat ada dua garis singgung ang dapat ditaksir dari titik (, 3) segingga meninggung lingkaran tersebut. Persamaan garis kutub dari titik (, 3) ( )( ) ( 4)( 3 4) 40 ( ) + ( 4) (-7) = 40 + 7 + 8 40 = 0 7 0 = 0 atau = 7 + 0 = 7 + 0 memotong pada lingkaran 4 8 0 7 0 4(7 0) 8 0 0 + 49 + 40 + 00 + 8 + 40 8 0 = 0 50 + 60 + 0 = 0 B : Turmudi E-mail : toermoed@ahoo.co.id blog: www.toermoed.wordpress.com
37 Geometri Analitik Datar dan Ruang untuk = 5 + 6 + = 0 (5 + 6) ( + ) = 0 = 6 atau = 5 6 = 7 + 0 5 6 = 7 + 0 5 = = 5 8 4 + 0 5 Untuk = = 7 + 0 = 7 (-) + 0 = -4 + 0 8 6 S, 5 5 = -4 S 4, 8 Jadi persamaan garis singgung ang melalui S, 6 adalah 5 5 ( a) ( - a) + ( b) ( b) = r 8 5 6 5 4 4 40 8 36 6 04 40 0 5 5 5 5 9 6 + 36 + 04 00 = 0 9 3 30 = 0 Persamaan garis singgung ang melalui S 4, ( a) ( - a) + ( b) ( b) = r ( + ) (- 4 + ) + ( 4) (- 4) = 40 ( + ) (-) + ( 4) (-6) = 40-4 6 + 4 40 = 0-6 0 = 0 (-/) + 3 + 0 = 0
Bab III : Lingkaran 38 ) Tentukanlah persamaan garis singgung dari lingkaran + 4 + 6 = 0 ang melalui titik (5,)! Penelesaian : Kita periksa dulu apakah titik (5,) di luar, di dalam atau pada lingkaran + 4 + 6 = 0 5 + 4 (5) + 6 () = 5 + 0 + 6 = 0, berarti titik (5,) pada Jadi, garis kutub = garis singgung lingkaran itu sendiri, aitu ; + + A( + ) + B( + ) + C = 0 5 + + (-4)(+5) + (6) ( +) = 0 5 + + 3-0 + 3 = 0 3 + 4 9 = 0 3) Tentukan persamaan garis kutub titik P(,3) terhadap lingkaran + 4 + 6 = 0 selidiki apakah garis kutub itu memotong, meninggung atau tidak memotong! Penelesaian: Persamaan garis kutubna : A B C 0 0 0 0 0 3 ( )( ) ( 6)( 3) 0 0 ( ) 3( 3) 9 0 0 8 0 4 0 Untuk menelidiki apakah garis kutub itu memotong, meninggung atau tidak memoong, cukup dengan P(,3), 3 6(3) 0 9 8 0 6 0 Titik P(,3) di dalam lingkaran, berati garis kutub tidak memotong lingkaran itu B : Turmudi E-mail : toermoed@ahoo.co.id blog: www.toermoed.wordpress.com
39 Geometri Analitik Datar dan Ruang 4) Jika diketahui garis kutubna terhadap lingkaran + 4 + 6 + 5 = 0 adalah 0. Tentukan titik kutubna! Penelesaian : Misalkan titik kutubna,, maka persamaan garis kutub terhadap lingkaran tersebut adalah : A B C 0 3 5 0 3 3 5 0, Garis ang diperoleh ini berhimpit dengan garis 0, sehingga 3 3 5 atau 4 3 4 3 4 3 7 9 3 6 5 3 3 8 8 7 () 7 5 9 Titik kutub ang di cari adalah (, 5) * KUASA DAN PANJANG GARIS SINGGUNG C B O A M(a,b) B C D P P(, ) Harga hasil kali ang tetap disebut kuasa titik P terhadap M, Yaitu : PA = PM PA = K AM = ( a) + ( b ) r K = ( a) + ( b) - r D Jadi panjang PA = K, atau jika persamaan lingkaranna + +A + B + C = 0, maka kuasa titik P(, ) terhadap itu adalah hasil ang tetap aitu ; PA = PC. PC = PM r) PM r)
Bab III : Lingkaran 40 = PM - r = ( a) + ( b) - r Ingat : a = - A b = - B r = 4 A + 4 B C Jari-Jari Lingkaran dengan persamaan lingkaran + +A + B + C = 0 PA K = ( + A) + ( + B) r = + + A + B + C Jadi kuasa titik P(, ) pada + +A + B + C = 0 adalah + + A + B + C dan panjang garis singgungna PA = K Catatan :. Jika titik P di luar lingkaran, maka harga K positif (K > 0). Jika titik P pada lingkaran, maka K = 0 3. Jika P di dalam lingkaran, maka K < 0 (K negatif) Contoh 0 : ) Tentukan garis kuasa dan panjang dari titik P(,) pada lingkaran: + + 4 + = 0 penelesaian K = + + 4 + = + () + 4 ()+ = 5 4 +5 =6 Panjangna P = 6 ) Tentukan kuasa dan panjangna dari titik A(,4) pada lingkaran ang berpusat (, ) dan jari-jari 5! Penelesaian Kuasa titik P(,4) terhadap 5 adalah K = 5 = 4 5 = 9 + 5 5 = 9 panjangna = 3 B : Turmudi E-mail : toermoed@ahoo.co.id blog: www.toermoed.wordpress.com
4 Geometri Analitik Datar dan Ruang * GARIS KUASA Garis kuasa adalah tempat kedudukan titik ang berkuasa sama terhadap dua lingkaran. Dengan demikian ada beberapa kemungkinan :. Jika kedua lingkaran itu berpotongan, maka garis kuasana ialah garis ang melalui kedua titik potong lingkaran itu A MN = garis sentral K = garis kuasa terhadap M dan N MN selalu terhadap garis kuasa K N M Definisi : a) Sudut antara dua lingkaran ang di apit oleh garis-garis pada lingkaran-lingkaran di titik potong kedua lingkaran itu. Jika 90 atau kedua lingkaran saling, maka berlaku MNA siku-siku di A, sehingga K MN = r M + r N b) Suatu lingkaran dapat memotong lingkaran lain sedemikian hingga menjadi dua busur ang sama, M membagi dua N, maka MNA siku-siku di N, sehingga berlaku MN = r - M r N 45 o A M N K. Jika lingkaran itu bersinggungan maka garis kuasana adalah garis singgung persekutuan antara dua lingkaran itu. a) K MN = R M + R N MN = Garis sentral N r R M Garis kuasa M dan N adalah garis singgung persekutuan dua lingkaran M dan lingkaran N
Bab III : Lingkaran 4 b) K MN = R M - r N M N r R MN = Garis sentral Contoh Tentukan nilai K, agar + 4 + 6 k = 0 membagi dua sama besar ( ) 4! Penelesaian : + 4 + 6 k = 0, berpusat di M(,-3) dengan r M ( ) 4, berpusat di N(0,), dengan jari-jari r N = 3 k Sehingga berlaku MN r M r N ( 0) + ( 3 ) = 3 k - 4 + 6 = 3 + k 4 K = - 3 + 4 + 0 =. Tentukanlah nilai K agar + + 4 k = 0 agar saling tegak lurus dengan 9 dan tentukan pula persamaan garis kedua lingkaran itu! Penelesaian : + + 4 k = 0, berpusat di M(, ) 5 K 9, berpuast di N(,0), r = 3 r m Karena 0 90 atau kedua itu saling, maka 5 3 ( ) ( 0) K + 4 = 5 + K + 9 K = 5 4 = 9 Persamaan garis sentral MN 4 MN r M r N B : Turmudi E-mail : toermoed@ahoo.co.id blog: www.toermoed.wordpress.com
43 Geometri Analitik Datar dan Ruang 3.8. PERSAMAAN GARIS KUASA Ambil persamaan M + + A + B + C = 0 N + + A + B + C = 0 misal P(, ) pada garis kuasa, kuasa P terhadap : Lingkaran M k + + A + B + C Lingkaran N k + + A + B + C P pada garis kuasa (berkuasa sama pada lingkaran M dan N) K = K K K = 0 + A + B + C + + A + B + C = 0 (A A ) + (B B ) + (C C ) = 0 atau (A - A ) + (B B ) + (C C ) = 0 Secara simbolik lingkaran M kita misalkan L = 0, lingkaran N misalkan L = 0, maka persamaan garis kuasa itu : L L = 0 Sifat garis kuasa : Garis kuasa tegak lurus terhadap sentral dari dua lingkaran itu. Contoh Tentukan garis kuasa kedua lingkaran + = 5 dan + 6 8 = 0 Penelesaian: L L = 0 L = L + 5 = + 6 8 6 + 8 4 = 0 3 + 4 7 = 0 TITIK KUASA Titik kuasa adalah titik ang berkuasa sama besar terhadap 3 buah lingkaran, jadi titik kuasa dari 3 buah lingkaran adalah titik potong dari garis-garis kuasa pada pasang-pasangan lingkaran itu. Cara melukis garis kuasa antara dua lingkaran ang terletak diluar sesamana : k B D M N Ambil sembarang lingkaran P memotong lingkaran M dititik A dan B dan memotong lingkaran N dititik C dan D Tarik garis K = lingkaran M dan lingkaran P Tarik garis K 3 = lingkaran N dan lingkaran P A P C K dan K 3 berpotongsn dititik K( aitu titik kuasa ) ang berarti titik K terletak pada garis kuasa lingkaran M dan N. Garis K ang melalui K dan tegak k k 3 lurus MN adalah garis kuasa lingkaran N.
Bab III : Lingkaran 44 3.9.BERKAS LINGKARAN Seperti halna garis : g + g = 0 berkas lingkaran berlaku demikian, Misal : L + + A + B + C = 0...(i) L + + A + B + C = 0....(ii) Misal kita ambil sembarang harga L + L = 0 + + A + B + C + ( + + A + B + C ) = 0 L3 = ( + ) + (A + A ) + (B + B ) + C + C = 0 A A B B C C + + 0..(iii) L 3 + + A 3 + B 3 + C 3 = 0......... (iv) Pada persamaan (iii) setiap harga diperoleh satu harga ang dapat dimisalkan A 3, B 3, C 3 sehingga diperoleh persamaan (iv). Persamaan (iv) merupakan hasil perpotongan antara L (A) = 0, L (A) = 0 atau L (B) = 0, L (B) = 0. Dengan kata lain, semua lingkaran ang diperoleh bersama-bersama dengan L = 0 dan L = 0 membentuk berkas lingkaran dengan rumus : L + L = 0 Catatan : Kemungkinan-kemungkinan untuk titik-titik dasar :. Jika titik dasar itu nata maka semua anggota berkas berpotongan di titik itu. Anggota-berkas ang terkecil adalah lingkaran ang berdiameter garis hubung kedua titik dasar.. Jika kedua titik dasar berimpit tentulah semua anggota dari berkas juga melalui dua titik ang berimpit itu dengan kata lain semua anggota berkas ang bersinggung di titik dasar berimpit itu 3. Jika titik dasarna khaal (lingkaran L dan L tidak bersinggungan) tentu semua anggota berkas itu tidak berpotongan. Sifat berkas lingkaran : Semua anggota berkas selalu melalui titik dasar membentuk pusat dari anggotaanggota berkas terletak pada sentral. Contoh 3 : Tentukan persamaan sebuah berkas lingkaran dengan L + + 4 4 = 0 dan L + 6 = 0, ang melalui titik (3,)! Penelesaian : A + A B B C C + 0 B : Turmudi E-mail : toermoed@ahoo.co.id blog: www.toermoed.wordpress.com
45 Geometri Analitik Datar dan Ruang 0 4 0 ( 4 6) + + 0 4 (4 6) + 0 Karena melalui (3,), maka : 4 (4 6) (3) + () 3 0 6 44 L 3 + + = 0 5 5 5 0 + 0 6 + 4 (4 + 6) = 0 0-4 6 = 0 0 - = 0 0 6 5 L 3 5 + 5 6 + 44 = 0
Bab III : Lingkaran 46 3.0. LATIHAN III. Tentukan persamaan lingkaran ang memenuhi sarat berikut : a) Berpusat di titik A(-,3) dan jari-jari! b) Melalui titik-titik P(,3) dan Q(3,) dan berpusat pada garis 3 =!. Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran + + 6 5 = 0! 3. Tentukan persamaan lingkaran melalui ketiga titik sudut segitiga ABC, dengan a) A(4,5), B(,-4), dan C(3,-)! b) A(,), B(,0), dan C(,-)! 4. Tentukan persamaan lingkaran ang berpusat di M(,6) mempunai persamaan garis singgung - =! 5. Tentukan harga m agar garis = m dan lingkaran + 0 + 6 = 0 a) Berpotongan di dua titik b) Bersinggungan c) Tidak berpotongan 6. Tentukan : a) Kuasa titik A(,3) terhadap lingkaran + = 0! b) Letak titik A(,3) terhadap lingkaran + =! 7. Tentukan sudut antara dua lingkaran + 6 + = 0 dan + 4 + 4 + 6 = 0! 8. Tentukan persamaan sebuah garis ang melalui perpotongan lingkaran L + 4 = 0, dan L + - 4 - = 0 serta : a) Melalui titik (0,) b) Sejajar dengan garis + 3 + = 0! c) Tegak lurus dengan garis = m! d) Berpusat pada garis + = 0! 9. Diketahui A(,3), B(0,-), dan C(3,0). Tentukanlah : a) Persamaan lingkaran luar ABC itu! b) Titik pusat lingkaran luar ABC itu! c) Jari-jari lingkaran tersebut! B : Turmudi E-mail : toermoed@ahoo.co.id blog: www.toermoed.wordpress.com