Geometri Analitik Bidang (Lingkaran)

Transkripsi

1 9 Geometi nalitik idang Lingkaan) li Mahmudi Juusan Pendidikan Matematika FMIP UNY) KOMPETENSI Kompetensi ang dihaapkan dikuasai mahasiswa setelah mempelajai ab ini adalah sebagai beikut. Menjelaskan pengetian lingkaan. Menentukan pesamaan umum lingkaan. Menentukan pesamaan gais singgung pada lingkaan dengan titik singgung tetentu, dengan gadien tetentu, dan dai suatu titik di lua lingkaan. Menentukan pesamaan gais kutub pada lingkaan. Menentukan titik kutub jika diketahui suatu gais dan lingkaan. Menentukan kuasa suatu titik tehadap suatu lingkaan. Menentukan pesamaan gais kuasa dua buah lingkaan. Menentukan titik kuasa pada lingkaan. Menentukan pesamaan lingkaan ang melalui titik-titik potong dua buah lingkaan dengan menggunakan konsep bekas lingkaan. Menentukan saat analitik dai elasi dua buah lingkaan ang bepotongan tegak luus dan membagi dua sama besa).

2 0. Pengetian Lingkaan Lingkaan didefinisikan sebagai himpunan titik-titik ang bejaak sama tehadap suatu titik tetentu. Dapat juga dikatakan, lingkaan adalah tempat kedudukan titik-titik ang bejaak sama tehadap suatu titik tetentu. Jaak ang sama itu disebut jai-jai lingkaan dan titik tetentu itu disebut titik pusat lingkaan. edasakan definisi itu, dapat ditentukan pesamaan lingkaan. Koodinat titik P, ) ang bejaak tehadap titik Pa, b) akan memenuhi pesamaan beikut ini. b a) ) = atau a b Dengan demikian, tempat kedudukan titik-titik ang bejaak tehadap titik Pa, b) mempunai pesamaan sebagai beikut. L: a b Ini adalah pesamaan lingkaan dengan titik pusat Pa, b) dan bejai-jai. Lingkaan dengan pusat P dan bejai-jai seing ditulis dengan LP, ). Dapat mudah dipahami bahwa pesamaan lingkaan ang bepusat di O0, 0) dan bejai-jai adalah: L: + = Ini seing disebut pesamaan pusat lingkaan.

3 . entuk Umum Pesamaan Lingkaan Dai pesamaan lingkaan dengan pusat Pa,b) dan bejai-jai, akni L: b a dipeoleh + a b + a + b = 0 ang dapat ditulis: Ini adalah bentuk umum pesamaan lingkaan. Pesamaan ini dapat juga ditulis sebagai beikut. C. Pehatikan bahwa ini adalah pesamaan lingkaan dengan pusat P, dan bejai-jai C. Dengan mempehatikan nilai ini, maka akan tedapat bebeapa kemungkinan jenis lingkaan sebagai beikut. Jika 0 C, maka lingkaanna nata Jika 0 C, maka lingkaanna imajine Jika 0 C, maka lingkaanna adalah lingkaan titik ang bejai-jai nol. L: C = 0

4 C. Pesamaan Paamete Suatu Lingkaan Y Pa, b) T, ) O X Gamba IV. Pada gamba di atas, koodinat titik T, ) ang teletak pada lingkaan dengan pusat Pa, b) dan bejai-jai akan memenuhi pesamaan beikut ini. = a + cos = b + sin Dalam hal ini, adalah suatu paamete. Dikatakan, pesamaan di atas adalah pesamaan paamete suatu lingkaan. Secaa lebih jelas, dengan mengeliminasi paamete akan dipeoleh pesamaan sebagai beikut. a b

5 3 D. Gais Singgung. Gais Singgung Pada Lingkaan dengan Titik Singgung Tetentu g Y T, ) O X Gamba IV. Misal T, ) adalah titik singgung pada lingkaan. Gais singgung g ang melalui T, ) bebentuk = m ). Kaena gais singgung ini tegak luus dengan jaijai OT, maka nilai gadien gais singgung ini adalah m. Sehingga pesamaan gais singgung ang dimaksud adalah atau.*) Kaena titik T, ) teletak pada lingkaan, maka dipenuhi. Dengan demikian pesamaan gais singgung pada lingkaan dengan titik singgung T, ) adalah: Sebagai latihan, dengan caa seupa, tunjukkan bahwa pesamaan gais singgung pada lingkaan a b dengan titik singgung T a a b b, adalah:

6 . Gais Singgung Pada lingkaan dengan Gadien ang telah ditentukan. Pesamaan gais luus dengan gadien m dinatakan dengan g: = m + n. Jika gais ini dipotongkan dengan lingkaan L: + m + n) = atau, didapat m + ) + mn + n = 0.. *) Ini adalah pesamaan kuadat dalam. Gais g akan meninggung lingkaan L: bila diskiminan pesamaan *) adalah nol, akni D = m n m ) n ) atau = n m ) = 0 n = m atau n m Dengan mensubtitusikan nilai ini ke pesamaan gais g, akan dipeoleh pesamaan gais singgung pada lingkaan L: dengan gadien m, akni: m m Sebagai latihan, dengan caa seupa, tunjukkan bahwa pesamaan gais singgung pada lingkaan a b dengan gadien m adalah: a m a) m

7 5 3. Gais Singgung dai Suatu Titik di lua lingkaan S 0, 0) T, ) Gamba IV.3 Misal titik T, ) adalah titik di lua lingkaan dan S 0, ) adalah titik singgung pada 0 lingkaan. Pesamaan gais singgung ang elalui S 0, ) adalah: i) Gais singgung ini melalui T, ), sehingga belaku ii) Kaena S 0, ) teletak pada lingkaan, maka dipenuhi iii) Dengan menelesaikan pesamaan ii) dan iii) akan didapat nilai 0 dan 0. Setelah nilai 0 dan 0 ini disubtitusikan ke pesamaan i), akan dipeoleh pesamaan gais singgung pada lingkaan dipeoleh? ang melalui titik T, ). da beapa gais singgung ang

8 6 E. Gais Kutub g g S 0, 0) O T, ) g S 0 ', 0 ') Gamba IV. Dai titik T, ) dibuat gais-gais singgung pada lingkaan L: + =. Misal titik-titik singgung pada lingkaan itu adalah S 0, 0 ) dan S singgung pada lingkaan L dengan titik-titik singgung S dan S adalah o ', 0 '. Pesamaan gais g : 0 0 dan g : 0 ' 0 ' Gais-gais singgung g dan g melalui T, ), sehingga belaku pesamaan beikut i) 0 ' 0 '.. ii) Pada pesamaan i) dan ii), tampak bahwa koodinat titik-titik S dan S memenuhi pesamaan beikut. g :

9 7 Ini adalah pesamaan gais ang melalui titik-titik singgung S dan S dan disebut tali busu singgung. Pehatikan bahwa pesamaan tali busu singgung g bentukna sama dengan pesamaan gais singgung pada lingkaan L dengan titik singgung T. Oleh kaena itu, tanpa melihat letak titik T di dalam, dilua, atau pada lingkaan), maka pesamaan pesamaan gais kutub titik T, ) tehadap lingkaan L: + = adalah: g: Dai uaian di atas, didapat, jika T, ) di lua lingkaan, maka gais kutub g meupakan tali busu singgung. Coba selidiki bagaimana kedudukan gais kutub ini jika T, ) teletak pada lingkaan atau di dalam lingkaan. Sebagai latihan, dengan caa seupa, coba tunjukkan bahwa pesamaan gais kutub P, ) tehadap lingkaan a a b b a b adalah Tunjukkan juga bahwa pesamaan gais kutub dai titik T, ) tehadap lingkaan L: C = 0 adalah ) ) C 0 F. Menentukan Kutub dai Suatu Gais Luus Misal diketahui sebuah lingkaan L: C = 0 dan sebuah gais g: P + Q + R = 0. Misal kutub gais g adalah T, ), maka pesamaan gais kutub T, ) tehadap lingkaan L adalah h: ) ) C 0

10 8 Gais h ini beimpit dengan gais g, sehingga hauslah dipenuhi pesamaan beikut. P Q R C Dai pesamaan ini, nilai dan dapat ditentukan, sehingga kutub dai gais g tehadap lingkaan L dapat ditentukan pula. G. Kuasa Suatu Titik Pada gamba beikut, titik T, ) teletak di lua lingkaan L. 3 P 3 T, ) Gamba IV.5 Melalui T, ) ditaik gais-gais ang memotong lingkaan. Misal titik-titik potong ini adalah i dan i. edasakan teoema pada geometi, belaku T Pehatikan bahwa T T T 3T 3 T T, dan seteusna. T 3T 3 TP )TP ) TP Nilai TP didefinisikan sebagai kuasa titik, ) T tehadap lingkaan LP, ).

11 9 Jika pesamaan lingkaan L P, ) itu adalah L: C = 0 dengan pusat P, dan kuadat jai-jai C. Kuasa titik T, ) tehadap lingkaan LP, ) adalah TP = atau. C Pehatikan bahwa kuasa titik T, ) tehadap lingkaan L: C = 0 dapat dipeoleh dengan caa menggantikan dan pada pesamaan lingkaan itu dengan dan. Dengan mempehatikan definisina, coba selidiki bagaimanakah nilai tanda) kuasa titik T pada lingkaan jika T di lua lingkaan, teletak pada lingkaan, atau di dalam lingkaan. H. Gais Kuasa Misal diketahui dua buah lingkaan. Pikikan suatu titik ang mempunai kuasa sama tehadap dua lingkaan tesebut. Himpunan tempat kedudukan) titik-titik ang demikian, akni mempunai kuasa ang sama tehadap dua lingkaan tetentu disebut gais kuasa kedua lingkaan itu. Misal diketahui dua lingkaan sebagai beikut. L : C 0 dan L : C 0

12 0 Jika titik T, ) mempunai kuasa ang sama tehadap lingkaan L dan L, maka dipenuhi pesamaan beikut. C atau = C C C 0 Hal ini akan belaku pada setiap titik ang kuasana tehadap kedua lingkaan itu sama. Dengan demikian, gais kuasa ang meupakan tempat kedudukan titik-titik ang mempunai kuasa ang sama tehadap lingkaan L dan L adalah sebagai beikut. g: C C 0 Kaena secaa simbolis lingkaan dapat dinatakan sebagai L, ) = 0 atau L, ) = C 0, maka kuasa titik T, ) tehadap lingkaan L, ) dapat ditulis dengan L, ). Jadi pesamaan gais kuasa lingkaan L, ) = 0 dan L, ) = 0 dapat ditulis sebagai beikut. L, ) L, ) = 0 atau L L = 0 Pehatikan bahwa gais kuasa mempunai gadien m =. Titik pusat lingkaan L dan L betuut-tuut adalah P, dan P,. Gadien gais sental atau gais penghubung kedua pusat lingkaan ini adalah m =. Kaena m.m = -, maka gais kuasa dua buah lingkaan akan tegak luus dengan gais sental penghubung titik-titik pusat) kedua lingkaan tesebut.

13 g: L L = 0 L L P P Gamba IV.6 agaimana kedudukan gais kuasa dua buah lingkaan jika kedua lingkaan tesebut bepotongan atau besinggunga? pakah gais kuasana memotong kedua lingkaan? I. Titik Kuasa Tempat kedudukan titik-titik ang mempunai kuasa ang sama tehadap dua lingkaan adalah suatu gais luus. Jadi kalau ada tiga buah lingkaan, akan tedapat sebuah titik ang mempunai kuasa ang sama tehadap ketiga lingkaan tesebut. Titik ang demikian disebut titik kuasa. Pehatikan Gamba IV.7 beikut ini. L L = 0 M M K L L 3 = 0 M 3 L L 3 = 0 Gamba IV.7

14 Titik K adalah suatu titik ang kuasana tehadap L = 0 dan L = 0 sama, kaena K teletak pada L L = 0. K mempunai kuasa ang sama pula tehadap L = 0 dan L 3 = 0, kaena K teletak pada L L 3 = 0. Jadi K mempunai kuasa ang sama tehadap L = 0, L = 0, dan L 3 = 0 dan disebut titik kuasa ketiga lingkaan tesebut. Pesamaan titik kuasa dapat ditulis secaa simbolis sebagai beikut. L = L = L 3 Contoh Tentukan koodinat-koodinat dai titik kuasa lingkaan-lingkaan beikut ini. L = = 0, L = + = 3, dan L 3 = = 0. Penelesaian L L = 0, didapat + = 0 L 3 L = 0, didapat 3 3 = 0 Dai kedua pesamaan itu didapat = 3 dan = -. Sehingga titik kuasa ketiga lingkaan itu adalah K3, -). J. Dua Lingkaan ang epotongan Sudut antaa dua buah lingkaan didefinisikan sebagai sudut ang dibentuk oleh gais-gais singgung pada kedua lingkaan itu di titik potongna. Dua lingkaan dikatakan saling memotong tegak luus jika sudut antaa gais-gais singgung di titik potongna adalah 90. Pehatikan gamba beikut.

15 3 P M M Gamba IV.8 Misal diketahui dua lingkaan sebagai beikut ini. L : C 0 L : C 0 Kedua lingkaan itu akan bepotongan tegak luus apabila gais-gais singgung beimpit dengan jai-jai kedua lingkaan. P M M L = 0 L = 0 Gamba IV.9

16 Pehatikan bahwa tegak luus, sehingga M M P adalah segitiga siku-siku. Diketahui:,, M,, M C dan C Sehingga belaku: ) M M atau C C atau Inilah saat dua lingkaan saling tegak luus. Sebuah lingkaan dapat juga memotong lingkaan lain sedemikian sehingga membagi dua sama besa lingkaan tesebut. Pehatikan gamba beikut. P Gamba IV.0 + = C + C M M L = 0 L = 0

17 5 Jika lingkaan L membagi dua sama besa lingkaan L, maka dalam M PM belaku M M ) Jadi, supaa suatu lingkaan membagi dua sama besa lingkaan lain, hauslah kuadat jaak titik-titik pusatna sama dengan selisih kuadat jai-jaina. K. ekas Lingkaan Misal diketahui dua buah lingkaan: L : C 0 L : C 0 Kita dapat membentuk pesamaan L + L = 0 atau +) + +) + + ) + + ) + C + C ) = 0 Nilai dapat kita bei nilai ang bemacam-macam dan untuk setiap nilai pesamaan di atas menunjukkan pesamaan lingkaan. Jika = 0, maka L = 0 dan jika =, maka L = 0. Pesamaan L + L = 0 disebut pesamaan bekas lingkaan dengan anggota dasa L = 0 dan L = 0. Jika = -, akan tedapat suatu gais luus ang dapat dianggap sebagai suatu lingkaan anggota bekas dengan jai-jai tak tehingga. Jika suatu titik teletak pada lingkaan L = 0 dan juga pada L = 0, maka titik itu tentu juga teletak pada setiap anggota dai bekas itu. Semua anggota bekas lingkaan melalui titik-titik potong nata atau imajine) L = 0 dan L = 0. Titik-titik ini disebut titik-titik dasa atau titik-titik basis. Jadi setiap lingkaan ang melalui titik-titik potong L = 0 dan L = 0 pesamaana bebentuk L + L = 0.

18 6 L. Soal Latihan. Tentukan pesamaan lingkaan ang a. bepusat P, 3) dan melalui O b. melalui titik-titik 3, ) dan -, 3) seta titik pusatna teletak pada gais g: 3 = 0.. Cailah titik pusat dan jai-jai lingkaan-lingkaan dengan pesamaan: a. L : 5 0 b. L : 0 3. Tentukan pesamaan lingkaan ang titik pusatna teletak pada gais = 0, melalui titik, ), dan meninggung sumbu X. Tentukan pesamaan paamete lingkaan ang bepusat P-, 3) dan bejai-jai 5. Tenukan pula pesamaanna dalam sistem koodinat Katesius. 5. Tentukan pesamaan lingkaan lua suatu segitiga ang tebentuk oleh gais-gais g: + 5 = 0; h: + 7 = 0; dan k: + = Tentukan pesamaan lingkaan ang bepusat C, -) dan meninggung gais g: = Diketahui lingkaan L: Tentukan haga-haga k sedemikian hingga gais = k a. memotong lingkaan b. meninggung lingkaan itu c. tidak memotong lingkaan itu

19 7 8. Tentukan pesamaan-pesamaan gais singgung dengan gadient - pada lingkaan L: Tentukan pesamaan-pesamaan gais singgung dai titik O0, 0) pada lingkaan L: Tentukan apakah titik-titik beikut ini teletak di dalam, di lua, atau pada lingkaan L: , ); -5, ); C3, -) D6, -). Tentukan pesamaan gais kutub dai titik T-, 3) tehadap lingkaan L : 0 6. Tentukan pula kutub dai gais g: 3 5 = 0 tehadap lingkaan L : 0. Tentukan besa sudut antaa lingkaan L : 8 ) 3) dan L : ) ) 3. Tentukan koodinat titik kuasa lingkaan-lingkaan beikut. L : 5 ; L : ; dan L 3 : Tentukan pesamaan gais kuasa lingkaan-lingkaan beikut. L : 0 3 dan L : Tentukan koodinat suatu titik pada gais g: = 0 ang mempunai kuasa ang sama tehadap lingkaan L : ) dan L : 5 3) 6. Tentukan pesamaan lingkaan ang melalui, -) dan melalui titik-titik potong lingkaan-lingkaan L : 0 3 dan L :

20 8 7. Tentukan pesamaan gais-gais kuasa lingkaan-lingkaan L : 0; L : 7 0, dan L 3 : Tentukan pula titik kuasana. 8. Tentukan pesamaan lingkaan ang memotong tegak luus lingkaan L: 5 5 0, melalui titik 6, ), dan pusatna teletak pada gais g: 9 + = uktikan bahwa kedua lingkaan L : dan L : saling besinggungan. Tentukan titik singgungna.