Prosidig emiar Nasioal Matematika, Uiversitas Jember, 9 November 8 METODE BEDA HINGGA DAN TEOREMA NEWTON UNTUK MENENTUKAN JUMLAH DERET (Fiite Differece Method ad Newto's Theorem to Determie the um of eries) Tri Mulyai ), Moh Hasa ), lami ) )taf Pegajar ekolah Meegah Atas Negeri Jember )taf Pegajar Jurusa Magister Matematika FMIPA Uiversitas Negeri Jember )taf Pegajar Jurusa Magister Matematika FMIPA Uiversitas Negeri Jember Email: threemulyai@gmailcom ABTRAK Permasalaha yag serig dihadapi utuk membuktika kebeara rumus suatu deret adalah jika yag disajika rumus suatu deret yag buka deret aritmatika da buka deret geometri alah satu pembuktia yag palig serig dipakai adalah pembuktia dega iduksi matematika Peelitia ii dilakuka utuk meetuka rumus jumlah suku pertama dari: () deret aritmatika, deret arirmatika bertigkat dega ladasa deret aritmatika; () deret geometri; () deret aritmatika bertigkat dega ladasa deret geometri; da () deret yag buka deret aritmatika da buka deret geometri yag diketahui rumus suku keya, dega megguaka metode beda higga da teorema Newto Rumus jumlah suku pertama yag diperoleh dari hasil peelitia kemudia dibuktika kebearaya dega megguaka iduksi matematika Kata Kuci: deret, beda higga, iduksi matematika, teorema Newto ABTRACT Problems that are ofte faced to prove the truth of a formula if the preseted series is a series that is ot the formula of arithmetic ad geometric series Oe proof amog the most commoly proofs used is the proof by mathematical iductio This study was coducted to determie the sum of the first terms formula of: () arithmetic series, storied arithmetic series with the basis of arithmetic series, () geometric series, () storied arithmetic series with the basis of geometric series, ad () series which are ot arithmetic ad geometric series that the formula of the terms is give, by usig the fiite differece method ad Newto's theorem The formula of the sum of the first terms obtaied from the results of this study ad the it is verified by usig mathematical iductio Keywords: series, fiite differece, mathematical iductio, Newto s theorem PENDAHULUAN Pada beberapa buku teks umumya disajika tetag rumus jumlah suatu deret yag buka deret aritmatika da buka deret geometri da pembaca dimita utuk membuktika kebearaya, diataraya meurut Nasutio et al (99); Purcell da Varberg (999); Lovasz et al () da Rose (7) ada beberapa deret terhigga yag suku umumya merupaka fugsi bilaga asli, yag petig utuk diketahui jumlah suku pertamaya Deret deret itu adalah:
Tri M, et al Metode Beda Higga da Teorema Newto utuk Meetuka 9 a T k k k k k b Q k k ( ) d R T k( k ) c K k k ( )( ) f A a k b a b k k 9 k a( r ) G ar r e B k( k )( k ) g i i g ; () ( r) Berdasarka persamaa () dalam peelitia ii diteliti bagaimaa cara utuk medapatka rumus jumlah deretya kemudia dibuktika kebearaya dega iduksi matematika Pembuktia dega megguaka iduksi matematika memuat dua lagkah petig yaitu: () lagkah dasar, diuji utuk = ; () lagkah iduksi, dega megasumsika bahwa peryataa bear utuk k, sehigga harus dibuktika bahwa peryataa juga bear utuk = k + Tujua yag igi dicapai dalam peelitia ii adalah meemuka metode yag lebih efisie utuk meetuka rumus jumlah suku pertama suatu deret yag mempuyai atura tertetu Permasalaha dalam peelitia ii dibatasi pada: () deret aritmatika; () deret geometri; () deret aritmatika bertigkat dega ladasa deret geometri; () deret dega rumus umum suku ke sudah diketahui Dasar teori yag meladasi da berkaita dega peelitia ii adalah: fugsi poliomial, poliomial faktorial, beda higga, teorema Newto serta barisa da deret Defiisi (Fugsi) ebuah fugsi f adalah suatu atura padaa yag meghubugka tiap obyek dalam satu himpua, yag disebut daerah asal, dega sebuah ilai uik f() dari himpua kedua Himpua ilai yag diperoleh secara demikia disebut daerah hasil (jelajah) fugsi tersebut (Purcell da Varberg, 999) Dalam peelitia ii aka diguaka fugsi poliomial Betuk umum fugsi Poliomial dalam variable da berderajat diotasika sebagai berikut f ( ) a a a a () utuk semua variabel dalam R dimaa a, a,, a adalah bilaga real (kostata) yag disebut koefisie fugsi poliomial Defiisi (Poliomial Faktorial) Peryataa dibaca, faktorial utuk bulat positif, didefiisika sebagai berikut (oehardjo,a) ( ) () () ( ) ( ) ( )( )( )( ) Defiisi (Beda Higga Maju) Jika U merupaka fugsi dalam variabel, U=f() biasa ditulis dega U uatu fugsi f yag ilaiya f(t) pada waktu t da berilai f(t+) pada waktu (t+), maka beda pertama didefiisika sebagai berikut (oehardjo, a) k
Prosidig emiar Nasioal Matematika, Uiversitas Jember, 9 November f t f t f tatau U U U U U ( U U ) U U U U ( U U ) U U (5) dega: disebut operator beda maju tigkat pertama; disebut operator beda maju tigkat dua; disebut operator beda maju tigkat tiga, da seterusyabeda higga tigkat tiga secara umum disajika pada Tabel Tabel Beda Higga tigkat tiga secara umum Dari Tabel pada kolom U ilaiya kosta da pada kolom U da seterusya berilai, sehigga utuk poliomial berderajat dalam variable ( U ), pada tabel beda kolom ke U ilaiya kosta da kolom ke U da seterusya berilai Beda higga yag diguaka pada peelitia ii adalah beda higga maju ( ) Itegral Higga Jika U VmakaU Vdimaa disebut operator Itegral Higga Beberapa Rumus Itegral Higga meurut oehardjo (a) adalah: a ( a ) a a ( ) ( ) ; () ; (7) Teorema (Teorema Newto) Jika U adalah poliomial derajat dalam variabel maka U dapat ditulis dalam betuk (oehardjo, a) U U U U ( ) U U (8)!!!! uku suku suatu barisa dipisahka dega tada koma da jika tada koma digati dega tada tambah maka disebut deret Deret aritmatika bertigkat adalah deret aritmatika yag mempuyai beda tetap pada tigkat yag ke- Deret aritmatika bertigkat dega ladasa deret geometri adalah suatu deret yag jika dibuat tabel beda higgaya maka pada tigkat tertetu aka membetuk deret geometri dega rasio tetap Deret tersebut mempuyai betuk suku umum U f ( ) a p (9) dimaa f() adalah fugsi poliomial derajat dalam variabel Misalya: 597 5 ; 57 8 7 8 Deret yag buka merupaka deret aritmatika da buka deret geometri tetapi mempuyai atura tertetu, misalya:
Tri M, et al Metode Beda Higga da Teorema Newto utuk Meetuka () () (5) ( ( )( )) 5 5 7 ( )( ) () 5 ( )( ) Jumlah Deret Jika V adalah suatu fugsi yag beda pertamaya U maka V V V U V U dimaa disebut operator Itegral Higga Rumus umum jumlah suku pertama dari deret U U U U U yag memiliki beda tetap pada tigkat ke- dega memperguaka beda higga da teorema Newto adalah - - = å = D ] = U U () METODE PENELITIAN Metode yag diguaka dalam peelitia ii adalah deskriptif aksiomatik yaitu dega meerapka teorema yag sudah ada utuk medapatka rumus jumlah suku pertama suatu deret yag mempuyai pola tertetu ecara umum cara kerja yag aka dilakuka utuk meetuka rumus jumlah suku pertama suatu deret dapat disajika dalam betuk skema berikut HAIL da PEMBAHAAN Deret Aritmatika Gambar kema Keragka Berpikir Berdasarka persamaa (f), jika ditetapka U a, maka deret tersebut a ( a b) ( a b) ( a ( ) b) diotasika dega da jumlah suku pertamaya Ui a i b a bi Berdasarka lagkah-lagkah i i i peelitia, dilakuka sebagai berikut Dibuat tabel beda higga dari deret sebagai berikut a ( a b) ( a b) ( a ( ) b) Tabel Beda Higga dari a ( a b) ( a ( ) b)
Prosidig emiar Nasioal Matematika, Uiversitas Jember, 9 November Berdasarka Tabel diperoleh: U a; U b Dari data Tabel ditetuka U dega megguaka teorema Newto persamaa (8) yaitu U U U U ( ) U U!!!! didapatka U a b, dega suku ke- sesuai dega ilai =, suku ke- sesuai dega ilai = didapatka dega megitegralka U a b sebagai berikut U a b a b a b a b a b a b Cotoh Deret aritmatika bertigkat dega ladasa deret aritmatika Utuk meetuka rumus jumlah suku pertama dari, berdasarka lagkah-lagkah peelitia dilakuka sebagai berikut Dibuat tabel beda higga dari deret Tabel Beda Higga dari Berdasarka Tabel diperoleh: U ; U 8 ; U 8; da U Dari Tabel kemudia ditetuka U dega megguaka teorema Newto yaitu persamaa (8) didapatkau 8 9, dega suku ke- sesuai dega ilai =, suku ke- sesuai dega ilai
Tri M, et al Metode Beda Higga da Teorema Newto utuk Meetuka diperoleh dega megitegralkau 8 9, persamaa () sebagai berikut U 8 9 9 9 9 Deret Geometri Berdasarka persamaa (g), jika suku awal U a, maka deret tersebut k dapat diotasika dega a ar ar ar ar, r da jumlah suku i i pertamaya adalah Ui ar ar Berdasarka lagkah-lagkah i i i peyelesaia dalam peelitia ii dilakuka sebagai berikut uku Umum U ar dega suku ke- sesuai dega ilai =, suku ke- sesuai dega ilai Jumlah suku pertamaya diperoleh dega megitegralka U ar, persamaa () sebagai berikut U ar r ar a r r a r Deret Aritmatika Bertigkat dega Ladasa Deret Geometri Cotoh Utuk meetuka rumus jumlah suku pertama dari, la 57 8 7 8 lagkah-lagkah yag harus dilakuka adalah: dibuat tabel beda higga dari 57 8 Tabel Beda Higga dari 57 8 7 Dari data yag didapatka pada Tabel, kolom beda tigkat dua membetuk deret geometri dega rasio, maka suku umum U f ( ) a p dega megguaka teorema Newto yaitu persamaa (8) berbetuk U A B C
Prosidig emiar Nasioal Matematika, Uiversitas Jember, 9 November U A B C A+B+C=5 U A B utuk, didapatka A+B=5 U A A= A, B da C, sehigga diperoleh U diperoleh dega megitegralka U ( ) () ( ) U, sebagai berikut Bukti: Pembuktia rumus megguaka iduksi matematika: Lagkah dasar, diuji utuk = Ruas kiri 5 sama dega da ruas kaa 57 8 ( ) dega ( ) 5 Jadi peryataa bear utuk = Lagkah iduksi, dega megasumsika bahwa peryataa bear utuk k, yaitu k k 5 7 8 sehigga harus dibuktika bahwa k k k( k ), () peryataa juga bear utuk k, yaitu k ( k) k 57 8 ( k ) k ( k ) k k k 57 8 ( k ) k k, () k mulai dega () ditambahka ( k ) pada kedua ruas maka diperoleh U k k k k k k k( k ) ( k ) ( k ) k k ( k) k dimaa betuk ii telah sesuai dega yag dimita pada (), dega demikia telah terbukti bahwa peryataa di atas bear utuk setiap Deret dega Rumus uku ke- Diketahui Jika suatu deret buka merupaka deret aritmatika atau buka deret geometri tetapi mempuyai pola yag jelas dega rumus suku ke- U diketahui, misalya persamaa () da persamaa () Cotoh Utuk medapatka rumus (b) i lagkahlagkahya adalah: i
Tri M, et al Metode Beda Higga da Teorema Newto utuk Meetuka 5 Rumus U sudah diketahui dega suku ke- sesuai dega ilai, suku ke- sesuai dega ilai ; U diyataka dega megguaka poliomial faktorial yaitu persamaa () seilai dega U ; diperoleh dega megitegralkau, sebagai berikut U ( ) ( ) i Bukti: Pembuktia rumus i dega Iduksi Matematika adalah: Lagkah dasar, diuji utuk = Ruas kiri sama dega = da ruas kaa Jadi peryataa bear utuk = Lagkah iduksi dega megasumsika bahwa peryataa bear utuk k k k k k, () yaitu sehigga harus dibuktika bahwa peryataa juga bear utuk kyaitu ( k ) k ( k ) k ( k) ( k ) k k Mulai dega () ditambahka ( k ) pada kedua ruas maka diperoleh k k k k ( k ) ( k ) k(k) k ( k ) k k k k k ( k ) k ( k ) k k ( k ) k 7k k k k k ( k ) dimaa betuk ii telah sesuai dega yag dimita pada (), dega demikia telah terbukti bahwa peryataa di atas bear utuk setiap
Prosidig emiar Nasioal Matematika, Uiversitas Jember, 9 November Cotoh Utuk memperoleh rumus jumlah suku pertama ( ) dari () () (5) ( ( )( )) maka lagkah-lagkah yag harus dilakuka adalah: rumus U sudah diketahui dega suku ke-sesuai dega ilai =, suku ke- sesuai dega ilai = ; U dituliska dega megguaka poliomial faktorial yaitu persamaa () seilai dega U ; diperoleh dega megitegralkau, sebagai berikut Bukti: Pembuktia rumus ) () ( ( )( )) ( )( )( ) lagkah dasar, diuji utuk = Ruas kiri ( )( ) sama dega da ruas kaa ( )( )( ) Jadi peryataa bear utuk = lagkah iduksi, dega megasumsika bahwa peryataa bear utuk = k k () () ( k( k )( k )) k( k )( k )( k )() sehigga harus dibuktika bahwa peryataa juga bear utuk k, yaitu () () k (( k )( k )( k )) ( k )( k )( k )( k )() mulai dega () ditambahka ( k )( k )( k ) pada kedua ruas maka diperoleh U k k k k( k )( k )( k ) ( k )( k )( k ) ( k )( k )( k ) k k( k )( k )( k ) ( k )( k )( k ) ( k )( k )( k )( k ) dimaa betuk ii telah sesuai dega yag dimita pada (), dega demikia telah terbukti bahwa peryataa di atas bear utuk setiap Cotoh 5 Utuk meetuka rumus dari, 5 5 7 ( )( ) lagkah-lagkah yag harus dilakuka adalah: rumus U sudah diketahui dega suku ke- sesuai dega ilai =, suku ke- sesuai dega ilai = ; U diyataka dega megguaka poliomial faktorial yaitu persamaa () sebagai berikut U () ( )
Tri M, et al Metode Beda Higga da Teorema Newto utuk Meetuka 7 diperoleh dega megitegralka U, sebagai berikut U Cotoh Utuk medapatka rumus jumlah suku pertama ( ) dari 5 ( )( ) berdasarka lagkah-lagkah peelitia adalah sebagai berikut Rumus U ( )( ) =, suku ke- sesuai dega ilai = U ( )( ) persamaa () sebagai berikut U U U sudah diketahui dega suku ke- sesuai dega ilai dituliska dega megguaka poliomial faktorial yaitu U U diperoleh dega megitegralka U, sebagai berikut U 9
Prosidig emiar Nasioal Matematika, Uiversitas Jember, 9 November 8 7 7 Bukti: Pembuktia rumus 7 7 5 ( )( ) dega megguaka iduksi matematika adalah: lagkah dasar, diuji utuk = Ruas kiri sama dega da ruas kaa 8 7 7 7 5 ( )( )( ) 7 8 Jadi peryataa bear utuk = lagkah iduksi, dega megasumsika bahwa peryataa bear utuk = k 7 k 7 k () 5 k( k )( k ) k k k sehigga harus dibuktika bahwa peryataa juga bear utuk k, yaitu k 7 ( k ) 7 5 ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) k 7 k, () ( ( ( k k k mulai dega () ditambahka pada kedua ruas k k k maka diperoleh k Uk k 7 k 7 7 k 7k k k k k k k k k k k k 7 k k = k k k k 7 kk = k k k k 7 k k k k dimaa betuk ii telah sesuai dega yag dimita pada (), dega demikia telah terbukti bahwa peryataa di atas bear utuk setiap PENUTUP Metode beda higga da teorema Newto dapat dimafaatka da lebih efisie utuk meetuka rumus umum jumlah suku pertama suatu deret yag mempuyai atura tertetu, dega cara sebagai berikut Buat tabel beda higga Data yag diperoleh dari tabel beda higga disubtitusika ke teorema Newto utuk medapatkau didapatka dega megitegralkau Berdasarka hasil metode beda higga da teorema Newto utuk meetuka rumus jumlah suku pertama suatu deret yag mempuyai atura tertetu, maka
Tri M, et al Metode Beda Higga da Teorema Newto utuk Meetuka 9 masalah yag perlu diteliti lebih lajut adalah utuk meggembagka metode lai atau utuk deret-deret lai yag lebih kompleks DAFTAR PUTAKA [] Lovasz,L, Pelika,J, & Vesztergombi,K Discrete Mathematics: Elemetary ad Beyod New York: Ic [] Nasoetio, AH, Hasibua, KM (almarhum ), Martoo, T, da umatri, B 99 Matematika Jakarta: Departeme Pedidika da Kebudayaa [] Purcell, EJ, & Varberg, D 987 Kalkulus da Geometri Aalitis jilid da jilid Edisi Kelima Alih bahasa oleh I Nyoma usila, Baa Kartasasmita, da Rawuh 999 Departeme Matematika Istitut Tekologi Badug (ITB): Erlagga [] Rose, KH 7 Discrete Mathematics Ad Its Applicatios ith EditioMc Graw Hill Iteratioal EditioPrited i igapore [5] oehardjo a Kalkulus Beda Higga Terbatas utuk ligkuga sediri, FMIPAIT urabaya [] oehardjo b Jumlah Deret Tapa Rumus Khusus Tidak Dipublikasika Makalah emiar Matematika Program studi tekik Maufaktur Uiversitas [7] urabaya bekerjasama dega Musyawarah Guru Matematika Kodya Jember