PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI p-chart

Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 2 Jui 2012 PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI p-chart Adi Setiawa Program Studi Matematika, Fakultas Sais da Matematika Uiversitas Kriste Satya Wacaa Jl Dipoegoro 52-60 Salatiga 50711, Idoesia e-mail: adi_setia_03@yahoo.com Abstrak Grafik pegedali p-chart sagat petig dalam pegedalia kualitas produk idustri dega megguaka statistika terapa. Metode Bayesia obyektif dapat diguaka utuk melakuka estimasi titik da estimasi iterval dega haya medasarka diri pada sampel da megguaka iformasi prior secara default yaitu dega megguaka prior Jeffry. Dalam makalah ii aka dijelaska pegguaa metode Bayes obyektif dalam pegkostruksia grafik pegedali p-chart da digambarka bagaimaa pegkostruksia tersebut dilakuka. Grafik pegedali p- chart yag dikostruksika aka dijami terletak atara 0 da 1 sehigga berbeda dega p-chart klasik. Kata kuci: p-chart, metode Bayesia obyektif, out of cotrol. PENDAHULUAN Grafik pegedali diguaka utuk melakuka pegeceka apakah sampel yag terambil berada pada keadaa out of cotrol atau tidak. Dega melakuka pegeceka tersebut maka dapat dilakuka aalisis peyebab sampel mejadi out of cotrol. Salah satu alat yag diguaka dalam pegeceka tersebut adalah p-chart yag diguaka utuk data attribute artiya data yag merupaka idetifikasi bayakya produk yag cacat dibadigka ukura sampel dalam setiap kali megambil sampel. Dalam makalah-makalah Setiawa (2009a, 2011) telah dijelaska metode Bayesia obyektif utuk meetuka estimasi titik utuk parameter populasi. Dega metode ii, hasil estimasi yag diperoleh haya aka tergatug pada sampel da distribusi aggapa dari populasi yag mejadi asal dari sampel. Di sampig itu, dalam makalah-makalah Setiawa (2009b, 2011) metode Bayesia obyektif juga diguaka dalam meetuka iterval kredibel utuk parameter populasi. Dalam makalah ii aka dijelaska pegguaa metode Bayes obyektif dalam pegkostruksia grafik pegedali p-chart da digambarka bagaimaa pegkostruksia tersebut dilakuka. DASAR TEORI Dasar teori yag diguaka dalam pembahasa kali ii adalah grafik pegedali p-chart, metode Bayesia obyektif da metode Bayesia obyektif utuk distribusi Biomial. Grafik Pegedali p-chart Proporsi kerusaka dalam suatu populasi didefiisika sebagai perbadiga (rasio) bayakya barag yag rusak dalam populasi da total bayakya barag dalam populasi. Jika palig sedikit satu karakteristik tidak sesuai dega stadard maka barag tersebut dikataka rusak. Proporsi dapat diyataka dalam desimal atau persetase. Prisip statistik yag diguaka dalam grafik pegedali (cotrol chart) utuk proporsi kerusaka didasarka pada distribusi Biomial da diamaka dega grafik pegedali p-chart. Misalka diaggap bahwa proses produksi beroperasi secara stabil sehigga probabilitas bahwa suatu barag tidak sesuai dega perutuka (rusak) adalah p. Selajutya, diaggap bahwa barag-barag diproduksi salig bebas, sehigga rusak atau tidakya produk barag tersebut megikuti distribusi Beroulli dega parameter p. Jika sampel dega ukura dipilih da D M-1

Adi Setiawa/Pegguaa Metode Bayesia meyataka bayakya barag rusak yag terambil dalam sampel maka D aka megikuti distribusi Biomial dega parameter da p. Mea dari D adalah p da variasiya adalah p(1-p). Proporsi sampel yag rusak adalah perbadiga atara bayakya barag yag rusak ^ D dalam sampel dibadigka dega ukura sampel yaitu p. Mea da variasi estimator ii masig-masig adalah p da p(1-p)/. Jika rasio barag yag rusak dalam populasi p diketahui maka garis tegah GT (ceter lie) dari grafik pegedali p-chart aka mempuyai garis tegah p, batas pegedali atas (upper cotrol limit) BPA p(1 p) BPA p 3 da batas pegedali bawah (lower cotrol lie) BPB p(1 p) BPA p 3. Dega megguaka batas-batas tersebut, maka aka diperoleh tigkat sigifikasi (level of sigificace) medekati 0,0027. Jika p tidak diketahui maka p dapat diestimasi dari data yag tersedia. Hal ii dilakuka dega cara memilih m sampel awal yag masig-masig berukura. Jika D i meyataka bayakya barag yag rusak pada sampel ke-i maka proporsi bayakya barag yag rusak dalam ^ Di sampel ke-i adalah p i utuk i = 1, 2, 3,..., m da rata-rata dari proporsi sampel idividual m i 1 ^ p i adalah p. Nilai diguaka sebagai estimasi utuk p dalam grafik pegedali p-chart m (Motgomery, 2001). Gambara umerik dari hal tersebut di atas dapat diyataka berikut ii. Misalka dilakuka pegambila sampel awal sebayak m=30 sampel dega =50 da Tabel 1 meyataka bayakya barag yag rusak utuk setiap sampel. Berdasarka Tabel 1 diperoleh sehigga garis tegah GT diperoleh GT p 0,2313 BPA da BPB BPA p p (1 p) 3 0,2313 0,1789 0,4102 p (1 p) BPA p 3 0,2313 0,1789 0,0524. Akibatya diperoleh p-chart pada Gambar 1. Jika BPA yag diperoleh tidak egatif maka aka terbetuk batas-batas p-chart yag simetris. Aka tetapi, jika BPA yag diperoleh egatif maka dilakuka pegeseta BPA = 0 sehigga batas-batas p-chart mejadi tidak simetris. Metode Bayesia Obyektif Misalka data x = ( x 1, x 2,..., x ) terdiri dari pegamata dari M { f ( x, ), x X,, } da misalka x { 0,(, )} adalah fugsi kerugia diskrepasi itrisik (itrisic discrepacy loss) yag diderita jika 0 diguaka sebagai proxy utuk. Estimasi (titik) itrisik utuk parameter adalah * ( x) arg mi d ( x) i yaitu adalah ilai parameter yag memiimalka harapa fugsi kerugia diskrepasi itrisik dari i M-2

referece posterior yaitu d( i x) dega Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 2 Jui 2012 d x) {, (, )} (, x d d, (1) ( i x i ) (, x) p( x, ) ( ) ( ), da ( ) ( ) adalah referece prior bersama dari (, ) dega merupaka kuatitas yag mejadi perhatia (Berardo da Juarez, 2003). Tabel 1. Tabel cotoh data bayakya barag yag rusak dalam sampel ukura = 50. No. Sampel Bayakya barag yag rusak Bayakya barag yag rusak Proporsi sampel No. Sampel Proporsi sampel 1 12 0.24 16 8 0.16 2 15 0.30 17 10 0.20 3 8 0.16 18 5 0.10 4 10 0.20 19 13 0.26 5 4 0.08 20 11 0.22 6 7 0.14 21 20 0.40 7 16 0.32 22 18 0.36 8 9 0.18 23 24 0.48 9 14 0.28 24 15 0.30 10 10 0.20 25 9 0.18 11 5 0.10 26 12 0.24 12 6 0.12 27 7 0.14 13 17 0.34 28 13 0.26 14 12 0.24 29 9 0.18 15 22 0.44 30 6 0.12 Proporsi sampel 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 5 10 15 20 25 30 Sampel ke-i, i=1,...,30 Gambar 1. Grafik Pegedali p-chart Berdasarka Tabel 1. M-3

Adi Setiawa/Pegguaa Metode Bayesia Bermula dari estimasi titik meuju ke estimasi iterval, daerah/iterval kredibel itrisik (itrisic credible regio) didefiisika sebagai iterval kredibel yag mempuyai lowest posterior loss yag berkaita dega pegguaa fugsi kerugia itrisic discrepacy da referece prior yag bersesuaia. Iterval kredibel itrisik 100q% (q-credible regio itrisic) adalah himpua bagia R* q = R* q ( x, ) dari ruag parameter sehigga memeuhi (i) ( x) d q R* q (ii) utuk setiap i R* q da utuk setiap j R* q berlaku d( i x) d( j x) dega d( i x) adalah harapa fugsi kerugia referece posterior sebagai proxy utuk ilai dari parameter yag diberika pada persamaa (1) (Berardo, 2005). Terlihat bahwa peryataa pada persamaa (1) mempuyai betuk yag sulit sehigga perhitugaya tidaklah mudah amu dega megguaka itegrasi umerik, hal itu dega mudah dapat dilakuka. Metode Bayesia Obyektif utuk Distribusi Biomial Misalka himpua x = { x 1, x 2,..., x } adalah pegamata salig bebas berdistribusi Beroulli dega parameter p = (0,1) sehigga x 1 x f ( x p) p (1 p) da fugsi likelihoodya adalah r r f ( x p) p (1 p) dega r j 1 x j. Dalam hal ii, referece prior adalah ( p) Beta( p 1/ 2, 1/ 2) da referece posterior adalah ( p) Beta( p r (1/ 2), r (1/ 2) ). Iterval kredibel 100q% utuk p adalah sebarag himpua bagia R q dari (0,1) sehigga Beta ( p r (1/ 2), r (1/ 2) ) dp q. R q Dapat dibuktika bahwa Kullback-Leibler divergece atara f ( x p2) da f ( x p1 ) adalah K( p2 p1) p1 log[ p1 / p2] (1 p1)log[(1 p1) /(1 p2 )] da diskrepasi itrisik atara f x p ) da f x p ) dapat diyataka sebagai ( 1 ( 2 K( p2 p1) p2 ( p1,1 p1) ( p1, p2 ). K( p1 p2 ) yag lai Nilai harapa fugsi kerugia referece posterior dari pegguaa p 0 dari pada p adalah 1 1 1 d( p0 r, ) x( p0, p) Beta p r, r dp. (2) 0 2 2 Itegrasi umerik dapat diguaka utuk memperoleh estimasi itrisik da iterval kredibel itrisik yaitu iterval yag mempuyai fugsi kerugia posterior terkecil dega probabilitas posterior yag diperluka. PENGKONSTRUKSIAN DAN STUDI SIMULASI GRAFIK PENGENDALI p-chart BERDASARKAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF Grafik pegedali p-chart dega megguaka metode Bayesia obyektif dapat ditetuka dega metode berikut ii. Misalka dimiliki data { y 1, y 2,..., y m } yag meyataka bayakya barag yag rusak dalam setiap kali megambil sampel ukura dega proporsi medapatka barag yag rusak dalam populasi p. Variabel bayakya barag yag rusak dalam setiap kali megambil sampel ukura yaitu x i dapat dipadag berdistribusi Biomial dega parameter da p. Parameter p dapat diestimasi dega megguaka estimasi titik berdasarka metode Bayesia obyektif yaitu p* sehigga ilai harapa dari fugsi kerugia referece posterior M-4

Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 2 Jui 2012 miimum. Demikia juga iterval kredibel itrisik (1 - q) 100 % utuk p dapat ditetuka yaitu (p a, p b ) sehigga d( p a r, ) = d( p b r, ) da pb 1 1 Beta p r, r dp 1 q. (3) pa 2 2 Garis tegah GT dari grafik pegedali p-chart diguaka estimasi titik p*, sedagka batas pegedali atas BPA da batas pegedali bawah BPB masig-masig diguaka p a da p b sehigga memeuhi sifat persamaa (2). Dega megguaka BPA da BPB di atas maka dapat dijami bahwa kedua ilai terletak diatara 0 da 1 sehigga hal tersebut mejadi kelebiha p-chart yag disusu dega megguaka metode Bayesia obyektif dibadigka dega p-chart yag megguaka metode klasik. Gambara pegguaa metode Bayesia obyektif dalam pegkostruksia p-chart dapat dijelaska berikut ii. Dalam cotoh di atas, rata-rata bayakya barag yag rusak adalah r = 347/30 = 11,5667 sedagka ukura sampel =50 sehigga diperoleh estimasi titik utuk p dega metode Bayesia obyektif adalah p* = 0,2336 yaitu ilai p* yag megakibatka statistik itrisik d yag diperoleh pada persamaa (2) miimum (pada Gambar 2 ditujukka oleh garis putus-putus tegak). Hasil ii diguaka sebagai GT sehigga dalam p-chart diperoleh GT = 0,2336. Selajutya, dega megguaka tigkat sigifikasi = 0,0027 maka aka diperoleh iterval kredibel 99,73 % utuk parameter p yaitu (0,0885, 0,4308) da kedua batas tersebut aka meghasilka statistik itrisik yag sama yaitu 5,3431 (Gambar 2 sebelah kiri meyataka iterval kepercayaa utuk p da statistik itrisik yag bersesuaia sedagka Gambar 2 sebelah kaa meujuka detail utuk iterval kepercayaa tersebut). Akibatya p-chart berdasarka metode Bayesia obyektif aka mempuyai BPA = 0,4308 da BPB = 0,0885 sehigga aka diperoleh p-chart utuk data pada cotoh di atas pada Gambar 3. Berdasarka p-chart yag terbetuk, terlihat bahwa p-chart tidak simetris atara BPA, GT da BPB. Di sampig itu, mudah dibuktika bahwa BPA, GT da BPB selalu terletak pada iterval (0,1) sehigga tidak perlu dilakuka pegeseta BPB = 0 jika diperoleh BPB egatif seperti yag dapat diperoleh pada p- chart klasik. Pada sisi lai, berdasarka data pada Tabel 1, diperoleh hasil bahwa utuk p-chart yag terbetuk meghasilka 3 titik yag out of statistical cotrol sedagka dega megguaka p-chart klasik haya diperoleh 2 titik. itrisic statistics 0 50 100 150 200 250 300 itrisic statistics 0 20 40 60 80 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 p Gambar 2. Hasil estimasi titik da iterval kredibel utuk tigkat sigifikasi α = 0,0027 berdasarka data pada Tabel 1. p M-5

Adi Setiawa/Pegguaa Metode Bayesia Proporsi sampel 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 5 10 15 20 25 30 Sampel ke-i, i=1,...,30 Gambar 3. Grafik Pegedali p-chart berdasarka Tabel 1 dega metode Bayesia obyektif. Studi simulasi dilakuka dega cara membagkitka sampel dega ukura bilaga besar B (dalam hal ii diambil B = 100.000) dari distribusi Biomial dega parameter =50 da p = 0.1, 0.2,..., 0.9 da megguaka sampel tersebut dikostruksika p-chart klasik (metode 1) da ditetuka berapa proporsi titik yag out of cotrol. Dega megguaka sampel yag sama dikostruksika p-chart berdasarka metode Bayesia obyektif (metode 2) da ditetuka berapa proporsi titik yag out of cotrol. Bila prosedur tersebut diulag sebayak 100 kali da utuk = 50, 500 da 5000 maka aka diperoleh rata-rata proporsi titik yag out of cotrol utuk kedua metode tersebut. Hasil tersebut diyataka pada Tabel 2 da Tabel 3. Pada Tabel 2 da Tabel 3 terlihat bahwa utuk yag cukup besar yaitu = 5000 maka metode 2 memberika hasil seperti yag diharapka yaitu proporsi bayakya titik yag out of cotrol meuju ke ilai = 0,0027 sedagka pada metode 1 da utuk yag cukup besar yaitu = 5000 belum meghasilka proporsi bayakya titik yag out of cotrol yag cederug meuju ke ilai = 0,0027. Tabel 2. Tabel hasil rata-rata proporsi titik yag out of cotrol utuk metode 1. No. p Metode 1, =50 Metode 1, =500 Metode 1, =5000 1 0.1 0.0032 0.0018 0.0016 2 0.2 0.0025 0.0019 0.0015 3 0.3 0.0024 0.0017 0.0014 4 0.4 0.0014 0.0016 0.0014 5 0.5 0.0013 0.0013 0.0013 6 0.6 0.0007 0.0014 0.0013 7 0.7 0.0007 0.0012 0.0012 8 0.8 0.0002 0.0011 0.0013 9 0.9 0 0 0.0011 M-6

Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 2 Jui 2012 Tabel 3. Tabel hasil rata-rata proporsi titik yag out of cotrol utuk metode 2. No. p Metode 2, =50 Metode 2, =500 Metode 2, =5000 1 0.1 0.0054 0.0025 0.0026 2 0.2 0.0066 0.0026 0.0025 3 0.3 0.0034 0.0029 0.0027 4 0.4 0.0036 0.0026 0.0027 5 0.5 0.0026 0.0027 0.0026 6 0.6 0.0035 0.0028 0.0027 7 0.7 0.0034 0.0026 0.0027 8 0.8 0.006 0.0036 0.0027 9 0.9 0.0338 0.0338 0.0028 KESIMPULAN Dalam pembahasa di atas, telah dijelaska pegguaa metode Bayesia obyektif dalam pegkostruksia grafik pegedali p-chart da studi simulasiya. Grafik pegedali p-chart yag dikostruksika aka dijami terletak atara 0 da 1 sehigga berbeda dega p-chart klasik. Di sampig itu, studi simulasi meguatka bahwa proporsi titik yag out of cotrol dari p-chart yag dikostruksika dega metode Bayesia obyektif cederug aka meuju pada ilai yag diharapka yaitu ke ilai = 0,0027. Peelitia ii dapat dikembagka utuk pegkostruksia grafik pegedali yag lai dega metode Bayesia obyektif. DAFTAR PUSTAKA [1.] Berardo, J. M. (2005) Itrisic Credible Regios : A objective Bayesia Approach to Iterval Estimatio, Test 14, 2:317-384. [2.] Berardo, J. M. da M. A. Juarez (2003) Itrisic Estimatio, Bayesia Statistics 7, Oxford: Uiversity Press. [3.] Mogomery, D. C. (2001) Itroductio to Statistical Quality Cotrol 4th editio, Wiley, New York. [4.] Setiawa, A. (2009a) Estimasi Titik Bayesia Obyektif, Prosidig Semiar Sais da Pedidika Sais, FSM UKSW, Salatiga. [5.] Setiawa, A. (2009b) Credible Iterval Bayesia Obyektif, Prosidig Semiar Nasioal Matematika, Upar Badug. [6.] Setiawa, A. (2010) Iterval Kredibel Bayesia Obyektif dari Parameter Populasi Berdistribusi Poisso da Ekspoesial, Prosidig Semiar Nasioal Sais da Pedidika Sais V, UKSW Salatiga. [7.] Setiawa, A. (2011) Pegguaa Metode Bayesia Obyektif dalam Iferesi Parameter Populasi Seragam, Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Pedidika Matematika, UNS Surakarta. M-7

Adi Setiawa/Pegguaa Metode Bayesia M-8