MODUL 7 BEBERAPA MACAM SEBARAN TEORITIS Pedahulua Dibedaka sebara probabilitas yag diskrit dega sebara yag kotiyu Keduaya bukalah sebara yag berasal dari pegalama, melaika berasal dari pertimbaga-pertimbaga teoritis Dega mulaiya diperhitugka suatu kemugkia terjadiya suatu kejadia, maka dega teori probabilitas, dapatkah dihitug suatu uruta tertetu yag dapat membetuk sesugguhya, suatu distribusi Dalam hal ii maka sebara / distribusi yag terbetuk iilah yag disebut sebagai sebara / distribusi teoritis Ada distribusi teoritis yag terbetuk berasal dari variabel radom yag diskrit (misalya kita tidak mugki medapata ½ pelempara atau ¼ pelempara da sebagaiya) Da satuya kita tak dapat melupaka distribusi teoritis yag didasarka pada variabel yag kotiyu Utuk yag terakhir ii adalah merupaka distribusi ormal yag merupaka sebara yag memag peraa petig di dalam ilmu statistik Sebara Berouli Jika sebagia akibat dilakukaya suatu tidaka tertetu aka timbul salah satu dari dua macam kejadia, maka kejadia ii diamaka kejadia Berouli Meetasya ayam jata atau betia, sembuh atau tidakya seekor ayam yag terserag peyakit tetelo da sebagaiya, merupaka suatu kejadia berouli Suatu percobaa diamaka percobaa Berouli bila memiliki ciri-ciri sebagai berikut : a Setiap percobaa di rumuska dega ruag sampel (p, q), dega lai perkataa, tiap percobaa hayalah memiliki hasil sukses atau gagal Pegertia ii sama dega pegertia A da komplemeter Ā 3
STATISTIKA 36 b Probabilitas sukses pada tiap percobaa haruslah sama da diyataka dega p Pada pelempara sebuah dadu sebayak sekali, probabilitas hasil mata 6 adalah /6 Bila dadu di atas dilempar sebayak kali ( percobaa) haruslah tetap /6 Ii berarti p haruslah kosta Bila sesuatu uag logam dilempar 00 kali maka pelempara tersebut merupaka 00 percobaa Berouli dimaa setiap percobaa selalu meghasilka sukses (misalya kepala) atau gagal sama utuk 00 pelempara Bila uag logam diatas sempura maka p = ½ da p = q = ½ tetapi bila uag logam di atas tidak sempura Maka p ½ tetapi bila uag logam di atas tidak sempura, maka p ½ c Setiap percobaa harus bersifat berdiri sediri (idepedet) probabilitas setiap hasil eksperime dapat dihitug dega memperguaka azas perkalia d Jumlah percobaa yag merupaka kompoe dari eksperime biomial haruslah tertetu Dega kata lai jumlah dari pada percobaa biomial haruslah tertetu Pelempara sebuah uag logam sebayak 00 kali memiliki = 00 Adakalaya, eksperime yag terdiri dari percobaa yag jumlahya tidak tertetu misalya pada pelempara sebuah dadu higga jatuh pada mata 6, jumlah percobaa merupaka variable radom da buka merupaka jumlah yag tertetu Kaidah peluag ii memiliki ruag cotoh yag terdiri dari dua usur, masig-masig dega peluag timbul sebesar da ( q) kalau usurusur ruag cotoh itu dijabarka sebagai da 0 sehigga H = {0, }, maka fugsi peluag Berouli dapat dibatasi sebagai : q, 0 p ( ), 0, selaiya Rumus ii dapat ditulis dalam betuk yag lebih pekat sebagai : p ( ) = q ( q ) -q, = 0, qda q( q) Jika sebagai akibat dilakukaya suatu tidaka tertetu aka timbul salah satu dari dua macam kejadia, maka kejadia ii diamaka kejadia Berouli Meetasya ayam jata atau betia merupaka suatu kejadia Berouli
3 Sebara Biomial Peristiwa yag disertai pelempara mata uag dimaa haya aka terjadi macam peristiwa, yaitu jatuhya pada gambar atau kalau tidak pada permukaa huruf Kalau peristiwa pertama mempuyai macam out come ii, maka dia dikataka sebagai Biomial Apabila, masig-masig merupaka perubaha acak yag bebas stokastik terhadap sesamaya, serta meyebar secara Berouli, maka = + ++ merupaka perubah acak yag meyebar meurut kaidah peluag biomium Oleh karea itu ruag cotoh kaidah peluag biomium haruslah sama dega : H 0,, Timbulya suatu ilai = disebabka oleh timbulya ilai buah ilai k = sebayak kali utuk berbagai ilai k, serta ( ) buah ilai X k = 0 karea ke- buah perubah acak ii bebas stokastik terhadap sesamaya, maka timbulya suatu kombiasi ilai-ilai perubaha acak, tertetu yag meyebabka bahwa jumlahya sama dega, memiliki peluag sebesar q (-q) - Karea bayak kombiasi ilaiilai yag meyebabka X = sama dega C (, ), maka peluag timbulya kejadia X = sebayak kali percobaa ialah : p (, ) = c = (X) q ( q), = 0,, disii C (, ) juga disebut sebagai koefisie biomial yag besarya : N C N ( ) C N 0 f (, ) Bahwa q bukalah suatu bilaga egatif tidaklah perlu diteragka lagi, oleh karea itu q adalah probabilitas terjadi dega sukses di dalam satu kali percobaa, yaitu suatu ilai yag tidak mugki merupaka bilaga egatif Telada Berapakah probabilitas utuk medapatka 3 huruf dalam pelempara 0 mata uag Jawab : N = 0 = 3 da p = q = ½ Disubstitusika dalam rumus P (0, 3 ) = C 0 0 ½ 3 ½ 7 3 0 3 / / ½ 3 ½ 7 3 3 = 0 37
STATISTIKA = 0 0 0, 7 0 0 Telada Misalya di dalam telada ii igi diketahui probabilitas utuk masig-masig kemugkia jatuhya pada permukaa 6 Jika satu dadu dilempar kali Jawab : Marilah kita misalka di sii bahwa jumlah kaliya mata 6 itu keluar di dalam pemutara yag empat kali itu ditujukka oleh variable radom haya dapat megambil ilai 0,,, 3 da P = /6 da q = /6 = /6 F(f) = ( : ) = 6 6 Sesudah meghitug ilai f (, ) itu utuk setiap ilai yag mugki, seperti baru saja dilakuka dapatlah disusu daftar pecara probabilitas da pada keluarya kali tetu 6 kali permukaa sebuah dadu kali Daftar sebara tersebut ditujukka oleh daftar : X 0 3 F() 0,8 0,386 0,6 0,0 0,00 Jumlah,000 Bila ilai adalah kecil, maka perhituga probabilitas megeai sebara persoala distribusi biomial dapat dega mudah dilakuka secara rekursif Secara rekursif meghubugka ilai-ilai f () secara berturutturut sebagai berikut : f ( ) f ( ) p q p q 38
39 Bila dua persamaa di atas diyataka dalam betuk perbadiga kita aka memperoleh persamaa sebagai berikut : q P q P q p q p f f ) ( ) ( Atau dapat dipersigkat sebagai berikut : f q P f Telada : Hituglah telada yag baru lalu dega metode rekursif sesuai dega formasi di atas, kita peroleh f f Nilai f (0) = 6 = 0,8, sehigga bagi ilai-ilai lai kita peroleh : 0,386 0 0 0 0 f f 0,6 f f 0,0 f f 0,00 3 3 3 3 f f Jika suatu distribusi frekuesi mempuyai parameter masig-masig, maka tidaklah megheraka jika distribusi biomial juga mempuyai ukura tertetu seperti agka rata-rata da variasi stadar Parameter yag
STATISTIKA telah dapat ditetuka terlebih dahulu ialah H da P Jadi setelah diadaka pembuktia matematika, maka dapatlah : Rata-rata : p Stadar deviasi : Soal : p q Berapakah probabilitas medapatka laki-laki dari kelahira? Berapakah rata-rata medapatka 3aak perempua dari kelahira aak? 3 Probabilitas medapatka aak berambut keritig sebesar 0,3 Berapa probabilitas dari 8 kelahira medapatka aak berambut keritig sejumlah aak? Berapakah rata-rata medapatka aak keritig? Sebara Poisso Distribusi biomial atau fugsi kepekaa biomial memiliki peraa petig sekali dalam aalisa statistik Pada umumya, formulaya seperti dipakai secara operatif utuk meghitug ilai-ilai f (,p ) dimaa = 0,,, bila secara perbadiga, parameter teryata besar sekali (lebih besar dari 0) sedagka p kecil sekali (lebih kecil dari pada 0,) sehigga hasil perkalia p mejadi moderat, maka perhituga f () tidak mudah dilakuka Kita dapat membayagka betapa sukarya utuk meghilagka ilai 0 f 00, 00 00 00 99 00 Dalam keadaa yag sedemikia itu, pemecaha f (,p )aka lebih mudah dilakuka dega cara pedekata poisso Bila kita mempersamaka p= m, maka distribusi Poisso yag aproksimatif tersebut dapat diberika sebagai berikut : f ( ) e p, p 96
dapat merupaka ilai 0,,, da e =,788 kita melihat terlebih dahulu parameter yag dipuyaiya Utuk rata-rata yag berlambag µ = p sedagka deviasi stadar (σ) = higga dega demikia maka variaya adalah sama dega rata-rata dari distribusi Poisso Pembuktia pada buku teori probabilitas da aalisa statistik (Tja They A, 967 pada hal 3) Telada : Bila buah uag logam dilemparka sebayak 6 kali berapakah probabilitas memperoleh kepala sebayak kali Pemecaha : Bila soal diilai probabilitas di atas dapat didekati dega megguaka formula di atas sebagai berikut : = 6, p = ( ½ ) = /3 µ = 6 ( /3 ) = Sehigga : e f ( ) dim aa u e 0,036 Pada hakekatya, fugsi Poisso memberika kita perhituga yag lebih mudah dari pada fugsi biomial, karea pada fugsi Poisso, kita haya memakai parameter u sedagka pada fugsi biomial, kita harus meghadapi variasi dari parameter / p Soal : Probabilitas sifat hidug macug dituruka dega p = 0,0 Apabila dari 00 kelahira disuatu daerah igi diketahui probabilitas medapatka kelahira maksimum aak berhidug macug? Probabilitas sumbig dituruka sebesar 0,0 Berapa kemugkia dari 0 kelahira medapatka sumbig sejumlah aak?
STATISTIKA 3 Sebara Hipergeometrik Pada suatu keadaa dimaa diambilya suatu beda dari sejumlah beda, maka keadaa aka berlaia dega apakah beda yag telah diambil diletakka kembali atau tidak Kalau setelah diambil da diamati, beda itu dikembalika ke dalam kumpulaya, serta kemudia diadaka pemeriksaa sekali lagi da seterusya higga kali, dega catata bahwa keadaa itu tetap dikembalika ke dalam kumpulaya setelah setiap pearika maka timbulya beda A kali dari ulaga pearika ii aka megikuti kaidah peluag biomium Aka tetapi jika sesudah setiap pearika tidak diadaka pemuliha beda yag ditarik ke dalam uiversum, maka persoala mejadi berlaia Dalam betuk yag lebih umum, jika dari N buah beda terdapat M buah dari jeis A, da oleh karea itu (N M) buah dari jeis B, maka dari tarika tapa pemuliha, peluag utuk medapatka buah beda dari gologa A, serta ( ) buah beda dari gologa B ialah : C( M) C( N M, ) p ( X ) C( N, ) N =,, 3, X = 0,,, mi (M) M = 0,,, N Fugsi peluag ii diamaka fugsi peluag hipergeometrik Telada : Jika suatu bejaa terdiri dari bola putih da 0 bola merah, berapakah perobabilitas terambilya bola putih da 3 bola merah, jika pegambila ke bola dari bejaa ii diambil dega tidak meletakka bola yag telah diambil terlebih dahulu Jawaba : yag tepat dalam hal ii adalah : 0 C C3 putih,3merah C 0,0 Fugsi Peluag Geometris Apabila suatu kejadia Berouli ditimbulka berulag-ulag sedag X dibatasi sebagai jumlah kejadia = yag timbul sebelum kejadia = 0 timbul maka : P (X= ) = p() = q ( q)
X = 0,, serta diamaka fugsi peluag geometric q /( q) da q /( q) Telada : Berapa peluag agar suatu keluarga medapatka aak laki-laki terlebih dahulu sebelum medapatka seorag bayi perempua? Jawab : Kalau peluag medapatka bayi laki-laki sama dega q = ½ maka peluag yag ditayaka ialah : p / 3 Sebara ormal Sebara ormal merupaka distribusi probabilitas teoritis bagi variable yag kotiyu yag juga diamaka sebara Gauss Betuk umum dari pada sebara ormal sebagia besar meyerupai kurva yag berbetuk loceg da simetris serta memajag secara tidak terbatas ke arah sisi positif da egatif Meskipu demikia, tidak semua sebara yag berbetuk loceg da simetris merupaka sebara ormal Pegertia sebara ormal merupaka dasar gua mempelajari berbagai cara peafsira da pegujia statistik yag sebearya berhubuga dega sebara luas (area) yag berada di bawah kurva Bila merupaka variabel radom yag kemugkia ilai-ilai laiya merupaka bilaga bilaga riel atara S da + S maka diamaka variabel radom ormal yag stadar, bila da haya bila probabilitas pada iterval dari a ke b merupaka luas dari a ke b atara sumbu da kurva ormal da persamaaya dapat diberika sebagai berikut: ( / ) / e // Fugsi yag dirumuska ii diamaka fugsi kepadata ormal (ormal desity fuctio) da serig diberi otasi f () Grafik dari () merupaka kurva yag berbetuk loceg da simetris seperti yag terlihat pada gambar Pada gambar tersebut, misal yag berbeda dipakai pada kedua sumbu Nilai maksimal bagi () adalah () - / 0,399 sehigga dalam sebuah sistem cartesius biasa, kurva y = () seharusya lebih medasar 3
STATISTIKA Dega jala membuat tabel da persamaa kurva ormal aka memberika titik-titik koordiat pada sebuah kurva ormal bagi ilaiilai atara -, higga +, bila titik koordiat (, y = ()) digambar kemudia mearik sebuah kurva yag rata melalui titik-titik tersebut, maka aka diperoleh sebuah kurva ormal 0, 0,3 0, 0, 3 0 3 y () Seluruh luas yag dibatasi oleh grafik f () sumbu harus sama dega uit Secara matematis : S S f ( ) d Hal ii sebearya memberika peryataa bahwa probabilitas yag merupaka ilai dalam iterval dari = a higga = b adalah sama dega luas yag dibatasi oleh kurva ormal, sumbu da garis vertikal = a da = b luas tersebut dapat dilihat pada gambar di bawah ii : y a 0 b P ( a b) A( ) Peetua luas A () dari pada sebuah kurva ormal yag stadar dimaa µ = 0 da tidaklah sukar Sesuai dega defiisi di atas, luas di bawah kurva ormal =, setiap bagia dari pada luas kurva dapat dihitug atau diperkiraka dega empat persegi pajagya Meskipu demikia, perhituga luas tersebut lebih mudah dicari dega batua tabel A () kurva ormal stadar Telada : berapakah probabilitas variabel radom ormal yag stadar merupaka ilai 0 da, Jawab : P (0<<) = A ()
Sesuai dega tabel A (), maka hasil A () = 0,33 Ii berarti kurag lebih 3 % dari pada seluruh probabilitas tersebut terletak atara 0 da, da secara simetris, kurag lebih 68% harus terletak atara - da Telada : Kalau Z merupaka perubah acak ormal baku (stadar disigkat dega catata Z & N (0,) a Berapakah peluag bahwa Z mecapai ilai yag lebih besar atau sama dega,60? b Berapakah ilai Z 0 agar p (0 < Z < Z 0 ) = 0,0? c Berapakah ilai p (- < Z < +) Jawab : a P(0,60) = 0,00 p(0 < z <,60) = 0,00 0, = 0,0 b P (0<z<,8) = 0,0 sehigga dari daftar haruslah z o =,8 c P (- < z < + ) = p (0 < z < +) = (0,33) = 0,686 Secara umum distribusi ormal yag kotiyu dega rata-rata µ da variace τ dapat diyataka dalam sebuah rumus sebagai berikut : u e F N ( ) Utuk < + S Karea pada keyataka kurva ormal dapat dimiliki µ da τ yag berbeda-beda da tidak mesti µ = 0 da τ = seperti pada kurva ormal baku / stadar gua peetua luas kurva bagi tiap µ da τ yag tertetu Pada hakekatya, hal demikia itu tidaklah perlu Luas kurva ormal dapat dicari dega jala megguaka (trasformasi) variable radom yag ormal dega sebara rata-rata µ da sebara deviasi stadar τ ke dalam persamaa Z = - µ serta kemudia meghitug ilaiya dega batua tabel F () atau A () N Perubah acak kotiyu aka megambil ilai diataraya da ± harus sama dega, karea kejadia ii adalah kejadia yag pasti aka
STATISTIKA terjadi Hal ii diperlihatka pada gambar dega meetapka bahwa luas seluruh daerah di bawah kurva adalah atau 00 % P(=a)=0 e 6 Jika luas daerah di bawah kurva ii diperguaka sebagai ukura peluag, maka peluag bahwa perubaha acak aka megambil suatu ilai tertetu a, sama dega ol Dega perkataa lai, bagi suatu perubaha acak yag kotiyu haruslah p ( = a) = 0 Pada gambar terlihat bahwa kurva f() dari persamaa di atas mulamula hampir medatar lalu aik dega kecepata yag meigkat sampai setiggi pada ilai = µ τ kemudia kurva ii terus aik tetapi dega laju yag berkurag sampai setiggi pada ilai = u, setelah itu kurva mulai turu dega cepat sampai kembali setiggi pada ilai = µ τ e Kurva terus turu, tetapi dega kecepata yag berkurag sampai akhirya hampir medatar maki medekati sumbu Apa yag aka terjadi jika ilai τ maki besar? Titik belah aka maki jauh dari y = µ da ilai f () aka maki kecil, yag berarti bahwa pucak kurva ii maki redah Hal ii meujukka bahwa keragama perubaha acak maki besar, atau keyataa lagi bahwa τ merupaka ukura peyebara bagi suatu perubaha acak Suatu hal yag mearik aka terjadi jika µ = 0 da τ = khusus bagi hal demikia, perubaha acak ormal ii dilambagka dega huruf z (jadi buka () da Q diperguaka sebagai lambag bagi fugsi kepekata sebagai peggati dari f yag telah diuraika di depa
Telada : Jika diketahui bahwa tiggi mahasiswa pria Idoesia merubah acak ormal dega ilai tegah 60 cm da ragam 6 cm, berapakah peluag bahwa tiggi bada mahasiswa pria yag dijumpai secara acak ada di atara 8 da 6 cm Jawab : Kalau diumpamaka bahwa tiggi bada sama dega perubaha acak, maka s N (60,6) yag diyataka ialah p (8 < < 6) ilaiya dapat ditetuka dari daftar dega terlebih dahulu megadaka suatu trasformasi perubaha ormal baku z sebagai berikut : p(8 6) 8 p p( 0,9 60 60 6 60 0,00 Z,000) p(0 Z,000) 0,3 0,33 Telada : Berapa peluag dari p(x<30), jika rata-rata 8 da stadar deviasi dari distribusi ormal : P(X<30) = p( (30-8)/) = p(z<,0) = 0,33+0, = 0,83// Melihat Tabel Normal Utuk membuat iterval, maka terlebih dahulu harus ditetuka ilai tabel z Jika tigkat keyakia = 9%, maka di bada tabel dilihat 0,9 / 0,70 9% 0,70 Z 0,0 =,96 7
STATISTIKA Tabel : Z (Daerah-daerah di bawah Kurva Normal) Z 0,00 0,0 0,0 0,03 0,0 0,0 0,06 0,07 0,08 0,09 0,9,0 0,39 0,33,386,338,3,36,338,38,36,308,389,33 0,33 0,3,330,377,336,399,3389,36, 0,363,366,3686,3708,379,379 0,3770,3790,380,3830, 0,389,3869,3888,3907,39,39 0,396,3980,3997,0,3 0,03,09,066,08,099,0 0,3,7,6,77, 0,9,07,,36,,6 0,79,9,306,39, 0,33,3,37,370,38,39 0,06,8,9,,6 0,,63,7,8,9,0 0,,,3,,7 0,,6,73,8,9,99 0,608,66,6,633,8 0,6,69,66,66,67,678 0,686,693,699,706,9 0,73,79,76,73,738,7 0,70,76,76,767 Cotoh : Diameter umbi taama bawag merah berdistribusi ormal dega = mm Diambil sampel sebayak = 36 buah umbi da diukur diameterya diperoleh rata-rata = 30 mm Buat iterval rata-rata diameter bawag merah secara keseluruha dega megguaka tigkat keyakia = 90% atau = 0% 90% 0,00 8 Z 0 z,90 0,00,6
Z,00,0,0,03,0,0,06,07,08,09,0,33,338,36,38,308,33,3,377,399,36,,363,366,3686,3708,379,379,3770,3790,380,3830,,389,3869,3888,3907,39,39,396,3980,3997,0,3,03,09,066,08,099,0,3,7,6,77,,9,07,,36,,6,79,9,306,39,,33,3,37,370,38,39,06,8,9,,6,,63,7,8,9,0,,,3,,7,,6,73,8,9,99,608,66,6,633,8,6,69,66,66,67,678,686,693,699,706,9,73,79,76,73,738,7,70,76,76,767 Kemudia hitug z r,6 36 Sehigga P ( 30,37 < µ < 30 +,37 ) = 90% P ( 8,63 < µ < 3,37 ) = 90% z 0,00 36,37 Artiya : jika rata-rata sampel diameter umbi adalah 30 mm, kita yaki 90% bahwa rata-rata diameter umbi secara keseluruha adalah atara 8,63-3,37 Membuat iterval dega megguaka tabel z diatas dilakuka jika populasi diketahui (dilihat dari diketahuiya ) Jika populasi tidak diketahuiya, maka ilai simpaga baku yag diguaka adalah ilai simpaga baku sampel s da tabel yag diguaka adalah tabel t t Dega ilai tabel - Persamaaya mejadi P( t S,,, Jika digambarka dimaa? = da derajat kebebasa df = t S ) 9
STATISTIKA Sehigga besarya peyimpaga adalah t t,, S S Melihat Tabel t Utuk membuat iterval, maka terlebih dahulu harus ditetuka ilai tabel t 0,0 Jika tigkat keyakia = 9%, maka = 0,0 da Misalka = 0, maka df = - = 0 = 9 Kemudia lihat di atas di 0,0 da disampig 9, diperoleh ilai t =,96 9% -α 0,0 α/ α/ =,6 t 0,0,9 0
df t 0, t 0,0 t 0,0 t 0,0 t 0,00 3,0777 6,337,706 3,80 63,69,886,900,307 6,96 9,90 3,6377,33 3,8,07,808,33,38,776 3,769,60,79,00,706 3,369,03 6,398,93,69 3,7 3,707 7,9,896,366,9979 3,99 8,3968,89,3060,896 3,3 9,3830,833,6,8 3,98 0,37,8,8,7638 3,693 Cotoh : Suatu sampel berukura = 0 dega rata-rata = 9, da s = 3, Dega tigkat keyakia 90% buat iterval peaksira rata-rata populasi Tigkat keyakia = 90%, maka = 0, da 0, 0 N = 0, maka df = - = 0 = = 9 Kemudia lihat diatas di 0,0 da di sampig 9, diperoleh ilai t =,833 90% 0,0 =,833 t 0,0, 9
STATISTIKA df t 0, t 0,0 t 0,0 t 0,0 t 0,00 3,0777 6,337,706 3,80 63,69,886,900,307 6,96 9,90 3,6377,33 3,8,07,808,33,38,776 3,769,60,79,00,706 3,369,03 6,398,93,69 3,7 3,707 7,9,896,366,9979 3,99 8,3968,89,3060,896 3,3 9,3830,833,6,8 3,98 0,37,8,8,7638 3,693 Kemudia hitug t, S t 0,0,9 3, 0 3,,833 0,88 P( t S S a t a ) Sehigga,, P ( 9,,88 < µ < 9, +,88 ) = 90% P ( 7,6 < µ <,38 ) = 90% Artiya : jika rata-rata sampel adalah 9,, kita yaki 90% bahwa rata-rata secara keseluruha adalah atara : 7,6-,38
3