BAB V PENGGUNAAN TURUNAN Setela pada bab sebelumnya kita membaas pengertian, sifat-sifat, dan rumus-rumus dasar turunan, pada bab ini kita akan membaas tentang aplikasi turunan, diantaranya untuk mengitung nilai it bentuk tak tentu, laju sesaat, aproksimasi, dan maksimum minimum. TIK : Setela mengikuti pokok baasan ini maasiswa diarapkan mampu menerapkan turunan fungsi pada masala yang diberikan. 5.. Laju Perubaan. Tentukan laju perubaan P teradap T, jika P = kt P(T) = kt dp Laju perubaan P teradap T adala = k. dt. Jika s = 6t menyatakan posisi benda teradap waktu pada gerak jatu bebas, maka tentukan laju jatunya benda tersebut pada saat t = 6. s = 6t ds ds Laju jatunya benda adala = t. Untuk t = 6, maka =.6 = 9. dt dt Soal Latian. Tentukan laju pertumbuan bakteri yang persamaan pertumbuannya diberikan ole N = N o e -kt, k > 0.. Diketaui sebua partikel bergerak sepanjang garis koordinat seingga jarak berara dari titik asal ke titik setela t detik adala (-t +4t) meter. Tentukan kapan partikel berenti.. Suatu kultur bakteri berkembang seingga mempunyai massa sebesar ½ t + gram setela t detik. a. berapa banyak kultur yang tumbu selama selang t,0 b. berapa laju pertumbuan rata-rata selama selang t,0 c. berapa laju pertumbuan sesaatnya pada t =. 5.. Hampiran (Aproksimasi) Jika y = f(), maka dy = f () d. Dari bentuk ini, nilai y dapat diampiri ole : y f (). Selanjutnya, y f ( ) f ( ), maka nilai f ( ) dapat diampiri ole: f ( ) f ( ) y f ( ) f '( ).. Tentukan ampiran dari 4, 6. 5
Misalkan f ( ). Diambil 4 dan 0, 6 (mengapa?) f ( f ( Jadi 4, 6,5. ) ) f ( ) f ' ( ) 4, 6 4. 0, 6 05, 4. Tentukan ampiran pertambaan luas gelembung sabun pada saat jari-jarinya bertamba dari cm menjadi,05 cm. Luas gelembung bola sabun : A = 4 r. da = 8 r dr. A 8 r r = 8... 0,05 =,885 cm Jadi ampiran pertambaan luas gelembung sabun adala,885 cm. Soal Latian. Rusuk kubus diukur sebagai,4 cm dengan galat yang mungkin 0,05 cm. Hitung volume kubus dan berikan taksiran untuk galat dalam nilai ini.. Garis tenga luar sebua tempurung bola tipis adala dm. Jiksa tebal tempurung 0, dm, carila volume daera sebela dalam tempurung.. Garis tenga sebua bola diukur sebagai 0 0, cm. Hitung volumenya dengan suatu taksiran untuk galat 4. Penggiling berbentuk tabung panjangnya tepat cm dan panjang garis tenganya adala 6 0,005 cm. Hitung volumenya dengan taksiran untuk galat. 5.. Kemiringan Kurva L L ( o +,f( o +)) ( o,f( o )) Pada gambar di atas, L merupakan garis singgung kurva y = f() di titik ( o,f( o )) dan L adala garis yang melalui ( o,f( o )) dan ( o +,f( o +)). Gradien (kemiringan) garis L adala : m f ( ) f ( o o L. ) 6
Selanjutnya jika 0, maka L L, seingga ml m L. Ole karena itu f ( o ) f ( o ) ml ml 0 0 = f ( o ).. Tentukan kemiringan garis yang menyinggung kurva y = + di = 5. Kemiringan garis singgung kurva y = + adala y = pada saat =5., seingga kemiringannya adala 0.. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 5 + 6 di titik (,0) Kemiringan kurva y = 5 + 6 adala y = - 5, seingga di = kemiringannya adala -. Ole karena itu kemiringan garis singgung adala m = -, seingga persamaan garis singgungnya adala : y = m( o ) + y o = -( ) + 0 atau y = - +. Soal Latian. Carila garis singgung lingkaran + 4 + y + = 0 di titik (-,0). Carila garis pada kurva 8( + y ) = 00( - y ) di titik (,). Perliatkan bawa grafik dari + y = 6 dan y = 4 berpotongan tegak lurus 4. Perliatkan bawa grafik dari y = dan - y = berpotongan tegak lurus 5. Tentukan titik-titik pada kurva y - y = yang garis singgungnya tegak lurus sumbu 5.4. Naik Turunnya Kurva Peratikan gambar di bawa ini. L ( o +,f( o +)) L ( o,f( o )) Dari penjelasan sebelumnya tela disebutkan bawa f ( o ) f ( o ) ml ml 0 0 = f ( o ). Karena garis singgung kurva L condong ke kanan, maka m L = f ( o ) > 0. Selanjutnya di = o kurva f naik, maka dapat disimpulkan bawa :. Kurva f naik di = o, jika f ( o ) > 0. Kurva f turun di = o, jika f ( o ) < 0 7
. Kurva f tidak naik dan tidak turun di = o, jika f ( o )=0. Titik ( o,f( o )) dengan f ( o ) = 0 disebut titik kritis. i. Titik kritis disebut titik maksimum, jika f ()<0 untuk > o dan f () > 0 untuk < o ii. Titik kritis disebut titik minimum, jika f ()>0 untuk > o dan f () < 0 untuk < o iii. Titik kritis disebut titik belok, jika f ()<0 untuk o atau f () > 0 untuk o.. Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan titik belok dari kurva y = kemudian sketsala grafiknya. 5 5, y = 4 = ( )(+). Titik kritis terjadi pada saat y = 0, yaitu pada = 0, -, dan. < - - < < 0 0 < < > y Negatif positif positif Negatif Minimum di = -, maksimum di =, dan belok di = 0 Sketsa grafik : 5 Titik potong dengan sumbu, jika y = 0 =, maka = 0 atau = 5 Titik potong dengan sumbu y, yaitu jika = 0, diperole y = 0. 5 Nilai maksimum y = 5 dan nilai minimum y = -5. Titik belok adala (0,0). Sketsa grafiknya ditunjukkan ole gambar di bawa ini.. Tentukan nilai maksimum fungsi y = - 5 pada interval [-,] y = = 0, maka = atau = -. + - --- + - Nilai maksimum kurva di = -, yaitu y = - Nilai minimum kurva di =, yaitu y = -7. f() = - dan f(-) = -7. Jadi nilai minimum kurva adala 7, sedangkan nlai maksimumnya adala. 8
Soal Latian. Tentukan laju perubaan luas A dari suatu lingkaran teradap jari-jari dan sketsa kurva A teradap jari-jari =,,, 4 dan kemudian plot kemiringan kurva pada masing-masing jari-jari.. Tentukan laju perubaan volume suatu partikel emulsi berbentuk bola teradap jarijarinya.. Kotak segi empat dibuat dari selembar papan, panjang 4 cm dan lebar 9 cm, dengan memotong bujur sangkar identik pada keempat pojok dan melipat ke atas sisi-sisinya. Cari ukuran kotak yang volumenya maksimum. 4. Sebua segi empat mempunyai dua titik sudut pada sumbu dan dua titik sudut lainnya pada parabola y = dengan y 0. Tentukan ukuran segi empat dengan luas maksimum. 5. Carila ukuran tabung lingkaran tegak yang volumenya semaksimum mungkin yang dapat diletakkan di dalam sebua kerucut lingkaran tegak. 6. Sketsa grafif dari fungsi di bawa ini : a. f() = + b. g() = 4 6 + c. () = 6 4 5.5. Aturan L Hospital Pada bab III kita tela membaas tentang teknik mengitung it fungsi. Teknik yang tela diberikan sebelumnya ternyata tidak cukup untuk mengitung it fungsi yang ada, kususnya it bentuk tak tentu, seperti cos e 0. Bentuk tak tentu ini berupa bentuk 0 0, sedangkan bentuk tak tentu lainnya adala 0., -, 0 0, 0, dan. Ole karena itu diperlukan teknik yang lainnya, diantaranya adala aturan L Hospital. Aturan L Hospital adala sebagai berikut: Jika f ( a ) 0 dan g ( a ) 0 atau f ( a ) dan g ( a ), maka a f ( ) g( ) f ' ( ). a g' ( ) a 6 9
Soal Latian Dengan menggunakan dalil L Hospital, itungla (jika ada) :.. 8. 9. 0 0. 4. 5. 6. 7. 4 4 5 0 ( ) 0 9 5 6 0. ( ) ( ). ( 4 5 6 ). ( ) 6. 40