Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Integral dan Persamaan Diferensial ii Darublic
BAB 3 Integral (3) (Integral Tentu) 3.. Luas Sebagai Suatu Integral. Integral Tentu Integral tentu meruakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konse dasar dari integral tertentu adalah luas bidang yang diandang sebagai suatu limit. Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva y = f(), sumbu-, garis vertikal =, dan =, yaitu luas bagian yang diarsir ada Gb.3..a. Sebutlah luas bidang ini A. Bidang ini kita bagi dalam n segmen dan kita akan menghitung luas setia segmen dan kemudian menjumlahkannya untuk memeroleh A. Jika enjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas segmen seerti tergambar ada Gb.3..b, kita akan memeroleh luas yang lebih kecil dari dari luas yang kita harakan; sebutlah jumlah luas segmen ini A b (jumlah luas segmen bawah). Jika enjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas segmen seerti tergambar ada Gb.3..c, kita akan memeroleh luas yang lebih besar dari dari luas yang kita harakan; sebutlah jumlah luas segmen ini A a (jumlah luas segmen atas). Kedua macam erhitungan tersebut di atas akan mengakibatkan terjadinya galat (error). Antara mereka ada selisih seerti digambarkan ada Gb.3..d. Jika k adalah suatu nilai di antara kedua batas segmen ke-k, yaitu antara k dan ( k + ), maka berlaku f ( k ) f ( k ) f ( k + ) (3.) Jika ertidaksamaan (3.) dikalikan dengan k yang yang cuku kecil dan bernilai ositif, maka f ( k ) k f ( k ) k f ( k + ) k (3.) 3-
y y = f() (a) y k k+ n y = f() (b) y k k+ n y = f() (c) y k k+ n y = f() (d) k k+ n Gb.3.. Menghitung luas bidang di bawah kurva. 3- Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial
Sekarang luas segmen di ruas kiri, tengah, dan kanan dari (3.) kita jumlahkan dari samai n (yaitu sebanyak jumlah segmen yang kita buat), kita akan memeroleh n n n f ( k ) k f ( k ) k f ( k + ) k (3.3) k= k= k= Ruas aling kiri adalah jumlah luas segmen bawah, A b ; ruas aling kanan adalah jumlah luas segmen atas, A a ; ruas yang di tengah adalah jumlah luas segmen ertengahan, kita namakan A n. Jelaslah bahwa A b An Aa (3.4) Nilai A n daat diakai sebagai endekatan ada luas bidang yang kita cari. Galat (error) yang terjadi sangat tergantung dari jumlah segmen, n. Jika n kita erbesar menuju tak hingga, seraya menjaga agar semua k menuju nol, maka luas bidang yang kita cari adalah A = lim Ab = lim An = lim Aa (3.5) Jadi aabila kita menghitung limitnya, kita akan memeroleh nilai limit yang sama, aakah kita menggunakan enjumlahan segmen bawah, atau atas, atau ertengahannya. Limit yang sama ini disebut integral tertentu, dituliskan A f ( ) d (3.6) = Integral tertentu (3.6) ini terkait dengan integral tak tentu (9.) A = f ( ) d= F( ) ] = F( ) F( ) (3.7) Jadi untuk memeroleh limit bersama dari enjumlahan segmen bawah, enjumlahan segmen atas, mauun enjumlahan segmen ertengahan dari fungsi f() dalam rentang, kita cuku melakukan: a. integrasi untuk memeroleh F ( ) = f ( ) d ; b. masukkan batas atas = untuk mendaat F(); c. masukkan batas bawah = untuk mendaat F(); d. kurangkan erolehan batas bawah dari batas atas, F() F(). 3-3
Walauun dalam embahasan di atas kita mengambil contoh fungsi yang bernilai ositif dalam rentang, namun embahasan itu berlaku ula untuk fungsi yang dalam rentang semat bernilai negatif. Kita hanya erlu mendefinisikan kembali aa yang disebut dengan A dalam embahasan sebelumnya. Pendefinisian yang baru ini akan berlaku umum, yaitu A adalah luas bidang yang dibatasi oleh y= f () dan sumbu- dari samai, yang meruakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu- dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-. Agar lebih jelas kita mengambil contoh ada Gb 3.. y = 3-4 -3 - - 3 4 Gb.3.. Kurva y= Kita akan menghitung luas antara y= 3 dan sumbu- dari = 3 samai = +3. Bentuk kurva dierlihatkan ada Gb.3. Di sini terlihat bahwa dari = 3 samai kurva berada di atas sumbu- dan antara = samai +3 kurva ada di bawah sumbu-. Untuk bagian yang di atas sumbu- kita memunyai luas 4 3 A a = ( ) d= 6 3 4 3 = (,5 54) = 33,75 3-4 Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial - - 3 Untuk kurva yang di bawah sumbu- kita daatkan 3 3 4 3 A b = ( ) d= 6 4 =,5 54 () = 33,75 y
Luas yang kita cari adalah luas bagian yang berada di atas sumbu- dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu- A = Aa Ab = 33,75 ( 33,755) = 67,5 Contoh ini menunjukkan bahwa dengan engertian yang baru mengenai A, formulasi A = f ( ) d= F( ) F( ) ) teta berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas mauun di bawah sumbu-. Dengan demikian maka untuk bentuk kurva seerti ada Gb.3.3. kita daatkan yang kita eroleh dari A = A + A A3 + A4 A = f ( ) d= F( ) F ( )) y y = f() A A 4 A A 3 Gb.3.3. Kurva memotong sumbu- di beberaa titik. 3-5
3.. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva Kita akan menghitung luas bidang di antara kurva y = f ( ) dan y = f ( ) ada batas antara = dan =. Kurva yang kita hadai sudah barang tentu harus kontinyu dalam rentang. Kita tetakan bahwa kurva y = f ( ) berada di atas y = f ( ) meskiun mungkin mereka memiliki bagian-bagian yang berada di bawah sumbu-. Perhatikan Gb.3.4. Rentang kita bagi dalam n segmen, yang salah satunya dierlihatkan ada Gb.3.4. dengan batas kiri dan batas kanan (+ ), dimana = ( ) / n. y y A + y Gb.3.4. Menghitung luas bidang antara dua kurva. Luas segmen daat didekati dengan A segmen = { f ( ) f( ) } (3.8) yang jika kita jumlahkan seluruh segmen akan kita eroleh n = A segmen= { f ( ) f( ) } (3.9) = Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga menuju nol kita samai ada suatu limit n A = lim Asegmen= { f( ) f( ) } d (3.) Kita akan melihat beberaa contoh Contoh : Jika y = 4 dan y = beraakah luas bidang antara y dan y dari = = samai = = +3. + 3 + 3 A = ({ 4 ( ) } d= 6] = 8 ( ) = 3 3-6 Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial
Hasil ini dengan mudah dijakinkan menggunakan lanimetri. Luas yang dicari adalah luas ersegi anjang dengan lebar y y = 6 dan anjang = 5. Contoh : Jika y = dan y = 4 berakah luas bidang yang dibatasi oleh y dan y. Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai ada erotongan antara y dan y. y = y = 4 = =, = = Perhatikan bahwa y adalah fungsi angkat dua dengan titik uncak minimum yang berada ada osisi [,]. Oleh karena itu bagian kurva y yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya, berada di di bawah y = 4. 3 (4 ) A = 4 d== 3-8 8 6 6 3 8 8 = = 3 3 3 3 3 Jika kita terbalik dalam memandang osisi y terhada y kita akan melakukan kesalahan: 3 * ( 4) A 4 = d= 3-8 8 6 + 6 8 + 8 = = 3 3 3 3 Contoh 3: Jika y = + dan y = beraakah luas bidang yang dibatasi oleh y dan y. Terlebih dulu kita erhatikan karakter fungsi-fungsi ini. Fungsi y adalah fungsi kuadrat dengan titik uncak maksimum yang memotong sumbu-y di y =. Fungsi y adalah garis lurus melalui titik asal [,] dengan kemiringan negatif, yang berarti ia menurun ada arah ositif. Dengan demikian maka bagian kurva y yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya berada di atas y. 3-7
Batas integrasi adalah nilai ada erotongan kedua kurva. y = y + = atau + + = + + 8 + 8 = = = ; = = = 3 ( ) A = + + d= + + 3 8 = + + 4 + = 4,5 3 3 3.3. Peneraan Integral Pembahasan di atas terfokus ada enghitungan luas bidang di bawah suatu kurva. Demikian juga di bab sebelumnya. Hal tersebut dilakukan untuk memudahkan visualisasi. Dalam raktek kita tidak selalu menghitung luas melainkan menghitung berbagai besaran fisis yang berubah terhada waktu misalnya. Perubahan besaran fisis ini daat ula divisualisasi dengan membuat absis dengan satuan waktu dan ordinat dengan satuan besaran fisis yang dimaksud. Dengan demikian seolaholah kita menghitung luas bidang di bawah kurva. Berikut ini dua contoh dalam kelistrikan. Contoh : Sebuah iranti menyera daya W ada tegangan konstan V. Beraakah energi yang disera oleh iranti ini selama 8 jam? Daya adalah laju erubahan energi. Jika daya diberi simbol dan energi diberi simbol w, maka dw = yang memberikan w = dt dt Perhatikan bahwa eubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang disera selama 8 jam adalah 8 8 8 w= dt= dt= t = 8 Watt.hour [Wh] =,8 kilo Watt hour [kwh] 3-8 Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial
Contoh : Arus yang melalui suatu iranti berubah terhada waktu sebagai i(t) =,5 t amere. Beraakah jumlah muatan yang diindahkan melalui iranti ini antara t = samai t = 5 detik? Arus i adalah laju erubahan transfer muatan,. d i= sehingga = dt idt Jumlah muatan yang diindahkan dalam 5 detik adalah 5 5 5,5,5 = idt =,5 = = =,65 tdt t coulomb 3.4. Pendekatan umerik Dalam embahasan mengenai integral tentu, kita fahami bahwa langkahlangkah dalam menghitung suatu integral adalah:. Membagi rentang f() ke dalam n segmen; agar roses erhitungan menjadi sederhana buat segmen yang sama lebar,.. Integral dalam rentang dari f() dihitung sebagai n f ( ) d= lim f ( k ) k k= dengan f( k ) adalah nilai f() dalam interval k yang besarnya akan sama dengan nilai terendah dan tertinggi dalam segmen k jika menuju nol. Dalam alikasi raktis, kita tentu bisa menetakan suatu nilai sedemikian rua sehingga jika kita mengambil f( k ) sama dengan nilai terendah atauun tertinggi dalam k, hasil erhitungan akan lebih rendah atauun lebih tinggi dari nilai yang diharakan. Namun error yang terjadi masih berada dalam batas-batas toleransi yang daat kita terima. Dengan cara ini kita mendekati secara numerik erhitungan suatu integral, dan kita daat menghitung dengan bantuan komuter. Sebagai ilustrasi kita akan menghitung kembali luas bidang yang dibatasi oleh kurva y= 3 dengan sumbu- antara = 3 dan = +3. Lauas 3-9
ini telah dihitung dan menghasilkan A = 67, 5. Kali ini kita melakukan erhitungan endekatan secara numerik dengan bantuan komuter. = 3 3 A ( ) d 3 Karena yang akan kita hitung adalah luas antara kurva dan sumbu-, maka bagian kurva yang berada di bawah sumbu- harus dihitung sebagai ositif. Jika kita mengambil nilai =,5 maka rentang 3 3 akan terbagi dalam 4 segmen. Perhitungan menghasilkan A 4 = ( k= 3 k Error yang terjadi adalah sekitar,5%. k ) = 67,39875 67,4 Jika kita mengambil =,5 maka rentang 3 3 akan terbagi dalam segmen. Perhitungan menghasilkan A ( = k= 3 k Error yang terjadi adalah sekitar,%. k ) = 67,48875 67,5 Jika kita masih mau menerima hasil erhitungan dengan error,%, maka hasil endekatan numerik sebesar 67,4 cuku memadai. Perhitungan numerik di atas dilakukan dengan menghitung luas setia segmen sebagai hasilkali nilai minimum atauun nilai maksimum masing-masing segmen dengan. Satu alternatif lain untuk menghitung luas segmen adalah dengan melihatnya sebagai sebuah traesium. Luas setia segmen menjadi ( f ( min ) + f ( )) / Asegmen= k kmaks (3.3) Perhitungan endekatan numerik ini kita lakukan dengan bantuan komuter. Kita bisa memanfaatkan rogram alikasi yang ada, atauun menggunakan sread sheet jika fungsi yang kita hadai cuku sederhana. 3- Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial
3-