Had Out MATA KULIAH ANALISIS REAL I Disusu Oleh : La Ode Muhammad Agush Salam Diperguaka utuk Mahasiswa S Prog. Studi Ped. Matematika Jurusa PMIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HALUOLEO KENDARI 006 Aalisis Real I
Aljabar Himpua BAB PENDAHULUAN Pada bab pertama ii, kita aka membahas beberapa prasyarat yag diperluka utuk mempelajari aalisis real. Bagia. da. kita aka megulag sekilas tetag aljabar himpua da fugsi, dua alat yag petig utuk semua cabag matematika. Pada bagia.3 kita aka memusatka perhatia pada metoda pembuktia yag disebut iduksi matematika. Ii berhubuga dega sifat dasar sistem bilaga asli, da walaupu pegguaaya terbatas pada masalah yag khusus tetapi hal ii petig da serig diguaka... Aljabar Himpua Bila A meyataka suatu himpua da x suatu usurya, kita aka tuliska dega x A, utuk meyigkat peryataa x suatu usur di A, atau x aggota A, atau x termuat di A, atau A memuat x. Bila x suatu usur tetapi buka di A kita tuliska dega x A. Bila A da B suatu himpua sehigga x A megakibatka x B (yaitu, setiap usur di A juga usur di B), maka kita kataka A termuat di B, atau B memuat A atau A suatu subhimpua dari B, da dituliska dega A B atau B A. Bila A B da terdapat usur di B yag buka aggota A kita kataka A subhimpua sejati dari B. Aalisis Real I
Pedahulua... Defiisi. Dua himpua A da B dikataka sama bila keduaya memuat usurusur yag sama. Bila himpua A da B sama, kita tuliska dega A = B Utuk membuktika bahwa A = B, kita harus meujukka bahwa A B da B A. Suatu himpua dapat dituliska dega medaftar aggota-aggotaya, atau dega meyataka sifat keaggotaa himpua tersebut. Kata sifat keaggotaa memag meimbulka keragua. Tetapi bila P meyataka sifat keaggotaa (yag tak bias artiya) suatu himpua, kita aka tuliska dega {x P(x)} utuk meyataka himpua semua x yag memeuhi P. Notasi tersebut kita baca dega himpua semua x yag memeuhi (atau sedemikia sehiga) P. Bila dirasa perlu meyataka lebih khusus usur-usur maa yag memeuhi P, kita dapat juga meuliskaya dega { x S P(x)} utuk meyataka sub himpua S yag memeuhi P. Beberapa himpua tertetu aka diguaka dalam bukti ii, da kita aka meuliskaya dega peulisa stadar sebagai berikut : Himpua semua bilaga asli, N = {,,3,...} Himpua semua bilaga bulat, Z = {0,,-,,-,...} Himpua semua bilaga rasioal, Q = {m/ m, Z, 0} Himpua semua bilaga real, R. Cotoh-cotoh : (a). Himpua {x N x -3x+=0}, meyataka himpua semua bilaga asli yag memeuhi x - 3x + = 0. Karea yag memeuhi haya x = da x =, maka himpua tersebut dapat pula kita tuliska dega {,}. (b). Kadag-kadag formula dapat pula diguaka utuk meyigkat peulisa himpua. Sebagai cotoh himpua bilaga geap positif serig dituliska dega {x x N}, daripada {y N y = x, x N}. Aalisis Real I 3
Aljabar Himpua Operasi Himpua Sekarag kita aka medefiisika cara megkostruksi himpua baru dari himpua yag sudah ada.... Defiisi. (a). Bila A da B suatu himpua, maka irisa (=iterseksi) dari A B dituliska dega A B, adalah himpua yag usur-usurya terdapat di A juga di B. Dega kata lai kita mempuyai A B = {x x A da x B}. (b). Gabuga dari A da B, dituliska dega A B, adalah himpua yag usurusurya palig tidak terdapat di salah satu A atau B. Dega kata lai kita mempuyai A B = {x x A atau x B}...3. Defiisi. Himpua yag tidak mempuyai aggota disebut himpua kosog, dituliska dega { } atau. Bila A da B dua himpua yag tidak mempuyai usur bersama (yaitu, A B = ), maka A da B dikataka salig asig atau disjoi. Berikut ii adalah akibat dari operasi aljabar yag baru saja kita defiisika. Karea buktiya merupaka hal yag ruti, kita tiggalka kepada pembaca sebagai latiha...4. Teorema. Misalka A,B da C sebarag himpua, maka (a). A A = A, A A = A; (b). A B = B A, A B = B A; (c). (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C); (d). A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C); Kesamaa ii semua berturut-turut serig disebut sebagai sifat idempote, komutatif, asosiatif da distributif, operasi irisa da gabuga himpua. Melihat kesamaa pada teorema..4(c), biasaya kita taggalka kurug da cukup ditulis dega A B C, A B C. Aalisis Real I 4
Pedahulua Dimugkika juga utuk meujukka bahwa bila {A,A,,A } merupaka koleksi himpua, maka terdapat sebuah himpua A yag memuat usur yag merupaka pa-lig tidak usur dari suatu A j, j =,,..., ; da terdapat sebuah himpua B yag usur-usurya merupaka usur semua himpua A j, j=,,...,. Dega meaggalka kurug, kita tuliska dega A = A A A = {x x A j utuk suatu j}, B = A A... A = {x x A j utuk semua j}. Utuk mempersigkat peulisa, A da B di atas serig dituliska dega A = U A j j= B = I A j j= Secara sama, bila utuk setiap j usur di J terdapat himpua A j, maka U j J A j meyataka himpua yag usur-usurya palig tidak merupaka usur dari salah satu A j. Sedagka I A j, meyataka himpua yag usur-usurya adalah usur j J semua A j utuk j J...5. Defiisi. Bila A da B suatu himpua, maka kompleme dari B relatif terhadap A, dituliska dega A\B (dibaca A mius B ) adalah himpua yag usurusurya adalah semua usur di A tetapi buka aggota B. Beberapa peulis megguaka otasi A - B atau A ~ B. Dari defiisi di atas, kita mempuyai A\B = {x A x B}. Serigkali A tidak diyataka secara eksplisit, karea sudah dimegerti/disepakati. Dalam situasi begii A\B serig dituliska dega C(B)...6. Teorema. Bila A,B,C sebarag himpua, maka A\(B C) = (A\B) (A\C), A\(B C) = (A\B) (A\C). Aalisis Real I 5
Aljabar Himpua Bukti : Kita haya aka membuktika kesamaa pertama da meiggalka yag kedua sebagai latiha bagi pembaca. Kita aka tujukka bahwa setiap usur di A\(B C) termuat di kedua himpua (A\B) da (A\C), da sebalikya. Bila x di A\(B C), maka x di A, tetapi tidak di B C. Dari sii x suatu usur di A, tetapi tidak dikedua usur B atau C. (Megapa?). Kareaya x di A tetapi tidak di B, da x di A tetapi tidak di C. Yaitu x A\B da x A\C, yag meujukka bahwa x (A\B) (A\C). Sebalikya, bila x (A\B) (A\C), maka x (A\B)da x (A\C). Jadi x A tetapi buka aggota dari B atau C. Akibatya x A da x (B C), karea itu x A\(B C). Karea himpua (A\B) (A\C) da A\(B C).memuat usur-usur yag sama, meurut defiisi.. A\(B C).= (A\B) (A\C). Produk (hasil kali) Cartesius Sekarag kita aka medefiisika produk Cartesius...7. Defiisi. Bila A da B himpua-himpua yag tak kosog, maka produk cartesius A B dari A da B adalah himpua pasaga berurut (a,b) dega a A da b B. Jadi bila A = {,,3} da B = {4,5}, maka A B = {(,4),(,5),(,4),(,5),(3,4),(3,5)} Latiha... Gambarka diagram yag meyataka masig-masig himpua pada Teorema..4.. Buktika bagia (c) Teorema..4. 3. Buktika bagia kedua Teorema..4(d). 4. Buktika bahwa A B jika da haya jika A B = A. Aalisis Real I 6
U Pedahulua 5. Tujukka bahwa himpua D yag usur-usurya merupaka usur dari tepat satu himpua A atau B diberika oleh D = (A\B) (B\A). Himpua D ii serig disebut dega selisih simetris dari A da B. Nyataka dalam diagram. 6. Tujukka bahwa selisih simetris D di omor 5, juga diberika oleh D = (A B)\(A B). 7. Bila A B, tujukka bahwa B = A\(A\B). 8. Diberika himpua A da B, tujukka bahwa A B da A\B salig asig da bahwa A = (A B) (A\B). 9. Bila A da B sebarag himpua, tujukka bahwa A B = A\(A\B). 0. Bila {A, A,..., A } suatu koleksi himpua, da E sebarag himpua, tujukka bahwa E A = (E A ), E A = (E A ) j= U j j j j= j=. Bila {A, A,..., A } suatu koleksi himpua, da E sebarag himpua, tujukka bahwa E A = (E A ), E A = (E A ) U I I I I j j j j= j= j= j=. Misalka E sebarag himpua da {A, A,..., A } suatu koleksi himpua. Buktika Hukum De Morga I U U I U j= E \ A = (E \ A ), E \ A = (E \ A ). j j j j= j= j= j= Catata bila E\A j dituliska dega C(A j ), maka kesamaa di atas mempuyai betuk C IA j = UC ( A j), C UA j = I C ( A j). j= j= j= j= 3. Misalka J suatu himpua da utuk setiap j J, A j termuat di E. Tujukka bahwa C IA j = UC ( A j), C UA j = I C ( A j). j J j J j J j J 4. Bila B da B subhimpua dari B da B = B B, tujukka bahwa j j j Aalisis Real I 7
Aljabar Himpua A B = (A B ) (A B )... Fugsi. Sekarag kita kembali mediskusika gagasa fudametal suatu fugsi atau pemetaa. Aka kita lihat bahwa fugsi adalah suatu jeis khusus dari himpua, walaupu terdapat visualisasi lai yag serig lebih bersifat sugesti. Semua dari bagia terakhir ii aka bayak megupas jeis-jeis fugsi, tetapi sedikit abstrak dibadigka bagia ii. Bagi matematikawa abad terdahulu kata fugsi biasaya berarti rumus tertetu, seperti f(x) = x + 3x -5 yag bersesuaia dega masig-masig bilaga real x da bilaga lai f(x). Mugki juga seseorag memuculka kotroversi, apakah ilai mutlak h(x) = x dari suatu bilaga real merupaka fugsi sejati atau buka. Selai itu defiisi x diberika pula dega x = x, bila x 0 x, bila x < 0 Dega berkembagya matematika, semaki jelas bahwa diperluka defiisi fugsi yag lebih umum. Juga semaki petig utuk kita membedaka fugsi sediri dega ilai fugsi itu. Di sii aka medefiisika suatu fugsi da hal ii aka kita lakuka dalam dua tahap. Defiisi pertama : Suatu fugsi f dari himpua A ke himpua B adalah atura korespodesi yag memasagka masig-masig usur x di A secara tuggal dega usur f(x) di B. Defiisi di atas mugki saja tidak jelas, dikareaka ketidakjelasa frase atura korespodesi. Utuk megatasi hal ii kita aka medefiisika fugsi de-ga megguaka himpua seperti yag telah dibahas pada bagia sebelumya. Aalisis Real I 8
Pedahulua De-ga pedefiisia ii dapat saja kita kehilaga kaduga ituitif dari defiisi terdahulu, tetapi kita dapatka kejelasa. Ide dasar pedefiisia ii adalah memikirka gambar dari suatu fugsi; yaitu, suatu korelasi dari pasaga berurut. Bila kita perhatika tidak setiap koleksi pasaga berurut merupaka gambar suatu fugsi, karea sekali usur pertama dalam pasaga berurut diambil, usur keduaya ditetuka secara tuggal.... Defiisi. Misalka A da B himpua suatu fugsi dari A ke B adalah himpua pasaga berurut f di A B sedemikia sehigga utuk masig-masig a A terdapat b B yag tuggal dega (a,b),(a,b ) f, maka b = b. Himpua A dari usur-usur pertama dari f disebut daerah asal atau domai dari f, da dituliska D(f). Sedagka usur-usur di B yag mejadi usur kedua di f disebut rage dari f da dituliska dega R(f). Notasi f : A B meujukka bahwa f suatu fugsi dari A ke B; aka serig kita kataka bahwa f suatu pemetaa dari A ke dalam B atau f memetaka A ke dalam B. Bila (a,b) suatu usur di f, serig ditulis dega b = f(a) daripada (a,b) f. Dalam hal ii b merupaka ilai f di titik a, atau peta a terhadap f. Pembatasa da Perluasa Fugsi Bila f suatu fugsi dega domai D(f) da D suatu subhimpua dari D(f), serigkali bermafaat utuk medefiisika fugsi baru f dega domai D da f (x) = f(x) utuk semua x D. Fugsi f disebut pembatasa fugsi f pada D. Meurut defiisi.., kita mempuyai f = { (a,b) f a D } Kadag-kadag kita tuliska f = f D utuk meyataka pembatasa fugsi f pada himpua D. Aalisis Real I 9
Aljabar Himpua Kostruksi serupa utuk gagasa perluasa. Bila suatu fugsi dega domai D(g) da D D(g), maka sebarag fugsi g dega domai D sedemikia sehigga g (x) = g(x) utuk semua x D(g) disebut perluasa g pada himpua D. Bayaga Lagsug da Bayaga Ivers Misalka f : A B suatu fugsi dega domai A da rage B.... Defiisi. Bila E subhimpua A, maka bayaga lagsug dari E terhadap f adalah sub himpua f(e) dari B yag diberika oleh f(e) = {f(x) : x E}. Bila H subhimpua E, maka bayaga ivers dari H terhadap f adalah subhimpua f - (H) dari A, yag diberika oleh f - (H) = { x A : f(x) H} Jadi bila diberika himpua E A, maka titik y B di bayaga lagsug f(e) jika da haya jika terdapat palig tidak sebuah titik x E sedemikia sehigga y = f(x ). Secara sama, bila diberika H B, titik x A di dalam bayaga ivers f - (H) jika da haya jika y = f(x ) di H...3. Cotoh. (a). Misalka f : R R didefiisika dega f(x) = x. Bayaga lagsug himpua E = {x 0 x } adalah himpua f(e) = {y 0 y 4}. Bila G = {y 0 y 4}, maka bayaga ivers G adalah himpua f - (G) = {x - x }. Jadi f - (f(e)) E. Disatu pihak, kita mempuyai f(f - (G)) = G. Tetapi bila H = {y - y }, maka kita peroleh f(f - (H)) = {x 0 x } H. (b). Misalka f : A B, da G,H subhimpua dari B kita aka tujukka bahwa f - (G H) f - (G) f - (H) Keyataaya, bila x f - (G H) maka f(x) G H, jadi f(x) G da f(x) H. Hal ii megakibatka x f - (G) da x f - (H). Karea itu x f - (G) f - (H), bukti selesai. Sebalikya, f - (G H) f - (G) f - (H) juga bear, yag buktiya ditiggalka sebagai latiha. Aalisis Real I 0
Pedahulua Sifat-sifat Fugsi..4. Defiisi. Suatu fugsi f : A B dikataka ijektif atau satu-satu bila x x, megakibatka f(x ) f(x ). Bila f satu-satu, kita kataka f suatu ijeksi. Secara ekivale, f ijektif jika da haya jika f(x ) = f(x ) megakibatka x = x, utuk semua x,x di A. Sebagai cotoh, misalka A = {x R x } da f : A R dega f(x) = x x. Utuk meujukka f ijektif, asumsika x,x di A sehigga f(x ) = f(x ). Maka kita mempuyai x x x = x yag megakibatka (megapa?) bahwa itu f ijektif. x x x = x da dari sii x = x. Karea..5. Defiisi. Suatu fugsi f : A B dikataka surjektif atau memetaka A pada B, bila f(a) = B. Bila f surjektif, kita sebut f suatu surjeksi. Secara ekivale, f : A B surjektif bila rage f adalah semua dari B, yaitu utuk setiap y B terdapat x A sehigga f(x) = y. Dalam pedefiisia fugsi, petig utuk meetuka domai da himpua dimaa ilaiya diambil. Sekali hal ii ditetuka, maka dapat meayaka apakah fugsi tersebut surjektif atau tidak...6. Defiisi. Suatu fugsi f : A B dikataka bijektif bila bersifat ijektif da surjektif. Bila f bijektif, kita sebut bijeksi. Fugsi-fugsi Ivers Bila f suatu fugsi dari A ke B, (kareaya, subhimpua khusus dari A B), maka himpua pasaga berurut di B A yag diperoleh dega salig meukar usur pertama da kedua di f secara umum bukala fugsi. Tetapi, bila f ijektif, maka peukara ii meghasilka fugsi yag disebut ivers dari f. Aalisis Real I
Aljabar Himpua..7. Defiisi. Misalka f : A B suatu fugsi ijektif dega domai A da rage R(f) di B. Bila g = {(b,a) B A (a,b) f}, maka g fugsi ijektif dega domai D(g) = R(f) da rage A. Fugsi G disebut fugsi ivers dari f da dituliska dega f -. Dalam peulisa fugsi yag stadar, fugsi f - berelasi dega f sebagai berikut : y = f - (y) jika da haya jika y = f(x). Sebagai cotoh, kita telah melihat bahwa fugsi f(x) = x x didefiisika utuk x A = {x x } bersifat ijektif. Tidak jelas apakah rage dari f semua (atau haya sebagia) dari R. Utuk meetukaya kita selesaika persamaa y = x x da diperoleh x = y. Dega iformasi ii, kita dapat yaki bahwa rageya R(f) y = {y y } da bahwa fugsi ivers dari f mempuyai domai {y y -} da f - (y) = y y. Bila suatu fugsi ijektif, maka fugsi iversya juga ijektif. Lebih dari itu, fugsi ivers dari f - adalah f sediri. Buktiya ditiggalka sebagai latiha. Fugsi Komposisi Serig terjadi kita igi megkomposisika dua buah fugsi dega mecari f(x) terlebih dahulu, kemudia megguaka g utuk memperoleh g(f(x)), tetapi hal ii haya mugki bila f(x) ada di domai g. Jadi kita harus megasumsika bahwa rage dari f termuat di domai g...8. Defiisi. Utuk fugsi f : A B da g : B - C, komposisi fugsi gof (perhatika urutaya!) adalah fugsi dari A ke C yag didefiisika dega gof(x) = g(f(x)) utuk x A...9. Cotoh. (a). Uruta komposisi harus bear-bear diperhatika. Misalka f da g fugsi-fugsi yag ilaiya di x R ditetuka oleh f(x) = x, g(x) = 3x - Aalisis Real I
Pedahulua Karea D(g) = R da R(f) R, maka domai D(gof) adalah juga R, da fugsi komposisi gof ditetuka oleh gof(x) = 3(x) - = x - Di lai pihak, domai dari fugsi komposisi gof juga R, tetapi dalam hal ii kita mempuyai fog(x) = (3x - ) = 6x -. Jadi fog gof. (b). Beberapa perhatia harus dilatih agar yaki bahwa rage dari f termuat di domai dari g. Sebagai cotoh, bila f(x) = - x da y = x, maka fugsi komposisi yag diberika oleh gof(x) = x didefiisika haya pada x di D(f) yag memeuhi f(x) 0; yaitu, utuk x memeuhi - x. Bila kita tukar urutaya, maka komposisi fog, diberika oleh gof(x) = - x, didefiisika utuk semua x di domai dari g; yaitu himpua {x R : x 0}. Teorema berikut memperkealka hubuga atara komposisi fugsi da petaya. Sedagka buktiya ditiggalka sebagai latiha...0. Teorema. Misalka f : A B da g : B C fugsi da H suatu subhimpua dari C. Maka (fog) - (H) = g - (f - (H)). Serig terjadi bahwa komposisi dua buah fugsi mewarisi sifat-sifat fugsi yag didefiisika. Berikut salah satuya da buktiya ditiggalka sebagai latiha.... Teorema. Bila f : A B da g : B C keduaya bersifat ijektif, maka komposisi gof juga bersifat ijektif. Barisa Fugsi dega N sebagai domai memeaika atura yag sagat khusus dalam aalisis, yag kita aka perkealka berikut ii.... Defiisi. Suatu barisa dalam himpua S adalah suatu fugsi yag domaiya himpua bilaga asli N da rageya termuat di S. Utuk barisa X : N S, ilai X di N serig dituliska dega x daripada (x ), da ilaiya serig disebut suku ke- barisa tersebut. Barisa itu sediri serig dituliska dega (x N) atau lebih sederhaa dega (x ). Sebagai co- Aalisis Real I 3
Aljabar Himpua toh, barisa di R yag dituliska dega ( N) sama artiya dega fugsi X : N R dega X() =. ilaiya Petig sekali utuk membedaka atara barisa (x N) dega {x N}, yag merupaka subhimpua dari S. Suku barisa harus dipadag mempuyai uruta yag diiduksi dari uruta bilaga asli, sedagka rage dari barisa haya merupaka subhimpua dari S. Sebagai cotoh, suku-suku dari barisa ((-) N) bergati-gati atara - da, tetapi rage dari barisa itu adalah {-,}, memuat dua usur dari R. Latiha... Misalka A = B = {x R - x } da sub himpua C = {(x,y) x + y = } dari A B, apakah himpua ii fugsi?. Misalka f fugsi pada R yag didefiisika dega f(x) = x, da E = {x R - x 0} da F = {x R 0 x }. Tujukka bahwa E F = {0} da f(e F) = {0}, semetara f(e) = f(f) = {y R 0 y }. Di sii f(e F) adalah subhimpua sejati dari f(e) f(f). Apa yag terjadi bila 0 dibuag dari E da F? 3. Bila E da F seperti latiha o., tetuka E\F da f(e)\f(f) da tujukka bahwa f(e\f) f(e)\f(f) salah. 4. Tujukka bahwa bila f : A B da E,F sub himpua dari A, maka f(e F) = f(e) f(f) da f(e F) f(e) f(f) 5. Tujukka bahwa bila f : A B da G,H sub himpua dari B, maka f - (G H) = f - (G) f - (H) da f - (G H) f - (G) f - (H) 6. Misalka f didefiisika dega f(x) = dari R pada {y : - y }.. x x +, x R. Tujukka bahwa f bijektif 7. Utuk a,b R dega a < b, tetuka bijeksi dari A = {x a < x < b} pada B = {y 0 < y < } Aalisis Real I 4
Pedahulua 8. Tujukka bahwa bila f : A B bersifat ijektif da E A, maka f - (f(e)). Berika suatu cotoh utuk meujukka kesamaa tidak dipeuhi bila f tidak ijektif. 9. Tujukka bahwa bila f : A B bersifat surjektif da H B, maka f(f - (H)). Berika suatu cotoh utuk meujukka kesamaa tidak dipeuhi bila f tidak surjektif. 0.Buktika bahwa bila f ijeksi dari A ke B, maka f - = {(b,a) (a,b) f} suatu fugsi dega domai R(f). Kemudia buktika bahwa f - ijektif da f ivers dari f -..Misalka f bersifat ijektif. Tujukka bahwa f - of(x) = x, utuk semua x D(f) da fof - (y) = y utuk semua y R(f).. Berika cotoh dua buah fugsi f,g dari R pada R sehigga f g, tetapi fog = gof 3. Buktika teorema..0. 4. Buktika teorema... 5. Misalka f,g fugsi da gof(x) = x utuk semua x di D(f). Tujukka bahwa f ijektif da R(f) D(f) da R(g) D(g). 6. Misalka f,g fugsi da gof(x) = x utuk semua x di D(f) da fog(y) utuk semua y di D(g). Buktika bahwa g = f -...3. Iduksi Matematika Iduksi matematika merupaka metode pembuktia petig yag aka serig diguaka dalam buku ii. Metode ii diguaka utuk meguji kebeara suatu peryataa yag diberika dalam suku-suku bilaga asli. Walau keguaaya terbatas pada masalah tertetu, tetapi iduksi matematika sagat diperluka disemua cabag matematika. Karea bayak bukti iduksi megikuti uruta formal argume yag sama, kita aka serig meyebutka hasilya megikuti iduksi matematika da meiggalka bukti legkapya kepada pembaca. Dalam bagia ii kita membahas prisip iduksi matematika da memberi beberapa cotoh utuk megilustrasika bagaimaa proses bukti iduksi. Kita aka megasumsika kebiasaa (pembaca) dega himpua bilaga asli N = {,,3,...} Aalisis Real I 5
Aljabar Himpua dega operasi aritmetika pejumlaha da perkalia seperti biasa da dega arti suatu bilaga kurag dari bilaga lai. Kita juga aka megasumsika sifat fudametal dari N berikut..3.. Sifat uruta dega baik dari N. Setiap subhimpua tak kosog dari N mempuyai usur terkecil. Peryataa yag lebih detail dari sifat ii sebagai berikut : bila S subhimpua dari N da S, maka terdapat suatu usur m S sedemikia sehigga m k utuk semua k S. Dega berdasar sifat uruta dega baik, kita aka meuruka suatu versi prisip iduksi matematika yag diyataka dalam suku-suku subhimpua dari N. Sifat yag dideskripsika dalam versi ii kadag-kadag megikuti turua sifat N..3.. Prisip Iduksi Matematika. Misalka S sub himpua dari N yag mempuyai sifat (i). S (ii).jika k S., maka k + S. maka S = N. Bukti : Adaika S N. Maka N\S tidak kosog, kareaya berdasar sifat uruta dega baik N\S mempuyai usur terkecil, sebut m. Karea S, maka m. Karea itu m > dega m - juga bilaga asli. Karea m - < m da m usur terkecil di N\S, maka m - haruslah di S. Sekarag kita guaka hipotesis () terhadap usur k = m - di S, yag berakibat k + = (m - ) + = m di S. Kesimpula ii kotradiksi dega peryataa bahwa m tidak di S. Karea m diperoleh dega pegadaia bahwa N\S tidak kosog, kita dipaksa pada kesimpula bahwa N\S kosog. Karea itu kita telah buktika bahwa S = N. Prisip iduksi matematika serig diyataka dalam keragka sifat atau peryataa tetag bilaga asli. Bila P() berarti peryataa tetag N, maka P() Aalisis Real I 6
Pedahulua bear utuk beberapa ilai, tetapi tidak utuk yag lai. Sebagai cotoh, bila P() peryataa =, maka P() bear, semetara P() salah utuk semua, N. Dalam koteks ii prisip iduksi matematika dapat dirumuska sebagai berikut : Utuk setiap N, misalka P() peryataa tetag. Misalka bahwa (a). P() bear (b). Jika P(k) bear, maka P(k + ) bear. Maka P() bear utuk semua N. Dalam kaitaya dega versi iduksi matematika terdahulu yag diberika pada.3., dibuat dega memisalka S = { N P() bear}. Maka kodisi () da () pada.3. berturut-turut tepat bersesuaia dega (a) da (b). Kesimpula S = N pada.3.. bersesuaia dega kesimpula bahwa P() bear utuk semua N. Dalam (b) asumsi jika P(k) bear disebut hipotesis iduksi. Di sii, kita tidak memadag pada bear atau salahya P(k), tetap haya pada validitas implikasi jika P(k) bear, maka P(k+) bear. Sebagai cotoh, bila kita perhatika peryataa P() : = + 5, maka (b) bear. Implikasiya bila k = k + 5, maka k + = k + 6 juga bear, karea haya meambahka pada kedua ruas. Tetapi, karea peryataa P() : = salah, kita tidak mugki megguaka iduksi matematika utuk meyimpulka bahwa = + 5 utuk semua N. Cotoh-cotoh berikut megilustrasika bagaimaa prisip iduksi matematika bekerja sebagai metode pembuktia peryataa tetag bilaga asli..3.3. Cotoh. (a). Utuk setiap N, jumlah pertama bilaga asli diberika oleh + +... + = ( + ). Utuk membuktika kesamaa ii, kita misalka S himpua N, sehigga kesamaa tersebut bear. Kita harus membuktika kodisi () da () pada.3.. dipeuhi. Bila =, maka kita mempuyai =.( + ), jadi S da dega asumsi ii aka ditujukka k + S. Bila k S, maka kita mempuyai ++...+k = (k+). (*) Aalisis Real I 7
Aljabar Himpua Bila kita tambahka k+ pada kedua ruas, kita peroleh ++...+k+(k+) = k(k+) + (k+) = (k+) (k+) Karea ii meyataka kesamaa di atas utuk = k +, kita simpulka bahwa k + S. Dari sii kodisi () pada.3.. dipeuhi. Karea itu dega prisip iduksi matematika, kita simpulka bahwa S = N da kesamaa (*) bear utuk semua N. (b). Utuk masig-masig N, jumlah kuadrat dari pertama bilaga asli diberika oleh + +...+ = 6 (+)(+) Utuk membuktika kebeara formula ii, pertama kita catat bahwa formula ii bear utuk =, karea =. (+)(+). Bila kita asumsika formula ii bear 6 utuk k, maka dega meambahka (k+) pada kedua ruas, memberika hasil + +...+k + (k+) = k(k+)(k+) + (k+) 6 = 6 (k+)(k +k+6k+6) = 6 (k+)(k+)(k+3) Megikuti iduksi matematika, validitas formula di atas berlaku utuk semua N. (c). Diberika bilaga a,b, kita aka buktika bahwa a - b faktor dari a - b utuk semua N. Pertama kita lihat bahwa peryataa ii bear utuk =. Bila sekarag kita asumsika bahwa a - b adalah faktor dari a k - b k, maka kita tuliska a k+ - b k+ = a k+ - ab k + ab k - b k+ = a(a k - b k ) + b k (a - b). Sekarag berdasarka hipotesis iduksi a-b merupaka faktor dari a(a k -b k ). Disampig itu a-b juga faktor dari b k (a - b). Dari sii a-b adalah dari a k+ - b k+. Dega iduksi matematika kita simpulka bahwa a-b adalah faktor dari a - b utuk semua N. Aalisis Real I 8
Pedahulua (d). Ketaksamaa (+)!. Dapat dibuktika dega iduksi matematika sebagai berikut. Pertama kita peroleh bahwa hal ii bear utuk =. Kemudia kita asumsika bahwa k (k+).da dega megguaka fakta bahwa (k+), diperoleh k+ =. k (k+)! (k+)(k+)! = (k+)! Jadi, bila ketaksamaa tersebut berlaku utuk k, maka berlaku pula utuk k+. Kareaya dega iduksi matematika, ketaksamaa tersebut bear utuk semua N. (e). Bila r R, r da N, maka + r + r +... + r = r r + Ii merupaka jumlah suku deret geometri, yag dapat dibuktika dega iduksi matematika sebagai berikut. Bila =, kitya mempuyai + r = r, jadi formula r tersebut bear. Bila kita asumsika formula tersebut bear utuk = k da tambahka r k+ pada kedua ruas, maka kita peroleh +r+... +r k + r k+ = r r k+ + r k+ = r + r yag merupaka formula kita utuk = k +. Megikuti prisip iduksi matematika, maka formula tersebut bear utuk semua N. Hal ii dapat dibuktika tapa megguaka prisip iduksi matematika. Bila kita misalka S = +r+...+r, maka rs = r+r +...+r + Jadi (-r)s = S -r S = -r + Bila kita selesaika utuk S, kita peroleh formula yag sama. (f). Pegguaa prisip iduksi matematika secara ceroboh dapat meghasilka kesimpula yag slah. Pembaca diharap mecari kesalaha pada bukti teorema berikut. k Aalisis Real I 9
Aljabar Himpua Bila sebarag bilaga asli da bila maksimum dari dua bilaga asli p da q adalah, maka p = q. (Akibatya bila p da q dua bilaga asli sebarag, maka p = q). Bukti : Misalka S subhimpua bilaga asli sehigga peryataa tersebut bear. Maka S, karea bila p,q di N da maksimumya, maka maksimum dari p- da q- adalah k. Kareaya p- = q-, karea k S, da dari sii kita simpulka bahwa p = q. Jadi, k + S da kita simpulka bahwa peryataa tersebut bear utuk semua N. (g). Beberapa peryataa yag bear utuk beberapa bilaga asli, tetapi tidak utuk semua. Sebagai cotoh formula P() = - + 4 memberika bilaga prima utuk =,,3,...4. Tetapi, P(4) buka bilaga prima. Terdapat versi lai dari prisip iduksi matematika yag kadag-kadag sagat bergua. Serig disebut prisip iduksi kuat, walaupu sebearya ekivale dega versi terdahulu. Kita aka tiggalka pada pembaca utuk meujukka ekivalesiya dari kedua prisip ii..3.4. Prisip Iduksi kuat. Misalka S subhimpua N sedemikia sehiga S, da bila {,,...,k} S maka k + S. Maka S = N. Latiha.3 Buktika bahwa yag berikut berlaku bear utuk semua N,...3... + + + = ( + ) +. 3 + 3 +... + 3 = [ (+)] 3. - +3 -...+(-) + (+)/ 4. 3 + 5 dapat dibagi dega 6 5. 5 - dapat dibagi dega 8 6. 5-4 - habis dibagi 6. 7. Buktika bahwa jumlah pagkat tiga dari bilaga asli yag berturuta, +, + habis dibagi 9 Aalisis Real I 0
8. Buktika bahwa < utuk semua N 9. Tetuka suatu formula utuk jumlah.3 3.5... + + + ( + ) ( ) Pedahulua da buktika dugaa tersebut dega meguaka iduksi matematika. (Dugaa terhadap peryataa matematika, sebelum dibuktika serig disebut Cojecture ). 0.Tetuka suatu formula utuk jumlah bilaga gajil yag pertama + 3 +... + ( - ) kemudia buktika dugaa tersebut dega megguaka iduksi matematika.. Buktika variasi dari.3.. berikut : Misalka S sub himpua tak kosog dari N sedemikia sehigga utuk suatu 0 N berlaku (a). 0 S, da (b) bila k 0 da k S, maka k + S. Maka S memuat himpua { N 0 }.. Buktika bahwa <! utuk semua 4, N. (lihat latiha ). 3. Buktika bahwa - 3 - utuk semua 5, N. (lihat latiha ). 4. Utuk bilaga asli yag maa <? Buktika peryataamu (lihat latiha ). 5. Buktika bahwa... + + + > utuk semua N. 6. Misalka S sub himpua dari N sedemikia sehigga (a). k S utuk semua k N, da (b). bila k S, da k, maka k - S. Buktika S = N. 7. Misalka barisa (x ) didefiisika sebagai berikut : x =, x = da x + = (x + + x ) utuk N. Guaka prisip iduksi kuat.3.4 utuk meujukka x utuk semua N. Aalisis Real I
Aljabar Himpua BAB BILANGAN REAL Dalam bab ii kita aka membahas sifat-sifat esesial dari sistem bilaga real R. Walaupu dimugkika utuk memberika kostruksi formal dega didasarka pada himpua yag lebih primitif (seperti himpua bilaga asli N atau himpua bilaga rasioal Q), amu tidak kita lakuka. Aka tetapi, kita perkealka sejumlah sifat fudametal yag berhubuga dega bilaga real da meujukka bagaimaa sifat-sifat yag lai dapat dituruka dariya. Hal ii lebih bermafaat dari pada megguaka logika yag sulit utuk megkostruksi suatu model utuk R dalam belajar aalisis. Sistem bilaga real dapat dideskripsika sebagai suatu meda/lapaga legkap yag terurut, da kita aka membahasya secara detail. Demi kejelasa, kita tidak aka membahas sifat-sifat R dalam suatu bagia, tetapi kita lebih berkosetrasi pada beberapa aspek berbeda dalam bagia-bagia yag terpisah. Pertama kita perkealka, dalam bagia., sifat aljabar (serig disebut sifat meda) yag didasarka pada ope-rasi pejumlaha da perkalia. Berikutya kita perkealka, dalam bagia. sifat uruta dari R, da meuruka beberapa kosekuesiya yag berkaita dega ketaksamaa, da memberi ilustrasi pegguaa sifat-sifat ii. Gagasa tetag ilai mutlak, yag maa didasarka pada sifat uruta, dibahas secara sigkat pada bagia.3. Dalam bagia.4, kita membuat lagkah akhir dega meambah sifat kelegkapa yag sagat petig pada sifat aljabar da uruta dari R. Kemudia kita megguaka sifat kelegkapa R dalam bagia.5 utuk meuruka hasil fudametal yag berkaita dega R, termasuk sifat archimedes, eksistesi akar (pagkat dua), da desitas (kerapata) bilaga rasioal di R. Aalisis Real I
Pedahulua. Sifat Aljabar R Dalam bagia ii kita aka membahas struktur aljabar sistem bilaga real. Pertama aka diberika daftar sifat pejumlaha da perkaliaya. Daftar ii medasari semua utuk mewujudka sifat dasar aljabar R dalam arti sifat-sifat yag lai dapat dibuktika sebagai teorema. Dalam aljabar abstrak sistem bilaga real merupaka lapaga/meda terhadap pejumlaha da perkalia. Sifat-sifat yag aka disajika pada.. berikut dikeal dega Aksioma meda. Yag dimaksud operasi bier pada himpua F adalah suatu fugsi B dega domai F F da rage di F. Jadi, operasi bier memasagka setiap pasaga berurut (a,b) dari usur-usur di F dega tepat sebuah usur B(a,b) di F. Tetapi, disampig megguaka otasi B(a,b), kita aka lebih serig megguaka otasi kovesioal a+b da a.b (atau haya ab) utuk membicaraka sifat pejumlaha da perkalia. Cotoh operasi bier yag lai dapat dilihat pada latiha.... Sifat-sifat aljabar R. Pada himpua bilaga real R terdapat dua operasi bier, dituliska dega + da. da secara berturut-turut disebut pejumlaha da perkalia. Kedua operasi ii memeuhi sifat-sifat berikut : (A ). a + b = b + a utuk semua a,b di R (sifat komutatif pejumlaha); (A ). (a + b) + c = a + (b + c) utuk semua a,b,c di R (sifat assosiatif pejumlaha); (A 3 ) terdapat usur 0 di R sehigga 0 + a = a da a + 0 = a utuk semua a di R (eksistesi usur ol); (A 4 ). utuk setiap a di R terdapat usur -a di R, sehigga a + (-a) = 0 da (-a) + a = 0 (eksistesi egatif dari usur); (M ). a.b = b.a utuk semua a,b di R (sifat komutatif perkalia); (M ). (a.b). c = a. (b.c) utuk semua a,b,c di R (sifat asosiatif perkalia); (M 3 ). terdapat usur di R yag berbeda dari 0, sehigga.a = a da a. = a utuk semua a di R (eksistesi usur satua); (M 4 ). utuk setiap a 0 di R terdapat usur /a di R sehigga a./a = da (/a).a = (eksistesi balika); Aalisis Real I 3
Aljabar Himpua (D). a. (b+c) = (a.b) + (a.c) da (b+c). a = (b.a) + (c.a) utuk semua a,b,c di R (sifat distributif perkalia terhadap pejumlaha); Pembaca perlu terbiasa dega sifat-sifat di atas. Dega demikia aka memudahka dalam peurua dega megguaka tekik da maipulasi aljabar. Berikut kita aka dibuktika beberapa kosekuesi dasar (tetapi petig)... Teorema. (a). Bila z da a usur di R sehigga z + a = a, maka z = 0. (b). Bila u da b 0 usur R sehigga u.b = b, maka u =. Bukti : (a). Dari hipotesis kita mempuyai z + a = a. Kita tambahka usur -a (yag eksistesiya dijami pada (A 4 )) pada kedua ruas da diperoleh (z + a) + (-a) = a + (-a) Bila kita berturut-turut megguaka (A ), (A 4 ) da (A 3 ) pada ruas kiri, kita peroleh (z + a) + (-a) = z + (a + (-a)) = z + 0 = z; bila kita megguaka (A 4 ) pada ruas kaa a + (-a) = 0. Dari sii kita simpulka bahwa z = 0. Bukti (b) ditiggalka sebagai latiha. Perlu dicatat bahwa hipotesis b 0 sagat petig. Selajutya kita aka tujukka bahwa bila diberika a di R, maka usur -a da /a (bila a 0) ditetuka secara tuggal...3 Teorema. (a). Bila a da b usur di R sehiga a + b = 0, maka b = -a. (b). Bila a 0 da b usur di R sehigga a.b =, maka b = /a. Bukti : (a). Bila a + b = 0, maka kita tambahka -a pada kedua ruas da diperoleh (-a) + (a + b) = (-a) + 0. Bila kita berturut-turut megguaka (A ), (A 4 ) da (A 3 ) pada ruas kiri, kita peroleh (-a) + (a + b) = ((-a) + a) + b = 0 + b = b; bila kita megguaka (A 3 ) pada ruas kaa kita dapatka Aalisis Real I 4
Pedahulua (-a) + 0 = -a. Dari sii kita simpulka bahwa b = -a. Bukti (b) ditiggalka sebagai latiha. Perlu dicatat bahwa hipotesis b 0 sagat petig. Bila kita perhatika sifat di atas utuk meyelesaika persamaa, kita peroleh bahwa (A 4 ) da (M 4 ) memugkika kita utuk meyelesaika persamaa a + x = 0 da a. x = (bila a 0) utuk x, da teorema..3 megakibatka bahwa solusiya tuggal. Teorema berikut meujukka bahwa ruas kaa dari persamaa ii dapat sebarag usur di R...4 Teorema. Misalka a,b sebarag usur di R. Maka : (a). persamaa a + x = b mempuyai solusi tuggal x = (-a) + b; (b). bila a 0, persamaa a. x = b mempuyai solusi tuggal x = (/a). b. Bukti : Dega megguaka (A ), (A 4 ) da (A 3 ), kita peroleh a + ((-a) + b) = (a + (-a)) + b = 0 + b = b, yag megakibatka x = (-a) + b merupaka solusi dari persamaa a + x = b. Utuk meujukka bahwa ii merupaka satu-satuya solusi, adaika x sebarag solusi dari persamaa tersebut, maka a + x = b, da bila kita tambahka kedua ruas dega -a, kita peroleh (-a) + (a + x ) = (-a) + b. Bila sekarag kita guaka (A ), (A 4 ) da (A 3 ) pada ruas kiri, kita peroleh (-a) + (a + x ) = (-a + a) + x = 0 + x = x. Dari sii kita simpulka bahwa x = (-a) + b. Bukti (b) ditiggalka sebagai latiha. Sejauh ii, ketiga teorema yag telah dikealka kita haya memperhatika pejumlaha da perkalia secara terpisah. Utuk melihat keterpadua atara keduaya, kita harus melibatka sifat distributif (D). Hal ii diilustrasika dalam teorema berikut...5 Teorema. Bila a sebarag usur di R, maka : Aalisis Real I 5
Aljabar Himpua (a). a. 0 = 0 (b). (-). a = -a (c). -(-a) = a (d). (-). (-) = Bukti : (a). Dari (M 3 ) kita ketahui bahwa a. = a. Maka dega meambahka a. 0 da meguaka (D) da (A 3 ) kita peroleh a + a. 0 = a. + a. 0 = a. ( + 0) = a. = a. Jadi, dega teorema..(a) kita peroleh bahwa a. 0 = 0. (b). Kita guaka (D), digabug dega (M 3 ), (A 4 ) da bagia (a), utuk memperoleh a + (-). a =. a + (-). a = 0. a = 0 Jadi, dari teorema..3(a) kita peroleh (-). a = - a. (c). Dega (A 4 ) kita mempuyai (-a) + a = 0. Jadi dari teorema..3 (a) diperoleh bahwa a = - (-a). (d). Dalam bagia (b) substitusika a = -. Maka (-). (-) = -(-). Dari sii, kita megguaka (c) dega a =. Kita simpulka deduksi formal kita dari sifat meda (bilaga real) dega meutupya dega hasil-hasil berikut...6 Teorema. Misalka a,b,c usur-usur di R. (a). Bila a 0, maka /a 0 da /(/a) = a (b). Bila a. b = a. c da a 0, maka b = c (c). Bila a. b = 0, maka palig tidak satu dari a = 0 atau b = 0 bear. Bukti : (a). Bila a 0, maka terdapat /a. Adaika /a = 0, maka = a. (/a) = a. 0 = 0, kotradiksi dega (M 3 ). Jadi /a 0 da karea (/a). a =, Teorema..3(b) megakibatka /(/a) = a. (b). Bila kita kalika kedua ruas persamaa a. b = a. c dega /a da megguaka sifat asosiatif (M ), kita peroleh ((/a). a). b = ((/a). a). c. Aalisis Real I 6
Pedahulua Jadi. b =. c yag berarti juga b = c (c). Hal ii cukup dega megasumsika a 0 da memperoleh b = 0. (Megapa?) Karea a. b = 0 = a. 0, kita guaka bagia (b) terhadap persamaa a. b = a. 0 yag meghasilka b = 0, bila a 0. Teorema-teorema di atas mewakili sebagia kecil tetapi petig dari sifat-sifat aljabar bilaga real. Bayak kosekuesi tambaha sifat meda R dapat dituruka da beberapa diberika dalam latiha. Operasi peguraga didefiisika dega a - b = a + (-b) utuk a,b di R. Secara sama operasi pembagia didefiisika utuk a,b di R, b 0 dega a/b = a.(/b). Berikutya, kita aka megguaka otasi ii utuk peguraga da pembagia. Secara sama, sejak sekarag kita aka tiggalka titik utuk perkalia da meuliska ab utuk a.b. Sebagaimaa biasa kita aka meuliska a utuk aa, a 3 utuk (a )a; secara umum, utuk N, kita defiisika a + = (a )a. Kita juga meyetujui peulisa a 0 = da a = a utuk sebarag a di R (a 0). Kita tiggalka ii sebagai latiha bagi pembaca utuk membuktika (dega iduksi) bahwa bila a di R, maka a m+ = a m a utuk semua m, di N. Bila a 0, kita aka guaka otasi a - utuk /a, da bila N, kita tuliska a - utuk (/a), bila memag hal ii memudahka. Bilaga Rasioal da Irasioal Kita aggap himpua bilaga asli sebagai subhimpua dari R, dega megidetifikasi bilaga asli N sebagai pejumlaha -kali usur satua R. Secara sama, kita idetifikasi 0 Z dega usur ol di R, da pejumlaha -kali usur - sebagai bilaga bulat -. Akibatya, N da Z subhimpua dari R. Usur-usur di R yag dapat dituliska dalam betuk b/a dega a,b di Z da a 0 disebut bilaga rasioal. Himpua bilaga rasioal di R aka dituliska dega otasi stadar Q. Jumlah da hasil kali dua bilaga rasioal merupaka bilaga rasioal (Buktika!), da lebih dari itu, sifat-sifat meda yag dituliska di awal bagia Aalisis Real I 7
Aljabar Himpua ii dapat ditujukka dipeuhi oleh Q. Fakta bahwa terdapat usur di R yag tidak di Q tidak begitu saja dikeali. Pada abad keeam sebelum masehi komuitas Yuai kuo pada masa Pytagoras meemuka bahwa diagoal dari bujur sagkar satua tidak dapat diyataka sebagai pembagia bilaga bulat. Meurut Teorema Phytagoras tetag segitiga siku-siku, ii megakibatka tidak ada bilaga rasioal yag kuadratya dua. Peemua ii mempuyai sumbaga besar pada perkembaga matematika Yuai. Salah satu kosekuesiya adalah usur-usur R yag buka usur Q merupaka bilaga yag dikeal dega bilaga irrasioal, yag berarti bilaga-bilaga itu buka rasio (= hasil bagi dua buah) bilaga rasioal. Jaga dikacauka dega arti tak rasioal. Kita aka tutup bagia ii dega suatu bukti dari fakta bahwa tidak ada bilag-a rasioal yag kuadratya. Dalam pembuktiaya kita aka megguaka gagasa bilaga geap da bilaga gajil. Kita igat kembali bahwa bilaga geap mempu-yai betuk utuk suatu di N, da bilaga gajil mempuyai betuk - utuk suatu di N. Setiap bilaga asli bersifat gajil atau geap, da tidak perah bersifat keduaya...7 Teorema. Tidak ada bilaga rasioal r, sehigga r = Bukti : Adaika terdapat bilaga rasioal yag kuadratya. Maka terdapat bilaga bulat p da q sehigga (p/q) =. Asumsika bahwa p,q positif da tidak mempuyai faktor persekutua lai kecuali. (Megapa?) Karea p = q, kita peroleh bahwa p geap. Ii megakibatka bahwa p juga geap (karea bila p = - gajil, maka kuadratya, p = 4-4 + = ( - +) - juga gajil). Akibatya, teorema buka faktor persekutua dari p da q maka haruslah q gajil. Karea p geap, maka p = m utuk suatu m N, da dari sii 4m = q, jadi m = q. Akibatya q geap, yag diikuti q juga geap, dega alasa seperti pada paragraf terdahulu. Aalisis Real I 8
Pedahulua Dari sii kita sampai pada kotradiksi bahwa tidak ada bilaga asli yag bersifat geap da gajil. Latiha. Utuk omor da, buktika bagia b dari teorema......3. 3. Selesaika persamaa berikut da sebutka sifat atau teorema maa yag ada guaka pada setiap lagkahya. (a). x + 5 = 8; (b). x + 6 = 3x + ; (c). x = x; (d). (x - ) (x + ) = 0. 4. Buktika bahwa bila a,b di R, maka -(a + b) = (-a) + (-b) (b). (-a).(-b) = a.b (-a) = -(/a) bila a 0 (d). -(a/b) = (-a)/b bila b 0 5. Bila a,b di R da memeuhi a.a = a, buktika bahwa a = 0 atau a = 6. Bila a 0 da b 0, tujukka bahwa /(ab) = (/a).(/b) 7. Guaka argumetasi pada bukti teorema..7 utuk membuktika bahwa tidak ada bilaga rasioal s, sehigga s = 6. 8. Modifikasi argumetasi pada bukti teorema..7 utuk membuktika bahwa tidak ada bilaga rasioal t, sehigga t = 3. 9. Tujukka bahwa bila ξ di R irasioal da r 0 rasioal, maka r + ξ da rξ irasioal. 0. Misalka B operasi bier pada R. Kita kataka B : (i). komutatif bila B(a,b) = B(b,a) utuk semua a,b di R. (ii). asosiatif bila B(a,B(a,c)) = B(B(a,b),c) utuk semua a,b,c di R. (iii). mempuyai usur idetitas bila terdapat usur e di R sehigga B(a,e) = a = B(e,a), utuk semua a di R Tetuka sifat-sifat maa yag dipeuhi operasi di bawah ii (a). B (a,b) = (a + b) (b). B (a,b) = (ab) (c). B 3 (a,b) = a - b (d). B 4 (a,b) = + ab Aalisis Real I 9
Aljabar Himpua. Suatu operasi bier B pada R dikataka distributif terhadap pejumlaha bila memeuhi B(a,b + c) = B(a,b) + B(a,c) utuk semua a,b,c di R. Yag maa (bila ada) dari operasi omor yag bersifat distributif terhadap pejumlaha?.. Guaka iduksi matematika utuk meujuka bahwa bila a di R da m, di N, maka a m+ = a m a da (a m ) = a m.. 3. Buktika bahwa bilaga asli tidak dapat bersifat geap da gajil secara bersamaa... Sifat Uruta Dalam R Sifat uruta R megikuti gagasa positivitas da ketaksamaa atara dua bilag-a real. Seperti halya pada struktur aljabar sistem bilaga real, di sii kita utamaka beberapa sifat dasar sehigga sifat yag lai dapat dituruka. Cara palig sederhaa yaitu dega megidetifikasi sub himpua tertetu dari R dega megguaka gagasa positivitas... Sifat Uruta dari R. Terdapat sub himpua tak kosog P dari R, yag disebut himpua bilaga real positif, yag memeuhi sifat-sifat berikut : (i). Bila a,b di P, maka a + b di P (ii). Bila a,b di P, maka a.b di P (iii). Bila a di R, maka tepat satu dari yag berikut dipeuhi a P, a = 0, -a P Dua sifat yag pertama kesesuaia uruta dega operasi pejumlaha da perkalia. Kodisi (iii) biasa disebut Sifat Trikotomi, karea hal ii membagi R mejadi tiga daripada usur yag berbeda. Hal ii meyataka bahwa himpua {-a a P} bilaga real egatif tidak mempuyai usur sekutu di P, da lebih dari itu, R gabuga tiga himpua yag salig lepas... Defiisi. Bila a P, kita kataka a bilaga real positif (atau positif kuat) da kita tulis a > 0. Bila a P {0} kita kataka a bilaga real tak egatif da ditulis a 0. Aalisis Real I 30
Pedahulua Bila -a P, kita kataka a bilaga real egatif (atau egatif kuat) da kita tulis a < 0. Bila -a P {0} kita kataka a bilaga real tak positif da ditulis a 0. Sekarag kita perkealka gagasa tetag ketaksamaa atara usur-usur R dalam himpua bilaga positif P...3 Defiisi. Misalka a,b di R. (i). Bila a - b P, maka kita tulis a > b atau b < a. (ii). Bila a - b P {0} maka kita tulis a b.atau b a. Utuk kemudaha peulisa, kita aka megguaka a < b < c, bila a < b da b < c dipeuhi. Secara sama, bila a b da b c bear, kita aka meuliskaya dega a b c Juga, bila a b da b < d bear, dituliska dega a b < d da seterusya. Sifat Uruta Sekarag aka kita perkealka beberapa sifat dasar relasi uruta pada R. Ii merupaka atura ketaksamaa yag biasa kita keal da aka serig kita guaka pada pembahasa selajutya...4 Teorema. Misalka a,b,c di R. (a). Bila a > b da b > c, maka a > c (b). Tepat satu yag berikut bear : a > b, a = b da a < b (c). Bila a b da b a, maka a = b Bukti : (a).. Bila a - b P da b - c P, maka..(i) megakibatka bahwa (a - b) + (b - c) = a - c usur di P. Dari sii a > c. (b).. Dega sifat trikotomi..(iii), tepat satu dari yag berikut bear : a - b P, a - b = 0, -(a - b) = b - a P. Aalisis Real I 3
Aljabar Himpua (c).. Bila a b, maka a - b 0, jadi meurut bagia (b) kita haya mempuyai a - b P atau b - a P., yaitu a > b atau b > a. Yag masig-masig kotradiksi dega satu dari hipotesis kita. Karea itu a = b. Adalah hal yag wajar bila kita berharap bilaga asli merupaka bilaga positif. Kita aka tujukka bagaimaa sifat ii dituruka dari sifat dasar yag diberika dalam... Kuciya adalah bahwa kuadrat dari bilaga real tak ol positif...5 Teorema. (a). Bila a R da a 0, maka a > 0 (b). > 0 (c). Bila N, maka > 0 Bukti : (a). Dega sifat trikotomi bila a 0, maka a P atau -a P. Bila a P., maka dega..(ii), kita mempuyai a = a.a P. Secara sama bila -a P, maka.. (ii), kita mempuyai (-a).(-a) P. Dari..5(b) da..5(d) kita mempuyai (-a).(-a) = ((-)a) ((-)a) = (-)(-).a = a, jadi a P. Kita simpulka bahwa bila a 0, maka a > 0. (b). Karea = (), (a) megakibatka > 0. (c). Kita guaka iduksi matematika, validitas utuk = dijami oleh (b). Bila peryataa k > 0, dega k bilaga asli, maka k P. Karea P, maka k + P, meurut..(i). Dari sii peryataa > 0 utuk semua N bear. Sifat berikut berhubuga dega uruta di R terhadap pejumlaha da perkalia. Sifat-sifat ii meyajika beberapa alat yag memugkika kita bekerja dega ketaksamaa...6 Teorema. Misalka a,b,c,d R (a). bila a > b, maka a + c > b + c (b). bila a > b da c > d, maka a + c > b + d (c). bila a > b da c > 0, maka ca > cb bila a > b da c < 0, maka ca < cb Aalisis Real I 3
Pedahulua (d). bila a > 0, maka /a > 0 bila a < 0, maka /a < 0 Bukti : (a). Bila a - b P, maka (a + c) - (b + c) usur di P. Jadi a + c > b + c (b). Bila a - b P da c - d P, maka (a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d) juga usur di P meurut..(i). Jadi, a + c > b + d. (c). Bila a - b P da c P, maka ca - cb = c(a - b) P meurut..(ii), karea itu ca > cb, bila c > 0. Dilai pihak, bila c < 0, maka -c P sehigga cb - ca = (-c)(a - b) usur di P. Dari sii, cb > ca bila c < 0. (d). Bila a > 0, maka a 0 (meurut sifat trikotomi), jadi /a 0 meurut..6(a). Adaika /a < 0, maka bagia (c) dega c = /a megakibatka bahwa = a(/a) < 0, kotradiksi dega..5(b). Kareaya /a > 0. Secara sama, bila a < 0, maka kemugkia /a > 0 membawa ke sesuatu yag kotradiksi yaitu = a(/a) < 0. Dega meggabug..6(c) da..6(d), kita peroleh bahwa dega sebarag bilaga asli adalah bilaga positif. Akibatya bilaga rasioal dega betuk m = m, utuk m da bilaga asli, adalah positif...7 Teorema. Bila a da b usur di R da bila a < b, maka a < (a + b) < b. Bukti : Karea a < b, megikuti..6(a) diperoleh bahwa a = a + a < a + b da juga a + b < b + b = b. Karea itu kita mempuyai a < a + b < b Meurut..5(c) kita mempuyai > 0, kareaya meurut..6(d) kita peroleh > 0. Dega megguaka..6(c) kita dapatka a = (a) < (a + b) < (b) = b Aalisis Real I 33
Aljabar Himpua Dari sifat uruta yag telah dibahas sejauh ii, kita tidak medapatka bilaga real positif terkecil. Hal ii aka ditujukka sebagai berikut :..8 Teorema Akibat. Bila b R da b > 0, maka 0 < b < b. Bukti : Ambil a = 0 dalam..7. Dua hasil yag berikut aka diguaka sebagai metode pembuktia selajutya. Sebagai cotoh, utuk membuktika bahwa a 0 bear-bear sama dega 0, kita lihat pada hasil berikut bahwa hal ii cukup dega meujukka bahwa a kurag dari sebarag bilaga positif maapu...9 Teorema. Bila a di R sehigga 0 a < ε utuk setiap ε positif, maka a = 0. Bukti : Adaika a > 0. Maka meurut..8 diperoleh 0 < a <a. Sekarag tetapka ε 0 = a, maka 0 < ε 0 < a. Hal ii kotradiksi dega hipotesis bahwa 0 < ε utuk setiap ε positif. Jadi a = 0...0 Teorema. Misalka a,b di R, da a - ε < b utuk setiap ε >0. Maka a b. Bukti : Adaika b < a da tetapka ε 0 = (a - b). Maka ε 0 da b < a - ε 0, kotradiksi dega hipotesis. (Bukti legkapya sebagai latiha). Hasil kali dua bilaga positif merupaka bilaga positif juga. Tetapi, positivitas suatu hasil kali tidak megakibatka bahwa faktor-faktorya positif. Keyataaya adalah kedua faktor tersebut harus bertada sama (sama-sama positif atau sama-sama egatif), seperti ditujukka berikut ii... Teorema. Bila ab > 0, maka (i). a > 0 da b > 0 atau (ii). a < 0 da b < 0 Bukti : Aalisis Real I 34
Pedahulua Pertama kita catat bahwa ab > 0 megakibatka a 0 da b 0 (karea bila a = 0 da b = 0, maka hasil kaliya 0). Dari sifat trikotomi, a > 0 atau a < 0. Bila a >0, maka /a > 0 meurut..6(d) da kareaya b =.b = ((/a)a) b = (/a) (ab) > 0 Secara sama, bila a < 0, maka /a < 0, sehigga b = (/a) (ab) < 0... Teorema Akibat. Bila ab < 0, maka (i). a < 0 da b > 0 atau (ii). a > 0 da b < 0 Buktiya sebagai latiha. Ketaksamaa Sekarag kita tujukka bagaimaa sifat uruta yag telah kita bahas dapat diguaka utuk meyelesaika ketaksamaa. Pembaca dimita memeriksa dega hati-hati setiap lagkahya...3 Cotoh-cotoh. (a). Tetuka himpua A dari semua bilaga real x yag memeuhi x = 3 6. Kita catat bahwa x A x + 3 6 x 3 x 3/. Kareaya, A = {x R x 3/}. (b). Tetuka himpua B = {x R x + x > } Kita igat kembali bahwa teorema.. dapat diguaka. Tuliska bahwa x B x + x - > 0 (x - ) (x + ) > 0. Kareaya, kita mempuyai (i). x - > 0 da x + > 0, atau (ii). x - < 0 da x + < 0. Dalam kasus (i). kita mempuyai x > da x > -, yag dipeuhi jika da haya jika x >. Dalam kasus (ii) kita mempuyai x < da x < -, yag dipeuhi jika da haya jika x < -. Jadi B = {x R x > } {x R x < -}. (c). Tetuka himpua C = {x R (x + )/(x + ) < }. Kita catat bahwa x C (x + )/(x + ) - < 0 (x - )/(x + ) < 0. Kareaya, kita mempuyai (i).x - < 0 da x + > 0, atau (ii). x - > 0 da x + < 0 (Megapa?). Dalam kasus (i) kita harus mempuyai x < da x > -, yag dipeuhi, jika da haya jika - < x Aalisis Real I 35
Aljabar Himpua <, sedagka dalam kasus (ii), kita harus mempuyai x > da x < -, yag tidak aka perah dipeuhi. Jadi kesimpulaya adalah C = {x R - < x < }. Cotoh berikut megilustrasika pegguaa sifat uruta R dalam pertaksamaa. Pembaca seharusya membuktika setiap lagkah dega megidetifikasi sifat-sifat yag diguaka. Hal ii aka membiasaka utuk yaki dega setiap lagkah dalam pekerjaa selajutya. Perlu dicatat juga bahwa eksistesi akar kuadrat dari bilaga positif kuat belum diperkealka secara formal, tetapi eksistesiya kita terima dalam membicaraka cotoh-cotoh berikut. (Eksistesi akar kuadrat aka dibahas dalam.5)...4. Cotoh-cotoh. (a). Misalka a 0 da b 0. Maka (i). a < b a < b a < b Kita padag kasus a > 0 da b > 0, da kita tiggalka kasus a = 0 kepada pembaca. Dari..(i) diperoleh bahwa a + b > 0. Karea b - a = (b - a) (b + a), dari..6(c) diperoleh bahwa b - a > 0 megakibatka bahwa b - a > 0. Bila a > 0 da b > 0, maka a > 0 da b > 0, karea a = ( a ) da b = ( b ), maka bila a da b berturut-turut digati dega a da b, da kita guaka bukti di atas diperoleh a < b a < b Kita juga tiggalka kepada pembaca utuk meujukka bahwa bila a 0 da b 0, maka a b a b a b (b). Bila a da b bilaga bulat positif, maka rata-rata aritmatisya adalah (a + b) da rata-rata geometrisya adalah diberika oleh ab. Ketaksamaa rata-rata aritmetis-geometris ab (a + b) () da ketaksamaa terjadi jika da haya jika a = b. Aalisis Real I 36
Pedahulua Utuk membuktika hal ii, perhatika bahwa bila a > 0, b > 0, da a b, maka a > 0, b > 0 da a b (Megapa?). Kareaya dari..5(a) diperoleh bahwa ( a - b ) > 0. Dega megekspasi kuadrat ii, diperoleh a - ab + b > 0, yag diikuti oleh ab < (a + b). Kareaya () dipeuhi (utuk ketaksamaa kuat) bila a b. Lebih dari itu, bila a = b (> 0), maka kedua ruas dari () sama dega a, jadi () mejadi kesamaa. Hal ii membuktika bahwa () dipeuhi utuk a > 0, b > 0. Dilai pihak, misalka a > 0, b > 0 da ab < (a + b). Maka dega meg- kuadratka kedua ruas kemudia megalikaya dega 4, kita peroleh 4ab = (a + b) = a + ab + b, yag diikuti oleh 0 = a - ab + b = (a - b). Tetapi kesamaa ii megakibatka a = b (Megapa?). Jadi kesamaa utuk () megakibatka a = b. Catata : Ketaksamaa rata-rata aritmetis-geometris yag umum utuk bilaga positif a, a,...,a adalah (a a... a ) / a + a +... + a dega kesamaa terjadi jika da haya jika a = a =... = a. (c). Ketaksamaa Beroulli. Bila x > -, maka ( + x) + x ; utuk semua N. (4) Buktiya dega megguaka iduksi matematika. Utuk =, meghasilka kesamaa sehigga peryataa tersebut bear dalam kasus ii. Selajutya, kita asumsika bahwa ketaksamaa (4) valid utuk suatu bilaga asli, da aka dibuktika valid juga utuk +. Asumsi ( + x) + x da fakta + x > 0 megakibatka bahwa (3) Aalisis Real I 37