MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 00
Pedahulua Suatu ruag vektor mugki saja dapat berada di dalam ruag vektor yag laiya. Pada sub bab sebelumya bahwa bidag-bidag yag melewati titik asal adalah ruag vektor yag terletak di dalam ruag vektor R. Utuk selajutya kita aka mempelajari kosep petig ii secara lebih medetail. Suatu sub bab himpua da ruag vektor da juga merupaka suatu vektor ruag dalam kaitaya dega operasi pejumlaha da perkalia skalar vektor yag di defiisika pada V.
SUB RUANG VEKTOR A. Defiisi Suatu sub himpua W da suatu ruag vector V disebut sub ruag da V jika W itu sediri merupaka suatu ruag vector dibawah pejumlaha da perkalia skalar yag terdefiisi pada V. Teorema : Jika W adalah suatu himpua yag terdiri dari satu atau lebih vektor dari suatu ruag vector V, maka W adalah suatu sub ruag dari V, jika da haya jika syarat berikut terpeuhi: a) Jika u da v adalah vektor-vektor pada W maka u + v berada pada W. b) Jika k adalah sembarag skalar da u adalah sembarag vektor pada W maka ku berada pada W. Bukti: Misalka u adalah vektor sembarag pada W. Meurut syarat (b), ku berada pada W utuk setiap skalar k. Dega membuat k = 0, sesuai dega Teorema diperoleh 0u = 0 berada pada W, da dega megatur k = -, maka (-)u = -u berada pada W. Suatau himpua W yag terdiri dari satu atau lebih vektor da suatu sub ruag V disebut tertutup terhadap pejumlaha jika syarat (a) pada Teorema berlaku, da dikataka tertutup terhadap perkalia skalar jika syarat (b) berlaku. Jadi, Teorema 4 meyataka bahwa W adalah sub ruag dari V jika da haya jika W tertutup terhadap pejumlaha da tertutup terhadap perkalia skalar. Cotoh : Miasalka u da v adalah vektor-vektor sembarag pada W, da W adalah bidag sembarag yag melewati titik asal. Maka u + v harus terletak pada W karea vektor ii merupaka diagoal da paralelogram yag dibetuk oleh u da v (Gambar ), da vektor ku harus terletak pada W utuk skalar sembarag k karea ku terletak pada garis yag melewati u. Jadi, W tertutup terhadap pejumlaha da perkalia skalar, sehigga merupaka sub ruag da R.
Vektor u + v da ku keduaya Terletak pada satu bidag yag sama dega u da v. Cotoh : Garis-Garis yag Melewati Titik Asal adalah Sub Ruag Tujukka bahwa suatu garis yag melewati titik asal dari R. Peyelesaia: Misalka W adalah suatu garis yag melewati titik asal R adalah sub ruag dari R. Secara geometris tampak bahwa jumlah dua vektor pada W juga aka terletak pada garis tersebut da perkalia skalar suatu vektor pada garis tersebut juga terletak pada garis tersebut. Jadi, W tertutup terhadap pejumlaha da perkalia skalar, sehigga merupaka sub ruag da da R. (a) W tertutup terhadap pejumlaha. (b) W tertutup terhadap perkalia skalar. 4
Cotoh : Sub Himpua dari R yag buka Merupaka Sub Ruag. Misalka W adalah himpua semua titik x, y pada R sedemikia rupa sehigga x 0 da y 0. Titik ii adalah titik-titik pada kuadra pertama. Himpua W buka merupaka sub ruag dari R karea tidak tertutup terhadap perkalia skalar. Sebagai cotoh, v, terletak pada W, tetapi betuk egatifya v v, tidak terletak pada W.(Gambar 4) W tidak tertutup terhadap perkalia skalar. Setiap ruag vektor tak ol V, memiliki palig tidak dua sub ruag, yaitu: V itu sediri merupaka suatu sub ruag, da himpua 0 yag terdiri dari vektor ol pada V disebut dega sub ruag ol.daftar sub ruag dari R da R sebagai berikut: Sub ruag dari 0 R : Garis-garis melewati titik asal R Sub ruag dari 0 R : Garis-garis melewati titik asal Bidag-bidag melewati titik asal R 5
Cotoh 4 : Sub Ruag dari M Himpua matriks simetrik x adalah sub ruag da ruag vektor yag terdiri dari semua matriks x. Demikia juga, himpua matriks segitiga atas x, himpua matriks segitiga bawah x, himpua matriks diagoal x, semuaya membetuk sub ruag dari M, karea setiap himpua ii tertutup terhadap pejumlaha da perkalia skalar. Cotoh 5 : Sub Ruag dari Poliomial dega Pagkat Misalka adalah sebuah bilaga bulat positif da misalka W terdiri dari fugsi ol da semua fugsi poliomial riil yag mempuyai derajat himpua semua fugsi yag dapat diyataka dalam betuk p x a a x... a x 0 ; jadi, W adalah Diamaa a 0,...,a adalah bilaga-bilaga riil. Himpua W adalah sub ruag dari ruag vektor semua fugsi berilai riil. Utuk melihat ii, misalkalah p da q merupaka poliom-poliom p q x x a a x... a x 0 Da b b x... b x 0 Maka p q x p x q x a b a b x... a b x Juga kp x = kp x = ka 0 + ka x + + ka x Maka, p + q da kp terletak di W. 0 0 6
Teorema Tijaulah sistem m persamaa liier pada bilaga tidak diketahui a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b a m x + a m x + + a m x = b m Atau, dalam otasi matriks, Ax = b. Sebuah vektor* S = s s s Pada R kita amaka vektor pemecaha dari sistem tersebut jika x s, x s,..., x s merupaka pemecaha dari sistem tersebut. B. Defiisi Suatu vektor W disebut suatu kombiasi liier dari vektor-vektor V, V,,V jika dapat diyataka dalam betuk W = k v + k v + + k r v r Dimaa k, k,,k r adalah skalar Cotoh : Memeriksa Kombiasi Liier misalka vektor-vektor u = (0,, ) da v = (-,, ) pada R. Tujukka bahwa w = (, 0, ) adalah suatu kombiasi liier dari u da v da bahwa x = (5, -, 7) buka merupaka kombiasi liier dari u da v. Peyelesaia: Agar w dapat mejadi kombiasi liier dari u da v, maka harus terdapat skalar k da k sedemikia rupa sehigga w = k u + k v, yaitu: (, 0, ) = k 0,, + k (,, ) (, 0, ) = 0 k + k, k + k, k + k Dega meyetaraka kompoe-kompoe yag bersesuaia diperoleh: k = k + k = 0 k + k = 7
Dega meyelesaika sistem ii, aka mghasilka k =, k =, sehigga: W = u v Demikia juga agar x dapat merupaka kombiasi liier dari u da v, harus terdapat skalar k da k sedemikia rupa sehigga x = k u + k v, yaitu: (5, -, 7) =k 0,, + k (,, ) (5, -, 7) = 0 k + k, k + k, k + k Dega meyetaraka kompoe- kompoe yag bersesuaia diperoleh: k = 5 k + k = k + k = 7 Sistem persamaa ii tidak kosiste, sehigga tidak terdapat skalar k da k. Sebagai kosekuesiya, x buka merupaka kombiasi liier dari u da v. C. Defiisi Jika v, v,, v r adalah vektor-vektor pada ruag vektor V da jika masig-masig vektor pada V dapat diyataka dalam kombiasi liier v, v,, v r maka dapat diyataka bahwa vektor-vektor ii meretag V. Teorema Jika v, v,, v r adalah vektor-vektor pada ruag vektor V, maka: (a) Himpua W dari semua kombiasi liier v, v,, v r adalah subruag V. (b) W adalah subruag terkecil dari V yag megadug v, v,, v r dalam arti bahwa setiap subruag lai dari V yag megadug v, v,, v r harus megadug W. Kombiasi liier v, v,, v r maka kita dapatka sub ruag V. Sub ruag tersebut kita amaka ruag liier terretag oleh: v, v,, v r, atau dega lebih sederhaa diamaka ruag teretag oleh: v, v,, v r. Teorema Jika S = v, v,, v r adalah suatu himpua vektor-vektor pada suatu ruag vektor V, maka sub ruag W dari V yag terdiri dari semua kombiari liier vektor-vektor pada S disebut sebagai ruag yag diretag oleh v, v,, v r da vektor-vektor v, v,, v r meretag W. Utuk meyataka bahwa W adalah ruag yag diretag oleh vektor-vektor pada himpua S = v, v,, v r kita meuliska W = retag (S) atau W = retag v, v,, v r 8
Teorema Jika S = v, v,, v r da S = w, w,, w k adalah dua himpua vektor-vektor pada suatu ruag vektor maka: Retag v, v,, v r = retag w, w,, w k Jika da haya jika setiap vektor pada S adalah suatu kombiasi liier dari vektorvektor pada S da setiap vektor pada S adalah suatu kombiasi liier dari vektorvektor pada S. 9
Peutup Dari sub ruag yag telah kami bahas dapat disimpulka bahwa dalam sub ruag itu meliputi: ). Garis-garis yag melewati titik asal adalah sub ruag. ). Sub himpua dari R yag buka merupaka sub ruag dari M.. ). Sub ruag dari poliomial dega pagkat dalam sub ruag vector juga membahas kombiasi liier da vektor-vektor yag meretag. 0
DAFTAR PUSTAKA Ato, Howard. 99. Aljabar Liear Elemeter edisi 5. Jakarta : Erlagga Ato, Howard. 00. Aljabar Liear Elemeter Jilid edisi 8. Jakarta : Erlagga Purwato, Heri. 005. Aljabar Liear. Jakarta : PT Ercotara Rajawali