BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.
KERANGKA PEMBAHASAN 1. Hasil Kali Dalam 2. Sudut dan Keortogonalan pada Ruang Hasil Kali Dalam 3.Basis Ortogonal, Proses Gram-Schmidt 4.Perubahan Basis 5. Matriks Ortogonal
6.1 HASILKALI DALAM Definisi Misalnya V adalah suatu ruang vektor, dan, maka notasi <, > dinamakan hasilkali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut: 1., =, (Simetris) 2. +, =, +, (Aditivitas) 3. untuk suatu k R,, =, =, (Sifat Homogenitas) 4., 0, untuk setiap dan, = 0 = 0 (Sifat Positifitas) Ruang vektor yang dilengkapi dengan operasi hasilkali dalam dinamakan Ruang Hasilkali Dalam (RHD)
NORM VEKTOR Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam, maka norm (panjang) sebuah vektor dinyatakan oleh : =, > 0 Contoh 1 : Ruang Hasil Kali Dalam Euclid ( R n ) Misalkan, maka, = + +...+ =, > 0 = + +...+
CONTOH 2 Misalnya W R 3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali, = 2 + +3, dengan, Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam Jawab : Misalkan,,, maka (i)., = 2 + +3 = 2 + +3 =, (terbukti simetris)
(ii). +, = (u 1 +v 1, u 2 +v 2, u 3 +v 3 ), (w 1, w 2, w 3 ) = 2(u 1 + v 1 )w 1 + (u 2 +v 2 )w 2 + 3(u 3 +v 3 )w 3 = 2u 1 w 1 +2v 1 w 1 +u 2 w 2 +v 2 w 2 +3u 3 w 3 +3v 3 w 3 = 2u 1 w 1 +u 2 w 2 +3u 3 w 3 +2v 1 w 1 +v 2 w 2 +3v 3 w 3 (bersifat aditivitas) (iii) untuk suatu k R,, = (ku 1, ku 2, ku 3 ), (v 1, v 2, v 3 ) = 2ku 1 v 1 + ku 2 v 2 + 3ku 3 v 3 = k2u 1 v 1 + ku 2 v 2 + k.3u 3 v 3 (bersifat homogenitas) (iv)., = 2 + +3 Jelas bahwa, > 0 untuk setiap dan, = 0 jika = 0 (Sifat Positifitas) Untuk vektor R 2,, = +
CONTOH 3 Tunjukan bahwa, = + 2 3 bukan merupakan hasil kali dalam JAWAB: Perhatikan, = + 2 3 Pada saat 3u 32 > u 12 + 2u 2 2 maka, < 0 Tidak memenuhi Sifat positivitas Bukti dengan u = (2,2,2), = 2 + 2. 2 3 2 = 0 seharusnya nol hanya pada u = (0,0,0)
CONTOH 4: MENGGUNAKAN HASILKALI DALAM EUCLIDIAN TERTIMBANG Penting diketahui bahwa norma dan jarak tergantung pada HASILKALI DALAM YANG DIGUNAKAN. Contohnya, vektor u = (1,0) dan v = (0,1): 1. Hasilkali dalam Euclid 2. Hasilkali dalam Euclid tertimbang
CONTOH 5: LINGKARAN SATUAN TAKBIASA DI R 2 1. Sketsakan lingkaran satuan di sistem koordinat-xy di R 2 menggunakan hasilkali dalam Euclid, = + 2. Sketsakan lingkaran satuan di sistem koordinat-xy di R 2 menggunakan hasilkali dalam Euclid tertimbang, = + JAWAB 1. Jika u = (x,y) maka =, = +. Pada lingkaran satuan maka + = 1 atau + = 1 2. Jika u = (x,y) maka =, = +. Pada lingkaran satuan maka + = 1 atau + = 1
HASILKALI DALAM DITURUNKAN DENGAN MATRIKS Jika Jika Maka hasilkasli dalamnya adalah, =., =, = maka
CONTOH 6 Diketahui Hasilkali dalamnya adalah mengikuti rumus, =
CONTOH 7 Diketahui matriks maka dan jaraknya: =. = 1 + 2 + 3 + 4 = 30 =. = ( 1) +0 + 3 + 2 = 14
HASILKALI DALAM POLYNOMIAL Jika adalah dua vektor di P 2, maka Normanya: CONTOH: = 3 + 5 6 dan = 4 + 3 + 2, = 3.4 + 5.3 + 6. 2 = 15 = 3 + 5 + 6 = 70
HASILKALI DALAM FUNGSI Misalkan f = ( )dan g = ( )adalah dua fungsi di C [a,b] dan didefinisikan: ditambah satu fungsi s = ( ), maka hasilkali dalamnya: NORMANYA:
SIFAT-SIFAT HASILKALI DALAM
6.2 SUDUT DAN KEORTOGONALAN PADA RUANG HASILKALI DALAM Subbab ini membahas 1. Definisi gagasan SUDUT antara dua vektor di ruang hasilkali dalam 2. Penggunaan konsep ini untuk mendapatkan beberapa hubungan dasar antar vektor pada hasilkali dalam, termasuk hubungan geometri mendasar antara ruangnul dan ruang kolom dari sebuah matriks
KETIDAKSAMAAN CAUCHY-SCHWARZ Sudut antara dua vektor dalam suatu RHD :, cos = Karena cos 1, maka, 1 Hal ini terbukti dengan KETIDAKSAMAAN CAUCHY-SCHWARZ:,
SIFAT-SIFAT PANJANG DAN JARAK SIFAT-SIFAT PANJANG SIFAT-SIFAT JARAK
SUDUT ANTAR-VEKTOR Jika, 1 dikuadratkan maka, 1 atau ekueivalen dengan: 1, 1
CONTOH Tentukan sudut dua vektor: u = (4,3,1,-2) dan v = (-2,1,2,3) Jawaban: = 1.97 rad
ORTOGONALITAS Seperti pada bab sebelumnya, ortogonal berarti tegak lurus atau terjadi saat cos = 0 atau. = Contoh: Apakah dua matriks berikut ortogonal? (ORTOGONAL)
CONTOH: ORTOGONAL VEKTOR DI P 2 Diketahui hasilkali dalam berikut: Misalkan p = x dan q = x 2, maka Karena, = 0, maka vektor p = x dan q = x 2 ortogonal relatif terhadap hasilkali dalam yang diketahui
PYTHAGORAS Jika u dan v vektor ortogonal di RHD, maka + = + Contoh: Seperti contoh sebelumnya dengan Pythagoras: maka Bukti dengan integrasi:
PELENGKAP ORTOGONAL Jika V bidang melalui asal R3 dengan RHD Euclid, maka semua vektor di L tegak lurus dengan setiap vektor di V DEFINISI Misalkan W subruang dari RHD V. Sebuah vektor u di V dikatakan ortogonal terhadap W jika dia ortogonal terhadap setiap vektor di W, dan kumpulan semua vektor di V yang ortogonal terhadap W disebut pelengkap ortogonal dari W (W )
SIFAT-SIFAT PELENGKAP ORTOGONAL Jika W adalah sebuah subruang RHD V dimensi-tentu, maka 1. W adalah subruang dari V 2. Hanya ada satu vektor yang umum terhadap W dan W adalah 0 3. Pelengkap ortogonal dari W adalah W, sehingga (W ) = W
HUBUNGAN GEOMETRIK ANTARA RUANG-NUL DAN RUANG BARIS Jika A adalah matriks m x n, maka 1. Ruang-nul A dan ruang baris A adalah pelengkap ortogonal di R n berhubungan dengan RHD Euclid 2. Ruang-nul A T dan ruang kolom dari A adalah pelengkap ortogonal di R m berhubungan dengan RHD Euclid
CONTOH Misalkan W adalah subruang R 5 yang direntangkan oleh vektor Temukan basis untuk pelengkap ortogonal W! JAWAB: Matriks baris yang dibentuk oleh W: Ruang-nul A adalah pelengkap ortogonal A, dan didapatkan: Maka basis pelengkap ortogonal W adalah v1 = (-1,1,0,0,0) dan v2 = (-1,0,-1,0,1)
PERNYATAAN YANG EKUIVALEN
6.3 BASIS ORTONORMAL, PROSES GRAM-SCHMIDT Sebuah himpunan vektor pada RHD dinamakan himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak lurus). Himpunan ORTONORMAL himpunan ortogonal yang setiap vektornya memiliki panjang (normnya) satu. Misalkan, T = {c 1, c 2,, c n } pada suatu RHD T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika <c i, c j > = 0 untuk setiap i j Sedangkan, T dikatakan himpunan vektor ortonormal jika untuk setiap i berlaku = 1
CONTOH Misalkan Maka himpunan vektor tersebut ortogonal karena Tentukan ortonormal vektor tersebut! JAWAB: Normalisasi u menghasilkan: ortonormal karena
BASIS ORTONORMAL Dalam RHD, basis yang mengandung vektor-vektor ortonormal disebut BASIS ORTONORMAL dan basis yang mengandung vektor-vektor ortogonal disebut BASIS ORTOGONAL Contoh: Vektor-vektor yang ada di Gambar 2 adalah basis ortonormal: Pada R lebih tinggi: Gambar 2
KOORDINAT RELATIF TERHADAP BASIS ORTONORMAL TEOREMA: Jika =,,, adalah basis ortonormal untuk RHD V, dan u adalah vektor di V, maka =, +, + +, Contoh: Nyatakan vektor u = (1,1,1) sebagai kombinasi linear dari =,, dan tentukan koordinat u Koordinat u relatif tehadap S:
TEOREMA 6.3.2
CONTOH Seperti contoh sebelumnya, tentukan norma u = (1,1,1) menggunakan Teorema 6.3.2 (a): JAWAB: Menggunakan cara biasa: Menggunakan teorema:
KOORDINAT RELATIF TERHADAP BASIS ORTOGONAL Jika =,,, adalah basis ortonormal untuk RHD V, maka normalisasi vektor tersebut menghasilkan basis ortonormal TEOREMA 6.3.3 Jika =,,, adalah himpunan ortogonal vektorvektor bukan-nol di RHD, maka S adalah bebas linear.
CONTOH Seperti pada contoh sebelumnya: adalah membentuk himpunan ortogonal di RHD Euclid di R 3 membentuk himpunan bebas linear karena R 3 memiliki dimensi-3, maka =,, adalah basis ortonormal untuk R 3
PROYEKSI ORTOGONAL (TEOREMA 6.3.4) Jika W adalah subruang dari RHD V dimensi-tentu, maka setiap vektor u di V dapat dinyatakan secara pasti dengan = + dengan di W dan adalah di W
CONTOH Misalkan R 3 memiliki RHD Euclid, dan misalkan W subruang yang dibentangkan oleh vektor-vektor ortonormal = 0,1,0 dan =, 0,. Proyeksi ortogonal u = 1,1,1 pada W adalah Komponen u yang ortogonal terhadap W adalah
MENEMUKAN BASIS ORTOGONAL DAN ORTONORMAL: PROSES GRAM-SCHMIDT Tahap 1. Misalkan = Tahap 2. Seperti diilustrasikan pada Fig. 6.3.3, kita dapat menemukan sebuah vektor yang ortogonal terhadap dengan menghitung komponen yang ortogonal terhadap yang dibentangkan oleh. Jika = 0, maka bukan vektor basis
CONTOH Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan vektor-vektor basis = (1,1,1), = (0,1,1) dan = (0,0,1) terhadap basis ortogonal,, JAWAB: Dengan demikian, membentuk basis ortogonal untuk R 3. Normanya adalah maka basis ortonormalnya:
DEKOMPOSISI-QR PERMASALAHAN: Jika A adalah matriks m x n yang vektor kolomnya bebas linear, dan jika Q adalah matriks dengan vektor kolom ortonormal yang dihasilkan dari penerapan proses Gram-Schmidt terhadap vektor kolom A, apakah hubungan, kalau ada, di antara A dan Q? Untuk menyelesaikan permasalahan ini, andaikan bahwa vektor kolom A adalah,,, dan vektor kolom ortonormal Q adalah,,, ; maka A = QR dengan R adalah MSA
CONTOH Temukan dekomposisi-qr matriks: JAWAB: Matriks kolom A: Vektor ortonormal dengan proses Gram-Schmidt:
6.4 PERUBAHAN BASIS Sebuah basis mungkin tepat untuk satu permasalahan tapi tidak tepat untuk permasalahan lainnya, karena itu perlu adanya perubahan basis Perubahan basis dapat menyebabkan perubahan koordinat (misalnya R 3 ke R 2 atau sebaliknya)
VEKTOR KOORDINAT TEOREMA 5.4.1: Jika =,,, adalah basis ruang vektor V, maka setiap v di V dapat dinyatakan secara unik dengan kombinasi linear: = + + + dengan,,, adalah koordinat v relatif terhadap S, dan vektor ( ) = (,,, ) adalah vektor koordinat v relatif terhadap S atau dinyatakan dengan: [ ] =
PERUBAHAN BASIS: PERMASALAHAN Jika merubah basis ruang vektor V dari basis lama B ke basis baru B, bagaimana vektor koordinat lama [ ] dari vektor v yang berhubungan dengan vektor koordinat baru [ ]? Simpelnya kita terapkan pada dimensi-2: Misalnya = (, ) dan = (, ). Kita perlu vektor koordinat basis baru terhadap basis lama: = dan = = + = + [ ] =
PERUBAHAN BASIS: SOLUSI Jika kita merubah basis ruang vektor V dari basis lama = (,,, )dan = (,,, ), maka vektor koordinat [ ] dihubungkan dengan vektor koordinat baru [ ] dari vektor v yang sama dengan persamaan dengan P adalah vektor koordinat dari vektor basis yang baru relatif terhadap basis lama. Vektor kolom P adalah Vektor P disebut MATRIKS TRANSISI dari ke : Vektor Q disebut MATRIKS TRANSISI dari ke : Q = P -1
CONTOH Misalnya = (, )dan = (, )adalah a). Temukan matriks transisi dari b). Temukan [ ], jika c). Temukan Q JAWABAN: a). ke b). c). Q = P -1, maka Atau sehingga
6.5 MATRIKS ORTOGONAL Matriks bujur-sangkar A yang memiliki sifat A -1 = A T disebut MATRIKS ORTOGONAL Mengikuti definisi ini maka A disebut ortogonal adalah jika dan hanya jika AA T = A T A = I CONTOH: adalah ortogonal karena
MATRIKS ROTASI ADALAH ORTOGONAL Matriks rotasi searah jarum jam pada R 2 : Jika A ditransposkan dan dikalikan dengan A:
PERNYATAAN YANG EKUIVALEN
TEOREMA 6.6.2 Contoh: adalah ortogonal karena det(a) = 1 dan pertukaran baris menghasilkan det(a) = -1
MATRIKS ORTOGONAL SEBAGAI OPERATOR LINEAR
PERUBAHAN BASIS ORTONORMAL Jika P adalah matriks transisi dari basis ortonormal satu ke basis ortonormal lainnya untuk RHD, maka P adalah matriks ortogonal, sehingga P -1 = P T. CONTOH: Perubahan koordinat-xy ke koordinat-x y dihubungkan oleh: =
Matriks transisi: Seperti penjelasan sebelumnya bahwa P -1 = P T, maka cos sin = = sin cos cos sin = sin cos Jika = sin = cos = Jika koordinat lama W = (2,-1), maka Koordinat baru W adalah (x,y ) = (,- )