Pertemuan 2 & 3 DEKOMPOSISI SPEKTRAL DAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR

Transkripsi

1 Pertemuan 2 & 3 DEKOMPOSISI SPEKTRAL DAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR

2 Ingat : Vektor dan Matriks Ortogonal vektor dan a dan b saling ortogonal jika a dan b saling ortonormal jika a dan b di normalisasi (normalized) : u dan v saling ortonormal : dan

3 Ilustrasi 1 Saling ortogonal karena dan dan Saling ortonormal karena dimana Saling ortogonal dan saling ortonormal karena dan

4 Matriks ortogonal Matriks dikatakan ortogonal jika or Ini berarti setiap kolom (baris) dari Q saling ortonormal, yakni dan, untuk adalah matriks ortogonal (periksa)

5 Eigenvalues and Eigenvectors dan vector Pasangan disebut pasanganpasanagan nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian jika setiap memenuhi persamaan Nilai-nilai igen dapat diperoleh dengan menyelesaikan prsamaan (determinan) Jika A simetri, maka semua nilai eigen bernilai riil Jika A definit positif maka semua nilai eigen bernilai positif Secara umum dapat bernilai kompleks Pada umumnya dalam statistik multivariat kita bekerja pada vektor-vektor eigen yang normnya 1 (normalized)

6 Jika vektor-vektor eigen ortonormal maka kita punya persamaan matriks (lihat teks) atau Hasil ini memegang peranan dalam dekomposisi spektral atau ortogonal diagonal

7 Dekomposisi spektral dari matrik simeri Definit positif simetri Dekomposisi spektral nilai-nilai eigen dari A Vektor-vektor eigen (normalized) yang bersesuaian dengan (ortonormal)

8 Sifat-sifat matriks simetri simetri Mempunyai k pasangan nilai eigen dan vektor eigen Vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilainilai eigen, semuanya ortonormal Semua nilai eigen bernilai riil Jika salah satu nilai eigen bernilai nol, berimplikasi A singular Jika A nonsingular, maka terdapat invers

9 Contoh

10 Lanjutan Mudah diperiksa bahwa P ortogonal

11 Matriks Definit positif & Form Kuadratik Misalkan matriks simetri dan vector A disebut definit positif jika x A x disebut bentuk kuadratik Matriks simetri definit positif jika dan hanya jika semua nilai eigennya positif Definit positif dari bentuk kuadratik dapat di interpretasikan sebagai kuadrat jarak

12 Rangkuman Misal matriks simetri berukuran. Maka mempunyai k pasang nilai eigen dan vektor eigen Vektor-vektor eigen dapat dipilih sehingga memenuhi dan saling mutually perpendicular Matrik simetri mempunyai dekomposisi spektral dimana adalah nilai-nilai eigen dari A dan adalah vektor-vektor eigen (yang dinormalisasi/uniter) yang bersesuaian dengan dan

13 Matrik defenit positif dengan dekomposisi spektral matriks yang kolom-kolomnya merupakan Misalkan vektor-vrktor eigen yang dinormalisir, maka dimana dan matriks diagonal CC: Dalam hal ini A harus definit positif, dimana semua nilai-nilai eigennnya juga positif

14 A matriks definit positif dengan dekomposisi spektral dan inversnya maka disebut matriks akar kuadrat atau matriks standar deviasi dimana dan

15 Ilustrasi 1 matriks simetri Nilai-nilai eigen diperoleh dengan menyelesaikan persamaan Untuk Untuk, vektor eigennya,, dinormalisasi menjadi vektor eigennya, dinormalisasi menjadi Dekomposisi spektral dari A adalah CC : disini ada nilai eigen bernilai negatif ( definit positif. Akibatnya, tidak berlaku?? ), jadi A bukan matriks

16 Ilustrasi 2 (A definit positif) Nilai-nilai eigen Vektor2 eigen dinormalisasi dinormalisasi dinormalisasi Dekomposisi spektral

17 Karena A definit positif (semua nilai eigen positif), maka

18 DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR

19 Nilai Singulir dan Dekomposisi Singulir Maka dekomposisi singulir adalah dimana r buah vektor unit ortog berukuran mx1 r buah vektor unit ortog berukuran kx1 dengan entri (i,i) adalah pasanagn nilai eigen dan vektor eigen

20 Ilustrasi Tentukan dekomposisi nilai singulir dari matriks Solusi A nilai-nilai eigen nilai-nilai eigen Jadi

21 Matriks-matriks khusus

22 Perkalian Kronecker Definisi 2.1 Misalkan A dan B dua buah matriks masing-masing berukuran maka perkalian Kronecker (Kronecker product) dari A dan B dan dinotasikan sebagai yaitu suatu matriks berukuran didefinisikan sebagai, Misal dan = maka

23 Operator Operator yang mentransformasikan matriks kedalam bentuk vektor disebut operator vec disingkat. Jika A adalah matriks berukuran maka dengan kolom ke-i adalah adalah sebuah vektor berukuran dan dinyatakan sebagai Misal maka

24 Matriks Komutasi (Commutation matriks) Suatu matriks bujur sangkar P disebut matriks komutasi jika setiap baris dan setiap kolom dari matrik P hanya mengandung sebuah elemen 1, dan yang lainnya adalah nol. Matriks Identitas termasuk salah satu matrik komutasi. Definisi adalah matriks berukuran Misalkan yakni baris ke-i dan kolom-j. dengan elemen tidak nol, yaitu 1 pada posisi Maka matriks komutasi berukuran dinotasikan dengan dan didefenisikan sebagai

25 Contoh membentuk matriks Komutasi Misalakan diberikan dua matriks identitas dan kolom pertama dari dan kolom pertama dari maka sehingga adalah adalah

26 Selanjutnya, kolom pertama dari dan kolom kedua dari adalah adalah maka sehingga Selanjutnya, kolom pertama dari dan kolom ketiga dari maka sehingga adalah adalah

27 Selanjutnya, kolom kedua dari dan kolom pertama dari adalah adalah maka sehingga Selanjutnya, kolom kedua dari dan kolom kedua dari maka sehingga adalah adalah

28 Selanjutnya, kolom kedua dari dan kolom ketiga dari adalah adalah maka sehingga Diperoleh Matriks komutasinya adalah

29 Dapat ditunjukkan bahwa (sifat) Perhatikan bahwa untuk memperoleh matriks komutasi, setiap kolom pada matriks identitas pertama dikalikan dengan setiap kolom pada matriks identitas yang kedua. Matriks diperoleh dari perkalian kolom ke-i pada matriks identitas pertama dengan kolom ke-j pada matriks identitas yang kedua

30 Perkalian Hadamart (The Hadamard Product) Operator dari perkalian Hadamard dinotasikan dengan yakni suatu operator yang mengalikan dua matriks berukuran sama dengan elemen-elemen yang indeksnya bersesuaian Misalkan A dan B dua matriks berukuran sama yakni maka perkalian Hadamard dari matriks A dan B didefenisikan sebagai