PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO

Transkripsi

1 PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER 2 KODE : MKK DOSEN PENGAMPU : Annisa Prima Exacta, M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO

2 KONTRAK PEMBELAJARAN ALJABAR LINIER 2 MKK Semester IV / 2 SKS Program Studi Pendidikan Matematika Oleh : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Universitas Veteran Bangun Nusantara Sukoharjo Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

3 I. Identitas Mata Kuliah Nama Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Matakuliah SKS Semester Prodi Dosen : MKK : 2 SKS : IV : Pendidikan Matematika : Annisa Prima Exacta, M.Pd. II. Manfaat Matakuliah Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan dapat :memahami kembali pengertian matriks dan transformasi linear, dapat penggunakan matriks dan transformasi linear dalam menyelesaikan permasalahan, memahami pengertian teorema spektral dan bentuk kuadratik, memahami pengertian bentuk Kanonik Jordan, dan memiliki pengetahuan untuk dapat menggunakan konsep transformasi linear, teorema Spektral, bentuk kuadratik dan bentuk Kanonik Jordan pada persoalan-persoalan yang berkaitan dengan ilmu-ilmu matematika atau ilmu-ilmu lainnya. III. Deskripsi Matakuliah Dalam perkuliahan ini dibahas: 1. Ruang euclides, ruang vektor umum, ruang bagian, kebebasan linier, basis dan dimensi, ruang baris dan ruang kolom matriks, rank, penerapan terhadap pencarian basis, ruang hasil kali dalam, dan basis orthonormal. 2. Transformasi linier: sifat transformasi linier, kernel dan jangkauan transformasi linier dari Rn ke Rm, geometri transformasi linier dari R2 ke R2, matriks transformasi linier. 3. Nilai dan vektor eigen IV. Kompetensi Dasar dan Indikator Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya

4 maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. KD 1 : Menjelaskan konsep-konsep tentang ruang vektor, ruang vektor bagian Indikator : Mampu melakukan evaluasi terhadap suatu himpunan dan operasi padanya termasuk grup, field, ruang vektor, dan ruang vektor bagian, serta menunjukkan ruang baris dan ruang kolom pada matriks. KD 2 : menunjukkan vektor-vektor yang bebas linier dari suatu ruang vektor, vektorvektor yang saling bergantung linier dan dapat mencari kombinasinya, serta menjelaskan konsep basis dan dimensi ruang vektor. Indikator : 1. Menentukan himpunan vektor yang bebas linier 2. Menentukan himpunan vektor yang bergantung linier. 3. Menemukan kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor-vektor lainnya. 4. Mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor. KD 3 : Menjelasakan konsep transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, serta menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor. Indikator :. 1. Mampu melakukan evaluasi terhadap beberapa bentuk transformasi yang merupakan transformasi linier. 2. Mampu menentukan matriks transformasi linier. 3. Mampu menemukan basis dan dimensi dari ruang peta dan ruang nol. KD 4 : Memahami konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product, menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram- Schmidt. Indikator : 1. Mampu menghitung panjang dan sudut dari vektor-vektor. 2. Mampu menentukan matriks yang mempresentasikan ruang inner product.

5 3. Mampu menentukan basis ortogonal dan basis ortonormal dari ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt. KD 5 : Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier, menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier, serta menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier. Indikator : 1. Dapat mencari eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier. 2. Dapat menemukan matriks yang similaritas dengan matriks transformasi linier. 3. Dapat mendiagonalkan matriks transformasi linier. KD 6 : Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. Indikator : Dapat menentukan relasi kongruen, mencari bentuk bilinear, dan bentuk kuadrat. KD 7 : Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks dengan menghitung dengan menggunakan teorema Caely-hamilton Indikator : Dapat mencari bentuk kanonik jordan dari matriks dengan menghitung menggunakan teorema Caely-hamilton. A e dengan A e V. Organisasi Materi a. Ruang-ruang vektor 1) Ruang vektor 2) Ruang vektor bagian 3) Ruang baris 4) Ruang kolom

6 b. Ruang Vektor 1) Bebas linier 2) Bergantung linier 3) Kombinasi linier 4) Basis dan dimensi c. Transformasi Linier 1) Transformasi linier 2) Koordinat relatif 3) Perubahan basis 4) Matriks transformasi linier 5) Ruang peta 6) Ruang nol d. Vektor di R 2 dan R 3 1) Ruang inner product 2) Panjang vektor 3) Jarak antar vektor 4) Sudut antara dua vektor 5) Unit vektor 6) Vektor yang ortogonal 7) Ortogonalisasi vektor dengan Gram-Schmidt e. Nilai Eigen 1) Eigenvalues dan eigen vektor 2) Similarita 3) Pendiagonalan matriks transformasi linier f. 1) Relasi kongruensi 2) Bentuk bilinier 3) Bentuk kuadrat g. Determinan 1) Bentuk kanonik jordan 2) Teorema Caley Hamilton

7 VI. Pendekatan dan Strategi Pembelajaran Perkuliahan diselenggarakan dengan perpaduan teori (metode ceramah, diskusi, tanya jawab dan studi kasus). Diskusi dilakukan secara kelompok, tanya jawab dan studi kasus dilaksanakan di setiap akhir perkuliahan. VII. Sumber Belajar a. Anton, Howard Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga. b. Budi, Wono Setyo Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia. c. Modul Aljabar Linier 2 VIII. Penilaian dan Kriteria Pembelajaran JENIS TES BOBOT a. Presensi, sikap, perilaku, keaktifan 30% b. Diskusi, tanya jawab, studi kasus 20% c. UTS 20% d. UAS 30% IX. Jadwal Pembelajaran MINGGU KE- MATERI 1 Ruang vektor, ruang vektor bagian 2 Ruang baris dan ruang kolom 3 Bebas linier, bergantung linier, kombinasi linier 4 Basis dan dimensi 5 Transformasi linier, koordinat relatif, perubahan basis 6 Matriks transformasi linier, ruang peta, ruang nol

8 7 Ruang inner product, panjang vektor, jarak antar vektor, sudut antara dua vektor, unit vektor. 8 Vektor yang ortogonal, ortogonalisasi vektor dengan Gram-Schmidt 9 Ujian Tengah Semester 10 Eigenvalues dan eigen vektor, similarita 11 Pendiagonalan matriks transformasi linier 12 Relasi kongruensi 13 Bentuk bilinier, bentuk kuadrat 14 Bentuk kanonik jordan, teorema Caley Hamilton 15 Review Materi 16 Ujian Akhir Semester

9 SILABUS MATA KULIAH Program Studi : Pendidikan Matematika Kode Mata Kuliah : MKK Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Bobot : 2 SKS Semester : IV Mata Kuliah Prasyarat : Aljabar Linier 1 Deskripsi Mata Kuliah : Dalam perkuliahan ini dibahas: (1) Ruang euclides, ruang vektor umum, ruang bagian, kebebasan linier, basis dan dimensi, ruang baris dan ruang kolom matriks, rank, penerapan terhadap pencarian basis, ruang hasil kali dalam, dan basis orthonormal; (2) Transformasi linier: sifat transformasi linier, kernel dan jangkauan transformasi linier dari Rn ke Rm, geometri transformasi linier dari R2 ke R2, matriks transformasi linier; dan (3) Nilai dan vektor eigen. Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar Indikator Pengalaman Belajar Materi Pokok 1. Menjelaskan konsep-konsep tentang ruang vektor, ruang vektor bagian Mampu melakukan evaluasi terhadap suatu himpunan dan operasi padanya termasuk grup, field, ruang vektor, dan ruang vektor bagian, serta menunjukkan ruang baris dan ruang kolom pada Memberikan penjelasan tentang konsep ruang vektor dan ruang vektor bagian. Mendiskusikan persoalan tentang ruang vektor dan ruang bagian. Ruang vektor Ruang vektor bagian Ruang baris Ruang kolom Alokasi Waktu (menit) Sumber/Bahan Ajar/Media 4 x 50 Sumber: Aljabar Linier Elementer Aljabar Linier Modul Aljabar Linier 2 Media: LCD, Penilaian/ evaluasi Partisipasi dalam diskusi Latihan soal-soal di bahan ajar.

10 matriks. 2. Menunjukkan 5. Menentukan vektor-vektor himpunan vektor yang bebas linier yang bebas linier dari suatu ruang 6. Menentukan himpunan vektor vektor, vektorvektor yang saling yang bergantung linier. bergantung linier 7. Menemukan dan dapat kombinasi linier dari mencari suatu vektor kombinasinya, terhadap vektorvektor serta menjelaskan lainnya. konsep basis dan 8. Mencari dan dimensi ruang menemukan basis vektor. dan dimensi dari suatu ruang vektor. Menjelaskan tentang cara menentukan himpunan vektor yang bebas linier. Menjelaskan tentang cara menentukan himpunan vektor yang bergantung linier. Mengkaji tentang kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor lainnya. Menjelaskan tentang cara mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor. Mendiskusikan persoalan tentang vektor-vektor yang bebas linier dari suatu ruang vektor. Mendiskusikan persoalan tentang vektor-vektor yang saling bergantung linier. Mendiskusikan persoalan tentang kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor lainnya. Mendiskusikan persoalan mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor. Bebas linier Bergantung linier Kombinasi linier Basis dan dimensi whiteboard 4 x 50 Sumber: Aljabar Linier Elementer Aljabar Linier Modul Aljabar Linier 2 Media: LCD, whiteboard Partisipasi dalam diskusi Latihan soal-soal di bahan ajar.

11 3. Menjelasakan konsep transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, serta menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor. 4. Memahami konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasika n ruang inner product, menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan Mampu melakukan evaluasi terhadap beberapa bentuk transformasi yang merupakan transformasi linier. Mampu menentukan matriks transformasi linier. Mampu menemukan basis dan dimensi dari ruang peta dan ruang nol. Mampu menghitung panjang dan sudut dari vektor-vektor. Mampu menentukan matriks yang mempresentasikan ruang inner product. Mampu menentukan basis ortogonal dan basis ortonormal ruang dengan dari vektor proses Mengkaji tentang konsep transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi. Menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor. Mendiskusikan persoalan tentang ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor Menkaji tentang konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product. Menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram- Schmidt. Mendiskusikan persoalan tentang panjang dan sudut Transformasi linier Koordinat relatif Perubahan basis Matriks transformasi linier Ruang peta Ruang nol Ruang inner product Panjang vektor Jarak antar vektor Sudut antara dua vektor Unit vektor Vektor yang ortogonal Ortogonalisas 4 x 50 Sumber: Aljabar Linier Elementer Aljabar Linier Modul Aljabar Linier 2 Media: LCD, whiteboard 4 x 50 Sumber: Aljabar Linier Elementer Aljabar Linier Modul Aljabar Linier 2 Media: LCD, whiteboard Partisipasi dalam diskusi Latihan soal-soal di bahan ajar. Partisipasi dalam diskusi Latihan soal-soal di bahan ajar.

12 ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt. 5. Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu transformasi linier, menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi matriks linier, menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier. serta Gram-Schmidt. 4. Dapat mencari eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier. 5. Dapat menemukan matriks yang similaritas dengan matriks transformasi linier. Dapat mendiagonalkan matriks transformasi linier. dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product Mendiskusikan persoalan tentang proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt. Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier. Menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier. menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier. Mendiskusikan persoalan tentang eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier. Mendiskusikan persoalan tentang similaritas matriks transformasi linier. Mendiskusikan persoalan tentang pendiagonalan matriks transformasi linier. i vektor dengan Gram- Schmidt Eigenvalues dan eigen vektor Similaritas Pendiagonala n matriks transformasi linier 4 x 50 Sumber: Aljabar Linier Elementer Aljabar Linier Modul Aljabar Linier 2 Media: LCD, whiteboard Partisipasi dalam diskusi Latihan soal-soal di bahan ajar.

13 6. Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. Dapat menentukan relasi kongruen, mencari bentuk bilinear, dan bentuk kuadrat. Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. Mendiskusikan persoalan tentang relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. Relasi kongruensi Bentuk bilinier Bentuk kuadrat 4 x 50 Sumber: Aljabar Linier Elementer Aljabar Linier Modul Aljabar Linier 2 Partisipasi dalam diskusi Latihan soal-soal di bahan ajar. Media: LCD, whiteboard Dapat bentuk mencari kanonik jordan dari matriks dengan menghitung dengan menggunakan teorema Caelyhamilton A e 7. Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks dengan A menghitung e dengan menggunakan teorema Caelyhamilton Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks A dengan menghitung e dengan menggunakan teorema Caelyhamilton. Mendiskusikan persoalan tentang bentuk kanonik jordan dari matriks dengan A menghitung e dengan menggunakan teorema Caelyhamilton. Bentuk kanonik jordan Teorema Caley Hamilton 2 x 50 Sumber: Aljabar Linier Elementer Aljabar Linier Modul Aljabar Linier 2 Media: LCD, whiteboard Partisipasi dalam diskusi Latihan soal-soal di bahan ajar.

14 RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke- : 1 dan 2 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 1. Menjelaskan konsep-konsep tentang ruang vektor, ruang vektor bagian. Indikator : 1.1 Mampu melakukan evaluasi terhadap suatu himpunan dan operasi padanya termasuk grup, field, ruang vektor, dan ruang vektor bagian, serta menunjukkan ruang baris dan ruang kolom pada matriks. A. MATERI RUANG VEKTOR Misalkan V sebarang himpunan benda yang operasinya didefinisikan, yakni penambahhan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penambahan tersebut dipahami untuk mengasosiasikan suatu aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam V, yang mengandung elemen u + v, yang dinamakan jumlah u dan v; dengan perkalian skalar diartikan aturan untuk mengasosiasikan baik untuk setiap skalar k maupun setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalian skalar (scalar multiple) u oleh k. jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, dan w pada V dan oleh semua skalar k dan l, maka dinamakan V sebagai ruang vektor (vector space) dan bendabenda pada V dinamakan vektor. 1. Jika u dan v adalah benda-benda pada V, maka u v berada di V 2. u v v u u v w u v w Ada suatu benda 0 di V sehingga 0u u 0 u untuk semua u di V 5. Untuk setiap u di V, maka ada suatu benda u di V yang dinamakan negatif u sehingga u u u u 0 6. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang benda di V, maka ku berada di V k u v ku kv k lu ku lu 9. k lu kl u

15 10. 1u u Sub Ruang Vektor Misalkan W himpunan bagian dari ruang vektor V maka W disebut sub ruang vektor (subspace vector) dari V, bila vektor-vector didalam W memenuhi sifat penjumlahan dan perkalian skalar dari V. Teorema 1.4 Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari suatu ruang vektor V, maka W adalah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku. 1. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u v terletak di W 2. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor pada W, maka ku berada di W. Ruang Baris dan Ruang Kolom Misal matriks A berukuran mxn a11 a12 a1 n a21 a22 a 2n A am1 am2 amn Vektor baris: r a a a n r a a a n r a a a m m1 m2 mn Sub ruang R n yang direntang oleh vektor baris disebut ruang baris (row space) dari A Vektor kolom: a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2n c1, c2,, cn 1m 1 1m 2 1mn Sub ruang R n yang direntang oleh vektor kolom disebut ruang kolom (colomn space) dari A B. METODE PEMBELAJARAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok.

16 C. LANGKAH PEMBELAJARAN Pertemuan ke-1 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Memberikan kontrak perkuliahan 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Memberikan penjelasan tentang konsep ruang vektor dan ruang vektor bagian. 2. Memberikan contoh persoalan yang berkaitan dengan ruang vektor dan ruang vektor bagian. b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru mengenai ruang vektor dan ruang vektor bagian. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. Alokasi waktu 15 menit 60 menit 50 menit 15 menit 10 menit Pertemuan ke-2 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi sebelumnya 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Memberikan penjelasan tentang konsep ruang baris dan ruang kolom. Alokasi waktu 15 menit

17 2. Memberikan contoh persoalan yang berkaitan dengan ruang baris dan ruang kolom. b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru mengenai ruang baris dan ruang kolom. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. 60 menit 50 menit 15 menit 10 menit D. MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD dan Laptop E. SUMBER BELAJAR d. Anton, Howard Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga. e. Budi, Wono Setyo Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia. f. Modul Aljabar Linier 2 F. PENILAIAN Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

18 RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke- : 3 dan 4 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 2. Menunjukkan vektor-vektor yang bebas linier dari suatu ruang vektor, vektor-vektor yang saling bergantung linier dan dapat mencari kombinasinya, serta menjelaskan konsep basis dan dimensi ruang vektor. Indikator : 2.1 Menentukan himpunan vektor yang bebas linier 2.2 Menentukan himpunan vektor yang bergantung linier. 2.3 Menemukan kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor-vektor lainnya. 2.4 Mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor. A. MATERI RUANG VEKTOR Kombinasi Linier Vektor w dikatakan kombinasi linear dari vektor-vektor v1, v2,..., v r bila vektor w dapat dinyatakan sebagai persamaan vektor (SPL) berikut: w k1v 1 k2v2 krvr, di mana k1, k2,, k r adalah skalar. Merentang Misalkan v1, v2,, v r di V dan tiap-tiap vektor tersebut kombinasi linear dari v1, v2,, vr maka vektor tersebut dikatakan merentang ruang V

19 Bebas Linier Jika S v v v 1, 2,, r adalah himpunan vektor dan suatu persamaan vektor: k v k v k v r r 0 Persamaan tersebut pasti mempunyai satu pemecahan (Pemecahan trivial) yaitu: k1 k2 k3 k r 0 Jika demikian maka vektor S dinamakan himpunan bebas linear (linearly independent) dan jika ada pemecahan lain (pemecahan tak trivial), maka S dinamakan tak bebas linear (linearly independent). Basis dan Dimensi Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S v v v,,, r 1 2 berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S disebut basis untuk V jika: a. S bebas linear b. S merentang V Contoh 1.10 merupakan himpunan Apakah himpunan S v, v, v di mana v 1,2,1 ; v 2,9,0 ; v 3,3, merupakan basis untuk R 3? Solusi: a. Buktikan S bebas linear syarat: punya pemecahan k1 k2 k3 0 k1v 1 k2v2 k3v3 0 k1 2k2 3k SPL 2k1 9k2 3k3 0 A k1 4k b. Buktikan S merentang R 3 syarat : kominasi linear Konsisten/tidak? Det (A) 0 A dapat dibalik (punya invers) S merentang R 3 Kesimpulan: S adalah sebuah basis untuk R 3 Punya invers Det (A) 0 Definisi: Dimensi suatu ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V. Teorema: 1. Jika S v1, v2,, vn adalah suatu himpunan n vektor bebas linear pada suatu ruang V yang berdimensi n, maka S adalah suatu basis untuk V 2. Jika S v1, v2,, vn adalah suatu himpunan n vektor yang merentang pada suatu ruang V yang berdimensi n, maka S adalah suatu basis untuk V 3. Jika S v1, v2,, vn adalah suatu himpunan n vektor bebas linear pada suatu ruang V yang berdimensi n, dan r n, maka S adalah dapat diperbesar menjadi basis untuk

20 V; yakni vektor-vektor v,, 1 v untuk V r n sehingga v1, v2,, vr, vr 1, vn B. METODE PEMBELAJARAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok. C. LANGKAH PEMBELAJARAN Pertemuan ke-3 adalah suatu basis No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan tentang cara menentukan himpunan vektor yang bebas linier. 2. Menjelaskan tentang cara menentukan himpunan vektor yang bergantung linier. 3. Mengkaji tentang kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor lainnya. b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan mengenai vektor yang bebas linier, vektor yang bergantung linier, dan kombinasi linier. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. Alokasi waktu 10 menit 60 menit 50 menit 15 menit 15 menit

21 Pertemuan ke-4 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi pada pertemuan sebelumnya. 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan tentang cara mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor. b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan mengenai vektor yang bebas linier, vektor yang bergantung linier, dan kombinasi linier. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. Alokasi waktu 10 menit 50 menit 60 menit 20 menit 10 menit D. MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD dan Laptop E. SUMBER BELAJAR 1. Anton, Howard Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga. 2. Budi, Wono Setyo Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia. 3. Modul Aljabar Linier 2 F. PENILAIAN Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

22 RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke- : 5 dan 6 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 3. Menjelasakan konsep transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, serta menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor. Indikator : 3.1 Mampu melakukan evaluasi terhadap beberapa bentuk transformasi yang merupakan transformasi linier. 3.2 Mampu menentukan matriks transformasi linier. 3.3 Mampu menemukan basis dan dimensi dari ruang peta dan ruang nol. A. MATERI RUANG VEKTOR Kombinasi Linier Jika F : V W adalah suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dikatakan transformasi linear (linear transformation) jika F u v F u F v untuk semua vektor u dan v di V F ku kf u untuk semua vektor u di V dan semua skalar k Sifat Transformasi Linear; Kernel dan Jangkauan Jika T : V W adalah transformasi linear, maka himpunan vektor di V yang dipetakan T ke dalam 0 dinamakan kernel (atau ruang nol) dari T; himpunan tersebut dinyatakan oleh ker T. Himpunan semua vektor di W yang merupakan bayangan di bawah T dari paling sedikit satu vektor di V dinamakan jangkauan dari T; himpunan tersebut dinyatakan oleh RT.

23 Teorema: Jika T : V W adalah transformasi linear, maka T T v T v untuk semua v di V 3. T v w T v T w untuk semua v dan w di V Teorema: Jika T : V W adalah transformasi linear, maka dimensi jangkauan dari T dinamakan rank T dan dimensi kernel dinamakan nulitas (nullity) T. Teorema: Jika T : V W adalah transformasi linear, maka 1. Kernel dari T adalah subruang dari V 2. Jang/kauan dari T adalah subruang dari W Teorema: Jika T : V W adalah transformasi linear dari ruang vektor V yang berdimensi n kepada suatu ruang vektor W, maka: rank dari T nulitas dari T n Teorema: Jika A adalah matriks m x n maka dimensi ruang pemecahan dari Ax 0 adalah: n rank A Misalkan v1, v2,, v n adalah basis untuk ruang vektor v dan T : V W adalah transformasi linear. Jika bayangan vektor basisnya diketahui yaitu: T v1, T v2,, T v n Maka kita dapat memperoleh bayangan dulu v dalam basis tersebut, misalkan: v k v k v k v Tv dari sebarang vektor v dengan menyatakan n n Dan kemudian dapat ditulis: T v k T v k T v k T v n n B. METODE PEMBELAJARAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok. C. LANGKAH PEMBELAJARAN Pertemuan ke-5 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. Alokasi waktu 5 menit 2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Mengkaji tentang konsep 50 menit

24 transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi. 2. Menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor. b. Elaborasi 1. Mahasiswa dibagi menjadi beberapa kelompok secara heterogen. 2. Setiap kelompok diberikan persoalan mengenai transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor. 3. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi perkelompok. 4. Dosen memilih secara acak salah satu perwakilan kelompok untuk mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. 70 menit 15 menit 10 menit Pertemuan ke-6 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi pada pertemuan sebelumnya. 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi Mendiskusikan persoalan tentang ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor b. Elaborasi Alokasi waktu 15 menit 45 menit

25 1. Mahasiswa diberi persoalan tentang ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. 60 menit 20 menit 10 menit D. MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD dan Laptop E. SUMBER BELAJAR 1. Anton, Howard Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga. 2. Budi, Wono Setyo Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia. 3. Modul Aljabar Linier 2 F. PENILAIAN Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

26 RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke- : 7 dan 8 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 4. Memahami konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product, menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt. Indikator : 4.1 Mampu menghitung panjang dan sudut dari vektor-vektor. 4.2 Mampu menentukan matriks yang mempresentasikan ruang inner product. 4.3 Mampu menentukan basis ortogonal dan basis ortonormal dari ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt. A. MATERI RUANG VEKTOR di R 2 dan R 3 Ruang Hasil Kali Dalam ( Ruang Inner Product) Hasil kali dalam atau perkalian dalam adalah pemetaan suatu bilangan rill uv, pada setiap pasangan vektor u dan v di ruang V yang memenuhi keempat aksioma berikut: 1. u, v v, u simetris 2. u v, w u, w v, w aditivitas 3. ku, v k u, v homogenitas 4. vv, 0; dan vv, 0 jhj v 0 positivitas Suatu ruang vektor yang dilengkapi dengan perkalian dalam (memenuhi 4 aksioma) disebut ruang perkalian dalam V u, v

27 Ketaksamaan Cauchy-Scwarz Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam V maka berlaku: 2 u, v u, u v, v Panjang, Jarak dan Sudut Dalam Ruang Perkalian Dalam Misalkan u dan v vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam maka panjang (norma) dari vektor u didefinisikan: u d u, v u v Jadi, jika dan v v v v 1 2 u, u dan jarak vektor u dan v didefinisikan: 1, 2,..., n adalah vektor di R n maka: , 1 2. n u u u u u u ,, n n d u v u v u v u v u v u v u v Dari ketaksamaan CHAUCHY-SCHWARZ jika u dan v vektor-vektor pada dalam ruang hasil kali dalam, maka: 2 u, v u, u v, v u, v u v 2 uv, 1 u v u, v u, v 1 1 cos dan 0 u v u v didefinisikan sebagai sudut di antara vektor u dan vektor v. Teorema: Jika V adalah ruang hasil kali dalam, maka norma memenuhi semua sifat yang didaftarkan pada tabel di atas 1 2 u u, v dan jarak d u, v u v Definisi: Dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor u dan v disebut orthogonal jika uv, 0. Selanjutnya, jika u orthogonal terhadap setiap vektor sebarang di dalam himpunan W, maka: u orthogonal kepada W. Teorema (Teorema Pythagoras yang digeneralisasikan): Jika u dan v adalah vektor-vektor orthogonal pada ruang hasil kali dalam, maka: u v u v

28 Basis Orthonormal dan Proses Gram Schmidt Suatu himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan orthogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut orthogonal. Selanjutnya himpunan orthogonal yang setiap vektornya mempunyai norma 1 dinamakan orthonormal. Contoh: Diketahui v1 0,1,0, v2,0,, v3,0, Apakah S v 1, v2, v3 di ruang hasil kali dalam Euclidis orthonormal? Solusi: Cek orthogonalitas masing-masing vektor v, v v, v v, v Cek jarak : v1 v2 v3 1 Jika v adalah vektor taknol pada ruang hasil kali dalam, maka dapat dibuat mempunyai panjang (norma) 1 dengan jalan menormalisasikan vektor v yaitu mengalikan vektor v taknol dengan kebalikan panjangnya. 1 v v Misal: v 1 1,1,1 1,1, ,, v Teorema: Jika S v1, v2,, vn adalah baris orthonormal untuk ruang hasil kali dalam V dan u adalah sebarang vektor dalam V maka: u u, v1 v1 u, v2 v2 u, vn vn atau u sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di dalam S Bukti: S v1, v2, v3 : basis u k1v 1 k2v2 knvn Harus dibuktikan: k u, v, i 1,2,, n u, v k v k v k v, v i n n i i 1 1 i 2 2 i n n i i k v, v k v, v k v, v * Karena S: orthonormal v, v v 1 i i i v, v 0 jika j 1 i j Sehingga persamaan (*) dapat disederhanakan menjadi u, vi k1 (terbukti) Contoh: v 0,1,0, v 4/5,0,3/5, v 3/5,0,4/5 Misal:

29 A. Apakah S v1, v2, v3 B. Nyatakan u 1,1,1 sebagai kombinasi linear vektor-vektor S basis orthonormal untuk R 3 dengan hasil kali dalam Euclidis? Solusi: v, v v, v v, v 0 a v1 v2 v3 1 k u, v 1, k u, v 1, k u, v 7 n u v1 v2 v3 5 5 b ,1,1 0,1,0,0,,0, Teorema: Jika S v1, v2,, vn adalah himpunan orthogonal vektor taknol di ruang hasil kali dalam, maka S bebas linear Bukti S bebas linear k1v 1 k2v2 k3v3 k v 0 Harus dibuktikan: k1 k2 k n 0 k1v 1 k2v2 k3v3 knvn, vi 0 k v, v k v, v k v, v k v, v i 2 2 i 3 3 i n n i Karena: i j v, v 0 i j v, v 0 i i j j n n Sehingga persamaan di atas menjadi k v, v 0 k 0, i 1,2, n S bebas linear i i j i Contoh: Terdapat himpunan vektor v1 0,1,0, v2,0,, v3,0, S v1, v2, v3 membentuk himpunan orthonormal terhadap hasil kali R 3 sehingga himpunan vektor tersebut bebas linear k k k. Cek! Teorema: Misalkan V adalah ruang hasil kali dalam dan S v1, v2,, vr adalah himpunan orthonormal dari vektor-vektor V. Jika W menyatakan ruang yang direntang oleh v1, v2,, v r, maka untuk setiap vektor u dalam V dapat dinyatakan sebagai: u w1 w2

30 Di mana w 1 terletak di W dan w 2 orthogonal terhadap W dengan memisalkan: w u, v v u, v v u, v v * r r dan w u u, v v u, v v u, v v ** r r Bukti u w 2 w 1 Gambar Proyeksi Orthogonal pada u dan W dan komponen u orthogonal terhadap W w 1 = proyeksi orthogonal u pada W (proy w u) w 2 = proyeksi u yang orthogonal terhadap W (u-proy w u) Jadi (*) dan (**) menjadi Proy u u, v v u, v v u, v v w r r u proy u u u, v v u, v v u, u v w r r Contoh: Misalkan R 3 mempunyai ruang hasil kali dalam Euclidis dan W adalah subruang yang 4 3 direntang oleh vektor-vektor orthonormal: v1 0,1,0, v2,0, 5 5. Tentukan proyeksi orthogonal u pada W dan komponen u yang orthogonal terhadap W. Solusi: Proyeksi orthogonal 1,1,1 u pada W adalah: Proy u u, v v u w 1 1, v v ,1,0,0, ,1, Komponen u yang orthogonal terhadap w adalah: 4 3 u proy wu 1,1,1,1, ,0, cek apakah u proy w u orthogonal terhadap v1, v 2? W

31 v 2 u 2 W 1 u proy u, v u proy u, v 0 w 1 w 2 Teorema: Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol mempunyai satu basis orthonormal. Bukti: Misalkan S u1, u2, u3,, un adalah sebarang basis untuk V yang merupakan sebarang ruang hasil kali dalam berdimensi n taknol, akan dibangun basis orthonormal v1, v2, v3,, v n untuk V dengan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah 1 Andaikan v u 1 1 v u1 1 Langkah 2 Misalkan w 1 sub ruang yang direntang untuk v 1 Mencari komponen u 2 yang tegak lurus (orthogonal) pada w 1 u Proy u u u, v v 2 w Normalisasi u 2 maka didapat v 2 u2 proywu2 v2 v2 1 u proy u 2 w 2 proy w u 1 2 v 1 proy w u 1 2 Gambar Normalisasi Komponen u 2 Langkah 3: Misalkan w 2 pada sub ruang yang direntang untuk v 1 dan v 2 Komponen u3 w2 u Proy u u u, v v u, v v 3 w Normalisasi u 3 maka didapat v 3 u3 u3, v1 v1 u3, v2 v2 v3 v3 1 u u, v v u, v v u proy w u u 1 v 1 v 2 proy w2u2 W 2 Gambar Normalisasi Komponen u 3

32 Dengan meneruskannya dalam cara ini (analog dengan langkah 2 dan 3 v4, v5,, v n akan didapat himpunan orthonormal dari vektor-vektor v1, v2, v3,, vn di ruang hasil kali dalam V berdimensi n dan bebas linear. basis orthonormal untuk V Kesimpulan: Proses pembentukan langkah demi langkah untuk mengubah basis ke basis orthonormal disebut proses Gram-Schmid B. METODE PEMBELAJARAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok. C. LANGKAH PEMBELAJARAN Pertemuan ke-7 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi Mengkaji tentang konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product. b. Elaborasi 1. Mahasiswa dibagi menjadi beberapa kelompok secara heterogen. 2. Setiap kelompok diberikan persoalan mengenai panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product. 3. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi perkelompok. 4. Dosen memilih secara acak salah satu perwakilan kelompok untuk mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. Alokasi waktu 5 menit 50 menit 70 menit 15 menit

33 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. 10 menit Pertemuan ke-6 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi pada pertemuan sebelumnya. 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi Menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram- Schmidt. b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan tentang proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram- Schmidt. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. Alokasi waktu 15 menit 45 menit 60 menit 20 menit 10 menit D. MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD dan Laptop

34 E. SUMBER BELAJAR 1. Anton, Howard Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga. 2. Budi, Wono Setyo Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia. 3. Modul Aljabar Linier 2 F. PENILAIAN Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

35 RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke- : 10 dan 11 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 5. Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier, menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier, serta menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier. Indikator : 5.1 Dapat mencari eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier. 5.2 Dapat menemukan matriks yang similaritas dengan matriks transformasi linier. 5.3 Dapat mendiagonalkan matriks transformasi linier. A. MATERI NILAI EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Jika A adalah matriks n x n, maka vektor taknol x di dalam R n dinamakan vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yakni: Ax x Untuk suatu skalar. Skalar dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan. Teorema: Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain: 1. adalah nilai eigen dari A 2. Sistem persamaan I A x 0 mempunyai pemecahan taktrivial 3. Ada vektor tak nol x di dalam R n sehingga Ax x 4. adalah pemecahaan riil dari persamaan karakteristik dari I A x 0

36 Diagonalisasi Matriks kuadrat A dinamakan didiagonalisasi (diagonalizable) jika terdapat matriks P yang 1 dapat dibalik sehingga P AP diagonal, matriks P dikatakan mendiagonalisasi A. Teorema: Jika A adalah matriks nn, ' maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain. 1. A dapat didiagonalisasi 2. A mempunyai n vektor eigen bebas linear Teorema: Jika v1, v2,, v k adalah vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen yang berbeda 1, 2,, k maka v1, v2,, v k adalah himpunan bebas linear Teorema: Jika matriks A yang berukuran n x n mempunyai n nilai eigen yang berbeda, maka A dapat didiagonalisasi. Prosedur untuk mendiagonalisasi matriks: Teorema sebelumnya menjamin bahwa suatu matriks A berukuran n x n, dengan v vektor eigen yang bebas linear dapat didiagonalkan, dan buktinya memberikan metode berikut ini untuk mendiagonalkan A. Langkah 1: Cari n vektor eigen yang bebas secara linear dari A, katakanlah P1, P1, P3, P n Langkah 2: Bentuk matriks P yang mempunyai P1, P1, P3, P n sebagai vektor kolom-kolomnya Langkah 3: 1 Bentuk matriks P AP akan menjadi matriks diagonal dengan P1, P1, P3, P n berturutturut sebagai anggota diagonalnya, di mana i adalah nilai eigen yang berpadanan dengan P untuk i 1, 2,3, n i Contoh: 3 2 Carilah nilai-nilai eigen dari matriks A 1 0 Jawab: A I Polinomial karakteristik daria; det I A det Persamaan karakteritik dari A Jadi, nilai-nilai eigen dari A adalah 2, 1

37 B. METODE PEMBELAJARAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok. C. LANGKAH PEMBELAJARAN Pertemuan ke-10 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier. 2. Menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier. b. Elaborasi 1. Mahasiswa dibagi menjadi beberapa kelompok secara heterogen. 2. Setiap kelompok diberikan persoalan mengenai eigenvalues, eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier, dan similaritas matriks transformasi linier. 3. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi perkelompok. 4. Dosen memilih secara acak salah satu perwakilan kelompok untuk mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. Alokasi waktu 5 menit 50 menit 70 menit 15 menit 10 menit

38 Pertemuan ke-11 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi pada pertemuan sebelumnya. 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi Menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier. b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan tentang proyeksi ortogonal dari suatu vektor, pendiagonalan matriks transformasi linier. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. Alokasi waktu 15 menit 45 menit 60 menit 20 menit 10 menit D. MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD dan Laptop E. SUMBER BELAJAR 1. Anton, Howard Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga. 2. Budi, Wono Setyo Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia. 3. Modul Aljabar Linier 2 F. PENILAIAN Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

39 RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke- : 12 dan 13 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 6. Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. Indikator : 6.1 Dapat menentukan relasi kongruen, mencari bentuk bilinear, dan bentuk kuadrat. A. MATERI 1. Relasi Kongruensi 2. Bentuk Bilinier 3. Bentuk Kuadrat B. METODE PEMBELAJARAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok. C. LANGKAH PEMBELAJARAN Pertemuan ke-12 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi. 2. Memberikan contoh persoalan tentang relasi kongruensi antara matriks transformasi. Alokasi waktu 15 menit 60 menit

40 b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru mengenai relasi kongruensi antara matriks transformasi. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. 50 menit 15 menit 10 menit Pertemuan ke-13 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi sebelumnya 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Memberikan penjelasan tentang konsep bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. 2. Memberikan contoh persoalan yang berkaitan dengan bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru mengenai bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. Alokasi waktu 15 menit 60 menit 50 menit 15 menit 10 menit

41 D. MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD dan Laptop E. SUMBER BELAJAR 1. Anton, Howard Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga. 2. Budi, Wono Setyo Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia. 3. Modul Aljabar Linier 2 F. PENILAIAN Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

42 RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke- : 14 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 7. Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks dengan Indikator A menghitung e dengan menggunakan teorema Caely-hamilton. : 7.1 Dapat mencari bentuk kanonik jordan dari matriks dengan menghitung A e dengan menggunakan teorema Caely-hamilton. A. MATERI 1. Bentuk kanonik Jordan 2. Teorema Caley Hamilton B. METODE PEMBELAJARAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok. C. LANGKAH PEMBELAJARAN Pertemuan ke-14 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks dengan A menghitung e dengan menggunakan teorema Caely-hamilton. Alokasi waktu 15 menit 60 menit

43 b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru mengenai bentuk kanonik jordan dari matriks dengan menghitung A e dengan menggunakan teorema Caelyhamilton. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. 50 menit 15 menit 10 menit D. MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD dan Laptop E. SUMBER BELAJAR 1. Anton, Howard Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga. 2. Budi, Wono Setyo Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia. 3. Modul Aljabar Linier 2 F. PENILAIAN Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi