MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Transkripsi

1 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 5 Ruang Vektor

2 Ruang Vektor Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem Kontrol Operation Research dan lain-lain 2 4/15/217

3 Ruang Vektor Umum Misalkan u, റv, w V dan k, l R V dinamakan ruang vektor jika memenuhi aksioma: untuk setiap u, റv V maka u + റv V (V tertutup terhadap operasi penjumlahan) u + റv = റv + u u + ( റv + w)=(u + റv) + w Terdapat V sehingga untuk setiap u V berlaku u + = + u = u 3 4/15/217

4 Ruang Vektor Umum_2 untuk setiap u V terdapat u sehingga u + ( u) =( u + u) = untuk setiap u V dan k R maka ku V (V tertutup terhadap operasi perkalian dengan scalar) k(u + റv)=ku + k റv k + l u = ku + lu k lu = l ku = (kl)u 1u = u 4 4/15/217

5 Contoh Ruang Vektor: Contoh : Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar). Notasi : R n (Ruang Euclides orde n) Himpunan matriks berukuran m n dengan operasi standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar), Notasi : M m n (Ruang Matriks m n) Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar. Notasi : P n (Ruang Polinom orde n) 5 4/15/217

6 Ruang Euclides orde n Operasi-operasi pada ruang vektor Euclides: Penjumlahan u + റv = (u 1 + v 1, u 2 + v 2,, u n + v n ) Perkalian dengan scalar Riil sebarang k ku = (ku 1, ku 2,, ku n ) Perkalian titik (Euclidean inner product) u റv = u 1 v 1 + u 2 v u n v n Panjang vektor didefiniskan oleh: u = u u 1 2 = u u u n 2 Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh: d u, റv = u റv = u 1 v u 2 v u n v n 2 6 4/15/217

7 Contoh: Diketahui u = (1, 1, 2, 3) dan റv = 2,2,1,1 Tentukan panjang masing-masing vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut Jawab: Panjang vektor: u = u u 1 2 = = 15 റv = റv റv 1 2 = = 1 Jarak antar kedua vektor: d u റv = u റv = (1 2) 2 +(1 2) 2 +(2 1) 2 +(3 1) 2 = = 7 7 4/15/217

8 SubRuang Misal W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V W dinamakan subruang (subspace) V jika W juga merupakan ruang vektor yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan scalar. Syarat W disebut subruang dari V adalah: W W V Jika u, റv W maka u + റv W Jika u W dan k R maka ku W 8 4/15/217

9 Contoh 1: Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde 2 2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2 2 Jawab: O = W maka W {} Jelas bahwa W V 9 4/15/217

10 Ambil sembarang matriks A, B W maka Perhatikan bahwa: A + B = a 1 a 2 + b 1 b 2 = + a 1 + b 1 a 2 + b 2 Ini menunjukan bahwa A + B W Ambil sembarang matriks A W dan k Riil maka ka = k a 1 a 2 W Ini menunjukan bahwa ka W Jadi, W merupakan subruang dari M /15/217

11 Contoh 2: Periksa apakah himpunan D yang berisi semua matriks orde 2x2 yang determinannya nol merupakan subruang dari ruang vektor M 2 2 Jawab: Ambil sembarang matriks A, B W. Dimana dipilih a ± b: A = a b B = b a, jelas bahwa det A =, jelas bahwa det B = 11 4/15/217

12 Perhatikan bahwa: A + B = a b Karena a b b a Maka det A + B = a 2 b 2 Jadi D bukan merupakan subruang Matriks berukuran 2 2 karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan 12 4/15/217

13 Kombinasi Linear Sebuah vektor u dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor v 1, v 2,, v n Jika vektor u tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk: u = k 1 v 1 + k 2 v k n v n dimana k 1, k 2,, k n adalah skalar Riil 13 4/15/217

14 Contoh: Misal u = (2,4,) dan റv = (1, 1,3) adalah vektorvektor di R 3. Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor di atas റa = (4,2,6) b = (1,5,6) റc = (,,) 14 4/15/217

15 Jawab: a. Tulis k 1 u + k 2 റv = റa Akan diperiksa apakah ada k 1, k 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi k k = 2 6 Persamaan diatas dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matriks sebagai berikut: menggunakan OBE diperoleh: k 1 k 2 = ~ ~ Dengan demikian റa merupakan kombinasi linear dari vektor u dan റv atau റa = u + 2 റv 15 4/15/217

16 b. Tulis k 1 u + k 2 റv = b Akan diperiksa apakah ada k 1, k 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi k k = 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matriks sebagai berikut: menggunakan OBE diperoleh: k 1 k 2 = ~ ~ Baris terakhir pada matriks ini menunjukan bahwa SPL tersebut tidak konsisten(tidak mempunyai solusi). Jadi, tidak ada nilai k 1 dan k 2 yang memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari u dan റv /15/217

17 c. Dengan memilih k 1 = dan k 2 = maka k 1 u + k 2 റv = റc Vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun 17 4/15/217

18 Membangun Suatu Ruang Vektor Himpunan vektor S = v 1, v 2,, v n dikatakan membangun suatu ruang vektor V jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S. Contoh: Tentukan apakah v 1 = 1,1,2, v 2 = 1,,1, dan v 3 = (2,1,3) Membangun R /15/217

19 Jawab: Ambil sembarang vektor di R 3, misalkan u 1 u = u 2 u 3 Tulis: u = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 Dalam bentuk perkalian matriks, persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut: k 1 u k 2 = u k 3 u /15/217

20 Syarat agar u dapat dikatakan kombinasi linear v 1, v 2, v 3 adalah SPL tersebut harus mempunyai solusi. Dengan OBE diperoleh: u 1 u 2 u 1 u 3 u 1 u 2 Agar SPL itu konsisten haruslah u 3 u 2 u 1 = Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang(unsurunsurnya bebas, tak bersyarat) Dengan demikian vektor-vektor tersebut tidak membangun R 3 2 4/15/217

21 Vektor Bebas Linear Misalkan S = u 1, u 2,, u n adalah himpunan vektor diruang vektor V. S dikatakan bebas linear(linearly independent) jika kombinasi linear: k 1 u 1 + k 2 u k n u n = Hanya dipenuhi oleh k 1 =, k 2 =,, k n = 21 4/15/217

22 Contoh: Diketahui u = 1,3,2 dan റa = 1,1, 1. Apakah u dan റa saling bebas linear di R 3 Jawab: Tulis k 1 u + k 2 റa = Atau k 1 k 2 = 22 4/15/217

23 Menggunakan OBE dapat diperoleh: ~ ~ Dengan demikian diperoleh: k 1 = dan k 2 = Ini berarti u dan റa saling bebas linear 23 4/15/217

24 Contoh: Misalkan റa = 1 3 2, b = 1 1 1, റc = Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear Jawab: Tulis = k 1 റa + k 2 b + k 3 റc Atau k 1 k 2 k 3 = 24 4/15/217

25 Dengan OBE diperoleh: ~ ~ 1 Ini menunjukan bahwa k 1, k 2, k 3 solusi tidak trivial (k 1, k 2, k 3 tidak selalu ) Jadi റa, b, റc adalah vektor-vektor yang bergantung linear 25 4/15/217

26 Basis Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u 1, u 2,, u n } merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor di V, maka S dinamakan basis bagi V jika kedua syarat berikut dipenuhi: S membangun V S bebas linear 26 4/15/217

27 Contoh: Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut: M = , 1 1, , Merupakan basis bagi matriks berukuran 2 2 Jawab: Tulis kombinasi linear: 3 6 k k k k a b = c d Atau 3k 1 + k 4 6k 1 k 2 8k 3 3k 1 k 2 12k 3 k 4 6k 1 4k 3 + 2k 4 = a b c d 27 4/15/217

28 Dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks, diperoleh SPL: 3 1 k 1 a k 2 = b k 3 c k 4 d Determinan matriks koefisien = 48 determinan matriks koefisiennya tidak sama dengan maka - Ketika a =, b =, c =, d =, SPL Homogen punya solusi trivial yaitu k 1 =, k 2 =, k 3 =, k 4 = (bebas linear) - SPL memiliki solusi untuk setiap a, b, c, d R (membangun) Jadi, M bebas linear. 28 4/15/217

29 Karena M bebas linear dan membangun M 2 2 maka M merupakan basis bagi M 2 2. Ingat, basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal Contoh: Untuk ruang vektor M 2 2, himpunan matriks 1 1, 1, 1, 1 juga merupakan basisnya 29 4/15/217

30 Dimensi Perhatikan matriks berikut: A = /15/217

31 Dengan melakukan OBE diperoleh Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE Berdasarkan satu utama dari matriks A. Maka matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu: 1 1 1, /15/217

32 Jika A ditransposkan terlebih dahulu dan dilakukan OBE pada A t, maka diperoleh 1 1/2 1 1/2 Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE 1 1/2 1 1/2 Berdasarkan satu utama dari matriks A. Maka Matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris: , /15/217

33 Dimensi basis ruang baris-ruang kolom dinamakan rank Basis Ruang Kolom Jadi rank dari matriks A adalah 2.? Basis Ruang Baris Basis Ruang Solusi 33 4/15/217

34 Contoh: Diberikan SPL homogen: 2p + q 2r 2s = p q + 2r s = p + 2q 4r + s = 3p 3s = Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas: Jawab: SPL dapat ditulis dalam bentuk: /15/217

35 Dengan melakukan OBE diperoleh Solusi SPL Homogen tersebut adalah p 1 q r = a + b 2 1 s 1 Dimana a, b merupakan parameter 35 4/15/217

36 Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah: 1 1, 2 1 Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas. Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah /15/217

37 Latihan Nyatakan matriks Sebagai kombinasi linear dari matriks berikut: , 1 2 4, dan Periksa apakah himpunan berikut bebas linear! 6 x 2, 6 + x + 4x 2 {1 + 3x + 3x 2, x + 4x 2, 5 + 6x + 3x 2, 7 + 2x x 2 } Periksa apakah himpunan A = {6 x 2, 6 + x + 4x 2 } membangun polinom orde 2? 37 4/15/217

38 Periksa, apakah himpunan berikut merupakan basis bagi polinom orde x + x 2, 1 + 4x + 2x 2, 5 + 2x x 2 { 4 + x + 3x 2, 6 + 5x + 2x 2, 8 + 4x + x 2 } Misalkan J = a + bx + cx 2 a 2 = b 2 + c 2 Merupakan himpunan bagian dari ruang vektor polinom orde dua Periksa apakah J merupakan subruang dari ruang vektor Polinom orde dua Jika ya, tentukan basisnya 38 4/15/217

39 THANK YOU