Matematika Diskret (Kombiatorial - Permutasi) Istruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs
Pedahulua Sebuah sadi-lewat (password) pajagya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau agka. Berapa bayak kemugkia sadi-lewat yag dapat dibuat????? abcdef aaaade a123fr erhtgah yutresik
Defiisi Kombiatorial adalah cabag matematika utuk meghitug jumlah peyusua objek-objek tapa harus megeumerasi semua kemugkia susuaya.
Kaidah Dasar Meghitug Kaidah perkalia (rule of product) Percobaa 1: p hasil Percobaa 2: q hasil Percobaa 1 da percobaa 2: p q hasil Kaidah pejumlaha (rule ofsum) Percobaa 1: p hasil Percobaa 2: q hasil Percobaa 1 atau percobaa 2: p + q hasil
Cotoh 1. Ketua agkata IF 2002 haya 1 orag (pria atau waita, tidak bias geder). Jumlah pria IF2002 = 65 orag da jumlah waita = 15 orag. Berapa bayak cara memilih ketua agkata? Peyelesaia: 65 + 15 = 80 cara. Cotoh 2. Dua orag perwakila IF2002 medatagai Bapak Dose utuk protes ilai ujia. Wakil yag dipilih 1 orag pria da 1 orag waita. Berapa bayak cara memilih 2 orag wakil tesrebut? Peyelesaia: 65 15 = 975 cara.
Perluasa Kaidah Dasar Meghitug Misalka ada percobaa, masig-masig dg p i hasil 1. Kaidah perkalia (rule of product) p 1 p 2 p hasil 2. Kaidah pejumlaha (rule of sum) p 1 + p 2 + + p hasil
Cotoh 3. Bit bier haya 0 da 1. Berapa bayak strig bier yag dapat dibetuk jika: (a) pajag strig 5 bit (b) pajag strig 8 bit (= 1 byte) Peyelesaia: (a) 2 2 2 2 2 = 2 5 = 32 buah (b) 2 8 = 256 buah
Cotoh 4. Berapa bayak bilaga gajil atara 1000 da 9999 (termasuk 1000 da 9999 itu sediri) yag (a) semua agkaya berbeda (b) boleh ada agka yag berulag. Peyelesaia: (a) posisi satua: 5 kemugkia agka (1, 3, 5, 7, 9) posisi ribua: 8 kemugkia agka posisi ratusa: 8 kemugkia agka posisi puluha: 7 kemugkia agka Bayak bilaga gajil seluruhya = (5)(8)(8)(7) = 2240 buah. (b)posisi satua: 5 kemugkia agka (yaitu 1, 3, 5, 7 da 9); posisi ribua: 9 kemugkia agka (1 sampai 9) posisi ratusa: 10 kemugkia agka (0 sampai 9) posisi puluha: 10 kemugkia agka (0 sampai 9) Bayak bilaga gajil seluruhya = (5)(9)(10)(10) = 4500
Cotoh 5. Sadi-lewat (password) sistem komputer pajagya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf atau agka; huruf besar da huruf kecil tidak dibedaka. Berapa bayak sadi-lewat yag dapat dibuat? Peyelesaia: Jumlah karakter password = 26 (A-Z) + 10 (0-9) = 36 karakter. Jumlah kemugkia sadi-lewat dega pajag 6 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36) = 36 6 = 2.176.782.336 Jumlah kemugkia sadi-lewat dega pajag 7 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 36 7 = 78.364.164.096 umlah kemugkia sadi-lewat dega pajag 8 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 36 8 = 2.821.109.907.456 Jumlah seluruh sadi-lewat (kaidah pejumlaha) adalah 2.176.782.336 + 78.364.164.096 + 2.821.109.907.456 = 2.901.650.833.888 buah.
Latiha: 1. (a) Berapa bayak bilaga geap 2-agka? (b) Berapa bayak bilaga gajil 2-agka dega setiap agka berbeda? 2. Dari 100.000 buah bilaga bulat positif pertama, berapa bayak bilaga yag megadug tepat 1 buah agka 3, 1 buah agka 4, da 1 buah agka 5?
3. Tersedia 6 huruf: a, b, c, d, e, f. Berapa jumlah peguruta 3 huruf jika: (a) tidak ada huruf yag diulag; (b) boleh ada huruf yag berulag; (c) tidak boleh ada huruf yag diulag, tetapi huruf e harus ada; (d) boleh ada huruf yag berulag, huruf e harus ada 4. Tetuka bayak cara pegatura agar 3 orag mahasiswa Jurusa Tekik Iformatika (IF), 4 orag mahasiswa Tekik Kimia (TK), 4 orag mahasiswa Tekik Geologi (GL), da 2 orag mahasiswa Farmasi (FA) dapat duduk dalam satu baris sehigga mereka dari departeme yag sama duduk berdampiga?
Prisip Iklusi-Eksklusi Setiap byte disusu oleh 8-bit. Berapa bayak jumlah byte yag dimulai dega 11 atau berakhir dega 11? Peyelesaia: Misalka A = himpua byte yag dimulai dega 11, B = himpua byte yag diakhiri dega 11 A B = himpua byte yag berawal da berakhir dega 11 maka A B = himpua byte yag berawal dega 11 atau berakhir dega 11 A = 2 6 = 64, B = 2 6 = 64, A B = 2 4 = 16. maka A B = A + B A B = 2 6 + 2 6 16 = 64 + 64 16 = 112.
Permutasi Bola: Kotak: m b p 1 2 3 Berapa jumlah uruta berbeda yag mugki dibuat dari peempata bola ke dalam kotak-kotak tersebut?
Kotak 1 Kotak 2 Kotak 3 Uruta b p mbp m p b mpb m p bmp b p m bpm m b pmb p b m pbm Jumlah kemugkia uruta berbeda dari peempata bola ke dalam kotak adalah (3)(2)(1) = 3! = 6.
Defiisi: Permutasi adalah jumlah uruta berbeda dari pegatura objek-objek. Permutasi merupaka betuk khusus aplikasi kaidah perkalia. Misalka jumlah objek adalah, maka uruta pertama dipilih dari objek, uruta kedua dipilih dari 1 objek, uruta ketiga dipilih dari 2 objek, uruta terakhir dipilih dari 1 objek yag tersisa. Meurut kaidah perkalia, permutasi dari objek adalah ( 1) ( 2) (2)(1) =!
Cotoh 6. Berapa bayak kata yag terbetuk dari kata HAPUS? Peyelesaia: Cara 1: (5)(4)(3)(2)(1) = 120 buah kata Cara 2: P(5, 5) = 5! = 120 buah kata Cotoh 7. Berapa bayak cara megurutka ama 25 orag mahasiswa? Peyelesaia: P(25, 25) = 25!
Permutasi r dari eleme Ada eam buah bola yag berbeda waraya da 3 buah kotak. Masig-masig kotak haya boleh diisi 1 buah bola. Berapa jumlah uruta berbeda yag mugki dibuat dari peempata bola ke dalam kotak-kotak tersebut? Bola: m b p h k j Kotak: 1 2 3 Peyelesaia: kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (ada 6 piliha); kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (ada 5 piliha); kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (ada 4 piliha). Jumlah uruta berbeda dari peempata bola = (6)(5)(4) = 120
Perampata: Ada buah bola yag berbeda waraya da r buah kotak (r ), maka kotak ke-1 dapat diisi oleh salah satu dari bola (ada piliha) ; kotak ke-2 dapat diisi oleh salah satu dari ( 1) bola (ada 1 piliha); kotak ke-3 dapat diisi oleh salah satu dari ( 2) bola (ada 2) piliha; kotak ke-r dapat diisi oleh salah satu dari ( (r 1) bola (ada r + 1 piliha) Jumlah uruta berbeda dari peempata bola adalah: ( 1)( 2) ( (r 1))
Defiisi 2. Permutasi r dari eleme adalah jumlah kemugkia uruta r buah eleme yag dipilih dari buah eleme, dega r, yag dalam hal ii, pada setiap kemugkia uruta tidak ada eleme yag sama. P (, r) ( 1)( 2)...( ( r 1)) = (! r)!
Cotoh 7. Berapakah jumlah kemugkia membetuk 3 agka dari 5 agka berikut: 1, 2, 3, 4, 5, jika: (a) tidak boleh ada pegulaga agka, da (b) boleh ada pegulaga agka. Peyelesaia: (a) Dega kaidah perkalia: (5)(4)(3) = 120 buah Dega rumus permutasi P(5, 3) = 5!/(5 3)! = 120 (b) Tidak dapat diselesaika dega rumus permutasi. Dega kiadah perkalia: (5)(5)(5) = 5 3 = 125. Cotoh 8. Kode buku di sebuah perpustakaa pajagya 7 karakter, terdiri dari 4 huruf berbeda da diikuti dega 3 agka yag berbeda pula? Peyelesaia: P(26, 4) P(10,3) = 258.336.000
Latiha: 1. Sebuah mobil mempuyai 4 tempat duduk. Berapa bayak cara 3 orag didudukka jika diadaika satu orag harus duduk di kursi sopir?
Kombiasi Betuk khusus dari permutasi adalah kombiasi. Jika pada permutasi uruta kemucula diperhitugka, maka pada kombiasi, uruta kemucula diabaika. Misalka ada 2 buah bola yag waraya sama 3 buah kotak. Setiap kotak haya boleh berisi palig bayak 1 bola. Jumlah cara memasukka bola ke dalam kotak = 3! P (3,2) (3,2) 1! (3)(2) P 2 2! 2! 2 = 3.
a b 1 2 3 sama b a 1 2 3 a b 1 2 3 haya 3 cara sama b a 1 2 3 a b 1 2 3 sama b a 1 2 3
Bila sekarag jumlah bola 3 da jumlah kotak 10, maka jumlah cara memasukka bola ke dalam kotak adalah 10! P(10,3) 7! (10)(9)(8) 3! 3! 3! karea ada 3! cara memasukka bola yag waraya sama. Secara umum, jumlah cara memasukka r buah bola yag berwara sama ke dalam buah kotak adalah ( 1)( 2)...( r! ( r 1))! r!( r)! = C(, r) atau r
C(, r) serig dibaca " diambil r", artiya r objek diambil dari buah objek. Defiisi 3. Kombiasi r eleme dari eleme, atau C(, r), adalah jumlah pemiliha yag tidak terurut r eleme yag diambil dari buah eleme.
Iterpretasi Kombiasi 1. C(, r) = bayakya himpua bagia yag terdiri dari r eleme yag dapat dibetuk dari himpua dega eleme. Misalka A = {1, 2, 3} Jumlah Himpua bagia dega 2 eleme: {1, 2} = {2, 1} {1, 3} = {3, 1} 3 buah {2, 3} = {3, 2} 3 3! 3! atau 3 2 (3 2)!2! 1!2! buah
2. C(, r) = cara memilih r buah eleme dari buah eleme yag ada, tetapi uruta eleme di dalam susua hasil pemiliha tidak petig. Cotoh: Berapa bayak cara membetuk paitia (komite, komisi, dsb) yag beraggotaka 5 orag orag dari sebuah fraksi di DPR yag beraggotaka 25 orag? Peyelesaia: Paitia atau komite adalah kelompok yag tidak terurut, artiya setiap aggota di dalam paitia kedudukaya sama. Misal lima orag yag dipilih, A, B, C, D, da E, maka uruta peempata masig-masigya di dalam paitia tidak petig (ABCDE sama saja dega BACED, ADCEB, da seterusya). Bayakya cara memilih aggota paitia yag terdiri dari 5 orag aggota adalah C(25,5) = 53130 cara.
Cotoh 9. Di atara 10 orag mahasiswa Tekik Iformatika Agkata 2002, berapa bayak cara membetuk sebuah perwakila beraggotaka 5 orag sedemikia sehigga: (a) mahasiswa berama A selalu termasuk di dalamya; (b) mahasiswa berama A tidak termasuk di dalamya; (c) mahasiswa berama A selalu termasuk di dalamya, tetapi B tidak; (d) mahasiswa berama B selalu termasuk di dalamya, tetapi A tidak; (e) mahasiswa berama A da B termasuk di dalamya; (f) setidakya salah satu dari mahasiswa yag berama A atau B termasuk di dalamya.
Peyelesaia: (a) C(9, 4) = 126 cara utuk membetuk perwakila yag beraggotak 5 orag sedemikia sehigga A selalu termasuk di dalamya. (b) C(9, 5) = 126 cara utuk membetuk perwakila yag beraggotak 5 orag sedemikia sehigga A tidak termasuk di dalamya. (c) C(8, 4) = 70 cara utuk membetuk perwakila yag beraggotaka 5 orag sedemikia sehigga A termasuk di dalamya, tetapi B tidak. (d) C(8, 4) = 70 cara utuk membetuk perwakila yag beraggotaka 5 orag sedemikia sehigga B termasuk di dalamya, tetapi A tidak. (e) C(8, 3) = 56 cara utuk membetuk perwakila yag beraggotaka 5 orag sedemikia sehigga A da B selalu termasuk di dalamya.
(f) Jumlah cara membetuk perwakila sedemikia sehigga setidakya salah satu dari A atau B termasuk di dalamya = jumlah cara membetuk perwakila sehigga A termasuk di dalamya, B tidak + jumlah cara membetuk perwakila sehigga B termasuk di dalamya, A tidak + jumlah cara membetuk perwakila sehigga A da B termasuk di dalamya = 70 + 70 + 56 = 196 Prisip iklusi-eksklusi: X = jumlah cara membetuk perwakila yag meyertaka A Y = jumlah cara membetuk perwakila yag meyertaka B X Y = jumlah cara membetuk perwakila yag meyertaka A da B, maka X = C(9, 4) = 126; Y = C(9, 4) = 126; X Y = C(8, 3) = 56; X Y = X + Y - X Y = 126 + 126 56 = 196
Latiha: 1. Kursi-kursi di sebuah bioskop disusu dalam baris-baris, satu baris berisi 10 buah kursi. Berapa bayak cara medudukka 6 orag peoto pada satu baris kursi: (a) jika bioskop dalam keadaa terag (b) jika bioskop dalam keadaa gelap
2. Ada 5 orag mahasiswa jurusa Matematika da 7 orag mahasiswa jurusa Iformatika. Berapa bayak cara membetuk paitia yag terdiri dari 4 orag jika: (a) tidak ada batasa jurusa (b) semua aggota paitia harus dari jurusa Matematika (c) semua aggota paitia harus dari jurusa Iformatika (d) semua aggota paitia harus dari jurusa yag sama (e) 2 orag mahasiswa per jurusa harus mewakili.
3. Berapa bayak cara membetuk sebuah paitia yag beraggotaka 5 orag yag dipilih dari 7 orag pria da 5 orag waita, jika di dalam paitia tersebut palig sedikit beraggotaka 2 orag waita?
Permutasi da Kombiasi Betuk Umum Misalka: ada buah bola yag tidak seluruhya berbeda wara (jadi, ada beberapa bola yag waraya sama - idistiguishable). 1 bola diataraya berwara 1, 2 bola diataraya berwara 2, k bola diataraya berwara k, da 1 + 2 + + k =. Berapa jumlah cara pegatura buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut (tiap kotak maks. 1 buah bola)?
Jika buah bola itu kita aggap berbeda semuaya, maka jumlah cara pegatura buah bola ke dalam buah kotak adalah: P(, ) =!. Dari pegatura buah bola itu, ada 1! cara memasukka bola berwara 1 ada 2! cara memasukka bola berwara 2 ada k! cara memasukka bola berwara k Permutasi buah bola yag maa 1 diataraya berwara 1, 2 bola berwara 2,, k bola berwara k adalah: P( ; 1, 2,..., k ) P(, )!!... 1 2 k!!!!... 1 2 k!
Jumlah cara pegatura seluruh bola kedalam kotak adalah: C(; 1, 2,, k ) = C(, 1 ) C( 1, 2 ) C( 1 2, 3 ) C( 1 2 k-1, k ) = )!!(! 1 1 )!!( )! ( 2 1 2 1 )!!( )! ( 2 1 3 2 1 k )!...!( )!... ( 1 2 1 1 2 1 k k k k = k!...!!! 3 2 1
Kesimpula: P( ; 1, 2,..., k ) C( ; 1, 2,..., k )!!!... 1 2 k!
Cotoh 10. Berapa bayak kata yag dapat dibetuk dega megguaka huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI? Peyelesaia: S = {M, I, S, S, I, S, S, I, P, P, I} huruf M = 1 buah ( 1 ) huruf I = 4 buah ( 2 ) huruf S = 4 buah ( 3 ) huruf P = 2 buah ( 4 ) = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah = S Cara 1: Jumlah strig = P(11; 1, 4, 4, 2) 11! = 34650 (1!)(4!)(4!)(2!) buah. Cara 2: Jumlah strig = C(11, 1)C(10, 4)C(6, 4)C(2, 2) 11! 10! 6! 2! =... (1!)(10!) (4!)(6!) (4!)(2!) (2!)(0!) 11! = (1!)(4!)(4!)(2!) = 34650 buah
Cotoh 11. Berapa bayak cara membagika delapa buah magga kepada 3 orag aak, bila Billy medapat empat buah magga, da Adi serta Toi masig-masig memperoleh 2 buah magga. Peyelesaia: = 8, 1 = 4, 2 = 2, 3 = 2, da 1 + 2 + 3 = 4 + 2 + 2 = 8 8! Jumlah cara membagi seluruh magga = 420cara (4!)(2!)(2!)
Cotoh 12. 12 buah lampu berwara (4 merah, 3 putih, da 5 biru) dipasag pada 18 buah soket dalam sebuah baris (sisaya 6 buah soket dibiarka kosog). Berapa jumlah cara pegatura lampu? Peyelesaia: = 18; 1 = 4, 2 = 3, 3 = 5, da 4 = 6 (socket kosog) Jumlah cara pegatura lampu = 18! (4!)(3!)(5!)(6!) cara
Latiha: 1. 100 orag mahasiswa dikirim ke 5 egara, masig-masig egara 20 orag mahasiswa. Berapa bayak cara pegirima mahasiswa? 2. Berapa bayak strig yag dapat dibetuk dari huruf-huruf kata CONGRESS sedemikia sehigga dua buah huruf S tidak terletak berdampiga?
3. Tetuka bayakya cara agar 4 buku matematika, 3 buku sejarah, 3 buku kimia, da 2 buku sosiologi dapat disusu dalam satu baris sedemikia sehigga (utuk masig-masig soal) (a) semua buku yag topikya sama letakya bersebelaha, (b) uruta buku dalam susua bebas.
Kombiasi Dega Pegulaga Misalka terdapat r buah bola yag semua waraya sama da buah kotak. (i) Masig-masig kotak haya boleh diisi palig bayak satu buah bola. Jumlah cara memasukka bola: C(, r). (ii) Masig-masig kotak boleh lebih dari satu buah bola (tidak ada pembatasa jumlah bola) Jumlah cara memasukka bola: C( + r 1, r). C( + r 1, r) = C( + r 1, 1).
Cotoh 13. Pada persamaa x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 12, x i adalah bilaga bulat 0. Berapa jumlah kemugkia solusiya? Peyelesaia: Aalogi: 12 buah bola aka dimasukka ke dalam 4 buah kotak (dalam hal ii, = 4 da r = 12). Bagilah keduabelas bola itu ke dalam tiap kotak. Misalya, Kotak 1 diisi 3 buah bola (x 1 = 3) Kotak 2 diisi 5 buah bola (x 2 = 5) Kotak 3 diisi 2 buah bola (x 3 = 2) Kotak 4 diisi 2 buah bola (x 4 = 2) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 3 + 5 + 2 + 2 = 12 Ada C(4 + 12 1, 12) = C(15, 12) = 455 buah solusi.
Cotoh 14. 20 buah apel da 15 buah jeruk dibagika kepada 5 orag aak, tiap aak boleh medapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali. Berapa jumlah cara pembagia yag dapat dilakuka? Peyelesaia: = 5, r 1 = 20 (apel) da r 2 = 15 (jeruk) Membagi 20 apel kepada 5 aak: C(5 + 20 1, 20) cara, Membagi 15 jeruk kepada 5 aak: C(5 + 15 1, 15) cara. Jumlah cara pembagia kedua buah itu adalah C(5 + 20 1, 20) C(5 + 15 1, 15) = C(24, 20) C(19, 15)
Latiha: 1. Ada 10 soal di dalam ujia akhir Matematika Diskrit. Berapa bayak cara pemberia ilai (bilaga bulat) pada setiap soal jika jumlah ilai keseluruha soal adalah 100 da setiap soal mempuyai ilai palig sedikit 5. (Khusus utuk soal ii, yataka jawaba akhir ada dalam C(a, b) saja, tidak perlu dihitug ilaiya) 2. Di perpustakaa Tekik Iformatika terdapat 3 jeis buku: buku Algoritma da Pemrograma, buku Matematika Diskrit, da buku Basisdata. Perpustakaa memiliki palig sedikit 10 buah buku utuk masig-masig jeis. Berapa bayak cara memilih 10 buah buku? 3. Dari sejumlah besar koi 25-a, 50-a, 100-a, da 500-a, berapa bayak cara lima koi dapat diambil?
Koefisie Biomial (x + y) 0 = 1 1 (x + y) 1 = x + y 1 1 (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 1 2 1 (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 1 3 3 1 (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 1 4 6 4 1 (x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5 1 5 10 10 5 1 (x + y) = C(, 0) x + C(, 1) x -1 y 1 + + C(, k) x -k y k + + C(, ) y = C(, k) x -k y k k 0 Koefisie utuk x -k y k adalah C(, k). Bilaga C(, k) disebut koefisie biomial.
Cotoh 15. Jabarka (3x - 2) 3. Peyelesaia: Misalka a = 3x da b = -2, (a + b) 3 = C(3, 0) a 3 + C(3, 1) a 2 b 1 + C(3, 2) a 1 b 2 + C(3, 3) b 3 = 1 (3x) 3 + 3 (3x) 2 (-2) + 3 (3x) (-2) 2 + 1 (-2) 3 = 27 x 3 54x 2 + 36x 8
Cotoh 16. Tetuka suku keempat dari pejabara perpagkata (x - y) 5. Peyelesaia: (x - y) 5 = (x + (-y)) 5. Suku keempat adalah: C(5, 3) x 5-3 (-y) 3 = -10x 2 y 3. Cotoh 17. Buktika bahwa k 0 C(, k) 2 Peyelesaia: Dari persamaa (6.6), ambil x = y = 1, sehigga (x + y) = C(, k) x -k y k k 0 (1 + 1) = C(, k) 1 -k 1 k = C(, k) k 0 2 = C(, k) k 0 k 0.
Latiha: Perlihatka bahwa 2 k C(, k) = 3 k=0
Terima Kasih