Sudaryano Sudirham Analisis Rangkaian Lisrik Di Kawasan Waku 2-2 Sudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian Lisrik (1)
BAB 2 Besaran Lisrik Dan Model Sinyal Dengan mempelajari besaran lisrik dan model sinyal, kia akan menyadari bahwa pembahasan analisis rangkaian di sini berkenaan dengan sinyal waku koninyu; memahami besaran-besaran lisrik yang menjadi peubah sinyal dalam analisis rangkaian; memahami berbagai benuk gelombang sinyal; mampu menyaakan benuk gelombang sinyal secara grafis maupun maemais. 2.1. Besaran Lisrik Dalam kelisrikan, ada dua besaran fisika yang menjadi besaran dasar yaiu muaan lisrik (selanjunya disebu dengan singka muaan) dan energi lisrik (selanjunya disebu dengan singka energi). Muaan dan energi, merupakan konsep dasar fisika yang menjadi fondasi ilmiah dalam eknologi elekro. Namun dalam prakik, kia idak mengolah langsung besaran dasar ini, karena kedua besaran ini idak mudah unuk diukur. Besaran yang sering kia olah adalah yang mudah diukur yaiu arus, egangan, dan daya. Arus. Arus lisrik dinyaakan dengan simbol i; ia merupakan ukuran dari aliran muaan. Ia merupakan laju perubahan jumlah muaan yang melewai iik erenu. Dalam benuk diferensial ia didefinisikan sebagai: dq i = (2.1) d Dalam sisem sauan SI, arus mempunyai sauan ampere, dengan singkaan A. Karena sauan muaan adalah coulomb dengan singkaan C, maka 1 ampere = 1 coulomb / deik = 1 coulomb / sekon = 1 C/s Perlu kia inga bahwa ada dua jenis muaan yaiu muaan posiif dan negaif. Arah arus posiif dieapkan sebagai arah aliran muaan posiif neo, menginga bahwa aliran arus di suau iik mungkin melibakan kedua macam muaan ersebu. 2-1
Tegangan. Tegangan dinyaakan dengan simbol ; ia erkai dengan perubahan energi yang dialami oleh muaan pada waku ia berpindah dari sau iik ke iik yang lain di dalam rangkaian. Tegangan anara iik A dan iik B di suau rangkaian didefinisikan sebagai perubahan energi per sauan muaan, yang dalam benuk diferensial dapa kia uliskan sebagai: dw = dq (2.2) Sauan egangan adalah ol, dengan singkaan V. Oleh karena sauan energi adalah joule dengan singkaan J, maka 1 ol = 1 joule/coulomb = 1 J/C. Daya. Daya dinyaakan dengan simbol p, didefinisikan sebagai laju perubahan energi, yang dapa kia uliskan: dw p = (2.3) d Dari definisi ini dan definisi unuk arus (2.1) dan egangan (2.2) kia dapakan: dw dw dq p = = = i (2.4) d dq d Sauan daya adalah wa, dengan singkaan W. Sesuai dengan hubungan (2.3) maka 1 W = 1 J/s. Energi. Energi dinyaakan dengan simbol w. Unuk memperoleh besar energi yang eralihkan dalam selang waku anara 1 dan 2 kia melakukan inegrasi daya anara 1 dan 2 Sauan energi adalah joule. w = 1 pd (2.5) 1 Muaan. Muaan dinyaakan dengan simbol q, diperoleh dengan menginegrasi arus erhadap waku. Jadi jumlah muaan yang dialihkan oleh arus i dalam selang waku anara 1 dan 2 adalah : = 2 1 Sauan muaan adalah coulomb. q id (2.6) 2-2 Sudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian Lisrik (1)
2.2. Peubah Sinyal dan Referensi Sinyal Peubah Sinyal. Sebagaimana elah sebukan di aas, dalam manangani masalah prakis, kia jarang melibakan secara langsung kedua besaran dasar yaiu energi dan muaan. Besaran yang lebih sering kia olah adalah arus, egangan, dan daya. Dalam analisis rangkaian lisrik, iga besaran ini menjadi peubah rangkaian yang kia sebu sebagai peubah sinyal. Kehadiran mereka dalam suau rangkaian lisrik merupakan sinyal lisrik, dan dalam analisis rangkaian lisrik kia melakukan perhiungan-perhiungan sinyal lisrik ini; mereka menjadi peubah aau ariabel. Sinyal Waku Koninyu dan Sinyal Waku Diskri. Sinyal lisrik pada umumnya merupakan fungsi waku,. Dalam eknologi elekro yang elah berkembang demikian lanju kia mengenal dua macam benuk sinyal lisrik yaiu sinyal waku koninyu dan sinyal waku diskri. Suau sinyal disebu sebagai sinyal waku koninyu (aau disebu juga sinyal analog) jika sinyal iu mempunyai nilai unuk seiap dan sendiri mengambil nilai dari sau se bilangan riil. Sinyal waku diskri adalah sinyal yang mempunyai nilai hanya pada erenu yaiu n dengan n mengambil nilai dari sau se bilangan bula. Sebagai conoh sinyal waku koninyu adalah egangan lisrik di rumah kia. Sinyal waku diskri kia peroleh misalnya melalui sampling pada egangan lisrik di rumah kia. Gb.2.1. memperlihakan kedua macam benuk sinyal ersebu. Dalam mempelajari analisis rangkaian di buku ini, kia hanya akan menghadapi sinyal waku koninyu saja. ( ( Sinyal waku koninyu Sinyal waku diskri Gb.2.1. Sinyal waku koninyu dan sinyal waku diskri. 2-3
Referensi Sinyal. Arus dan egangan mempunyai hubungan era namun mereka juga mempunyai perbedaan yang sanga nyaa. Arus merupakan ukuran besaran yang melewai suau iik sedangkan egangan adalah ukuran besaran anara dua iik. Jadi arus diukur di sau iik sedangkan egangan diukur di anara dua iik. Dalam pekerjaan analisis, arah arus dinyaakan dengan anda anak panah yang menjadi referensi arah posiif arus. Referensi ini idak berari bahwa arah arus sesungguhnya (yang mengalir pada pirani) adalah seperi diunjukkan oleh anak panah. Arah arus sesungguhnya dapa berlawanan dengan arah anak panah dan jika demikian halnya kia kaakan arus negaif. Dalam hal arah arus sesungguhnya sesuai dengan arah anak panah, kia kaakan arus posiif. Pada elemen rangkaian, anda + dipakai unuk menunjukkan iik yang dianggap mempunyai egangan yang lebih inggi dibandingkan dengan iik yang beranda, dan ini menjadi referensi egangan. Di sinipun iik yang beranda + pada keadaan sesungguhnya idak selalu beregangan lebih inggi dibandingkan dengan iik yang beranda. Teapi jika benar demikian keadaannya kia kaakan bahwa egangan pada pirani adalah posiif, dan jika sebaliknya maka egangan iu negaif. Konensi Pasif. Dalam menenukan referensi egangan dan arus kia mengikui konensi pasif yaiu arah arus digambarkan masuk ke elemen pada iik yang beranda +. Konensi ini disebu konensi pasif sebab dalam konensi ini pirani menyerap daya. Perhaikan Gb.2.2. Dengan konensi ini, jika arus dan egangan memiliki anda yang sama, daya bernilai posiif. Jika arus da egangan berlawanan anda maka daya bernilai negaif. egangan diukur anara dua iik + pirani arus melalui pirani Gb.2.2. Tegangan dan arus pada sau pirani Daya posiif berari elemen menyerap daya; daya negaif berari elemen mengeluarkan daya. 2-4 Sudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian Lisrik (1)
Selain referensi arus dan egangan pada elemen, unuk menyaakan besar egangan di berbagai iik pada suau rangkaian kia meneapkan iik referensi umum yang kia namakan iik penanahan aau iik nol aau ground. Tegangan di iikiik lain pada rangkaian dihiung erhadap iik nol ini. Perhaikan penjelasan pada Gb.2.3. Tegangan di iik A dapa kia sebu sebagai A yaiu egangan iik A erhadap iik referensi umum G. Demikian pula B adalah egangan iik B erhadap G. Beda egangan anara iik A dan B adalah A B = AB = 2. Isilah koak-koak yang kosong pada abel beriku ini. Pirani [V] i [A] p [W] menerima/memberi daya A 12 5 B 24-3 C 12 72 D -4 96 E 24 72 CO TOH-2.1: Tegangan pada suau pirani adalah 12 V (konsan) dan arus yang mengalir padanya adalah 1 ma. a). Berapakah daya yang diserap? b). Berapakah energi yang diserap selama 8 jam? c). Berapakah jumlah muaan yang dipindahkan melalui pirani ersebu selama 8 jam iu? Penyelesaian: referensi arus a). Daya yang diserap adalah : p = i = 12 1 1 3 = 1,2 W b). Energi yang diserap selama 8 jam adalah 8 8 w = pd = 1,2 = 1,2 d 8 = 9,6 Wh c). Jumlah muaan yang dipindahkan selama 8 jam adalah A + i 1 1 1 i 2 referensi egangan pirani 2 + 2 + 3 referensi egangan umum (ground) Gb.2.3. Referensi arus dan egangan B 3 G 2-5 i 3
8 8 3 q = id = 1 1 =,1 8 =,8 Ah Pemahaman : Sauan daya adalah Wa. Unuk daya besar digunakan sauan kw (kilo wa yaiu 1 kw = 1 W. Sauan daya yang lain adalah horse power (HP). 1 HP = 746 W aau 1 kw = 1,341 HP Wa-hour (Wh) adalah sauan energi yang biasa dipakai dalam sisem enaga lisrik. 1 Wh = 36 J aau 1 kwh = 36 kj Sauan muaan adalah Coulomb. Dalam penyelesaian soal di aas, kia menggunakan sauan Ampere-hour (Ah) unuk muaan. Sauan ini biasa digunakan unuk menyaakan kapasias suau accu (accumulaor). Conoh : accu mobil berkapasias 4 Ah. karena 1 A = 1 C/s maka 1 C = 1 As dan 1 Ah = 36 C CO TOH-2.2: Sebuah pirani menyerap daya 1 W pada egangan 2V (konsan). Berapakah besar arus yang mengalir dan berapakah energi yang diserap selama 8 jam? Penyelesaian : p 1 i = = =,5 A 2 8 8 w = 1d = 1 = 8 Wh =,8 kwh CO TOH-2.3: Arus yang melalui suau pirani berubah erhadap waku sebagai i( =,5 ampere. Berapakah jumlah muaan yang dipindahkan melalui pirani ini anara = sampai = 5 deik? Penyelesaian : Jumlah muaan yang dipindahkan dalam 5 deik adalah 5 5 5,5 2 1,25 q = id =,5 = = =,625 coulomb d 2 2 2-6 Sudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian Lisrik (1)
CO TOH-2.4: Tegangan pada suau pirani berubah erhadap waku sebagai = 22cos4 dan arus yang mengalir adalah i = 5cos4 A. a). Bagaimanakah ariasi daya erhadap waku? b). Berapakah nilai daya maksimum dan daya minimum? Penyelesaian : a). p = 22cos 4 5cos 4 = 11cos = 55 1 4 ( + cos8 ) = 55 + 55 cos8 W Suku perama pernyaaan daya ini bernilai konsan posiif + 55 V. b). Nilai Suku ke-dua berariasi anara 55 V dan + 55 V. Secara keseluruhan daya selalu bernilai posiif. daya : p p maksimum minimum = 55+ 55 = 11 W 2 = 55 55 = W W CO TOH-2.5: Tegangan pada suau pirani berubah erhadap waku sebagai = 22cos4 dan arus yang mengalir adalah i = 5sin4 A. a). Bagaimanakah ariasi daya erhadap waku? b). Tunjukkan bahwa pirani ini menyerap daya pada suau selang waku erenu dan memberikan daya pada selang waku yang lain. c). Berapakah daya maksimum yang diserap? d). Berapakah daya maksimum yang diberikan? Penyelesaian : a). p = 22 cos 4 5 sin 4 = 11 sin 4 cos 4 = 55 sin 8 W b). Dari a) erliha bahwa daya merupakan fungsi sinus. Selama seengah perioda daya bernilai posisiif dan selama seengah perioda berikunya ia bernilai negaif. Jika pada waku daya bernilai posiif mempunyai ari bahwa pirani menyerap daya, maka pada waku bernilai negaif berari pirani memberikan daya c). Daya maksimum yang diserap: p maks diserap = 55 W. d). Daya maksimum yang diberikan: p maks diberikan = 55 W. 2-7
2.3. Benuk Gelombang Sinyal Pada umumnya sinyal merupakan fungsi waku, seperi yang kia liha pada conoh-conoh di aas. Variasi sinyal erhadap waku disebu benuk gelombang. Secara formal dikaakan: Benuk gelombang adalah suau persamaan aau suau grafik yang menyaakan sinyal sebagai fungsi dari waku. Sebagai conoh, benuk gelombang egangan dan arus yang konsan di seluruh waku, secara maemais dinyaakan dengan persamaan: = V ; i = I, unuk < < (2.7) Walaupun persamaan di aas hanyalah model, eapi model ini sanga bermanfaa sebab ia merupakan pendekaan unuk sinyal yang secara nyaa dibangkikan oleh sumber sebenarnya, misalnya baere. Benuk gelombang dikelompokkan dalam dua kelompok. Kelompok perama disebu benuk gelombang dasar yang melipui benuk gelombang anak angga, sinus, dan eksponensial. Mereka disebu benuk gelombang dasar karena dari iga benuk gelombang ini dapa diurunkan benuk-benuk gelombang yang lain. Benuk gelombang dasar ini erliha pada Gb.2.4. Anak angga Sinus Eksponensial Gb.2.4. Benuk Gelombang Dasar. Kelompok kedua disebu benuk gelombang komposi. Benuk gelombang ini ersusun dari beberapa benuk gelombang dasar, seperi erliha pada Gb.2.5. Benuk gelombang sinus eredam misalnya, merupakan hasil kali gelombang sinus dengan eksponensial; gelombang persegi merupakan kombinasi dari gelombang-gelombang anak angga, dan sebagainya. Dalam analisis rangkaian, benuk-benuk gelombang ini kia nyaakan secara maemais seperi halnya dengan conoh sinyal konsan (2.7) di aas. Dalam kenyaaan, benuk-benuk gelombang bisa sanga rumi; walaupun demikian, ariasinya erhadap waku dapa didekai dengan menggunakan gabungan benuk-benuk gelombang dasar. 2-8 Sudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian Lisrik (1)
Sinus eredam Gelombang persegi Eksponensial ganda Derean pulsa Gigi gergaji Segi iga Gb.2.5. Beberapa gelombang komposi. 2.3.1. Benuk Gelombang Dasar Benuk gelombang dasar (disebu juga gelombang uama) melipui fungsi anak-angga (sep funcion), fungsi eksponensial (exponenial funcion), dan fungsi sinus (sinusoidal funcion). Fungsi Anak-Tangga (Fungsi Sep). Secara umum, fungsi anakangga didasarkan pada fungsi anak-angga sauan, yang didefinisikan sebagai beriku: u( = unuk < (2.8) = 1 unuk Beberapa buku membiarkan fungsi u( ak erdefinisikan unuk =, dengan persamaan u( = unuk < = 1 unuk > Pernyaaan fungsi anak angga sauan yang erakhir ini mempunyai keidak-koninyuan pada =. Unuk selanjunya kia akan menggunakan definisi (2.8). Dalam kenyaaan, idaklah mungkin membangkikan sinyal yang dapa berubah dari sau nilai ke nilai yang lain anpa memakan waku. Yang dapa dilakukan hanyalah membua waku ransisi iu sependek mungkin. Bila u( kia kalikan dengan sesuau nilai konsan V A akan kia peroleh benuk gelombang anak angga (Gb.2.6.a.): 2-9
= VAu( = unuk < = VA unuk V A V A (2.9.a) (a) Gb.2.6. Benuk gelombang anak-angga. Jika kia gani dengan (-T s ) kia peroleh benuk gelombang VAu( Ts ) yang merupakan benuk gelombang anak angga ergeser ke arah posiif sebesar T s (Gb.2.6.b.). = VAu( Ts ) = unuk < Ts = VA unuk Ts (2.9.b) Benuk Gelombang Eksponensial. Sinyal exponensial merupakan sinyal anak-angga yang ampliudonya menurun secara eksponensial menuju nol. Persamaan benuk gelombang sinyal ini adalah: / τ ( V e ) u( = A (2.1) Parameer yang pening pada sinyal benuk ini adalah ampliudo V A dan konsana waku τ (dalam deik). Konsana waku ini enenukan kecepaan menurunnya ampliudo sinyal. Makin besar τ makin lamba ampliudo menurun dan makin kecil τ makin cepa ampliudo menurun. T s (b).368v A V A V A e / τ u( 1 2 3 4 5 /τ Gb.2.7. Benuk gelombang eksponensial. Pada = τ sinyal sudah menurun mencapai 36,8 % V A. Pada = 5τ sinyal mencapai,674v A, kurang dari 1% V A. Oleh karena iu kia definisikan durasi (lama berlangsung) suau sinyal eksponensial 2-1 Sudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian Lisrik (1)
adalah 5τ. Kalau kia hanya meninjau keadaan unuk >, maka u( pada persamaan gelombang ini biasanya idak diuliskan lagi. Jadi: / τ = V A e (2.11) Benuk Gelombang Sinus. Sinus merupakan pengulangan anpa heni dari suau osilasi anara dua nilai puncak, seperi erliha pada Gb.2.8. di bawah ini. V A V A T Gb.2.8. Benuk gelombang sinus. Ampliudo V A didefinisikan sebagai nilai maksimum dan minimum osilasi. Perioda T o adalah waku yang diperlukan unuk membua sau siklus lengkap. Dengan menggunakan dua parameer ersebu, yaiu V A dan T o, kia dapa menuliskan persamaan sinus ini dalam fungsi cosinus: = V A cos(2π / T o ) (2.12) Seperi halnya fungsi anak angga, persamaan umum fungsi sinus diperoleh dengan menggani dengan (-T s ). Jadi persamaan umum gelombang sinus adalah: = VA cos[ 2π( Ts ) / To ] (2.13) dengan T s adalah waku pergeseran, yang diunjukkan oleh posisi puncak posiif yang erjadi perama kali seperi erliha pada Gb.2.8. Pada gambar ini T s adalah posiif. Jika T s negaif pergeserannya akan ke arah negaif. Pergeseran waku dapa juga diyaakan dengan menggunakan sudu: = VA cos[ 2π / To φ] (2.14) Parameer φ disebu sudu fasa. Hubungan anara waku pergeseran T s dan sudu fasa φ adalah : T φ = 2π s T (2.15) Variasi dari gelombang sinus dapa juga dinyaakan dengan menggunakan frekuensi. Frekuensi f o didefinisikan sebagai jumlah V A V A T s T 2-11
perioda dalam sau sauan waku, yang disebu frekuensi siklus. Oleh karena perioda T o adalah jumlah deik (waku) per siklus, maka jumlah siklus (perioda) per deik adalah: 1 f = T (2.16) dengan sauan herz ( Hz ), aau siklus per deik. Selain frekuensi siklus, kia mengenal pula frekuensi sudu ω o dengan sauan radian per deik (rad/de, yaiu: 2 f 2π ω = π = T (2.17) Dengan demikian ada dua cara unuk menyaakan frekuensi, yaiu frekuensi siklus (Hz) dan frekuensi sudu (rad/deik), dan fungsi sinus dapa dinyaakan sebagai = VA cos[2π f φ] = VA cos[ ω φ] aau (2.17.a) CO TOH-2.6: Tegangan pada suau pirani adalah 12 V (konsan) dan arus yang mengalir padanya adalah 1 ma. a). Berapakah daya yang diserap? b). Berapakah energi yang diserap selama 8 jam? c). Berapakah jumlah muaan yang dipindahkan melalui pirani ersebu selama 8 jam iu? Penyelesaian: Penyelesaian soal ini elah kia lakukan pada conoh 2.1. Di sini kia akan meliha model sinyalnya. Model maemais dari sinyal egangan 12 V (konsan) kia uliskan sebagai = 12u( V, dan arus 1 ma kia uliskan i = 1u( ma. Jika sinyal-sinyal ini kia gambarkan akan berbenuk seperi di bawah ini. 12 V =12u( V i 1 ma i=1u( ma 2-12 Sudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian Lisrik (1)
Daya yang diserap adalah p = i = 1.2 W dan jika kia gambarkan perubahan daya erhadap waku adalah seperi gambar beriku ini. p 1,2 W p = i p 1,2 W 8 (jam) Energi yang diserap selama 8 jam adalah inegral dari daya unuk jangka waku 8 jam. Besar energi ini diunjukkan oleh luas bagian yang diarsir di bawah kura daya seperi diunjukkan pada gambar di sebelah kanan. CO TOH-2.7: Carilah persamaan benuk gelombang egangan yang ergambar di bawah ini. [V] 2 ' ' ' 1 2 3 4 [s] 3 a) b) Penyelesaian : a). Benuk gelombang egangan ini adalah gelombang anak angga yang persamaan umumnya adalah ( = A u( T s ), dengan A = ampliudo dan T s = pergeseran waku. Maka persamaan gelombang pada gambar a) adalah 1( = 2u( 1) V. Gelombang ini mempunyai nilai 1 ( = 2 V = V [V] unuk 1 unuk < 1 b). Benuk gelombang egangan gambar b) adalah 2( = 3u( 2) V. Gelombang ini mempunyai nilai ' ' ' ' 1 2 3 4 [s] 2-13
Pemahaman : 2 ( = 3 V = V unuk 2 unuk < 2 u( adalah fungsi anak angga sauan, sebagaimana elah didefinisikan. Fungsi anak angga sauan ini idak mempunyai sauan. Benuk gelombang egangan pada gambar a) diperoleh dengan mengalikan suau egangan konsan sebesar 2 V dengan fungsi anak angga sauan u( 1) yaiu fungsi anak angga sauan yang bergeser 1 deik. Sedangkan gelombang egangan pada gambar b) diperoleh dengan mengalikan egangan konsan sebesar 3 V dengan fungsi anak angga sauan yang bergeser 2 deik. Benuk gelombang apapun, jika dikalikan dengan fungsi anak angga sauan u( akan bernilai nol unuk <, dan jika dikalikan dengan u( T s ) akan bernilai nol unuk < T s. CO TOH-2.8: Carilah persamaan dan gambarkanlah iga benuk gelombang eksponensial beriku ini dalam sau gambar. 1 ( : ampliudo 5 V, konsana waku 2 deik 2 ( : ampliudo 1 V, konsana waku 2 deik 3 ( : ampliudo 1 V, konsana waku 4 deik Penyelesaian : Persamaan umum gelombang eksponensial adalah ( = Ae /τ u( dengan A = ampliudo, τ = konsana waku. Jadi pernyaaan keiga gelombang iu masing-masing adalah ( = 5e 1 2 3 / 2 ( = 1e ( = 1e / 2 / 4 u( V; u( V; u( V. Benuk gelombang egangan ergambar di bawah ini. 2-14 Sudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian Lisrik (1)
Pemahaman : Kia liha bahwa walaupun 1 dan 2 mempunyai ampliudo yang jauh berbeda, mereka eredam dengan kecepaan yang sama karena konsana wakunya sama. Pada = 5 konsana waku, yaiu 5 2 = 1 deik, nilai gelombang elah dapa diabaikan. Gelombang egangan 2 dan 3 mempunyai ampliudo sama eapi konsana wakunya berbeda. Kia liha bahwa gelombang yang konsana wakunya lebih besar lebih lamba menuju nol, sedangkan yang konsana wakunya lebih kecil lebih cepa menuju nol. CO TOH-2.9: Tuliskan persamaan gelombang sinus unuk >, yang ampliudonya 1 V, frekuensi siklus 5 Hz, dan puncak posiif yang perama erjadi pada = 3 mili deik. Gambarkanlah benuk gelombangnya. Penyelesaian : 1 [V] 5 Pernyaaan umum gelombang sinus sandar unuk > adalah T Acos 2 s = π u( T dengan A adalah ampliudo, T s pergeseran waku, T perioda, dan u( adalah fungsi anak angga sauan. Karena frekuensi siklus f = 1/T maka persamaan umum ini juga dapa diulis sebagai = A cos 1 2 3 5 1 [deik] ( 2π f ( T ) u( Dari apa yang dikeahui dalam persoalan yang diberikan, kia dapa menuliskan persamaan egangan ( 1π(,3) u( ) = 1 cos dengan benuk gelombang erliha pada gambar beriku ini. s 2-15
1 [V] 5.1.2.3.4.5 [deik] -5-1 Pemahaman : Perhaikan bahwa puncak perama posiif erjadi pada =,3 deik. Karena frekuensi gelombang 5 Hz, maka ada lima puluh siklus dalam sau deik aau dengan kaa lain perioda gelombang ini adalah 1/5 deik =,2 deik. Persamaan umum gelombang sinus dapa diulis dalam berbagai benuk seperi beriku ini. T s = A cos 2π aau = Acos( 2π f ( Ts )) aau T = Acos( ω( Ts )) aau = Acos( ω φ) Dari persamaan-persamaan umum ini kia dapa dengan mudah menuliskan persamaan benuk gelombang sinus berdasarkan parameer-parameer yang dikeahui. CO TOH-2.1: Tuliskan persamaan gelombang sinus unuk >, yang frekuensinya 1 rad/s, dan puncak posiif yang perama erjadi pada = 1 mili-deik. Pada = gelombang ini mempunyai nilai 2 V. Penyelesaian : Puncak posiif yang perama erjadi pada = 1 mili deik, arinya pada benuk gelombang ini erjadi pergeseran waku sebesar,1 deik. Persamaan umum fungsi sinus yang muncul pada = adalah = Acos[ ω( Ts )] u(. Ampliudo dari gelombang ini dapa dicari karena nilai gelombang pada = dikeahui, yaiu 2 V. 2 = Acos 1( (,1) ) A = 2/,54 = 37 V Jadi persamaan gelombang sinus ini adalah : u( = Acos( 1) = A,54 [,1) ] u( ) V = 37cos 1( 2-16 Sudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian Lisrik (1)
2.3.2. Benuk Gelombang Komposi Benuk gelombang yang diperoleh melalui penggabungan benuk gelombang dasar disebu benuk gelombang komposi. Beberapa di anaranya akan kia liha beriku ini. Fungsi Impuls. Secara umum fungsi impuls diuliskan sebagai : = Au( T ) Au( T = A 1 [ u( T ) u( T )] 1 2 2 ) (2.18) Benuk gelombang ini adalah gabungan dari dua gelombang anakangga dengan ampliudo sama akan eapi berlawanan anda, masing-masing dengan pergeseran waku T 1 dan T 2. (Gb.2.9.a) δ( T 1 T 2 -T/2 +T/2 a) Impuls. b) Impuls simeris hd nol. c) Impuls sauan. Gb.2.9. Impuls Fungsi Impuls Sauan. Perhaikan gelombang impuls yang simeris erhadap iik nol seperi pada Gb.2.9.b. Persamaan benuk gelombang ini adalah: 1 T T 1 = u + u T 2 2 (2.18.a) Impuls dengan persamaan diaas mempunyai ampliudo 1/T dan bernilai nol di semua kecuali pada selang T/2 +T/2. Luas bidang di bawah pulsa adalah sau karena ampliudonya berbanding erbalik dengan durasinya (lebarnya). Jika lebar pulsa T kia perkecil dengan memperahankan luasnya eap sau, maka ampliudo akan makin besar. Bila T menuju nol maka ampliudo menuju ak hingga, namun luasnya eap sau. Fungsi yang diperoleh pada kondisi limi ersebu dinamakan impuls sauan (uni impuls), dengan simbol δ(. Represenasi grafisnya erliha pada Gb.2.9.c. Definisi formal dari impuls sauan adalah: = δ( = unuk ; δ( x) dx = u( - (2.18.b) 2-17
Kondisi yang perama dari definisi ini menyaakan bahwa impuls ini nol di semua kecuali pada =, sedangkan kondisi kedua menyaakan bahwa impuls ini adalah urunan dari fungsi anakangga sauan. du( Jadi δ ( = (2.18.c) d Ampliudo impuls sauan adalah ak hingga. Oleh karena iu besar impuls didefinisikan menuru luasnya. Suau impuls sauan yang muncul pada = T s diuliskan sebagai δ( T s ). Fungsi Ramp. Jika kia melakukan inegrasi pada fungsi anak angga sauan, kia akan mendapakan fungsi ramp sauan yaiu r( = u( x) dx = u( (2.19) Ramp sauan ini bernilai nol unuk dan sama dengan unuk >. Perhaikan bahwa laju perubahan (kemiringan) dari ramp sauan adalah 1. Jika kemiringannya adalah K maka persamaannya adalah r k ( = K u(. Benuk umum fungsi ramp adalah r( = K( T s )u(-t s ), (2.19.a) yang bernilai nol unuk < T s dan memiliki kemiringan K. (Gb.2.1). r( u( r( T s Gb.2.1. Fungsi ramp. K( T s )u( T s Benuk Gelombang Sinus Teredam. Benuk gelombang komposi ini diperoleh dengan mengalikan fungsi sinus dengan fungsi eksponensial, yang memberikan persamaan : / τ ( V e ) / τ = sin( ω u( = V sinω e u( (2.2) A A 2-18 Sudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian Lisrik (1)
Fungsi anak angga u( menjadi salah sau fakor dalam persamaan ini agar persamaan bernilai nol pada <. V A Pada =, gelombang melalui iik asal karena sin(nπ) =. Benuk gelombang ini V A e / 5 idak periodik karena fakor eksponensial memaksa 25 ampliudonya menurun secara V A e / 5 sin(ω eksponensial. Osilasi ini elah mencapai Gb.2.11. Gelombang sinus eredam. nilai sanga kecil pada = 5τ sehingga elah dapa diabaikan pada > 5τ. Benuk Gelombang Eksponensial Ganda. Gelombang komposi ini diperoleh dengan menjumlahkan dua fungsi eksponensial berampliudo sama api berlawanan anda. Persamaan benuk gelombang ini adalah : = V = V / τ1 Ae Benuk gelombang komposi ini, dengan τ 1 > τ 2 erliha pada Gb.2.12. Unuk < gelombang bernilai nol. Pada = gelombang masih bernilai nol karena kedua fungsi saling A meniadakan. Pada >> τ 1 gelombang ini menuju nol karena kedua benuk u( V / τ2 Ae / τ1 / τ2 ( e e ) u( V A V A u( V A e / 5 V A (e / 5 e 2 / 5 V A e 2 / Gb.2.12. Gelombang eksponensial eksponensial iu menuju nol. Fungsi yang mempunyai konsana waku lebih besar akan menjadi fungsi yang lebih menenukan benuk gelombang. (2.21) 2-19
Benuk Gelombang Persegi. Benuk gelombang persegi juga merupakan gelombang komposi. Karena gelombang ini merupakan gelombang periodik maka persamaan gelombang ini ( V A T dapa diperoleh dengan V A menjumlahkan persamaan unuk seiap siklus. Gb.2.13. Gelombang persegi. Persamaan unuk siklus yang perama seelah =, merupakan jumlah dari iga fungsi anak-angga, yaiu: T 1 = VAu( 2V Au( ) + VAu( To ) 2 Persamaan unuk siklus yang kedua seelah = adalah persamaan siklus perama yang digeser sebesar sau perioda : T 2 = VAu( T ) 2V Au( T ) + VAu( 2To ) 2 3T = VAu( T ) 2V Au( ) + VAu( 2To ) 2 Persamaan unuk siklus yang ke k adalah persamaan siklus perama yang digeser sebesar (k 1) perioda: 2k 1 k = VAu( [ k 1] T ) 2V Au( T ) + VAu( kto ) 2 Persamaan gelombang persegi dapa diperoleh dengan menjumlahkan k ( dari k = sampai k = +. k = + k = = k ( (2.22) Penjumlahan dari sampai + ersebu diperlukan karena gelombang persegi melebar ke ak hingga baik ke arah posiif maupun ke arah negaif. CO TOH-2.11: Gambarkanlah benuk-benuk gelombang yang persamaannya adalah a). 1 = 4 u( V ; b). 2 = 3 u( 2) V 2-2 Sudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian Lisrik (1)
c). 3 = 4u( 3u( 2) V; d). 4 = 4u( 7u( 2)+3u( 5) V Penyelesaian : a). Benuk gelombang ini adalah gelombang anak angga dengan ampliudo 4 ol dan muncul pada =. Benuk gelombang erliha pada gambar di samping. b). Gelombang anak angga ini mempunyai ampliudo 3 ol dan muncul pada = 2. Gambar 3V benuk gelombang erliha di samping ini c). Benuk gelombang ini erdiri dari gelombang anak angga berampliudo 4 ol yang muncul pada = diambah gelombang anak angga berampliudo 3 ol yang muncul pada = 2. Liha gambar di samping. d). Benuk gelombang ini erdiri dari iga gelombang anak angga yang masing-masing 4V muncul pada =, = 2 dan = 5. Ampliudo mereka 4 beruru-uru adalah 4, 7, dan 3 ol. Benuk 1 2 3 4 5 6 gelombang erliha pada 3V gambar di samping ini. CO TOH-2.12: Gambarkanlah benuk-benuk gelombang yang persamaannya adalah a). 1 = 2 u( V ; 4V b). 2 = 2( 2) u( 2) V ; c). 3 = 2u( 2( 2) u( 2) V; d). 4 = 2u( 4( 2)u(-2) V ; e). 5 = 2u( 2( 2)u( 2) 4u( 5) V ; f). 6 = 2u( 2( 2)u( 2) 4u( 2) V 1 2 1 2 3 4 5 4V 3 1V 1 2 3 4 5 2-21
Penyelesaian : 4V a). 1 1 = 2 u( 1 2 3 4 5 6 2 b). 4V 1 2 3 4 5 6 2( 2) u( 2) 4V c). 3 2u( 2( 2) u( 2) 1 2 3 4 5 6 4V d). 4 1 2 3 4 5 6 2u( 4( 2)u(-2) 4V e). 5 1 2 3 4 5 6 2u( 2( 2)u( 2) 4u( 5) f). 4V 6 2u( 2( 2)u( 2) 4u( 2) 1 2 3 4 5 6 CO TOH-2.13: Tenukanlah persamaan benuk gelombang yang mulai muncul pada = beriku ini. a). Gelombang sinus : ampliudo 1 V, frekuensi sudu 5 rad per deik, puncak posiif perama erjadi pada = 2 mili-deik. b). Gelombang sinus pada a) yang erredam sehingga pada =,5 deik gelombang sinus ini sudah dapa diabaikan nilainya. c). Gambarkanlah benuk gelombang pada a) dan b). Penyelesaian: a). Gelombang sinus ini baru muncul pada =, sehingga persamaan umumnya adalah = A cos( ω( Ts )) u(. Dari parameer yang dikeahui, persamaan gelombang yang dimaksud adalah 1 = 1 cos( 5(,2) ) u( V. 2-22 Sudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian Lisrik (1)
b). Agar gelombang sinus pada a) eredam, maka harus dikalikan dengan fungsi eksponensial. Jika nilai gelombang sudah harus dapa diabaikan pada =,5 deik, maka konsana waku dari fungsi eksponensial sekurangkurangnya haruslah τ =,5/5 =, 1. Jadi persamaan gelombang yang dimaksud adalah /,1 ( 5(,2) ) e u( ) 2 = 1cos c). Gambar kedua benuk gelombang ersebu di aas adalah sebagai beriku. 1 2 [deik] Pemahaman: Gelombang sinus pada umumnya adalah non-kausal yang persamaan umumnya adalah = Acos( ω( Ts )). Dalam soal ini dinyaakan bahwa gelombang sinus baru muncul pada =. Unuk menyaakan gelombang seperi ini diperlukan fungsi anak angga u( sehingga persamaan akan berbenuk = Acos( ω( Ts )) u(. Dengan menyaakan benuk gelombang sinus dengan fungsi cosinus, idenifikasi benuk gelombang menjadi lebih mudah. Puncak perama suau fungsi cosinus anpa pergeseran waku erjadi pada =. Dengan demikian posisi puncak perama fungsi cosinus menunjukkan pula pergeseran wakunya. Dengan mengalikan fungsi sinus dengan fungsi eksponensial kia meredam fungsi sinus ersebu. Peredaman oleh fungsi eksponensial berlangsung mulai dari =. Oleh karena iu puncak posiif perama dari gelombang sinus eredam pada persoalan di aas mempunyai nilai kurang dari 1 V. 2-23
Fungsi Parabolik Sauan dan Kubik Sauan. Telah kia liha bahwa inegrasi fungsi anak angga sauan memberikan fungsi ramp sauan. Jika inegrasi dilakukan sekali lagi akan memberikan fungsi parabolik sauan dan inegrasi sekali lagi akan memberikan fungsi kubik sauan. Gb.2.14. di samping ini memperlihakan eolusi benuk fungsi anak angga menjadi fungsi ramp, parabolik, dan kubik melalui inegrasi. Fungsi-ramp, parabolik, dan kubik ini menuju nilai ak hingga jika menuju ak hingga. Oleh karena iu pemodelan dengan menggunakan fungsi-fungsi ini dibaasi dalam selang waku erenu. Perhaikan sinyal gigi gergaji pada Gb.2.5. yang dimodelkan dengan fungsi ramp yang berulang pada seiap selang waku erenu. kubik parabolik Gb.2.14. Anak angga, ramp, parabolik, kubik. Fungsi Signum. Suau sinyal konsan (egangan misalnya) yang pada = berubah polarias, dimodelkan dengan fungsi signum, diuliskan sebagai ( = sgn( (2.23) ramp anak angga u( Benuk gelombang fungsi signum erliha pada Gb.2.15. di samping Gb.2.15. Signum. ini. Fungsi signum ini merupakan jumlah dari fungsi anak angga yang elah kia kenal, diambah dengan fungsi anak angga yang diperluas unuk <. sgn( = u( u( (2.24) 1 ( 1 u( 2-24 Sudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian Lisrik (1)
Fungsi Eksponensial Dua Sisi. Perluasan fungsi anak angga unuk mencakup kejadian sebelum = dapa pula dilakukan pada fungsi eksponensial. Dengan demikian kia dapakan fungsi eksponensial dua sisi yang kia uliskan sebagai α α( ( = e u( + e u( (2.25) dengan benuk kura seperi pada Gb.2.16. e α( u( ( 1 e α u( Gb.2.16. Eksponensial dua sisi. 2-25
SOAL-SOAL Dalam soal-soal model sinyal beriku ini, sauan waku adalah s = deik ; ms = milideik ; µs = mikrodeik 1. Gambarkan dan enukan persamaan benuk gelombang sinyal anak angga beriku ini : a) 1 : ampliudo 5 V, muncul pada =. b) 2 : ampliudo 1 V, muncul pada = 1s. c) 3 : ampliudo 5 V, muncul pada = 2s. 2. Dari sinyal-sinyal di soal 1, gambarkanlah benuk gelombang sinyal beriku ini. a). 4 = 1 + 2; b). 5 = 1 + 3 c). 6 = 1 + 2 + 3 3. Gambarkanlah benuk gelombang sinyal yang diperoleh dengan cara menginegrasi benuk gelombang sinyal pada soal 1. 4. Gambarkanlah benuk gelombang sinyal yang diperoleh dengan cara menginegrasi benuk gelombang sinyal pada soal 3. 5. Gambarkan dan enukan persamaan benuk gelombang pulsa egangan beriku ini : a). Ampliudo 5 V, lebar pulsa 1 s, muncul pada =. b). Ampliudo 1 V, lebar pulsa 2 s, muncul pada = 1s. c). Ampliudo 5 V, lebar pulsa 3 s, muncul pada = 2 s. 6. Gambarkan dan enukan persamaan benuk gelombang sinyal eksponensial yang muncul pada = dan konsana waku τ, beriku ini : a). a = ampliudo 5 V, τ = 2 ms. b). b = ampliudo 1 V, τ = 2 ms. c). c = ampliudo 5 V, τ = 4 ms. 7. Dari benuk gelombang sinyal pada soal 6, gambarkanlah benuk gelombang sinyal beriku. a). d = a + b; b). e = a + c; c). f = a + b + c 8. Tenukan persamaan benuk gelombang sinyal sinus beriku ini : a). Ampliudo 1 V, puncak perama erjadi pada =, frekuensi 1 Hz. b). Ampliudo 1 V, puncak perama erjadi pada = 1 ms, frekuensi 1 Hz. 2-26 Sudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian Lisrik (1)
c). Ampliudo 1 V, pergeseran sudu fasa o, frekuensi 1 rad/deik. d). Ampliudo 1 V, pergeseran sudu fasa +3 o, frekuensi 1 rad/deik. 9. Gambarkanlah benuk gelombang komposi beriku. 1 a). 1 = 1{ 1 e } u( V; 1 b). 2 = { 1 5e } u( V c). 3 = { + 5sin(1π } u( V; d). 4 = 1{ 1 + e sin(1π } u( V 1. Tenukan persamaan siklus perama dari benuk-benuk gelombang periodik yang digambarkan beriku ini. perioda 5 [V] 1 2 3 4 5 6 (deik) a). 5 perioda 5 [V] 1 2 3 4 5 6 (deik) b). 3 c). perioda 5 [V] (deik) 1 2 3 4 5 3 2-27
perioda 5 [V] 1 2 3 4 5 6 (deik) d). 5 perioda 5 [V] (deik) 1 2 3 4 5 e). 5 2-28 Sudaryano Sudirham, Analisis Rangkaian Lisrik (1)
29