4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan integran. d Jadi d Contoh f ) ( d f (). sin, sin 5, sin 7 adalah fungsi-fungsi integral tak tentu dari cos pada seluruh garis real, sebab derivatif mereka sama dengan cos untuk semua. Sifat 4.0.: Misalkan f dan g mempunai anti turunan dan k suatu konstanta, maka. kf ( ) d k f ( ) d. [ f ( ) g( )] d f ( ) d g( ) d Teorema 4.0. Jika F dan G keduana integral tak tentu dari f pada interval I, maka F() dan G() berselisih suatu konstanta pada I Jadi F() G() C dengan C sembarang konstanta. Akibat 4.0.4 Jika F suatu fungsi integral tak tentu dari f, maka dengan C konstanta sembarang. f ( ) d F() C. Thobirin, Kalkulus Integral 5
4. Rumus Dasar n n. d. d n C, n. d arc tan C ln C, 0 arc cot C. e d e C. 4. a d a ln a d arc sin C C, a arc cos C a > 0 5. sin d cos C. d arc sec C 6. cos d sin C arc csc C 7. sec d tan C 4. sinh d cosh C 8. csc d cot C 5. cosh d sinh C 9. sec tan d sec C 0. csc cot d csc C SOAL Tentukan:. ( ) d. d. d 4. (sin ) d 5. d Thobirin, Kalkulus Integral 54
4. Integral dengan Substitusi 006 Masalah: Tentukan ( 5) d Untuk menelesaikan permasalahan seperti ini dapat digunakan aturan seperti pada teorema berikut. Teorema 4.. Jika u g() ang didefinisikan pada interval I mempunai invers g (u) dan fungsi-fungsi g dan g keduana mempunai derivatif ang kontinu pada intervalna masing-masing, dan f kontinu pada interval di mana g didefinisikan, maka Contoh 006 Tentukan ( 5) d f { g( )} g '( ) d f ( u) du Penelesaian: Substitusikan u 5 du d du d 006 006 maka ( 5) d ( 5) d u 006 du Contoh 006 Tentukan ( 5) d 007 404 ( 007 u C 007 5) C Penelesaian: Substitusikan u 5 du 6 d du 6 d Thobirin, Kalkulus Integral 55
006 006 maka ( 5) d ( 5) 6 d 6 u 006 du 6 6 007 04 007 u C ( 007 5) C Contoh 4 Tentukan cos d Penelesaian: Substitusikan u du d du d maka cos d cosu du sin u C sin C SOAL Tentukan:. ( ) 9 d 6. d 4 9 d. ( 5 ) d 7. 4 ( ) 8. d 8. 4 ( ) d 4. d ln sin(ln ) 5. d sin 9. e cos d 4 0. e d Thobirin, Kalkulus Integral 56
4. Integral Parsial Masalah: Tentukan e d Misalkan: u f() f '( ) d du f '( ) d du u ' d v g() g '( ) d dv g '( ) d dv v ' d d( uv) uv f() g() f '( ) g( ) f ( ) g '( ) d d ( uv) f '( ) g( ) d f ( ) g '( ) d d(uv) d(uv) Jika kedua ruas diintegralkan, diperoleh uv v du u dv u dv uv v du u ' v d uv ' d v du u dv Contoh 5 Tentukan e d Penelesaian: Misalkan u du d dv e d v e d sehingga e d e e d e e d e e C e Contoh 6 Tentukan e d Penelesaian: Misalkan u dv e d du d v e d e Thobirin, Kalkulus Integral 57
sehingga e d e e d e e d e ( e e ) C e e e C Contoh 7 Tentukan cos d 5. Penelesaian: Misalkan u du d dv cos d v cos d sin sehingga cos d sin sin d sin cos C Contoh 8 Tentukan e cos d Penelesaian: Misalkan u e sehingga e cos d e du e d dv cos d v cos d sin sin e sin e sin e d sin d misal u e du e d dv sin d v sin d Diperoleh e cos d e e cos d e cos d e { e e sin ( cos ) cos d } e sin e cos cos e d e e sin e cos cos e d sin e cos sin e cos C cos Thobirin, Kalkulus Integral 58
SOAL Tentukan:. sin d 6. e sin d. sin d 7. arcsin d. ln d 8. arctan d 4. e d 9. 5. e d 0. ln ln ln d d 4.4 Integral ang Menghasilkan Arcus Tangen dan Logaritma Ingat: d arc tan C Berdasarkan rumus di atas dapat dibuktikan bahwa untuk konstanta a 0, maka berlaku: d arc tan C (4.4.) a a a Perhatikan penebut dalam integran. Selanjutna akan dicari b c d Jika f() b c dengan D 4b 4c < 0, maka f() definit positif dan selalu dapat dibawa ke bentuk f() ( b) p dengan p c b > 0 sehingga d b c ( b) p d dan dengan menggunakan (4.4.) dapat diperoleh d b c b arctan C (4.4.) p p dengan p c b Thobirin, Kalkulus Integral 59
Contoh 9 Tentukan Penelesaian: d Dengan menggunakan rumus (4.4.) diperoleh d arc tan C Contoh 0 Tentukan 9 d Penelesaian: Dengan menggunakan rumus (4.4.) diperoleh d arc tan C Contoh Tentukan d 5 Penelesaian: b c 5 p 5 4 Dengan rumus (4.4.) diperoleh d arc tan 5 Atau secara langsung dengan cara berikut: d 5 d arc tan C ( ) 4 C Selanjutna ingat: d ln C Dengan rumus ini dapat ditunjukkan bahwa g '( ) g( ) d ln g () C (4.4.) Thobirin, Kalkulus Integral 60
Contoh Tentukan d 4 Penelesaian: Dengan rumus (4.4.) diperoleh d ln 4 C 4 Contoh 5 Tentukan d 6 Penelesaian: 5 ( 6) d 6 d 6 ( 6) d 6 d 6 ln 6 d ( ) 4 ln 6. arc tan ln 6 arc tan C C SOAL Tentukan: 5. d 5. 0 d 4 7 5 5. d 6. 5 d 6. tan sin d d cos 7. 4 d 6 5 4. d 8. 4 7 d 4 7 Thobirin, Kalkulus Integral 6
4.5 Integral Fungsi Pecah Rasional P n () a o a a a... a n n dengan a n 0 dinamakan polinomial (fungsí suku banak) berderajat n. Fungsi konstan P o () a o dapat dipandang sebagai polinomial berderajat nol. N( ) Fungsi pecah rasional adalah fungsi berbentuk dengan N() dan D() polinomialpolinomial. D( ) Uraian mengenai integral fungsi pecah rasional dapat diperinci untuk beberapa kasus sebagai berikut. 4.5. Keadaan N() D () Jika N() D () maka berdasarkan rumus (4.4.) diperoleh: N( ) d ln D () C D( ) dan ini sudah dibahas pada bagian 4.4 sehingga tidak perlu diulang. 4.5. Keadaan derajat N() derajat D() Lakukan pembagian N() oleh D() sehingga diperoleh bentuk N( ) R( ) Q( ) dengan derajat R() < derajat D() D( ) D( ) Q() adalah polinom, sehingga integralna sangat mudah. Contoh. d d... 4 9 48 60 6 8. d 6 6 4 d... 6 Kepada pembaca dipersilakan untuk melanjutkan penelesaian kedua contoh dalam contoh di atas. Dengan demikian ang perlu dipelajari lebih lanjut adalah keadaan dimana derajat N() < derajat D() dan N() D () Thobirin, Kalkulus Integral 6
4.5. Keadaan Derajat N() < Derajat D() Pada pembahasan ini N() D (). Tanpa mengurangi umumna pembicaraan, diambil koefisien suku pangkat tertinggi dari dalam D() adalah satu. Untuk N( ) menghitung d, terlebih dahulu integran dipisah menjadi pecahanpecahan D( ) parsialna. Contoh 4 Jadi 6 6 dapat dipecah menjadi pecahan-pecahan parsial berikut 4 6 6 4 6 4 6 0 5 6 6 0 5 d 6 d d d d 0 d 5 d ln 0ln 5ln C Karena sebelum melakukan pengintegralan terlebih dahulu diadakan pemisahan N( ) menjadi pecahan-pecahan parsialna, maka sebelumna perlu dipelajari D( ) N( ) cara memisah menjadi pecahan-pecahan parsialna tersebut. D( ) Memisah Pecahan Menjadi Pecahan Parsial Dalam pembicaraan ini tetap diasumsikan: ) derajat N() < derajat D() ) koefisien suku pangkat tertinggi dari dalam D() adalah satu ) N() dan D() tidak lagi mempunai faktor persekutuan Thobirin, Kalkulus Integral 6
Menurut keadaan faktor-faktor D(), dalam memisahkan N( ) D( ) Integral menjadi pecahanpecahan parsialna dapat dibedakan menjadi 4 keadaan, aitu: a. Semua faktor D() linear dan berlainan b. Semua faktor D() linear tetapi ada ang sama (berulang) c. D() mempunai faktor kuadrat dan semua faktor kuadratna berlainan d. D() mempunai faktor kuadrat ang sama. a. Semua faktor D() linear dan berlainan Misalkan faktor-faktor D() adalah a, b, c, dan d, maka D() ( a) ( b) ( c) ( d). Dibentuk N( ) D( ) A B C D a b c d () sebagai suatu identitas dalam, sehingga untuk setiap nilai ang diberikan maka nilai ruas kiri dan nilai ruas kanan dalam () sama. Konstanta A, B, C, dan D adalah konstanta-konstanta ang masih akan dicari nilaina. Contoh 5 Pisahkan Penelesaian: 6 4 6 6 atas pecahan-pecahan parsialna. 4 6 0 ( ) ( ) ( ) 0 Dibentuk 6 4 6 6 A B C () 6 4 6 6 A( )( ) B( )( ) C( )( ) ( )( )( ) 6 6 A( )( ) B( )( ) C( )( ) untuk A()(4) A untuk 0 B( )() B 0 untuk 60 C( 4)( ) C 5 Jika nilai A, B, dan C ini disubstitusikan ke dalam () maka diperoleh 6 4 6 6 0 5 Thobirin, Kalkulus Integral 64
sehingga 6 4 6 d 6 0 5 d d d ln 0ln 5ln C Pada bagian ini dijumpai bentuk a d b. Semua faktor D() linear tetapi ada ang sama (berulang) Misalkan faktor-faktor D() adalah a, b, c, c, d, d, dan d, maka D() ( a) ( b) ( c) ( d). Selanjutna dibentuk N( ) D( ) A B C D E F G a b c ( c) d ( d) ( d) Perhatikan suku-suku pecahan di ruas kanan terutama ang sesuai dengan akar sama c dan d. () Contoh 6 Pisahkan ( )( ) Penelesaian: atas pecahan-pecahan parsialna. Dibentuk A B ( )( ) ( ) ( C D ) (4) A( ) B( )( ) C( )( ) D( ) untuk D untuk 7A untuk 0 0 A B C D untuk 8A 4B C D Dari keempat persamaan tersebut diperoleh: 6 A, B, C, D 7 7 7 6 Jadi 7 7 7 ( )( ) ( ) ( ) Thobirin, Kalkulus Integral 65
Selanjutna dapat dicari integral d ( )( ) 6 7 7 7 d ( )( ) d d d ( ) ( )... d Pada bagian ini dijumpai bentuk a d dan ( a) n d n,,... c. D() mempunai faktor kuadrat dan semua faktor kuadratna berlainan Ingat teorema dalam aljabar berikut. Teorema: Akar-akar tidak real persamaan derajat tinggi dengan koefisien real sepasang-sepasang bersekawan, artina jika a bi suatu akar maka a bi juga akar persamaan itu Berdasarkan teorema tersebut maka apabila a bi akar persamaan D() 0 maka demikian juga a bi, sehingga salah satu faktor D() adalah { (a bi)}{ (a bi)} ( a) b ang definit positif. Misal D() ( p) ( q) {( a) b }{( c) d } maka perlu dibentuk N( ) D( ) A p B q C D E F G ( q) ( a) b ( c) d (5) Contoh 7 Pisahkan Penelesaian: atas pecahan-pecahan parsialna. ( )( ) Dibentuk A B C A( ) ( B C)( ) untuk A untuk 0 0 A C untuk A B C Setelah dicari nilai-nilai A, B, dan C diperoleh A, B, dan C, sehingga Thobirin, Kalkulus Integral 66
Jadi d d d...... Pada bagian ini dijumpai bentuk d a, d a n ) ( n,,..., dan d b a B AX ) ( d. D() mempunai faktor kuadrat ang sama Berdasarkan teorema dalam bagian c di atas maka apabila a bi merupakan akar berlipat k dari persamaan D() 0 maka demikian juga a bi, dan faktor-faktor dari D() ang sesuai dengan akar-akar ini adalah {( a) b } k. Misal D() ( p) ( q) {( a) b }{( c) d } maka perlu dibentuk ) ( ) ( D N } ) {( ) ( ) ( ) ( d c J H d c G F b a E D q C q B p A } ) {( d c L K Contoh 8 Pisahkan ) )( ( 5 atas pecahan-pecahan parsialna. Penelesaian: Dengan cara seperti ang telah diberikan sebelumna didapatkan ) )( ( 5 ) ( Thobirin, Kalkulus Integral 67
5 Jadi d ( )( ) d d ( ) d AX B Pada bagian ini dapat muncul bentuk d, n,,..., dan n {( a) b } N( ) Dalam mencari d D( ) kita dihadapkan kepada empat jenis integral ang berbentuk: () a d () n ( a) d n,,... () AX B ( a) b d AX B (4) n {( a) b } d, n,,... Tiga bentuk ang pertama telah dapat diselesaikan menggunakan teori-teori ang sudah diberikan. Adapun integral bentuk keempat dapat diselesaikan dengan substitusi a sebagai berikut. AX B A aa B d n {( a) b } d n { b } A d( b ) aa B n { b } { b } Integral untuk suku pertama pada ruas terakhir bukan masalah karena berbentuk du n, n,,... Sedangkan integral pada suku keduana dapat diubah menjadi u aa B aa B d d n n { b } n b b aa B b Untuk menghitung integral dt { t } n n dt n { t } dengan t b n d dapat digunakan rumus reduksi berikut Thobirin, Kalkulus Integral 68
dt { t } n t (n )( t ) n n n dt { t } n Dalam tulisan ini tidak diberikan bukti rumus reduksi tersebut. Contoh 9 Selesaikan ( 4 ) Penelesaian: ( 4 ) d d. ( 4) ( 4 ) d 4 d ( 4 ) ( 4 ) d d( 4 ) ( 4 ) {( ) 9} d d( 4 ) ( 4 ) {( ) 9} 4 4 { 9 [( ) / ] } 8 {[( ) / ] } d d d Untuk 8 8 {[( ) / ] } {[( ) / ] } d 7 7 7 d substitusikan t, dt d sehingga { t } dt t. dt (. )( t). t { } dt ( t) t t arctant 7 ( t) { } t Thobirin, Kalkulus Integral 69
Jadi ( 4 ) d 7 arctan.( ) arctan 7 6 ( ) arctan 7 0 54 4 4 8 {[( ) / ] } d arctan 7 0 54 C. LATIHAN. d 4 4. d ( ) ( ) 4. d 5. ( ) ( 4) d. ( ) d 4 6. d ( ) 4.6 Integral Fungsi Trigonometri 4.6. Rumus-rumus Sederhana cos d sin C tan d ln cos C sin d cos C cot d ln sin C sec d tan C sec tan d sec C csc d cot C csc cot d csc C sec d ln sec tan C csc d ln csc cot C 4.6. Bentuk R(sin ) cos d dan R(cos ) sin d Jika R fungsi rasional maka R(sin ) cos d R (sin ) d(sin ) R ( ) d Thobirin, Kalkulus Integral 70
R(cos ) sin d R (cos ) d(cos ) R ( t) dt Dengan mengingat rumus cos sin, maka: R(sin, cos R(cos, sin ) ) cos d R (, ) d sin d R ( t, t ) dt Contoh 0. (cos sin 7) cos d. sin d 4.6. Integral dengan memperhatikan rumus-rumus sin sin ) cos( )} sin cos ) sin( )} cos cos ) cos( )} sin cos } cos cos } Contoh Carilah. sin sin d. sin cos d. cos cos d 4. sin d 4 5. sin d 4.6.4 Substitusi tan Jika R(sin, cos ) fungsi rasional dalam sin dan cos, maka R (sin, cos ) d menggunakan substitusi dapat dibawa menjadi integral fungsi rasional dalam dengan tan. Thobirin, Kalkulus Integral 7
tan arc tan d d Selanjutna perhatikan Memperhatikan gambar di atas dapat dipahami bahwa sin dan cos sin sin(. ) sin cos Jadi sin. Dengan menggunakan rumus cos cos(. ) diperoleh cos tan cot Contoh d Carilah:. sin d. cos d. sin cos 4. csc d Thobirin, Kalkulus Integral 7
4.6.5 Integral R(tan ) Jika integran fungsi rasional dalam tan saja, maka dapat dijadikan integral fungsi rasional dalam dengan substitusi tan, sehingga arc tan dan d d. R( ) (tan ) d d R Jadi Contoh Carilah:. tan d. d tan 4.6.6 Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri Jika n bilangan bulat positif, maka: sin cos n n d ( d ( t ) n ) n d dengan cos dt dengan t sin Untuk n bilangan genap positif dapat digunakan rumus: cos sin tan cot sec csc sin cos n n n n n n d cos d cos sin n n n n d sin d tan n n n n n n d tan d cot n n n n d cot d sin sec n n n n n n d sec d cos csc n n n n d csc d n n Bukti rumus-rumus di atas tidak diberikan dalam tulisan ini. Thobirin, Kalkulus Integral 7
LATIHAN 4.7 Integral Fungsi Irrasional Dalam tulisan ini dibahas beberapa jenis integral fungsi irrasional. Pada dasarna integral ini diselesaikan dengan mengubah integral irrasional menjadi integral rasional, baik rasional aljabar maupun trigonometri. 4.7. Rumus ang perlu dihafal ) d a arcsin C a a ) d arc sec C a a ) d a ln a C 4) d a ln a C 5) a a d a arcsin C a 6) a d a a ln a C 7) a d a a ln a C Dua rumus pertama mudah dibawa ke bentuk rumus integral dasar dengan substitusi. Sedangkan rumus-rumus ang lain dapat dibuktikan dengan a menggunakan metode ang akan diterangkan pada bagian 4.7.4. Thobirin, Kalkulus Integral 74
4.7. Bentuk Irrasional Satu Suku Jika integran hana memuat bentuk irrasional dari satu macam suku, misalna, maka integral dapat dijadikan integral rasional dengan substitusi kelipatan persekutuan terkecil dari pangkat-pangkat akar. n dimana n Contoh 4 d 6 6 diambil substitusi, sehingga dan d 6 5 d 4.7. Satu-satuna Bentuk Irrasional a b c Dalam hal ini a b c sebagai satu-satuna bentuk irrasional di dalam integran, maka integran dapat dijadikan rasional dengan substitusi a b c atau a, jika a > 0 a b c c, jika c 0 Dengan substitusi ang pertama diperoleh ke dalam bentuk rasional dalam kali d. ( c) a b dan d dapat dinatakan Contoh 5 d diambil substitusi ( ) 6 6, sehingga ( ) 6 dan d d. Selanjutna dapat diselesaikan seperti ( ) ( ) integral raasional 4.7.4 Substitusi Trigonometri Dengan memperhatikan rumus trigonometri cos sin dan tan sec bentuk-bentuk irra sional berikut dapat dijadikan bentuk rasional fungsi trigonometri. Thobirin, Kalkulus Integral 75
Bentuk Substitusi Diferensial a a sin θ d a cosθ dθ a a sec θ d a secθ tanθ dθ a a tan θ d a sec θ dθ Contoh 6. Buktikan a a d a arcsin C a. Gunakan substitusi a sin θ untuk menentukan. Carilah d ( ) 6 9 d LATIHAN 4.7. d. d. 4. d ( ) 4 d ( ) 4 8 Thobirin, Kalkulus Integral 76