Aplikasi Limit dalam Kehidupan Sehari-Hari

Transkripsi

1 Aplikasi Limit dalam Kehidupan Sehari-Hari Pernahkah kamu mendengar prinsip ekononomi yang kurang lebih berbunyi, Menggunakan modal/pengorbanan/biaya produksi yang sekecil-kecilnya (minimum) untuk memperoleh keuntungan yang sebesar-besarnya (maksimum)? Prinsip tersebut sering digunakan oleh berbagai perusahaan yaitu dengan menekan biaya produksi menjadi sekecil mungkin (minimum) agar memperoleh keuntungan maksimum. Penentuan biaya produksi minimum dan keuntungan maksimum tersebut dalam matematika merupakan salah satu contoh masalah laju perubahan sesaat nilai fungsi. Biaya produksi minimum dan keuntungan maksimum akan dicapai pada saat laju perubahan biaya produksi sama dengan nol. Masalah sehari-hari yang berkaitan dengan laju perubahan sesaat nilai fungsi dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep limit. Limit juga dapat digunakan untuk mencari garis singgung suatu kurva di suatu titik tertentu. Selain itu, konsep limit dapat digunakan untuk menghitung pendekatan nilai di suatu titik atau masalah-masalah yang tidak mungkin mencapai nilai ideal, tetapi hanya mendekati saja, misalnya kuota internet yang bertuliskan 2 gigabyte. Pada kenyataannya, kuota itu tidak tepat 2 gigabyte, melainkan hanya mendekati 2 gigabyte. Bagaimana penerapan limit lebih lanjut? Mari mengenal penerapan limit dalam kehidupan sehari-hari melalui topik ini. Pemahaman tentang konsep limit fungsi di suatu titik dan kekontinuan fungsi merupakan dasar untuk memahami konsep aplikasi limit dalam kehidupan sehari-hari. Untuk itu, kamu harus sudah menguasai kedua topik tersebut. Yuk, kita mulai dengan mengkaji salah satu penerapan konsep limit yaitu laju perubahan sesaat nilai fungsi. Perhatikan grafik fungsi pada gambar berikut ini. Jika diketahui dua titik, misalnya (x 1, y 1 ) dan (x 2, y 2 ). Laju perubahan rata-rata nilai fungsi didefinisikan sebagai perubahan nilai fungsi y terhadap nilai fungsi x.

2 Perhatikan kembali gambar di atas. Dari gambar dapat diketahui bahwa: x 1 = c x 2 = c + h y 1 = f(c) y 2 = f (c + h) Dengan demikian, laju perubahan rata-rata nilai fungsi tersebut adalah: y x=f(c+h) f(c)c+h c=f(c+h) f(c)h Jika h 0, maka A dan B akan berimpit di x = c. Dengan demikian, diperoleh laju perubahan sesaat nilai fungsi y = f (x) di x = c, yaitu: Secara umum, dapat dituliskan sebagai: Untuk lebih jelasnya, mari cermati contoh-contoh cara perhitungannya berikut ini. Contoh: Diketahui f (x) = 3x + 2 Contoh: Jika diketahui f (x) = 5x 2, maka tentukan laju perubahan fungsi di x = 2.

3 Diketahui f (x) = 5x 2. Laju perubahan fungsi di x = 2, diperoleh dengan mengganti setiap x dengan 2 pada rumus laju perubahan fungsi sebagai berikut. Mari perhatikan contoh aplikasi limit dalam kehidupan sehari-hari khususnya dalam dunia ekonomi berikut ini. Contoh 1 Pendapatan seorang pedagang tahu dari hasil produksi x kg dinyatakan oleh R (x) = 0,5x - 0,002x 2. Laju perubahan sesaat dari pendapatan tersebut untuk x = 100 adalah. Diketahui R (x) = 0,5x - 0,002x 2. Misalkan f (x) = R (x) Laju perubahan saat x = 100 dapat ditentukan sebagai berikut.

4 Jadi, laju perubahan saat x = 100 adalah 0,1. Contoh 2 Sebuah perusahaan distributor laptop memperkirakan keuntungan (dalam jutaan rupiah) untuk penjualan model tertentu adalah C (x) = 5x - 0,004x 2 dengan x adalah banyaknya laptop yang dijual. Berapakah tingkat penjualan perusahaan tersebut agar keuntungan maksimum? Diketahui: C (x) = 5x - 0,004x 2 Besar laju perubahan penjualan terhadap banyaknya laptop (x) adalah:

5 Keuntungan maksimum diperoleh ketika laju perubahan penjualan sama dengan nol yaitu: Jadi, tingkat penjualan agar keuntungan maksimum adalah sebesar 625. Contoh 3 Fungsi C (x) = 5 x - 0,06x 2 + 0,0002x 3 merupakan fungsi biaya produksi barang (dalam $) suatu perusahaan. Jika x adalah banyaknya barang yang diproduksi untuk setiap fungsi biaya yang diberikan, tentukan tingkat produksi (dalam $) agar biaya produksi minimum, kemudian tentukan biaya produksi (dalam $) pada nilai tersebut. Diketahui C (x) = 5 x - 0,06x 2 + 0,0002x 3. Pertama-tama, tentukan laju biaya produksi barang tersebut dengan cara sebagai berikut.

6 Misalkan besar laju perubahan produksi terhadap x dinyatakan menjadi suatu fungsi R (x) maka: R (x) = 5 0,12x + 0,0006x 2. Fungsi R (x) merupakan fungsi kuadrat dalam x dengan a = 0,0006, b = -0,12, dan c = 5. Ingat kembali syarat suatu fungsi kuadrat mencapai nilai minimum. Suatu fungsi kuadrat akan mencapai nilai minimum ketika: Substitusikan x = 100 pada persamaan C (x), maka diperoleh biaya produksi minimum sebesar: Jadi, pada tingkat produksi barang sebanyak 100 satuan akan mencapai biaya produksi minimum yaitu sebesar $100.