PENYELESAIAN PROGRAM LINIER VARIABEL FUZZY TRIANGULAR MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI DAN METODE SIMPLEKS

Transkripsi

1 PENYELESAIAN PROGRAM LINIER VARIABEL FUZZY TRIANGULAR MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI DAN METODE SIMPLEKS Nada Puspitasari 1, Bambag Irawato, S.Si, M.Si 2, Prof. Dr. Widowati, M.Si 3 Program Studi Matematika FSM Uiversitas Dipoegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalag Semarag adaa.adaa@yahoo.co.id, b_irawato@yahoo.co.id ABSTRACT. Fuzzy Variable Liear Programmig (FVLP) with triagular fuzzy variable is part of ot fully fuzzy liear programmig with decisio variables ad the right side is a fuzzy umber. Solvig FVLP with triagular fuzzy variables used Decompositio Methods ad Simplex Methods or Big-M Methods by usig Robust Rakig to obtai crisp values. Decompositio Methods of resolvig cases maximizatio ad miimizatio FVLP by dividig the problems ito three parts CLP. Solvig FVLP with Simplex method for maximizig case ad Big-M Methods to directly solve the miimizatio case FVLP do without cofirmatio first. The optimal solutio fuzzy, crisp optimal solutio, optimal objective fuctio fuzzy ad crisp optimal objective fuctio geerated from Decompositio Methods ad Simplex Methods for maximizig case has same solutio. So as Decompositio Methods ad Big-M Methods for miimizig case has same solutio. Decompositio Methods has a loger process because it divides the problem ito three parts CLP ad Simplex Methods or Big-M Methods has a fewer processes but more complicated because the process without divide the problems ito three parts. Keywords : Not Fully Fuzzy Liear Programmig, Triagular Fuzzy Variables, Triagular Fuzzy Number, Decompositio Methods, Simplex Methods, Big-M Methods, Robust Rakig. I. PENDAHULUAN Permasalaha optimasi dapat diselesaika dega diformulasika mejadi betuk program liier. Peyelesaia dari program liier berupa ilai optimal yag ilaiya pasti. Namu, dalam duia yata jarag terpeuhi ilai yag pasti, maka dari itu ada yag diamaka program liier fuzzy. Program liier fuzzy tidak peuh dapat dibagi mejadi beberapa bagia, salah satuya yaitu koefisie fugsi tujua da koefisie kedala berupa bilaga crisp atau serig disebut Fuzzy Variable Liear Programmig (FVLP). Pada Tugas Akhir ii aka dibahas megeai FVLP dega bilaga triagular megguaka Metode Dekomposisi da Metode Simpleks (utuk kasus maksimasi) atau Metode Big-M (utuk kasus miimasi). Perbedaa Tugas Akhir ii dega jural utama [8], terletak pada cotoh soal, simulasi da peegasa pada solusi optimal. Pada Tugas Akhir ii

2 cotoh soal ditambahka memiimalka, peerapa kasus FVLP pada duia yata (simulasi) da peegasa ilai optimal dega Robust Rakig. Utuk jural utama [4], terletak pada cotoh soal, simulasi, bilaga da peegasa yag dilakuka. Pada Tugas Akhir ii cotoh soal ditambahka memaksimalka o simetris da memiimalka, simulasi, bilaga triagular yag diguaka yaitu (a,b,c) da peegasa RHS dega Robust Rakig Bilaga Triagular Fuzzy II. HASIL DAN PEMBAHASAN Defiisi 2.1. [8] Bilaga fuzzy A adalah bilaga triagular fuzzy jika A = (a, b, c) dimaa a, b da c adalah bilaga real da memiliki fugsi keaggotaa μ à (x) yag diberika oleh μ à (x) = { (x a) (b a), a x b, (c x) (c b), b x c, 0, yag laiya. Defiisi 2.2. [5] Bilaga triagular fuzzy (a, b, c) dikataka bilaga fuzzy oegatif jika a 0. Defiisi 2.3. [5] Dua buah bilaga triagular fuzzy à = (a,b,c) da B = (e, f, g) dikataka sama jika a = e, b = f da c = g. Defiisi 2.4. [9] Dua buah bilaga triagular fuzzy dikataka à = (a,b,c) B = (e, f, g) jika a e, b f da c g. Defiisi 2.5. [9] Dua buah bilaga triagular fuzzy dikataka à = (a,b,c) B = (e, f, g) jika a e, b f da c g.

3 Defiisi 2.6. [5] Diberika dua buah bilaga triagular fuzzy yaitu à = (a, b, c) da B = (e, f, g), dega Ã, B F(R) da a,b,c,d,f,g R. Operasi aritmatika dari dua bilaga triagular fuzzy tersebut didefiisika sebagai berikut : i. à B = (a, b, c) (e, f, g) = (a + e, b + f, c + g) ii. à = ( c, b, a) iii. à B = (a, b, c) (e, f, g) = (a g, b f, c e) iv. k à = k (a, b, c) = (ka, kb, kc) utuk k > 0 k à = k (a, b, c) = ( kc, kb, ka)utuk k < 0 Defiisi 2.7. [8] Misalka à = (a, b, c) dimaa utuk setiap à F(R). Maka i. à adalah bilaga triagular positif jika a, b, c 0 ii. à adalah bilaga triagular simetris jika b a = c b Peegasa Bilaga Triagular Fuzzy Peegasa (defuzzificatio) yag diguaka yaitu Robust Rakig [3] da Potoga-α (α-cuttig) [1]. Defiisi 2.15 [3] Jika à adalah bilaga triagular fuzzy maka Robust Rakig dapat didefiisika sebagai berikut: 1 R(A ) = (0.5)(α l α + α u α ) dα 0 dega (α α l + α α u ) = {(b a)α + a + c (c b)α} adalah perhituga batas atas da batas bawah dari himpua fuzzy Ã, α adalah potoga α level dari himpua fuzzy à dega ilai iterval [0,1], 0.5 adalah ilai tegah dari iterval 1 0 [0,1], adalah iterval dega batas 0 sampai 1. Potoga-α (α-cuttig) dari suatu himpua fuzzy à dilambagka dega à α. Rumus iterval à α dari α [0, 1]. [1] (a (α) α) (b a) = α, (c c α ) (c b) = α diperoleh

4 sehigga a (α) = (b a)α + a, c (α) = (c b)α + c A α = [a (α), c (α) ] = [(b a)α + a, (c b)α + c)] Program Liier dega Variabel Triagular Fuzzy Betuk umum kasus program liier dega variabel triagular fuzzy/fuzzy Variable Liear Programmig (FVLP) adalah sebagai berikut [7]: Memaksimalka (atau memiimalka) z = j=1 c j x j, (2.1) terhadap j=1 a ij x j (,, =)b i, (i = 1,2,, m), (2.2) x j 0, (j = 1,2,, ), (2.3) Lagkah-lagkah dari metode Dekomposisi dalam meyelesaika masalah program liier dega variabel triagular fuzzy yaitu sebagai berikut [8]: Dega metode dekomposisi permasalaha variabel fuzzy diubah mejadi masalah CLP (Crisp Liear Programmig) dega dibagi mejadi 3 bagia yaitu sebagai berikut: a. Memaksimalka (atau memiimalka) z = j=1 c j (x j, y j, t j ), dega z 1 = j=1 c j x j, j = 1,2,,, diamaka Lower Level Problem (LLP) z 2 = j=1 c j y j, j = 1,2,,, diamaka Middle Level Problem (MLP) z 3 = j=1 c j t j, j = 1,2,,, diamaka Upper Level Problem (ULP) dega kedala 0 j=1 a ij x j = b i, x j y j i = 1,2,, m j=1 a ij y j = d i, i = 1,2,, m 0 j=1 a ij t j = e i, t j y j i = 1,2,, m x j, y j, t j 0 j = 1,2,, b. Meetuka solusi optimal x j, y j da t j dega meyelesaika masalah CLP (Crisp Liear Programmig) berdasarka lagkah 3 megguaka Metode Simpleks atau Big-M.

5 c. Meetuka solusi optimal fuzzy dega memasukka ilai dari x j, y j da t j ke dalam x j = (x j, y j, t j ). d. Meetuka ilai fugsi tujua optimal fuzzy dega memasukka ilai x j kedalam j=1. c j x j e. Peegasa (defuzzificatio) ilai optimal fuzzy dega (robust rakig). Lagkah-lagkah Metode Simpleks da Big-M utuk meyelesaika program liier dega variabel triagular fuzzy dega bilaga triagular symmetric da o symmetric fuzzy dirumuska sebagai berikut [4]: a. Memformulasi masalah program liier dega variabel triagular fuzzy dari betuk umum ke dalam betuk stadar dega meambahka variabel slack, surplus atau artifisial o egatif. Betuk stadar kasus maksimasi FVLP: m+ Max z j=1 c j x j 0 k=+1 x k = 0 (2.4) s.t. j=1 a ij x j x k = b i, (i = 1,2,, m) (2.5) x j, x k 0, (j = 1,2,, ),(k = + 1,, m + ) (2.6) Betuk stadar kasus miimasi FVLP: m+ Mi z j=1 c j x j 0 k=+1 x k MR r = 0 (2.7) s.t. j=1 a ij x j x k R r = b i, (i, r = 1,2,, m) (2.8) x j, x k, R r 0, (j = 1,2,, ),(k = + 1,, m + ) (2.9) 1 b. Megguaka Robust Rakig R(A ) = (0.5)(α l α + α u α ) 0 mecari ilai crisp dari ruas kaa. dα utuk c. Selesaika FVLP dega megguaka Metode Simpleks atau Big-M dega megubah semua pertidaksamaa kedala ke persamaa dega meambahka variabel slack da koefisie dari variabel slack berilai ol. Utuk metode Big-M dega meambahka variabel surplus da artifisial sehigga meutut peambaha koefisie pealti pada fugsi tujua, utuk kasus maksimasi mempuyai koefisie -M, utuk kasus miimasi M.

6 d. Solusi dikataka optimal jika ilai dari ilai y 0j = (z j c j ), j = 1,2,,, j B i, i = 1,2,, m. Utuk kasus maksimasi jika y 0j 0 da utuk kasus miimasi jika y 0j 0. e. Defuzzificatio Solusi Optimal Fuzzy Megguaka Robust Rakig. Cotoh 1. Home Idustry Borobudur Furiture di daerah VNI, Bogor memproduksi beberapa jeis furiture diataraya satu lemari, satu set kitche set, da satu meja. Utuk memproduksi kedua produk tersebut dibutuhka 2 jeis baha baku utama berupa multipleks da HPL wara. Setiap satu buah lemari membutuhka 4 lembar multipleks da 2 lembar HPL wara. Setiap satu set kitche set membutuhka 6 lembar multipleks da 5 lembar HPL wara. Setiap satu buah meja membutuhka 2 lembar multipleks da 2 lembar HPL wara. Biaya membeli satu lembar multipleks Rp ,00 da biaya membeli satu lembar HPL wara Rp ,00. Utuk memproduksi kedua produk tersebut dalam sebula dibutuhka biaya membeli multipleks sebesar Rp ,00, sedagka biaya membeli HPL wara sebesar Rp ,00. Harga baha baku multipleks da HPL wara di pasara selalu megalami keaika da peurua. Biaya membeli multipleks dapat turu hampir setegah dari biaya semula, tetapi tidak perah mecapai Rp ,00 da megalami keaika tetapi tidak perah mecapai Rp ,00 per bulaya sedagka biaya membeli HPL wara dapat turu higga setegah dari biaya semula tetapi tidak perah mecapai Rp ,00 da megalami keaika tetapi tidak perah mecapai Rp ,00 per bulaya. Biaya produksi satu buah lemari sebesar Rp ,00 satu set kitche sebesar Rp ,00 da satu set meja Rp ,00. Berdasarka kodisi tersebut, berapa lemari, kitche set, da yag harus diproduksi Home Idustry Borobudur Furiture agar biaya yag dikeluarka dapat semiimum mugki? Memformulasika permasalaha di atas ke dalam model matematika. Permasalaha di atas dapat ditabulasika ke dalam tabel sebagai berikut:

7 Jumlah biaya baha baku utuk ketiga produk tersebut dapat dibetuk ke dalam bilaga triagular fuzzy sebagai berikut: Multipleks : Gambar 2.1 Bilaga Triagular Fuzzy utuk Multipleks Jumlah biaya yag dibutuhka membeli multipleks dalam bilaga triagular fuzzy yaitu (25000,50000,87500) dalam ribua rupiah. HPL Wara : Gambar 2.2 Bilaga Triagular Fuzzy utuk HPL Wara

8 Jumlah biaya yag dibutuhka utuk membeli HPL Wara dalam bilaga triagular fuzzy yaitu (13200,24750,41250) dalam ribua rupiah. Variabel keputusa: x 1 = jumlah lemari yag harus diproduksi x 2 = jumlah set kitche set yag harus diproduksi x 3 = jumlah meja yag harus diproduksi Kasus tersebut dapat diformulasika sebagai berikut: Memiimumka: z = 2000x x x 3 dega kedala 1000x x 2 500x 3 (25000,50000,87500) 330x 1 825x 2 330x 3 (13200,24750,41250) x 1, x 2, x 3 0 Kasus di atas merupaka betuk dari kasus miimasi FVLP. Diperoleh ilai fugsi tujua optimal fuzzy da crisp dari Metode Dekomposisi sama dega Metode Big-M yaitu z = (57500,112500,193750) da z = Dega ilai solusi peyelesaia crisp optimalya adalah (x 1, x 2, x 3 ) = ( ,25.625,0). Jadi, biaya miimum yag dikeluarka oleh home idustry Borobudur Furiture adalah sebesar Rp 119,062,500 dega jumlah yag harus diproduksi sebayak buah lemari da set kitche set. Dilakuka operasi potoga-α tuk medapatka iterval crisp dari ilai optimal fuzzy, sehigga diperoleh :

9 Gambar 2.3 Iterval potoga-α (α cuttig) ketika α = 0.25, α = 0.5 da α = 0.75 da α = 1 Misalka α sebagai tigkat produksi. Ketika α = 0.25 maka biaya miimum yag dikeluarka berada pada sampai yag dalam ribua rupiah sebesar Rp.71,250,000 sampai Rp. 173,437,500, ketika α = 0.5 maka biaya miimum yag dikeluarka berada pada sampai yag dalam ribua rupiah sebesar Rp. 85,000,000 sampai Rp. 153,125,000, ketika α = 0,75 maka biaya miimum yag dikeluarka berada pada sampai yag dalam ribua rupiah sebesar Rp. 98,750,000 sampai Rp. 132,812,500 da ketika α = 1 maka biaya miimum yag dikeluarka berada pada sampai yag dalam ribua rupiah sebesar Rp. 112,500,000 sampai Rp. 112,500,000. III. KESIMPULAN Peyelesaia masalah program liier dega variabel triagular fuzzy dapat diselesaika dega Metode Dekomposisi utuk kasus maksimasi maupu miimasi da membadigka dega Metode Simpleks utuk kasus maksimasi, sedagka Metode Big-M utuk kasus miimasi. Dalam meyelesaika masalah FVLP dega variabel triagular fuzzy megguaka Metode Dekomposisi, pertama-tama diubah mejadi masalah CLP (Crisp Liier Programmig) dega membagi permasalaha mejadi 3 bagia utuk medapatka solusi optimal. Dalam meyelesaika masalah FVLP dega variabel triagular fuzzy megguaka Metode Simpleks da Big-M lagsug diselesaika dari betuk umum ke dalam betuk khusus FVLP dega meambahka variabel slack utuk Metode Simpleks da variabel artifisial maupu surplus utuk Metode Big-M. Tahapa akhir dari ketiga metode dilakuka peegasa dega megguaka Robust Rakig. Solusi variabel fuzzy, crisp, fugsi tujua fuzzy da fugsi tujua crisp meghasilka ilai yag sama megguaka Metode Dekomposisi da Metode Simpleks atau Big-M, aka tetapi proses peyelesaia megguaka Metode Dekomposisi lebih pajag daripada Metode Simpleks atau Big-M. Namu, proses peyelesaia megguaka Metode Simpleks atau Big-M lebih

10 rumit karea tidak lagsug di crisp ka terlebih dahulu da melibatka koefisie pealti M utuk Metode Big-M. IV. DAFTAR PUSTAKA [1] Dutta. P, Boruah. H, da Ali. T Fuzzy Arithmetic with ad without usig α-cut method: A Comparative Study. Iteratioal Joural of Latest Treds i Computig, Vol.2, No.1, pp [2] Hillier. F.S, Lieberma. G.J Itroductio to Operatio Research. New York : McGraw-Hill. [3] Jayarama. P da Jahirhussia. R Fuzzy Optimal Trasportastio Problems by Improved Zero Suffix Method via Robust Rak Techiques. Iteratioal Joural of Fuzzy Mathematics ad Systems, Vol.3, No.4, pp [4] Karpagam. A da Sumathi. P., Dr New Approach to Solve Fuzzy Liier Programmig Problems by the Rakig Fuctio. Bofrig Iteratioal Joural of Data Miig, Vol.4, No. 4, pp [5] Kumar. A, Kaur. J da Sigh. P A New Method for Solvig Fully Fuzzy Liear Programmig Problems. Applied Mathematical Modellig, 35, pp [6] Mahdavi-Amiri. N, Nasseri. S.H, da Yazdai. A Fuzzy Primal Simplex Algorithms for Solvig Fuzzy Liear Programmig Problems. Iraia Joural of Operatio Research. No.2, pp [7] Nasseri. S.H, Ardil. E Simplex Method for Fuzzy Variable Liear Programmig Problems. Iteratioal Joural of Mathematical, Computatioal, Physical, Electrical ad Computer Egieerig, Vol.3, No.10, pp [8] Padia. P, Jayalakshmi. M A New Method for Solvig Iteger Liier Programmig with Fuzzy Variable. Applied Mathematical Scieces, Vol.4, No. 20, pp

11 [9] Padia. P, Jayalakshmi. M A New Method for Fidig a Optimal Fuzzy Solutio For Fully Fuzzy Liier Programmig Problems. Iteratioal Joural of Egieerig Reasearch ad Applicatios, Vol.2 Issue 4, pp [10] Rorres, Howard Ato Chris Peerapa Aljabar Liear. Jakarta: Erlagga. [11] Susilo, Fras Himpua da Logika Kabur. Yogyakarta: Graha Ilmu.