METODE MEHAR UNTUK SOLUSI OPTIMAL FUZZY DAN ANALISA SENSITIVITAS PROGRAM LINIER DENGAN VARIABEL FUZZY BILANGAN TRIANGULAR

Transkripsi

1 METODE MEHAR UNTUK SOLUSI OPTIMAL FUZZY DAN ANALISA SENSITIVITAS PROGRAM LINIER DENGAN VARIABEL FUZZY BILANGAN TRIANGULAR Marlia Ulfa 1, Bambag Irawato 2, Suarsih 3 1,2,3 Program Studi Matematika, Fakultas Sais da Matematika, Uiversitas Dipoegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalag Semarag, marliaulfa31@yahoo.co.id, b_irawato@yahoo.co.id ABSTRACT. Fuzzy liear programmig problems cotaiig closely with ucertaity about the parameters. Chages i the value of the parameters without chagig the optimal solutio or chage the optimal solutio is called sesitivity aalysis. Sesitivity aalysis is a basic for studyig the effect of the chages that occur to the optimal solutio. Liear programmig with fuzzy variable is a form of fuzzy liear program is ot fully because there are objective fuctio coefficiets ad coefficiets of costraits that are crisp umbers. Resolvig the problem of liear programmig with fuzzy variables by usig mehar method will get solutios ad optimal fuzzy value ad solutios ad optimal crisp value. To solve the problem of liear program with fuzzy variable is usig mehar, must be coverted beforehad i the form of crisp liear programmig. This thesis explores mehar method to solve liear programmig problems with fuzzy variables with triagular umber ad a sesitivity aalysis o the optimum solutio FVLP so that whe there is a chage of data of the problem, ew solutio will remai optimal. Keywords: Sesitivity Aalysis, Fuzzy Variable Liear Programmig, Mehar Method, Triagular Fuzzy Number. I. PENDAHULUAN Pemrograma liier adalah suatu cara utuk meetuka ilai optimum (maksimum atau miimum) dari suatu fugsi liier dibawah kedala-kedala tertetu yag diyataka dalam betuk persamaa atau pertidaksamaa liier. Program liier berkaita dega pejelasa suatu kasus dalam duia yata sebagai suatu model matematik yag terdiri dari sebuah fugsi tujua liier dega beberapa kedala liier [3]. Dalam bayak aplikasi, fugsi objektif maupu kedala-kedalaya serigkali tidak dapat diyataka dega formula yag tegas tetapi kabur. Oleh karea itu pemrograma liier (tegas) dikembagka mejadi pemrograma liier fuzzy. Program liier fuzzy serigkali dihadapka pada model matematika yag bergatug dari pegatura sumber pada suatu waktu. Kadag terdapat perubaha atas beberapa

2 parameter yag terkadug dalam model. Perubaha ilai parameter, baik keutuga, biaya, maupu kapasitas sumber daya dapat mempegaruhi perecaaa yag sudah disusu. Dalam megatasi kesulita tersebut, timbullah istilah aalisa sesitivitas yag membahas megeai perubaha ilai parameterparameter model dalam batas tertetu tapa megubah solusi optimal. Amit Kumar da Neha Bhatia telah membahas metode utuk meyelesaika masalah Aalisa Sesitivitas fuzzy dega bilaga trapezoidal fuzzy [2]. Aalisa sesitivitas pada masalah program liier fuzzy tidak peuh dega koefisie fugsi tujua bilaga trapezoidal fuzzy (FNLP) telah dibahas oleh Nofita Aggraii, oleh karea itu dalam tulisa ii, peulis membahas metode mehar utuk meemuka solusi optimal fuzzy da melakuka aalisa sesitivitas pada masalah program liier dega variabel fuzzy bilaga triagular. II. HASIL DAN PEMBAHASAN 2.1. Bilaga Triagular Fuzzy Himpua yag memiliki batasa yag tegas atara objek-objek yag merupaka aggota himpua atau buka merupaka aggota himpua disebut himpua tegas (crisp) [5]. Tetapi dalam keyataaya tidak semua himpua yag kita jumpai dalam kehidupa sehari-hari terdefiisi secara tegas, terdapat suatu permasalaha himpua dega batas yag tidak tegas sehigga mucullah himpua fuzzy [5]. Kosep bilaga fuzzy mucul dari aplikasi teori logika fuzzy dalam betuk bilaga yag tidak tegas. Dalam hal ii bilaga fuzzy yag diguaka adalah bilaga triagular fuzzy [5]. Defiisi [1] Bilaga fuzzy Ã=(a,b,c) dikataka bilaga triagular fuzzy jika memeuhi fugsi keaggotaa sebagai berikut:

3 μ à (x) = { (x a) (b a), a x b (x c) (b c), b x c 0, yag laiya Defiisi [1] Bilaga triagular fuzzy (a,b,c) dikataka bilaga fuzzy oegatif jika a 0. Defiisi [1] Dua buah bilaga triagular fuzzy à = (a,b,c) da B = (e, f, g) dikataka sama jika a = e, b = f da c = g. Defiisi [1] Diberika dua buah bilaga triagular fuzzy yaitu à = (a, b, c) da B = (e, f, g),dega Ã, B F(R) da a,b,c,d,f,g R. Operasi aritmatika dari dua bilaga triagular fuzzy tersebut didefiisika sebagai berikut : (i) à B = (a, b, c) (e, f, g) = (a + e, b + f, c + g) (ii) à = ( c, b, a) (iii) à B = (a, b, c) (e, f, g) = (a g, b f, c e) (iv) a. k à = k (a, b, c) = (ka, kb, kc) utuk k > 0 b. k à = k (a, b, c) = ( kc, kb, ka)utuk k < 0 (v) Misalka à = (a, b, c) merupaka bilaga triagular fuzzy da B = (p, q, r) adalah bilaga triagular fuzzy o-egatif maka: (ap, bq, cr), a 0 à B = { (ar, bq, cr), a < 0, c 0 (ap, bq, ca), c < 0. Defiisi [1] Fugsi perigkat adalah fugsi R F(R) R, dimaa F(R) adalah himpua bilaga fuzzy yag didefiisika pada himpua bilaga real, yag memetaka setiap bilaga fuzzy pada bilaga real. Misalka à = (a, b, c), adalah bilaga triagular fuzzy, maka: R(Ã) = a + 2b + c 4

4 2.2. Program Liier Fuzzy Tidak Peuh Program liier fuzzy disebut program liier fuzzy tidak peuh dikareaka terdapat variabel keputusa, pembatas tada, koefisie fugsi tujua, koefisie kedala, atau ruas kaa kedala yag merupaka bilaga crisp. Salah satu betuk program liier fuzzy tidak peuh yaitu program liier dega variabel fuzzy (FVLP). Secara umum betuk kasus maksimasi program liier dega variabel fuzzy (FVLP) dirumuska sebagai berikut [6]: Memaksimalka z = j=1 c j x j (3.19) terhadap j=1 a ij x j b i, (i = 1,2,, m) (3.20) x j 0, (j = 1,2,, ) (3.21) dega a ij adalah koefisie kedala crisp, b i adalah kostata ruas kaa fuzzy, c j adalah koefisie fugsi tujua crisp, da x j adalah variabel keputusa fuzzy Metode Mehar Lagkah-lagkah metode mehar utuk meyelesaika kasus maksimasi program liier dega variabel triagular fuzzy (FVLP) dirumuska sebagai berikut[2]: 1. Lagkah 1 Substitusika ilai dari x j = (e j, f j, g j ) da b i = (p i, q i, r i ) ke dalam (3.19) (3.21) sehigga diperoleh: Memaksimalka z = j=1 c j (e j, f j, g j ) (3.22) terhadap j=1 a ij (e j, f j, g j ), =, (p i, q i, r i ), i = 1,2,, m (3.23) g j f j 0 (3.24) f j e j 0 (3.25) e j 0, j = 1,2,, (3.26) 2. Lagkah 2 Formulasika masalah program liier dega variabel triagular fuzzy FVLP (3.22) (3.23) ke dalam program liier crisp (CLP). Memaksimalka R(z ) = R ( j=1 c j (e j, f j, g j )) (3.27)

5 Terhadap R ( j=1 a ij (e j, f j, g j )), =, R(p i, q i, r i ), i = 1,2,, m (3.28) g j f j 0 (3.29) f j e j 0 (3.30) e j, f j, g j 0, j = 1,2,, (3.31) 3. Lagkah 3 Meyelesaika masalah CLP (3.27) (3.28) utuk meemuka solusi optimal e j, f j, g j dega megguaka metode simpleks. Dalam metode simpleks diperoleh iterasi akhir tabel simpleks optimal [4]. 4. Lagkah 4 Memasukka ilai e j, f j, g j ke dalam x j = (e j, f j, g j ) utuk meemuka solusi optimal fuzzy. 5. Lagkah 5 Temuka solusi ilai optimal fuzzy dari masalah program liier dega variabel triagular fuzzy (FVLP) dega memasukka ilai dari x j kedalam j=1. c j x j 6. Lagkah 6 Peegasa ilai optimal fuzzy dega fugsi perigkat 2.4. Aalisa Sesitivitas Betuk umum (3.19) juga dapat disajika dalam betuk sebagai berikut: Memaksimalka : z = cx (3.32) dega kedala : Ax (, =) b (3.33) x 0 (3.34) Metode Mehar diguaka utuk pegoptimala apabila terjadi perubaha pada parameter (A, c, b ). Macam-macam perubaha pada parameter-parameter dalam FVLP atara lai:

6 1. Perubaha Pada Koefisie Fugsi Tujua Jika ilai c j berubah mejadi c j pada masalah FVLP (3.32) maka gati R ( j=1 c j (e j, f j, g j )) dega R ( j=1 c j (e j, f j, g j )) pada masalah CLP (3.27) [2]. 2. Perubaha Pada Ruas Kaa Kedala Jika ilai b = (p i, q i, r i ) berubah mejadi b = (p i, q i, r i ) pada masalah FVLP (3.33) maka gati R( p i, q i, r i ) dega R(p i, q i, r i ) pada masalah CLP (3.28) [2]. 3. Peambaha Kedala Baru Misalka kedala variabel fuzzy baru ditambahka pada masalah FVLP (3.32) (3.34) maka gati R ( j=1 a ij (e j, f j, g j )), =, R(p i, q i, r i ) dega R ( j=1 a ij (e j, f j, g j )), =, R(p i, q i, r i ) padamasalah CLP (3.38) [2]. 4. Perubaha Kolom Variabel No Basis Jika ilai pada kolom A berubah mejadi A pada masalah FVLP (3.33) maka gati R ( j=1 a ij (e j, f j, g j )), =, R(p i, q i, r i ) dega R ( j=1 a ij (e j, f j, g j )), =, R(p i, q i, r i ) pada masalah CLP (3.28) [2] Studi Kasus Model program liier dega variabel fuzzy diterapka pada studi kasus home idustry Rizki Batako. Metode mehar diguaka utuk pegoptimala keutuga dari hasil produksi Rizki Batako da melakuka aalisa sesitivitas terhadap solusi optimal. Studi kasus dilakuka dega wawacara da diperoleh hasil sebagai berikut:

7 Home idustry baha bagua berama Rizki Batako di daerah Pudak Payug, Semarag, memproduksi beberapa jeis baha bagua diataraya batako, pavig segi empat, da pavig segi eam. Utuk memproduksi ketiga produk tersebut dibutuhka 2 jeis baha baku utama berupa pasir da seme. Setiap satu buah batako membutuhka 8 kg pasir da 5 os seme. Setiap buah pavig segi empat membutuhka 3 kg pasir da 2 os seme. Setiap satu buah pavig segi eam membutuhka 24 kg pasir da 3 os seme. Karea keterbatasa 5 gudag utuk meyimpa baha baku da daa produksi yag ada maka baha baku yag disediaka tiap sepuluh hari adalah sebayak kg pasir da 20 sak seme atau 1000 kg seme. Namu, ketika musim libur sekolah baha bagua yag semula utuk lima hari bisa habis diguaka utuk produksi satu hari karea bayakya permitaa. Dalam pembelia baha baku, megguaka jasa truk utuk megagkut pasir da seme. Namu, truk yag diguaka tidak selalu sama kapasitas agkutya sehigga memugkika adaya peguraga atau peambaha dalam satu kali pembelia baha baku. Peguraga baha baku utuk pasir tidak perah mecapai 9600 kg pasir dalam satu kali pembelia sedagka peguraga utuk seme tidak perah mecapai 750 kg dalam satu kali pembelia. Peambaha baha baku pasir tidak perah mecapai kg dalam satu kali pembelia sedagka baha baku seme tidak perah mecapai 1100 kg. Diketahui keutuga yag dihasilka dari produksi ketiga jeis produk tersebut masig-masig adalah sebesar Rp 3.425,00/satu buah batako, Rp 2.800,00/m pavig segi empat, da Rp 6.350,00/m pavig segi eam. Utuk setiap satu meter persegi pavig segi empat terdiri dari 50 buah da setiap satu meter persegi pavig segi eam terdiri dari 28 buah. Berdasarka kodisi tersebut, berapakah keutuga maksimum yag bisa diperoleh oleh Home idustry baha bagua Rizki Batako. Kemudia perubaha kodisi mejelag libur sekolah apakah mempegaruhi keutuga maksimum yag didapat oleh Home idustry baha bagua Rizki Batako?

8 Jumlah baha baku utuk ketiga produk tersebut dapat dibetuk ke dalam bilaga triagular fuzzy sebagai berikut: Jumlah baha baku seme yag dibutuhka dalam bilaga triagular fuzzy yaitu (7500,10000,11000) atau dapat ditulis mejadi (75,100,110) dalam ratusa os. Jumlah baha baku pasir yag dibutuhka dalam bilaga triagular fuzzy yaitu (9600,12800,16000) atau dapat ditulis mejadi (96,128,160) dalam ratusa kg. Variabel keputusa: x 1 = jumlah batako yag harus diproduksi x 2 = jumlah pavig segi empat yag harus diproduksi x 3 = jumlah pavig segi eam yag harus diproduksi Kasus tersebut dapat diformulasika sebagai berikut: Memaksimalka: z = 3425x x x 3 dega kedala 5x 1 + 2x 2 + 3x 3 (75,100,110) 8x 1 + 3x x 3 (96,128,160) x 1, x 2, x 3 0 Kasus di atas merupaka betuk dari kasus memaksimalka FVLP.

9 Solusi dari kasus maksimasi FVLP dicari megguaka metode mehar Diperoleh ilai fugsi tujua fuzzy da crisp optimal yaitu z = (0, , ) da z = Dega ilai solusi 9 3 peyelesaia fuzzy optimalya adalah x 1 = (0, 0,0), x 2 = (0, 0,0), x 3 = (0, 320, ) (0, , ). Jadi, keutuga maksimum yag bisa didapat oleh home idustry makaa Laba-laba dalam memproduksi jeag da mio adalah sebesar Rp ,00 dega jumlah pavig segi eam yag harus diproduksi sebayak 35 m 2 atau 1750 buah pavig. Ketika terjadi perubaha pada ruas kaaya atau kapasitas sumber daya, dega metode mehar maka diperoleh kodisi yag ada masih optimal dega keutuga sebesar Rp ,00 da jumlah pavig segi eam yag harus diproduksi sebayak 2102 m 2 atau buah pavig. Misalka pemilik home idustry igi melakuka perubaha terhadap ilai keutuga dari pavig segi eam, maka dega metode mehar perubaha diijika sejauh c 3 = θ dega θ -1870, maka kodisi masih tetap aka optimal III. KESIMPULAN Metode Mehar dapat diguaka utuk meyelesaika masalah program liier dega variabel fuzzy bilaga triagular. Permasalaha program liier fuzzy dega variabel fuzzy tidak haya dapat dicari solusi optimalya tapi juga dapat dicari sejauh maa perubaha (θ) diijika terhadap model yag sudah ada sehigga solusi yag diperoleh setelah perubaha tetap dalam keadaa optimal. Aalisa sesitivitas dilakuka pada program liier dega variabel fuzzy dega melakuka peegasa berdasarka metode mehar terlebih dahulu terhadap model yag telah megalami perubaha. Nilai θ diperoleh dega batua tabel simpleks optimal dari permasalaha awal serta megguaka tekik aalisa sesitivivtas metode simpleks sehigga diperoleh selag perubaha (θ) yag diijika dega demikia solusi baru aka tetap optimal.

10 IV. DAFTAR PUSTAKA [1] Amit Kumar, Jagdeep Kaur da Pushpider Sigh Fuzzy Optimal Solutio of Fully Fuzzy Liear Problems with Iequality Costraits. Iteratioal Joural of Applied Mathematics ad Computer Scieces, Vol. 6, No.1, pp [2] Amit, K, Neha, B A New Method for Solvig Fuzzy Sesitivity Aalysis Problems. Iteratioal Joural of Applied Sciece ad Egieerig, Vol. 9, No.2, pp [3] Hillier, F.S, Lieberma, G.J Itroductio to Operatio Research. New York : McGraw-Hill. [5] Nezam Mahdavi-Amiri, Seyed Hadi Nasseri, Alahbakhsh Yazdai Fuzzy Primal Simplex Algorithms for Solvig Fuzzy Liear Programmig Problems, Iraia Joural of Operatio Research. Vol.1, No.2, pp [8] Susilo, Fras Himpua da Logika Kabur. Yogyakarta: Graha Ilmu.