PRAKATA. Cirebon, Oktober Penyusu

Transkripsi

1 PRAKATA Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa, karena atas berkat, rahmat,dan karunia Nya, penyusun buku Matematika untuk SMA dan MA kelas XI dapat di selesaikan. Buku ini di susun sebagai salah satu bahan ajar dalam pelaksanaan kegiatan belajar mengajar mata pelajaran Matematika di sekolah. Dalam buku ini disajikan materi pembelajaran matemaikasecara sederhana, efektf, dan mudah dimengerti yang disertai contoh dalam kehidupan. Simbol, dan grafik di sajikan materi untuk memprmudah kamu dalam memahami materi yang sedang dipelajari. Buku ini juga dilengkapi contoh soal dan tugas-tugas disetiap subbab dan akhir bab. Akhirnya kami menyadari bahwa buku ini tidak sempurna. Segala kritik dan saran membangaun untuk menyempurnakan buku ini sangat kami nantikan. Kepada semua pihak yang membantu terselesainya buku ini, kami ucapkan terima kasih. Semoga buku ini bermanfaat bagi semua pihak. Selamat belajar daan semoga sukses! Cirebon, Oktober 2014 Penyusu i

2 Daftar isi Prakata i Daftar Isi ii Motivasi iii Tujuan pembelajaran.. iv A. BILANGAN BULAT Bilangan Bulat... 1 a. Notasi bilangan bulat dan posisinya pada garis bilangan 1 b. Hubungan antara dua bilangan bulat. 2 c. Bidang koordinat Cartesius Operasi Hitung pada Bilangan Bulat a. Penjumlahan dan sifat-sifatnya.. 4 b. Pengurangan dan sifat-sifatnya. 8 c. Perkalian dan sifat-sifatnya. 10 d. Pembagian dan sifat-sifatnya Pangkat a. Pangkat 13 Aplikasi dalam kehidupan sehari-hari 14 Soal Latihan 15 Daftar Pustaka 16 Biodata Kelompok 17 Deskripsi Kerja 18

3 ii Kata motivasi Ilmu pengetahuan bisa didapat di mana saja. Di manapun bisa kau peroleh, maka raihlah itu. belajar seharusnya menjadikan diri kita lebih dekat dengan Allah SWT bukan sebaliknya

4 Tujuan pembelajaran Sesuai dengan tujuan dan pembelajaran Matematika, kamu diharapkan dapat memenuhi konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antarkonsep dan mengaplikasikannya untuk memecahkan masalah. Kamu juga diharapkan mampu menggunakan penalaran, mengomunikasikan gagasan dengan berbagai prangkat matematika, serta memiliki sikap menghargai matematika dalam kehidupan. iv

5 Bab 1.1 Bilangan Bulat Bilangan bulat merupakan kumpulan bilangan negatif, nol dan bilangan positif. Bilangan bulat di tulis :..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,... Agar lebih jelasnya, mari kita perhatikan uraian tentang bilangan bulat berikut ini. A. Notasi Bilangan Bulat dan Posisinya pada Garis Bilangan Salah satu contoh alat yang menggunakan bilangan bulat pada skala ukurannya adalah termometer. Jika indikator air raksa menunjuk ke angka 30 0 C di atas nol. Jika 6 0 C berarti 6 0 di atas nol. Bilangan-bilangan di atas nol disebut bilangan positif atau bilangan asli. Dalam skala Termometer Celcius. Titik didih air adalah C dan titik beku air adalah 0 0 C. Titik nol merupakan dasar atau acuan unutk menentukan didih air dan titik beku air atau titik beku air. Suhu 5 0 C di bawah nol di tulis 5 0 C dan suhu 10 0 di baca suhu 10 0 di bawah nol. Bilangan-bilangan di bawah nol di sebut bilangan negatif atau bilangan bulat negatif. Pada garis bilangan vertikal (tegak), berlaku aturan berikut : 1 (i) Posisi di atas nol menunjukan bilangan positif (+) (ii) Posisis di bawah nol menunjukan bilangan negatif ( ) 1

6 B. Hubungan Antara Dua Bilangan Bulat Antara dua bilangan bulat dapat kita bandingkan mana yang lebih besar, sama, atau lebih kecil. Simbol-simbol untuk menyatakan semua itu dapat di lihat di bawah ini. (i) (ii) (iii) (iv) α lebih dari b di tulis α > b kurang dari b di tulis α < b α kurang dari atau sama dengan b di tulis α b α lebih dari atau sama dengan b di tulis α b Bagaimana Cara menggunakan garis bilangan untuk membandingkan dua bilangan bulat? Semakin ke kanan, semakin besar Semakin ke kiri, semakin kecil Garis bilangan menunjukan : 5 < 3 1 < 2 0 > 4 2 > 5 (kurang dari) (lebih dari) Pada garis bilangan di atas terlihat pula bahwa : (i) (ii) 1 terletak di sebelah kanan 2 dan terletak di sebelah kiri 0, maka 1 terletak di antara 2 dan 0, di tulis : 2 < 1 < 0 2 terletak di sebelah kiri 5dan sebelah kanan 1, maka 2 terletak antara 1 dan 5, di tulis : 1 < 2 < 5 2

7 C. Bidang Koordinat Cartesius Bidang koordinat Cartesius terbentuk dari dua buah garis bilangan yang berpotongan tegak lurus di titik (0,0). Garis bilangan pertama merupakan garis bilangan horizontal (mendatar) dan dinamakan sumbu X. Garis bilangan kedua merupakan garis bilangan vertikal (tegak) dan dinamakan sumbu Y. Titik (0,0) yang merupakan titik potong kedua garis itu di sebut titik pangkal (origin) dan merupakan acuan untuk menentukan pasangan titik yang lain, misalnya A (x,y) X Pada di sebut absis titik A dan Y Pada A disebut ordinat titik A, sedangkan (x,y) disebut koordinat titik A Bagaimana Menentukan letak titik koordinat? Lukiskan pasangan titik (4, 3) Langkah 1 : Mulai dari pangkal (0,0) ke arah kanan 4 satuan (4). Langkah 2 : Dari angka 4 tadi turun 3 satuan ( 3) Lukiskan pasangan titik ( 5,2) Langkah 1 : Mulai dari pangkal (0,0) ke arah kiri 5 satuan ( 5) Langkah 2 : Dari angka ( 5) tadi naik 2 satuan (2) Titik (4, 3) terletak di kuadran IV dan titik ( 5,2) terletak di kuadran II. Dapatkah kamu memberikan ketentuan agar kuadran dari suatu titik cepat di ketahui? Tabel di bawah adalah pedoman untuk menentukan letak titik (x,y) pada masing-masing kuadran. Kuadran X Y I + - II + - III + - IV + - 3

8 Bab 1.2 Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat Operasi hitung pada bilangan bulat meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan perpangkatan. A. Penjumlahan dan Sifat-sifatnya Bagaimana 1. Metode Penjumlahan Penjumlahan pada himpunan bilanhan bulay dapat dilakukan dengan beberapa alat peraga,yaitu dengan mistar sederhana, bola bermuatan, dan garis bilangan. a. Penjumlahan bilangan bulat dengan garis bilangan Penjumlahan bilangan bulat dapat pula di lakukan dengan alat peraga garis bilangan. Aturan yang harus dipenuhi dalam penjumlahan dengan garis bilangan adalah sebagai berikut. Bilangan bulat positif sebagai pergeseranke kanan Bilangan bulat negatif sebagai pergeseran ke kiri Menjumlahkan bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan? i =? 6 (Bilangan ke 2) 5 ( Bilangan pertama) ( Hasil penjumlahan ) 5 6 = 11 Melangkah 5 satuan ke kanan mulai dari angka nol, kemudian 6 satuan ke kanan. b. Penjumlahan bilangan bulat tanpa alat bantu 4

9 Dalam melakukan penjumlahan bilangan bulat dengan alat bantu secara berulang-ulang,kita akan memperoleh pola tertentu yang dapat dijadikan pedoman untuk menjumlahkan dua bilangan bulat tanpa alat bantu. Jika a dan b merupakan bilangan cacah ( bilangan yang terdiri dari bilangan nol dan bilangan bulat positif) maka penjumlahan yang melibatkan bilangan-bilangan bulat a,b, α dan b mempunyai sifat sebagai berikut = = 16 (i.) (ii.) (iii.) (iv.) α + b = b + α α + b = (α + b) α + b = b + α = (b α) Dengan α = b (α + b = ( b) + α = α b = = = (8 + 2) = = (6 + 10) = = (8 6) = = (10 4) = 6 Dengan α > b = ( 2) + 8 = 8 2 = = ( 3) + 10 = 10 3 = 7 2. Invers jumlah atau lawan suatu bilangan Bilangan-bilangan pada garis bilangan untuk bilangan bulat dapat di atur berpasangan sehingga simetris dengan nol. Simetris di sini berarti untuk setiap pasangan bilangan, kedua titik yang mewakili bilangan itu terletak pada jarak yang sama dari titik nol, tetapi berlawanan arah. Kelompok Negatif Kelompok Positif

10 Berdasarkan Gambar di atas, terlihat bahwa pasangan bilanagan itu terdiri dari bilanagan positif dan negatif yang saling berlaanan arah. Misalkan pasanagan bilangan bulat 2 dan -2 yang mempuyai jarak yang sama dan saling berlawanan arah dari titik nol. Hal ini berarti bilangan 2 mempunyai lawan bilangan (-2) dan sebaliknya lawan bilangan (-2) adalah bilanagan adalah lawan dari 5 atauinvers jumlah dari -5 adalah 5. Secara umum dapat di tuliskan : Lawan (invers jumlah) dari bilangan a adalah ( α) Lawan (invers jumlah) dari bilangan ( α) adalah a Jika kita ingin melakukan operasi penjumlahan pada pasangan bilangan bulat di atas maka kita akan memperoleh : = ( 2) = ( 7) = ( 5) = 0 Ternyata penjumlahan sembarang bilangan bulat dengan lawannya selalu menghasilkan bilangan nol, sehingga dapat di simpulkan bahwa : Lawan dari bilangan bulat a adalah ( α), dan berlaku α + α = ( α) + α = 0 3. Sifat Sifat penjumlahan pada bilangan bulat a. Sifat tertutup Perhatikan contoh contoh berikut ini : (3) = 5 8 Bilangan bulat, 3 bilangan bulat, dan ternyata = 5 juga bilangan bulat = 4 3 bilangan bulat, 7 bilangan bulat, dan ternyata = 4 juga bilangan bulat. Berdasarkan contoh contoh di atas dapat di simpulkan : Sembarang bilangan bulat jika dijumlahkan menghasilkan bilangan bulat juga. Dalam hal ini penjumlahan bilangan bulat dikatakan memenuhi sifat tertutup. 6

11 b. Sifat komutatif Perhatikan contoh-contoh berikut ini = 1 ternyata, = = = 14 ternyata, = 6 + ( 8) 6 + ( 8) = 14 Berdasarkan contoh-contoh di atas dapat di simpulkan : Untuk sembarang bilangan bulat dan b selalu berlaku : α + b = b + a. Sifat ini di sebut sifat komutatif penjumlahan c. Sifat asosiatif Perhatikan contoh-contoh berikut ini : = 11 ( 3 + 6) = = 11 = = = = = = 3 = 6 + ( 3+ 12) = 3 Berdasarkan contoh-contoh di atas dapat disimpulkan : Untuk sembarang bilangan bulat a, b dan c selalu berlaku : α + b + c = α + (b + c) Sifat ini di sebut sifat asosoiatif penjumlahan d. Sifat penjumlahan bilangan nol Perhatikan contoh-contoh berikut ini : = 10 Ternyata penjumlahan bilangan bulat 2. ( 7) + 0 = 7 dengan nol menghasilkan bilagan itu sendiri Berdasarkan contoh-contoh di atas dapat disimpulkan : Untuk sembarang bilangan bulat a selalu berlaku : α + 0 = a 0 + α = a = 0 0 disebut unsur identitas pada operasi penjumlahan. 7

12 B. Pengurangan dan Sifat-sifatnya Pada pembahasan sebelumnya telah di jelaskan bahwa operasi pengurangan merupakan kebalikan atau lawan dari operasi penjumlahan. Hal ini berarti : α b = α + b 1. Metode Pengurangan Seperti halnya operasi penjumlahan pada bilangan bulat, operasi pengurangan pada bilangan bulat dapat juga dilakukan dengan garis bilangan. Bagaimana Mengurangkan bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan? i. 2 6 =? 2 Bilangan Kedua = 4 Hasil Pengurangan Bilangan Pertama Geser ke kanan 2 satuan mulai dari angka nol, kemudian 6 satuan ke kiri mulai dari ujung pergeseran tadi. 2. Sifat tertutup Perhatikan operasi pengurangan pada bilangan bulat di bawah ini a = 5 7 bilangan bulat, 12 bilangan bulat, dan ternyata 7 12 = 5 juga bilangan bulat. b = 17 5 bilangan bulat 12 bilangan bulat, dan ternyata 5 12 = 17 juga bilangan bulat. 8

13 Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan: Pengurangan bilangan bulat selalu menghasilkan bilangan bulat, berarti operasi pengurangan pada bilangan bulat selalu tertutup. α b b α Sifat komutatif tidak berlaku α b c α (b c) Sifat asosiatif tidak berlaku Sifat pengurangan bilangan 0. α 0 = α 0 α = α 0 0 = 0 C. Perkalian dan Sifat-sifatnya 1. Arti Perkalian 2 6 = = 12 (artinya angka 6 ada 2 buah) 3 7 = = 21 (artinya angka 7 ada 3 buah) Dengan pola ini kita dapat menerapkannya pada perkalian bilangan bulat. Misalnya untuk menjelaskan : 4 3 =...? kita dapat menerapkan pola di atas. 4 3 = ( 3) = 12 Bagaimana dengan perkalian kita dapat mengingat bahwa perkalian antara dua bilangan negatif menghasilkan bilangan positif, sehingga hasil 4 ( 3) = 12 Berdasarkan contoh di atas kita dapat menuliskan tanda hasil perkalian antar bilangan sebagai berikut. 1. Perkalian dua bilangan bulat dengan tanda sama adalah bilangan bulat positif. 2. Perkalian dua bilangan bulat dengan tanda berbeda adalah bilangan bulat negatif. 3. Perkalian sembarang bilangan bulat dengan nol adalah nol. 9

14 2. Sifat-sifat perkalian a. Sifat tertutup Bilangan cacah jika dikalikan dengan bilangan cacah hasilnya merupakan bilangan cacah juga. Hal ini dapat di simpulkan sebagai berikut Jika a dan b adalah sembarang bilangan cacah maka α b juga bilangan cacah. Hal ini berarti perkalian antara bilangan cacah memenuhi sifat tertutup. b. Sifat perkalian dengan bilangan nol 0 0 = = = 0 Terlihat bahwa sembarang bilangan cacah dikalikan dengan nol menghasilkan nol. Jika a adalah sembarang bilangan cacah maka berlaku 1 0 = 0 0 α = = 0 c. Sifat perkalian dengan bilangan satu 1 1 = = = 3 Terlihat bahwa sembarang bilangan cacah dikalikan dengan satu akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Jika a adalah sembarang bilangan cacah maka berlaku 1 α = α 1 = α 1 (satu) di sebut unsur identitas pada perkalian 10

15 d. Sifat komutatif 2 1 = = = 1 2 = = = = 2 3 = = = = 3 4 = 12 Terlihat bahwa hasil kali dua bilangan cacah selalu sama walaupun kedua bilangan tersebut saling di pertukarkan. Jika a dan b adalah sembarang bilangan cacah maka selalu berlaku α b = b α Sifat ini di sebut sifat komuttif (pertukaran) pada perkalian. e. Sifat asosiatif Dalam operasi perkalian, sering di jumpai perkalian yang beruntun, misalnya untuk menyelesaikan persoalan ini, kita dapat menggunakan pengelompokan bilangan agar perhitungan menjadi lebih mudah. Harus di ingat bahwa pengelompokan bilangan dapat juga mengakibatkan perhitungan menjadi lebih sulit. Pengelompokan pertama 29 (50 2) = = 2900 (perhitungan mudah) Pengelompokan kedua (29 50) 2 = = 2900 (perhitungan agak sulit) Berdasarkan kedua pengelompokan di atas di peroleh: = (29 50) 2 = 2900 Jika a,b, dan c adalah sembarang bilangan cacah maka berlaku α b c = α (b c) Sifat ini di sebut sifat asosiatif (pengelompokan perkalian) f. Sifat distributif = = = 4 25 = = 4 (9 + 16) =

16 Berdasarkan contoh tersebut di peroleh : Untuk sembarang bilangan cacah a, b, dan c, selalu berlaku: a b + c = a b + (a c) (Distributif kiri) a + b c = a c + b c (Distributif kanan) Sifat ini di sebut sifat distributif (penyebaran) perkalian terhadap penjumlahan. D. Pembagian dan Sifat-sifatnya 1. Arti pembagian Berapakan nilai a? Untuk menentukan nilai a dapat di lakukan dalam : 3 α = 27, Sama artinya dengan 27 di bagi berapa sama dengan 3? Atau 27 di bagi 3 sama dengan berapa? Jawabannya 9 Cara ini disebut cara pembagian. Hal di atas menunjukan bahwa pembagian merupakan kebalikan dari perkalian. 3 a = 27 a = 27 3 = 9 Untuk sembarang bilangan asli a, b,dan c, selalu berlaku: 2. Pembagian a dengan b = c nol a = b c 12 0 =...? Operasi di atas di sebut pembagian sebagai operasi kebalikan (invers) dari perkalian =...? Jawab : 12 0 = p 12 = 0 p 12

17 Hal ini berarti p tidak dapat diganti dengan bilangan apapun. Jadi 12 0 = tidak terdefinisi (tidak ada) = p 0 = 12 p 0 = 12 0 (hanya p = 0 yang memenuhi) 0 = 0 (pernyataan benar) Untuk sembarang bilangan Hal ini berarti cacah 0 a, 12 selalu = 0 berlaku: 0 1 = 0 0 a = 0 syarat : a 0 a 0 = tidk di definisikan 0 0 = sembarang Bab 1.3 Pangkat Contoh : ( 10) 2 = ( 10) ( 10) = 100 (3 2 ) 3 = = = = = = = (2 3) 5 Berdasarkan contoh di atas, Sifat-sifat Perpangkatan (a b) c = a c b c (a b ) c = a bc a b a c = a b+c a b a c = a b c b > 0 a c b c = (a b) c 13

18 Aplikasi dalam Kehidupan seharihari 1.Plat Motor 2. Nomor Telephone 3. Nomor rekening bank 4. Nomor induk siswa 5. Nomor urut Semua memakai bilangan bulat dan tidak ada yang memakai bilangan pecahan Sebenarnya masih banyak lagi bilangan buat dalam kehidupan sehari-hari,kalian perhatikan saja ya 14

19 LATIHAN 1. Nilai dari adalah Hasil dari operasi adalah Himpunan penyelesaian dari 2 x 5 = 7 adalah Diketahui 4 x + 2 = x 4, maka nilai x adalah Diketahui 3 x + 2 = x 4, maka nilai x adalah Jika x = 2 maka 7 x x 2 sama dengan Diberikan x = 2, maka nilai dari 2 x 3 adalah Jika di ketahui: P Q = P Q, maka = Diberitahukan: a b berarti kuadratkan bilangan pertama dan jumlahkan dengan dua kali bilangan kedua, maka 3 4 = Sebuah bilangan buat terdiri atas dua angkat. Bilangan tersebuat sama dengan 4 kali jumlah kedua angka itu. Angka kedua dikurangi angka pertama sama dengan 2. Bilangan itu adalah... 15

20 Daftar pustaka 1. Simangunsong Wilson : 2006, Matematika untuk SMA kelas XI, Jakarta : Erlangga 2. TEAM YAYASAN PENDIDIKAN HASTER : 2000, Mathematika untuk smu, Bandung : Pionir Jaya 16

21 BIODATA KELOMPOK 1. Nama Lengkap : Dede Rukmana Nama : Dede NPM : Ttl : Kuningan, 04 Juni 1996 Alamat : Ds.Silebu Rt 02 / Rw 01 No.2 Kec.Pancalang Kab.Kuningan Umur : 18 tahun Hoby : Sepak Bola,Futsal & Pencaksilat Kata MotivasI : "Dengan IMAN dan AKHLAK saya menjadi kuat tanpa IMAN dan AKHLAK saya menjadi lemah" Cita-Cita : Wirausaha yang sukses No. Hp : E_mail : Dederukmana650@gmail.com Himura_kirito@yahoo.co.id 2. Nama Lengkap : Nopita Nama : Mphye NPM : TTL : Cirebon,17 Mei 1994 Alamat : Ds. Babadan Kidul RT 03 / 04 No. 09Kec.Gunung jati Kab.Cirebon Umur : 20 Tahun Hoby : Masak & Nyanyi Kata Motivasi : "Jauh di MATA dekat di HATI" Cita-Cita : Jadi POLWAN & jadi Seorang GURU yang teladan No.Hp : E_mail : mphyeeikyuuni@rocketmail.com 3. Nama Lengkap : Syifa Fauziah Nama : Syifa NPM : TTL : Cirebon, 29 juli 1995 Alamat : Ds. Kalisari RT 14 /RW 04 Kec Losari Kab.Cirebon Umur : 19 tahun Hoby : Membaca Kata Motivasi : "Ubahlah prinsip TIME IS MONEY menjadi TIME IS PAHALA" No.Hp : E_mail : syifakhumaeroh@yahoo.co.id TERIMA KASIH 17

22 Deskripsi kerja Deskripsi kerja kelompok kami di bagi menjadi 3 tugas, orang pertama mengerjakan materi buku, pengeditan buku ajar buklet, dan ngeprint. Orang kedua mengerjakan tugas pengetikan, pengetikan pemberi saran, biodata,dan daftar isi booklet.orang ketiga mengerjakan prakata, cover, motivasi, tujuan pembelajaran, dan deskripsi kerja. Sedangkan bulletin dikerjakan bersama-sama selama 2 minggu ini. 18