BILANGAN. Kita bisa menggunakan garis bilangan di bawah ini untuk memaknai penjumlahan 3 ditambah 4.

Transkripsi

1 BILANGAN A. BILANGAN BULAT Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari himpunan bilangan positif (bilangan asli), bilangan nol, dan bilangan bulat negatif. Himpunan bilangan bulat dapat dilihat pada gambar berikut: Anggota himpunan bilangan bulat negatif adalah -1, -2, -3, -4, -5,... Anggota himpunan bilangan bulat positif atau bilangan asli adalah 1, 2, 3,4, 5,.. Anggota himpunan bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5,... Setiap anggota himpunan bilangan bulat positif mempunyai lawan di himpunan bilangan bulat negatif. Lawan yang di maksud tersebut adalah dua bilangan yang jarak terhadap nol adalah sama. Jumlah dari setiap pasangan bilangan yang berlawanan tersebut adalah nol. Bilangan-bilangan yang saling berlawanan tersebut antara lain : 1 dengan -1, 2, dengan -2, 3 dengan -3, dan seterusnya. 1. Operasi bilangan bulat a. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat Mia mempunya 3 boneka di rumahnya. Saat ulang tahun, Mia mendapatkan hadiah dari teman-temannya 4 boneka lagi. Berapakah boneka yang dimiliki Mia sekarang? Secara matematis soal tersebut dapat dinyatakan dengan =... Kita bisa menggunakan garis bilangan di bawah ini untuk memaknai penjumlahan 3 ditambah 4.

2 Karena Mia memiliki 3 boneka, maka dari titik asal (0) bergerak 3 satuan ke kanan. Kemudian, karena mendapatkan 4 boneka lagi, berarti terus bergerak ke kanan 4 satuan. Sehingga hasil akhirnya adalah 7 Jadi, boneka yang dimiliki Mia sekarang adalah 7 boneka. Selisih antara dua bilangan bulat sama dengan jarak kedua bilangan tersebut pada garis bilangan. Misalnya : (1) selisih antara 1 dengan 4 adalah 3 satuan, (2) selisih antara -2 dengan 3 adalah 5 satuan. Perhatikan ilustrasi berikut. Selisih dari dua bilangan bulat adalah positif. Dari Gambar 1.6 kita bisa melihat bahwa selisih dari dua bilangan bulat (berbeda) a dan b, dengan a <b, adalah b a. Di sekolah dasar, kalian sudah mengenal operasi sederhana beberapa bilangan bulat. Berikut diurakan kembali yang sudah kalian pelajari di sekolah dasar dulu, diperdalam dengan pemahaman terhadap berbagai kondisi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat. Contoh: 1) Nia mempunyai 6 pasang sepatu di rumahnya. Nia memberikan 2 pasang sepatu kepada sepupunya. Berapakah pasang sepatu yang dimiliki Nia sekarang? Penyelesaian: Secara matematis soal tersebut dapat dinyatakan dengan 6 2 =... Dalam garis bilangan dapat dituliskan sebagai berikut.

3 Awalnya Nia memiliki 6 pasang sepatu, maka bergerak dari titik nol ke kanan 6 satuan. Karena dikurang 2, berarti panah berbalik arah ke kiri 2 satuan. Sehingga hasil akhirnya adalah 4. 2) Seorang penyelam amatir mula-mula berlatih menyelam di kedalaman 2 meter di bawah permukaan laut. Setelah merasa lancar menyelam di kedalaman 2 meter, kemudian ia turun lagi hingga kedalaman 5 meter di bawah permukaan laut. Berapakah selisih kedalaman pada dua kondisi tersebut? Penyelesaian: 5 mewakili posisi 5 meter di bawah permukaan laut. Sedangkan 2 mewakili posisi 2 meter di bawah air laut. Bilangan 2 lebih besar dari pada 5 (mengapa?) Bentuk soal tersebut bisa kita tulis ( 2) ( 5) =... Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi berikut. Diperoleh ( 2) ( 5) = 3. Jadi selisih kedalaman penyelam pada dua kondisi tersebut adalah 3 meter. Hasil dari 2 ( 5) sama dengan hasil dari yaitu 3. Secara umum, jika a sebarang bilangan bulat, dan b sebarang bilangan bulat positif, maka a ( b) = a + b. 3) Tentukan hasil dari Didapatkan = 175 Untuk mengoperasikan (menjumlahkan atau mengurangkan) bilangan-bilangan yang terdiri dari banyak angka tentunya tidak efektif jika selalu menggunakan garis bilangan. Pada Contoh 1.5,

4 hasil dari sama dengan lawan (negatif) dari Perhatikan ilustrasi berikut. Berikut ini lawan (negatif) dari Dapat dilihat bahwa lawan (negatif) dari adalah 175. Jadi hasil dari = 175 Untuk selanjutnya untuk menjumlahkan atau mengurangkan tidak harus menggunakan garis bilangan. Kalian bisa menggunakan cara yang kalian peroleh ketika masih di SD untuk menjumlahkan atau mengurangkan bilangan bulat. b. Perkalian Bilangan Bulat Perkalian adalah penjumlahan berulang sebanyak bilangan yang dikalikan. Contoh : Sifat-sifat perkalian suatu bilangan 1) Perkalian bilangan positif dengan bilangan positif, hasilnya positif. Contoh: 1) 2) 3) 2) Perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif, hasilnya negatif. Contoh: 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 2) ( ) 3) ( ) 3) Perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif, hasilnya negatif. Contoh: 1) ( ) 2) 3) 4) Perkalian bilangan negatif dengan bilangan negatif, hasilnya positif. Contoh: 1) ( ) [ ( ) ( ) ( )] [ ] 2) ( ) 3) ( ) c. Pembagian bilangan bulat 1) Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian Contoh, karena atau, karena atau Sifat-sifat pembagian bilangan bulat Pembagian bilangan positif dengan bilangan positif, hasilnya positif Contoh 1) 2) 2) Pembagian bilangan positif dengan bilangan negatif, hasilnya negatif Contoh: 1) ( ) 2) ( ) 3) Pembagian bilangan negatif dengan bilangan positif, hasilnya negatif Contoh: 1) 2)

6 4) Pembagian bilangan negatif dengan bilangan negatif, hasilnya positif. Contoh: 1) ( ) 2) ( ) Sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat 1) Sifat komutatif Sifat komutatif (pertukaran) pada penjumlahan dan perkalian. berlaku untuk semua bilangan bulat Contoh: 1) 2) 3) 4) 2) Sifat asosiatif Sifat asosiatif (pengelompokan) pada penjumlahan dan perkalian. ( ) ( ) dan ( ) ( ) berlaku untuk semua bilangan bulat Contoh: 1) ( ) ( ) 2) ( ) ( ) 3) ( ) ( ) 4) ( ) ( ) 3) Sifat distributif (penyebaran) ( ) ( ) ( ) yang berlaku untuk semuabilangan bulat. Contoh:

7 1) ( ) ( ) ( ) 2) ( ) ( ) ( ) 4) Operasi Campuran Aturan dalam mengerjakan operasi campuran adalah sebagai berikut. a) Operasi dalam tanda kurung dikerjakan terlebih dahulu. b) Perkalian dan pembagian adalah setara, yang ditemui terlebih dahulu dikerjakan terlebih dahulu. c) Penjumlahan dan pengurangan adalah setara, yang ditemui terlebih dahulu dikerjakan terlebih dahulu. d) Perkalian atau pembagian dikerjakan lebih dahulu daripada penjumlahan atau pengurangan. Contoh 1. a. b. c. ( ) 2. a. b. ( ) c. B. BILANGAN PECAHAN Pecahan adalah Bilangan yang berbentuk dengan a, b bilangan bulat dan b 0, a disebut Pembilang dan b disebut Penyebut. Pada pecahan angka 1 disebut Pembilang dan angka 4 disebut penyebut. perhatikan ilustrasi berikut:

8 1. Macam macam Pecahan a. Pecahan Senilai Pecahan-pecahan yang senilai disebut pecahan ekuivalen atau sama. Yaitu, pecahan yang menyatakan nilai yang sama. perhatikan ilustrasi berikut: b. Pecahan Tak sejati Pecahan Tak sejati adalah pecahan yang pembilangnya lebih dari penyebut. yang termasuk bilangan pecahan tidak sejati adalah dan c. Pecahan Campuran

9 Pecahan campuran yang dimaksud adalah campuran antara bilangan bulat dengan bilangan pecahan. Yang termasuk pecahan campuran adalah,,...dst 2. Membandingkan dan mengurutkan pecahan Untuk membandingkan pecahan berpenyebut sama kita hanya perlu memlihat pembilangnnya saja. Contoh : a. b. Jawab : Karena kedua penyebut sama maka kita bandingkan pembilangnya saja. a. b. Untuk membandingkan pecahan yang penyebutnya tidak sama, caranya kita menyamakan penyebutnya terlebih dahulu kemudian dibandingkan pembilangnya. Contoh : Bandingkan kedua pecahan berikut: a. b. Jawab: a. Kita samakan penyebutnya, Jadi b. Kita samakan penyebutnya. KPK dari 5 dan 3 adalah 15 Jadi, Setelah kita mengetahui pecahan yang lebih kecil dan lebih besar maka kita juga dapat mengurutkan pecahan dari kecil kebesar atau sebaliknya dengan menggunakan cara yang sama seperti diatas.

10 3. Operasi Hitung pada Pecahan a. Penjumlahan Bilangan Pecahan pecahan pecahan yang penyebutnya sama dapat dijumlahkan dengan cara menjumlahkan pembilang dengan pembilang, sedangkan penyebutnya tidak dijumlahkan (tetap). Jika pecahan pecahan yang dijumlahkan penyebutnya berbeda, terlebih dahulu samakan penyebutnya dengan cara mencari KPK dan penyebut penyebut pecahan itu. Contoh : 1) 2) Jawab : 1) 2) 3) b. Pengurangan Bilangan Pecahan Pengurangan Pecahan yang penyebutnya sama dapat dikurangkan dengan cara mengurangkan pembilang disebelah kirinya dengan pembilang disebelah kanannya, sedangkan penyebutnya tidak dikurangkan. Seperti pada penjumlahan Jika pecahan pecahan yang dikurangkan penyebutnya berbeda, terlebih dahulu samakan penyebutnya dengan cara mencari KPK dan penyebut penyebut pecahan itu. Contoh : 1)

11 2) Jawab : 1) 2) 3) c. Perkalian Bilangan Pecahan Perkalian dua pecahan dapat dilakukan dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. Contoh : 1) 2) Jawab : 1) 2) Sifat sifat operasi perkalian pada pecahan : 1) Untuk Setiap dan pecahan, berlaku (sifat Komutatif). 2) Untuk dan pecahan, berlaku ( ) ( ) (sifat asosiatif). 3) Untuk dan pecahan, berlaku ( ) ( ) ( ) (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan). 4) Untuk setiap bilangan pecahan a, berlaku. (unsur identitas) bilangan 1 disebut unsur identitas perkalian. d. Pembagian Bilangan Pecahan Membagi pecahan yang sama artinya mengalikan dengan kebalikan dari pecahan pembagi atau ( ) hal ini dapat ditulis :

12 dengan untuk sembarang pecahan dan dengan b dan d berlaku Contoh : e. Perpangkatan Pada Pecahan Untuk sembarang bilangan bulat a dan b dengan b bilangan positf m berlaku sebagai berikut : dan ( ) ( ) m faktor disebut bilangan pokok (basis) dan m disebut pangkat (eksponen) Contoh : ( ) Untuk sembarang bilangan Bulat a dan b dengan b C. BILANGAN RASIONAL Pada pelajaran fisika pokok bahasan pengukuran di laboratorium, guru memberikan tugas kepada 6 orang siswa untuk mengukur berat tepung yang telah tersedia pada masing-masing meja siswa. Hasil pengukuran keenam orang siswa itu adalah: 0,2 gram, 2 gram, 0,55 gram, 10 gram, 2,4 gram, dan 0,007 gram. Kemudian guru menyuruh salah seorang siswa menuliskan hasil pengukuran keenam siswa tersebut ke dalam satu lembar kertas. 1. Jika aturan pencatatan adalah hasil pengukuran yang diperoleh siswa dikurangi dengan 1 gram, bantulah siswa tersebut menuliskan hasil pengukuran keenam siswa tersebut! 2. Tuliskanlah hasil pengukuran berat tepung tersebut dalam bentuk pecahan.

13 Penyelesaian : Hasil pengukuran berat tepung sebelum masing-masing ukuran dikurang 1 gram adalah sebagai berikut. a. Hasil pengukuran Siswa 1 adalah 0,2 gram. b. Hasil pengukuran Siswa 2 adalah 2 gram. c. Hasil pengukuran Siswa 3 adalah 0,55 gram. d. Hasil pengukuran Siswa 4 adalah 10 gram. e. Hasil pengukuran Siswa 5 adalah 2,4 gram. f. Hasil pengukuran Siswa 6 adalah 0,007 gram. Hasil pengukuran berat tepung setelah masing-masing ukuran dikurang 1 gram sebagai berikut. a. Siswa 1 = 0,8 gram. b. Siswa 2 = 21 gram. c. Siswa 3 = 0,45 gram. d. Siswa 4 = 9 gram. e. Siswa 5 = 1,4 gram. f. Siswa 6 = 0,997 gram. Penulisan hasil pengukuran berat tepung tersebut ke dalam bentuk pecahan biasa. a. Siswa 1 = gram. b. Siswa 2 = gram. c. Siswa 3 = gram. d. Siswa 4 = gram. e. Siswa 5 = gram. f. Siswa 6 = gram. Apakah kalian mampu menuliskan hasil-hasil pengukuran keenam siswa tersebut dengan bilangan-bilangan selain yang telah tertulis di atas? Silahkah mencoba!

14 a. Siswa 1 = = b. Siswa 2 = = c. Siswa 3 = = d. Siswa 4 = = e. Siswa 5 = = f. Siswa 6 = Jadi, Seluruh bilangan-bilangan yang tertulis pada alternatif pemecahan masalah di atas merupakan bilangan rasional. Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a b, a, dan b bilangan bulat dan b 0 Contoh : 1. Diberikan 2 buah bilangan rasional yaitu dan. Apakah kedua bilangan itu sama? Buktikanlah! Akan dibuktikan = Bukti: Ingat kembali bahwa jika suatu bilangan dikali dengan 1 maka hasil perkaliannya adalah bilangan itu sendiri. Dapatkah kamu memberi contoh? Silahkan mencoba. Jika 1 dikali dengan bilangan rasional maka hasil perkaliannya adalah (ingat bahwa = 1) 2. Perhatikan penjumlahan bilangan rasional berikut!... bermakna menjumlahkan terus dengan pola tertentu hingga tak hingga kali. Dapatkah kalian menaksir hasil penjumlahan dari bilanganbilangan tersebut? Penyelesaian :

15 Pertama, kita misalkan jumlah bilangan pecahan tersebut adalah, kemudian kita tentukan pola penjumlahannya sebagai berikut: Dengan memakai sifat distributif perkalian pada pecahan terhadap operasipenjumlahan maka diperoleh : ( ) Perhatikan bahwa pola pertama berulang kembali ( ) (tambahkan di kedua ruas) Maka diperoleh: A. POLA BILANGAN Perhatikan deretan bilangan-bilangan berikut: Deretan bilangan di atas mempunyai pola tertentu. Dapatkah anda menentukan bilangan yang belum diketahui sesuai dengan aturan yang dipunyai? Mari lihat pembahasan penyelesaian dari contoh diatas: 1. Pola pertama mempunyai aturan: Bilangan ke 2 = Bilangan ke 3 = Jadi bilangan ke 4 2. Pola ke-dua mempunyai aturan:

16 Bilangan ke 1 = ( ) Bilangan ke 2 = ( ) Bilangan ke 3 = ( ) Jadi bilangan ke 4 ( ) 3. Pola ke-3 mempunyai aturan: Bilangan ke 3 = Bilangan ke 4 = Bilangan ke 5 = Jadi bilangan ke 6 = Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan di atas disebut pola bilangan pada deretan itu. Pola dapat diartikan sebagai sebuah susunan yang mempunyai bentuk teratur dari bentuk yang satu ke bentuk berikutnya. Sedangkan bilangan adalah sesuatu yang digunakan untuk menunjukkan kuantitas (banyak, sedikit) dan ukuran (berat, ringan, panjang, pendek, luas) suatu objek. Bilangan ditunjukkan dengan suatu tanda atau lambang yang disebut angka.sehingga pola bilangan dapat diartikan sebagai susunan angka-angka yang mempunyai bentuk teratur dari bentuk yang satu ke bentuk berikutnya. 1. MACAM-MACAM POLA BILANGAN a. Pola Garis Lurus Penulisan bilangan yang mengikuti pola garis lurus merupakan pola bilangan yang paling sederhana. Suatu bilangan hanya digambarkan dengan noktah yang mengikuti pola garis lurus. Misalnya: ` Mewakili 2 Mewakili 3 Mewakili 4 b. Pola Persegi panjang Mewakili 5

17 Pada umumnya, penulisan bilangan yang didasarkan pada pola persegi panjang hanya digunakan oleh bilangan bukan prima. Pada pola ini, noktah-noktah disusun menyerupai bentuk persegi panjang. Pola bilangan persegi panjang adalah Gambar pola bilangan persegi panjang adalah sebagai berikut: c. Pola Persegi Persegi merupakan bangun datar yang semua sisinya memiliki ukuran yang sama panjang. Begitu pula dengan penulisan pola bilangan yang mengikuti pola persegi. Pola bilangan persegi adalah Pada pola ini, semua noktah digambarkan dengan jumlah yang sama. Gambar pola bilangan persegi adalah sebagai berikut: d. Pola Segitiga Selain mengikuti pola persegi panjang dan persegi, bilangan pun dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti pola segitiga. Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan lima bilangan yang mengikuti pola segitiga berikut ini. Jadi, bilangan yang mengikuti pola segitiga dapat dituliskan sebagai berikut :

18 Coba kamu perhatikan bilangan yang memiliki pola segitiga. Ternyata, bilangan-bilangan tersebut dibentuk mengikuti pola sebagai berikut: e. Pola Bilangan Ganjil Pola bilangan ganjil memiliki aturan sebagai berikut. a. Bilangan 1 sebagai bilangan awal. b. Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya. Bilangan ganjil memiliki pola Perhatikan pola bilangan ganjil berikut ini. f. Pola Bilangan Genap Pola bilangan genap memiliki aturan sebagai berikut. a. Bilangan 2 sebagai bilangan awal. b. Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya. Bilangan ganjil memiliki pola Perhatikan pola bilangan genap berikut ini.

19 g. Pola Bilangan Kubus Pola kubus terbentuk dari bilangan kubik. Pola bilangan kubus adalah pola bilangan dimana bilangan setelahnya merupakan hasil dari pangkat tiga dari bilangan sebelumnya. Contoh pola bilangan pangkat tiga adalah 2, 8, 512,. Perhatikan pola kubus berikut ini: h. Pola Bilangan Segitiga Pascal Bilangan-bilangan yang disusun menggunakan pola segitiga Pascal memiliki pola yang unik. Hal ini disebabkan karena bilangan yang berpola segitiga Pascal selalu diawali dan diakhiri oleh angka 1. Selain itu, di dalam susunannya selalu ada angka yang diulang. Adapun aturan-aturan untuk membuat pola segitiga Pascal adalah sebagai berikut: a. Angka 1 merupakan angka awal yang terdapat di puncak. b. Simpan dua bilangan di bawahnya. Oleh karena angka awal dan akhir selalu angka 1, kedua bilangan tersebut adalah 1. c. Selanjutnya, jumlahkan bilangan yang berdampingan. Kemudian, simpan hasilnya di bagian tengah bawah kedua bilangan tersebut. d. Proses ini dilakukan terus sampai batas susunan bilangan yang diminta. Untuk lebih jelasnya, perhatikan pola segitiga Pascal berikut.

20 i. Pola Bilangan Fibonacci Pola bilangan fibanocci adalah pola bilangan dimana jumlah bilangan setelahnya merupakan hasil dari penjumlahan dari dua bilangan sebelumnya.pola bilangan Fibonacci adalah 2. MEMAHAMI POLA BILANGAN a. Pola Bilangan Persegi Panjang Pola bilangan persegi panjang adalah Untuk melihat banyaknya pola susunan ke- ( ) mari amati ilustrasi berikut:

21 Pola ke-1 Pola ke-2 Pola ke-3 pola ke- ( Dengan memperhatikan pola diatas, dapat disimpulkan bahwa ) adalah: Pola di atas disebut pola persegi panjang, dengan pola ke- ( ) atau ( ). b. Pola Bilangan Persegi Pola bilangan persegi adalah Untuk melihat banyaknya pola susunan ke- ( ) mari amati ilustrasi berikut:

22 Pola ke-1 Pola ke- 2 Pola ke-3 Dengan memperhatikan pola diatas, dapat disimpulkan bahwa pola ke- ( ) adalah: Pola diatas dinamakan pola persegi, dengan polake- yaitu: Contoh: Tentukan hasil penjumlahan pola bilangan persegi hingga pola ke-! Penyelesaian: Sebelum menentukan pola bilangan persegi hingga pola ke-, kita akan melihat empat pola awal dari penjumlahan pola bilangan persegi

23 bermakna sebagai jumlah hingga pola ke-, dengan adalah suatu bilangan bulat positif. Pola bilangan persegi di atas juga dapat digambarkan sebagai berikut: Selisih dari pola bilanga pertama sampai pola ke-lima adalah dan. Pola akan digambar dengan noktah, karena selisih pertama dari jumlah ( ) dan ( ) adalah. Pola ini juga akan digambarkan dengan warna yang berbeda dengan tujuan untuk menarik perhatian siswa, yang dalam hal ini adalah siswa SMP. 1. Jumlah pola bilangan persegi pertama ( ) yaitu: merupakan jumlah pertama dari pola persegi. Angka tersebut diperoleh dari dua gambar noktah dengan warna yang berbeda yaitu hijau dan merah yang berjumlah ditambahkan dengan gambar noktah berwarna kuning yang berjumlah. Sehingga akan diperoleh: merupakan ( ) ( ) ( ) ( ) dengan pola segitiga. 2. Jumlah pola bilangan persegi kedua ( ) yaitu: dimana merupakan jumlah kedua dari pola.

24 Angka tersebut diperoleh dari gambar noktah dengan warna berbeda yaitu hijau dan merah yang berjumlah ditambahkan dengan gambar noktah berwarna kuning yang berjumlah. Sehingga diperoleh: merupakan ( ) ( ) dari ( ) ( ) tanpa dipangkatkan. ( ) ( ) dengan pola 3. Jumlah pola bilangan persegi ketiga ( ) yaitu: segitiga. merupakan jumlah ketiga dari pola persegi. Angka tersebut diperoleh dari gambar noktah dengan warna yang berbeda yaitu warna hijau dan warna merah yang masing-masing berjumlah ditambahkan dengan gambar noktah berwarna kuning yang berjumlah. Sehingga diperoleh: ekuivalen ( ) ( ) ( ) ( ) dalam pola ( ) ( ) segitiga. 4. Jumlah pola bilangan persegi keempat ( ) yaitu:

25 merupakan jumlah keempat dari pola persegi. Angka tersebut diperoleh dari gambar noktah dengan warna yang berbeda yaitu warna hijau dan warna merah yang masing-masing berjumlah ditambahkan dengan gambar noktah berwarna kuning yang berjumlah. merupakan jumlah dari pola bilangan persegi tanpa dipangkatkan. Dari menjadi Sehingga diperoleh: ( ) ( ) ( ) ( ) ekuivalen ( ) ( ) merupakan Mari amati ke-empat pola yang sudah ditemukan: pola segitiga. ( ) ( ) ( ) ( )

26 ( ) ( ) ( ) ( ) Dari empat pola diatas, kita bisa menggeneralisasi sebagai berikut: ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi dapat disimpulkan bahwa: ( ) ( ) Jadi untuk menentukan jumlah suku ke pada pola persegi adalah: ( ) ( ) c. Pola Bilangan Segitiga Pola bilangan segitiga adalah Amati pola berikut ini: Pola ke-1 Pola ke-2 Pola ke-3 Pola ke-4 Jika susunan bola dibawah garis dengan pola ke-, dengan suatu bilangan bulat positif, tentukan : Banyaknya bola dibawah garis pada pola ke- ( ) Banyaknya bola dibawah garis pada pola ke-10 ( ) Banyaknya bola dibawah garis pada pola ke ( ) adalah

27 Untuk melihat banyaknya pola susunan ke- ( ) mari amati ilustrasi berikut! Perhatikan banyaknya lingkaran yang dibawah garis adalah setengah bagian dari bola yang disusun menjadi persegi panjang. Pola ke-1 Pola ke-2 Pola ke-3 Dengan memperhatikan pola susunan diatas, dapat disimpulkan bahwa pola ke- ( ) adalah: Pola ke- yaitu: ( ) ( ) Dengan menggunakan rumus pola yang sudah ditemukan, maka kita dapat menentukan jawaban dari pertanyaan diatas, yaitu:

28 Pola ke-10 ( ) ( ) Pola ke ( ) ( ) Rumus mencari jumlah suku pada bilangan genap adalah d. Pola Bilangan ganjil ( )( ) Bilangan ganjil memiliki pola Pola ke-1 Pola ke-2 Pola ke-3 Dengan memperhatikan pola susunan diatas diketahui: Pola ke-1 Pola ke-2 Pola ke-3 Jadi, dapat disimpulkan bahwa Pola ke- yaitu:. Dengan mengingat kembali pola bilangan persegi diatas, dapat disimpulkan bahwa jumlah suku ( ) untuk pola bilangan ganjil adalah sebagai berikut:

29 Dan seterusnya. Sehingga, jika digambarkan dengan pola, akan terlihat seperti berikut ini: Jadi, rumus mencari jumlah. e. Pola Bilangan genap Pola bilangan genap adalah suku pada pola bilangan ganjil adalah Pola ke-1 Pola ke-2 Pola ke-3 Pola ke-4 Dengan memperhatikan pola susunan diatas diketahui: Pola ke-1 Pola ke-2 Pola ke-3 Pola ke-4 Jadi, dapat disimpulkan bahwa Pola ke- yaitu:. f. Pola Bilangan Kubus Contoh pola bilangan pangkat tiga adalah

30 Bilangan ke-1 Bilangan ke-2 Bilangan ke-3= = 512 Pola bilangan ini sering disebut pola pangkat tiga. Rumus mencari baris ke adalah g. Pola Bilangan Segitiga Paskal diperoleh dari diperoleh dari diperoleh dari diperoleh dari diperoleh dari Jadi, dapat disimpulkan bahwa rumus mencari jumlah suku ke. h. Pola Bilangan Fibonacci Pola bilangan fibonacci adalah adalah Rumus mencari suku ke- pada bilangan fibonancci adalah: penjumlahan dua bilangan didepannya.