PRAKATA. Cirebon, 12 Oktober Penulis. P a g e

Transkripsi

1 PRAKATA Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, karena dengan rahmat, taufik serta petunjuk-petunjuknya buku ajar Trigonometri ini dapat diselesaikan. Buku ajar Trigonometri ini merupakan salah satu sumber yang dapat dipergunakan sebagai bahan belajar diantara demikian banyak bahan-bahan belajar lain yang dapat diperoleh atau diakses melalui berbagai sumber informasi yang tersedia. Dalam menyusun buku ini, kami mendapat dukungan dari berbagai pihak, oleh karena itu kami mengcapkan terimakasih kepada dosen Program Komputer Universitas Swadaya Gunung Jati, Dede Tri Kurniawan, S.Si., M.Pd.yang telah memberi kesempatan kepada kami untuk mengembangkan diri dalam berbagai kegiatan, salah satu diataranya di dalam kegiatan penulisan bahan ajar. Terimakasih telah memberi bantuan, dukungan, dan motivasi kepada kami dalam proses penyusunan buku ini. Semoga Allah SWT. membalasnya dengan pahala yang berlipat ganda. Amin. Kami mnyadari bahwa buku ajar ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, saran dan kritik demi menyempurnakan buku ini selalu kami harapkan. Akhir kata, semoga buku ini dapat bermanfaat. Cirebon, 12 Oktober 2014 Penulis P a g e i

2 DAFTAR ISI Halaman Prakata.(i) Daftar isi.(ii) Kata-kata motivasi.(iv) Tujuan pembelajaran..(v) Materi 1. Trigonometri..(1) A. Rumus Trigonometri untuk Jumlah Dua Sudut dan Selisih Dua Sudut...(1) 1. Rumus untuk ( ) dan ( ).(2) 2. Rumus untuk ( ) dan ( )..(5) 3. Rumus untuk ( ) dan ( ).(6) B. Rumus Trigonometri untuk Sudut Rangkap (10) 1. Rumus untuk.(10) 2. Rumus untuk..(10) 3. Rumus untuk..(11) C. Rumus Trigonometri untuk Sudut Pertengahan..(14) 1. Rumus untuk..(14) 2. Rumus untuk..(14) 3. Rumus untuk..(15) D. Penggunaan Rumus-rumus Trigonometri untok Jumlah dan Selisih Dua Sudut;Sudut Rangkap dan Sudut Pertengahan dalam Penyelesaian Identitas Trigonometri (19) E. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus (Bentuk Perkalian ke Penjumlahan).(20) 1. Rumus untuk.(20) 2. Rumus untuk.(21) 3. Rumus untuk (22) 4. Rumus untuk.(22) ii

3 F. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus ( Bentuk Penjumlahan ke Perkalian )..(24) G. Penggunaan Rumus-rumus Perkalian Sinus dan Kosinus Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus dalam Penyelesaian Identitas Trigonometri (26) PENERAPAN TRIGONOMETRI (29) SOAL LATIHAN.(32) DAFTAR PUSTAKA...(33) BIODATA KELOMPOK (34) iii

4 Percaya diri adalah cara untuk meraih sukses Keberhasilan itu milik orang yang tekun Kesuksesan berasal dari kemauan yang kuat Keahlian memerlukan latihan dan pengulangan JANGAN KATAKAN TIDAK BISA SEBELUM KAMU MENCOBA! iv

5 TUJUAN PEMBELAJARAN Tujuan pembahasan dari buku ini yaitu : Peserta didik dapat menurunkan rumus trigonometri dan penggunaanya. Peserta didik dapat menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut untuk menghitung sudut tertentu. Peserta didik dapat menggunakan rumus sinus dan kosinus selisih dua sudut untuk menghitung sudut tertentu. Peserta didik dapat menggunakan rumus sinus dan kosinus sudut ganda untuk menghitung sudut tertentu. Peserta didik dapat menurunkan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus. Peserta didik dapat mengunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus. v

6 Misalnya, dan β adalah sudut sembarang, maka jumlah dan adalah ( )Dan selisih antara dan β adalah ( ) sebagai ilustrasi, perhatikan gambar 1.1 dan gambar 1.2 berikut ini. C F B - β E β O β A O β D Gambar 1.1 Gambar 1.2 Pada gambar 1.1 AOB ; BOC β Pada gambar 1.2 DOF ; DOE β AOC β EOF β Selanjutnya, kita akan menurunkan rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut selisih dua sudut, yaitu ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ). 1

7 1. Rumus untuk ( ) dan ( ) Untuk menurunkan rumus ( ) dan ( ), perlihatkan gambar 1.3 dan uraian berikut ini. Y Q(X,Y ) Q(r,r ) β β O Q P P(X,Y ) P(r β,r β) X Gambar 1.3 Gambar 1.3 menunjukan sebuah lingkaran satuan, titik P(, ) dan titik Q(, ) pada lingkaran, misalnya XOQ dan XOP β, maka POQ -β. Perhatikan OPP : Kita peroleh koordinat P dapat ditulis sebagai (, ). Perhatikan OQQ : 2

8 Kita peroleh koordinat Q sebagai (, ) Panjang PQ dapat dicari dengan rumus jarak yaitu : PQ ( ) ( ) ( ) ( ) Kedua ruang dikuadratkan ( ) ( ) ( ) ( ) (1) Berdasarkan aturan kosinus, jika kita perhatikan, memberikan : ( ) ( )......(2) Persamaan (1) (2), sehingga : 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3

9 Kita peroleh: ( β) β β..(3) Untuk mendapatkan rumus ( ), kita dapat mensubsitusikan ke persamaan (3). ( ), ( )- ( ) ( ) Kita peroleh: ( β) β β..( ) Contoh 1.1: Tanpa menggunakan table dan kalkulator, hitunglah : a. b. Jawab: a. ( ) ( ) Jadi, ( ) b. ( ) 4

10 ( ) Jadi, ( ) 2. Rumus untuk ( ) dan ( ) Untuk menurunkan rumus ( ), perlu kita ingat kembali rumus-rumus sudut relasi, di antaranya : ( ) dan ( ) Dengan menggunakan rumus tersebut, kita dapatkan : ( ), ( )-,( ) - ( ) ( ) Sehingga kita dapatkan : ( β) β β.( ) Untuk mendapatkan rumus ( ), kita mensubsitusikan ke persamaan ( ). ( ), ( )- ( ) ( ) Kita peroleh : ( β) β β..( ) Contoh 1.2 Tanpa menggunakan table dan kalkulator, hitunglah: a. b. 5

11 Jawab: a. ( ) ( ) Jadi, ( ). b. ( ) ( ) Jadi, ( ). Terlihat bahwa. 3. Rumus untuk ( ) dan ( ) Untuk menurunkan rumus ( ), kita perlu ingat lagi identitas trigonometri berdasarkan hubungan perbandingan, di antaranya : Dengan menggunakan rumus tersebut, kita peroleh : ( ) ( ) ( ) 6

12 Pembilang dan penyebut dibagi dengan Kita peroleh : ( β) β β...( ) Untuk mendapatkan rumus ( ), kita dapat mensubsitusikan ke persamaan ( ), kita dapatkan: ( ), ( )- ( ) ( ) kita peroleh : ( β) β β..( ) Berdasarkan uraian di atas, maka rumus-rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut dan selisih dapat dirangkum sebagai berikut. 7

13 ( β) β β ( β) β β ( β) β β ( β) β β ( β) β β ( β) β β Contoh 1.3 Tanpa menggunakan table dan kalkulator, hitunglah : a. Jawab: a. ( ) ( ) ( ) Jadi, Contoh 1.4: Table menggunakan table dan kalkulator, hitunglah: 8

14 a. b. Jawab: a. ( ) b.. / Contoh 1.5 Jika dan adalh sudut-sudut lancip dengan dan, hitunglah : a. ( ) b. ( ) c. ( ) Jawab: a., maka dan b., maka dan Sehingga: a. ( ) Jadi, ( ) b. ( ) 9

15 Jadi, ( ). c. ( ) Jadi, ( ). 1. Rumus untuk ( )...(9) 2. Rumus untuk ( ) 10

16 ...(10a) Bentuk lain dari rumus untuk Berdasarkan persamaan (10a) : ( ) Sehingga kita mendapatkan :...(10b) Atau ( ) Sehingga kita mendapatkan :...(10c) 3. Rumus untuk ( ) Sehingga kita mendapatkan :...(11) Berdasarkan uraian tentang rumus-rumus trigonometri sudut lengkap, maka kita dapat merangkumnya sebagai berikut : 11

17 contoh 1.6: misalkan, A adalah sudut dikuadran II dan, hitunglah : Jawab : b. c. Jika, maka dan a. ( ) ( ) Jadi, b. ( ) ( ) c. Jadi,. /. / Contoh 1.7: Jadi, 12

18 Tanpa menggunakan tabel dan kalkulator hitunglah : a. 4 b. 2 c. Jawab : a. 4 ( ) ( ) Jadi, 4 b. 2. / ( ) Jadi, 2 c. ( ) Jadi, 13

19 1. Rumus untuk Untuk menentukan rumus, kita ingat kembali rumus : 2...(12) dengan mensubstitusikan ke persamaan (12), maka didapat : ( ) Sehingga kita mendapatkan : θ θ...(13) 2. Rumus untuk Untuk menentukan rumus, kita ingat kembali rumus :...(14) Dengan mensubtitusikan ke persamaan (14), maka didapat : 14

20 ( ) Sehingga kita mendapatkan : θ θ...(15) 3. Rumus untuk Untuk mengetahui rumus, kita ketahui bahwa : Sehingga kita mendapatkan : θ θ θ...(16a) Bentuk lain dari rumus a. ( )( ) ( ) Sehingga kita mendapatkan : θ ( θ)...(16b) 15

21 b. ( ) Sehingga kita mendapatkan : θ θ ( θ)...(16c) Berdasarkan rumus-rumus trigonometri sudut pertengahan yang telah diuraikan diatas, maka dapat dirangkum sebagai berikut : θ θ θ θ θ θ θ ( θ) θ ( θ) catatan Tanda ( ) untuk θ diambil untuk sudut-sudut yang ada dikuadran I dan II dan tanda ( ) diambil untuk sudutsudut yang di kuadran III dan IV. Tanda ( ) untuk θ diambil untuk sudut-sudut yang ada dikuadran I dan IV dan tanda ( ) diambil untuk sudutsudut yang di kuadran II dan III. Tanda ( ) untuk θ diambil untuk sudut-sudut yang ada dikuadran I dan III dan tanda ( ) diambil untuk sudutsudut yang di kuadran II dan IV. Contoh 1.8: Hitunglah : a. b. c. Jawab: 16

22 a. ( ) ( ) Jadi, b. ( ) Jadi, c. ( ) ( ) Jadi, Contoh 1.9: Jika sudut lancip dan, hitunglah nilai dari : a. b. c. Jawab : 17

23 , maka, sehingga : a. Karena sudut lancip, maka b. Karena sudut lancip, maka c. ( ). /. / Karena sudut lancip, maka 18

24 Pada Bab 4, kita telah mempelajari identitas trigonometri dengan menggunakan rumus-rumus kebalikan, rumus-rumus perbandingan, rumus-rumus yang menghubungkan perbandingan trigonometri, serta rumus-rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut, sudut rangkap, dan sudut pertengahan dalam penyelesaian identitas trigonometri. Contoh 1.10: Untuk tiap sudut, tunjukanlah bahwa: ( ) ( ) Jawab: Kita akan uraikan ruas kiri sehingga didapat bahwa ruas kiri ruas kanan. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi, terbukti bahwa ( ) ( ) Contoh 1.11: Untuk tiap sudut, tunjukanlah bahwa: ( )( ) ( ) Jawab: 19

25 Kita akan uraikan ruas kiri sehingga didapat bahwa ruas kiri ruas kanan. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi, terbukti bahwa ( )( ) ( ) 1. Rumus untuk Kita ingat kembali rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut dan selisih dua sudut untuk sinus dan kosinus. ( ) ( ) ( ) ( ) Kita peroleh: β ( β) ( β).. (17) 20

26 2. Rumus untuk ( ) ( ) ( ) ( ) Kita peroleh: β ( β) ( β)... (18) Contoh 1.12: Tanpa menggunakan tabel dan kalkulator, hitunglah: a. b. Jawab: a.. /. / ( ) Jadi, ( ) b.. /. / ( ) Jadi, ( ) 21

27 3. Rumus untuk ( ) ( ) ( ) ( ) Kita peroleh: β ( β) ( β).. (19) 4. Rumus untuk ( ) ( ) ( ) ( ) Kita peroleh: β ( β) ( β).... (20) Contoh 1.13: Tanpa menggunakan tabel dan kalkulator,hitunglah: a. b. Jawab: a.. /. / ( ) Jadi, ( ) 22

28 b.. /. / ( ) ( ) Jadi, ( ). Berdasarkan rumus-rumus perkalian sinus dan kosinus yang telah diuraikan di atas, maka dapat dirangkum sebagai berikut. β ( β) ( β) β ( β) ( β) β ( β) ( β) β ( β) ( β) Agar rumus di atas mudah untuk diingat, maka rumus-rumus tersebut dapat ditulis sebagai berikut. (jumlah) (selisih) (jumlah) (selisih) (jumlah) (selisih) (jumlah) (selisih) 23

29 Rumus perkalian sinus dan kosinus yang telah kita pelajari sebelumnya, dapat diubah menjadi rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus. Coba kita tuliskan kembali rumus perkalian sinus dan kosinus pada rumus (17), (18), (19), dan (20) dengan cara ruas bagian kiri diubah menjadi ruas bagian kanan, dan sebaliknya sehingga kita peroleh: ( β) ( β) β.. (17-a) ( β) ( β) β.. (18-a) ( β) ( β) β.. (19-a) ( β) ( β) β.. (20-a) Dengan mengambil beberpa variabel baru, misalnya: β Α ( ) dan β Β ( ) Maka jika kedua bentuk tersebut kita jumlahkan dan kita kurangkan, akan diperoleh bentuk: + (Α Β). (23) β (Α Β). (24) Selanjutnya, subtitusikan persamaan (21), (22), (23), dan (24) ke persamaan (17-a), (18-a), (19-a), dan (20-a), maka diperoleh bentuk: 24

30 Α Β (Α Β) (Α Β).. (25) Α Β (Α Β) (Α Β).. (26) Α Β (Α Β) (Α Β).. (27) Α Β (Α Β) (Α Β).. (28) Berdasarkan rumus-rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus yang telah diuraikan tersebut, maka dapat dirangkum sebagai berikut. Α Β (Α Β) (Α Β) Α Β (Α Β) (Α Β) Α Β (Α Β) (Α Β) Α Β (Α Β) (Α Β) Agar rumus di atas mudah untuk diingat, maka rumus-rumus tersebut dapat ditulis sebagai berikut. (jumlah) (selisih) (jumlah) (selisih) (jumlah) (selisih) (jumlah) (selisih) Contoh 1.14: Nyatakan tiap bentuk berikut ke dalam bentuk yang sederhana: a. b. 25

31 Jawab: a. ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi, b. ( ) ( ) ( ) ( ). / Jadi, Pada bahasan kali ini, kita akan menggunakan rumus perkalian sinus dan kosinus; rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus dalam penyelesaian identitas trigonometri. Perhatikan contoh-contoh berikut ini. 26

32 Contoh 1.15: Buktikan bahwa Jawab: Kita uraikan ruas kiri sehingga bentuk ruas kiri ruas kanan. Ruas kiri: * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ Jadi, terbukti bahwa Contoh 1.16: Buktikan bahwa ( ) ( ) Jawab: Kita uraikan ruas kiri sehingga bentuk ruas kiri ruas kanan. Ruas kiri: ( ) ( ) * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ ( ) Jadi, terbukti bahwa ( ) ( ) Contoh 1.17: 27

33 Buktikan bahwa Jawab: Kita uraikan ruas kiri sehingga bentuk ruas kiri ruas kanan. Ruas kiri: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi, terbukti bahwa: 28

34 Dalam kehidupan sehari-hari banyak permasalahan dapat di selesaikan dengan trigonometri. Misalnya, mengukur tinggi pohon dan menara, menghitung luas kebun yang berbentuk segitiga sembarang, dan sebagainya.penyelesaian permasalahan yang berkaitan dengan trigonometri hendaknya di pahami terlebih dahulu tentang permasalahan tersebut dan selanjutnya mengaitkanya dengan konsep tigonometri yang sesuai, misalnya menggunakan rumus sinus, rumus kosinus, luas segitiga, dan sebagainya. Berikut diberikan contoh soal penerapan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari. Contoh 1.1 : seorang berdiri sejauh 20 meter dari pintu gerbang pada sebuah gedung bertingkat. Sudut elevasi gedung apabila dilihat dari puncak pintu gerbang dan tempat berdiri orang tersebut berturut-turut adalah dan jika tinggi orang tersebut sama dengan tinggi pintu gerbang 2 meter, tentukanlah tinggi gedung tersebut! Jawab: E C D F A 20 meter B gerbang G Gambar

35 Perhatikan gambar 1.1! Diketahui : Tinggi orang tinggi gedung ACBDFG2 meter Besar sudut elevasi dan Jarak horizontal dari orang tersebuk ke pintu gerbang ABCD20 meter Ditanyakan : tinggi gedung, yaitu panjang EG dn jarak dari orang yang berdiri tersebut kegedung? Jawab : a. Tinggi gedung, yaitu panjang EG Dalam ( ) (( ) ) ( ) ( ) Jadi, besar sudut CED adalah. Terlebih dahulu kita tentukan panjang DE ( ) Dalam 30

36 Sehingga ( ) Jadi panjang EF Tinggi gedung tinggi EG tinggi EF + tinggi FG ( ) ( ) Jadi, tinggi gedung 78,60 meter b. Jarak dari orng berdiri ke gedung panjang AB + panjang DF Mencari panjang DF dulu Perhatikan yang merupakan segitiga siku-siku Jadi, panjang DF Jarak orang yang berdiri ke gedung panjang AB + panjang DF ( ,225) meter 64,225 meter Jadi jarak orang yang berdiri ke gedung adalah 64,225 meter. 31

37 SOAL LATIHAN. 1. Nilai dari adalah.. 2. Nilai dari adalah.. 3. Nilai dari adalah 4. Sederhanakan persamaan ( )! 5. Buktikan ( )! 6. Tentukan nilai dari! 7. Tentukan nilai dari! 8. Tentukan nilai dari! 9. Sederhanakan 10. Diketahui dan dengan dan sudut lancip. Nilai dari ( ) Nyatakan tiap bentuk berikut ini sebagai jumlah atau selisih sinis dan kosinus (11-14)! ( ) ( ) 14. Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator, hitunglah nilai berikut ini (15-16) : Buktikan bahwa ( ) ( )! 18. Nilai dari 19. Nilai dari 20. Buktikan! 32

38 DAFTAR PUSTAKA Kariadinata, Rahayu Trigonometri dasar. Bandung: CV Pustaka Setia. Johanes, kastolan dan sulasim Kompetensi matematika. Jakarta: Yudhistira 33

39 BIODATA KELOMPOK Nama : Dzul Fikri Deskripsi kerja: Tempat, Tanggal lahir : Cirebon, 28 Maret 1994 Alamat Motto hidup : Ds. Dawuan kec.tengahtani kab.cirebon : Berdoa, berusaha dan sabar No HP : Prodi Kelas : dzul_fikri28@ymail.com : Matematika : 1b Pencari materi bahan ajar, pengetikan prakata, motivasi, halaman 1-10, penerapan trigonometri, daftar pustaka, biodata kelompok, deskripsi kelompok, Editing, design dan finishing Nama : Hendang Nurhalim Deskripsi kerja: Tempat, Tanggal lahir : Garut, 12 Januari 1996 Alamat Motto hidup : Ds. Wangunharja Kec. Jamblang Kab. Cirebon : Hidup berawal dari mimpi No HP : Pencari materi bahan ajar, pengetikan halaman 19-28,, soal latihan, Editing, design dan finishing. Prodi Kelas : hendang.n@gmail.com : Matematika : 1b Nama : zaelani Deskripsi kerja: Tempat, Tanggal lahir :Cirebon, 26 maret 1996 Alamat Motto hidup : blok duku tenang rt/01 rw/01 kec. Ciwaringin kab. cirebon :slalu bersyukur No HP : Pencari materi bahan ajar, pengetikan, daftar isi, halaman 10-19, editing, design dan finishing. - prodi Kelas : Matematika : 1b 34

40 DESKRIPSI KERJA KELOMPOK Kelompok kami yang beranggotakan Dzul Fikri, Hendang Nurhalim dan Zaelani mengambil materi tentang trigonometri. Dalam pembuatan buku ajar ini kami melalui beberapa proses yaitu : 1. Menentukan judul materi. 2. Pencarian materi dan pengumpulan materi dilakukan semua anggota kelompok. 3. Pengetikan materi a. Dzul Fikri: materi dari halaman 1-10 b. Zaelani : materi dari halaman c. Hendang Nurhalim : materi dari halaman Pengetikan pelengkap isi buku : a. Dzul Fikri : prakata, motivasi, pnerapan trigonometri, daftar pustaka, biodata kelompok dan deskripsi kerja kelompok. b. Zaelani : daftar isi. c. Hendang Nurhalim :soal laihan. 5. Editing dilakukan semua anggota kelompok. 6. Mendesign isi buku. 7. Finishing buku. Namun pada saat pelaksaan kami mengalami beberapa kendala, antara lain: 1. Kami belum terlalu mahir mengoprasikan komputer khususnya program MS.Word sehingga kami sedikit mengalami kesulitan. 2. Kami sulit membagi waktu dengan tugas dari mata kuliah yang lain. 3. Sarana dan prasarana yang kami miliki kurang memadai Namun disamping itu, Alhamdulillah kami dapat menyelesaikan tugas proyek ini dengan baik dan tepat waktu. Tak lupa kami panjatkan puji dan syukur kepada Allah SWT dan mengucapkan banyak terimakasih kepada dosen pembimbing Bapak Dede Trie Kurniawan,S.si,M.pd. ALHAMDULILLAH