BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Teori titik tetap merupakan salah satu landasan di dalam pengembangan matematika karena mempunyai peran yang cukup mendasar dalam aplikasi berbagai cabang ilmu matematika. Salah satu teorema yang paling terkenal dalam teori titik tetap adalah prinsip kontraksi Banach. Pada tahun 1974, Ciric dalam papernya yang berjudul A Generalization of Banach s Contraction Principle memperkenalkan suatu pemetaan yang disebut kuasi-kontraksi dan membuktikan eksistensi serta ketunggalan titik tetapnya dalam ruang metrik. Dalam perkembangan teori titik tetap, beberapa masalah tidak dapat diselesaikan dengan ruang metrik, khususnya masalah kekonvergenan fungsi terukur terhadap suatu ukuran. Hal ini yang membawa Czerwik (1993) memperkenalkan perumuman teori-teori titik tetap Banach di suatu ruang yang disebut ruang b-metrik. Konsep ruang b-metrik ini sendiri telah diperkenalkan sebelumnya oleh Bakhtin pada tahun Sebelum Ciric memperkenalkan pemetaan kuasi-kontraksi, Nedler (1969) memperkenalkan perluasan prinsip kontraksi Banach untuk pemetaan bernilai himpunan dalam papernya yang berjudul Multi-valued Contraction Mappings. Karena itu, banyak penulis yang kemudian mengkaji dan mempelajari teori titik tetap untuk pemetaan bernilai himpunan. Salah satunya adalah Amini-Harandi yang membuktikan teorema yang diperkenalkan Ciric untuk versi pemetaan bernilai himpunan pada tahun Dilain pihak, Samet (2012) memperkenalkan konsep pemetaan α-admissibel dan menggunakannya untuk membuktikan suatu teorema titik tetap untuk pemetaan dengan domain dan daerah hasil merupakan subset dari himpunan yang sama 1

2 2 (single-valued mapping). Selain itu, Samet juga menerapkan hasil penelitiannya ke masalah persamaan diferensial biasa. Selanjutnya, Mohammadi (2013) memperkenalkan pengembangan konsep α-admissibel untuk pemetaan bernilai himpunan. Aydi (2012) menyatakan bahwa teori tentang pemetaan bernilai himpunan memiliki banyak aplikasi seperti dalam teori kontrol, optimisasi konveks, persamaan diferensial, dan dalam bidang ekonomi. Aydi (2012) juga memperumum suatu teorema yang telah dibuktikan Amini-Harandi (2011) dengan mengerjakan teorema itu pada ruang b-metrik. Terinspirasi oleh Aydi, Sintunavarat (2013) memanfaatkan pemetaan α-admissibel yang diperkenalkan oleh Mohammadi (2013) untuk membangun perumuman dari teorema titik tetap pemetaan kuasi-kontraksi bernilai himpunan pada ruang b-metrik. Karena pemetaan α-kuasi-kontraksi merupakan perumuman dari pemetaan kuasi-kontraksi dan pemetaan kuasi-kontraksi sendiri merupakan perumuman dari pemetaan kontraksi, maka tentunya aplikasi titik tetap untuk pemetaan α-kuasi-kontraksi menjadi lebih luas. Oleh karena itu, penulis tertarik untuk mempelajari tentang teorema titik tetap yang telah dikaji oleh Amini- Harandi, Aydi, sampai dengan yang telah dikaji oleh Sintunavarat Perumusan Masalah Beberapa permasalahan yang akan dibahas berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan di atas adalah sebagai berikut: 1. Eksistensi titik tetap pemetaan kontraksi dan pemetaan kuasi-kontraksi bernilai himpunan pada ruang metrik. 2. Eksistensi titik tetap pemetaan kontraksi dan pemetaan kuasi-kontraksi bernilai himpunan pada ruang b-metrik. 3. Eksistensi titik tetap untuk pemetaan α-kuasi-kontraksi bernilai himpunan pada ruang b-metrik.

3 Tujuan dan Manfaat Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk mempelajari eksistensi titik tetap pada ruang b-metrik untuk pemetaan α-kuasi-kontraksi bernilai himpunan. Hasil penelitian ini diharapkan dapat memperdalam konsep titik tetap pada ruang b-metrik, khususnya untuk pemetaan α-kuasi-kontraksi bernilai himpunan. Selain itu, diharapkan hasil penelitian ini dapat digunakan untuk penelitian teori titik tetap di masa depan dan diharapkan juga dapat digunakan di berbagai bidang ilmu yang membutuhkan konsep titik tetap, baik di bidang matematika maupun di luar bidang matematika Tinjauan Pustaka Ruang metrik merupakan konsep yang sudah banyak dibahas dalam bukubuku analisis, seperti Real Analysis oleh Royden (1989) dan Real Analysis oleh Bruckner (1997). Sedangkan konsep ruang b-metrik diperkenalkan oleh Bakhtin (1989) dalam salah satu paper yang berjudul The Contraction Mapping Principle in Quasimetric Spaces. Dalam papernya ini, Bakhtin juga memperkenalkan pemetaan kontraksi di ruang b-metrik. Agarwal (2004) membahas secara mendalam tentang teori titik tetap dan aplikasinya pada ruang metrik dalam bukunya yang berjudul Fixed Point Theory and Applications. Di samping itu, Ciric (1974) dalam salah satu papernya memperkenalkan pemetaan kuasi-kontraksi dengan domain dan kodomain berupa ruang metrik yang sama. Berdasarkan pemetaan kuasi-kontraksi yang diperkenalkan oleh Ciric ini dan hasil penelitian Daffer dan Kaneko (1995), Amini-Harandi (2011) kemudian memperkenalkan pemetaan kuasi-kontraksi bernilai himpunan pada ruang metrik yang merupakan pengembangan hasil penelitian Nedler (1969), serta mengkaji eksistensi titik tetapnya. Czerwik (1993) menunjukkan eksistensi titik tetap pada pemetaan kontraksi di ruang b-metrik. Berdasarkan hasil Czerwik ini, Aydi (2012) memberikan perumuman teorema yang telah dibuktikan Amini-Harandi (2011) dengan mengerjakan teorema itu pada ruang b-metrik. Selanjutnya, Mohammadi (2013) memper-

4 4 kenalkan konsep α-admissibel untuk pemetaan bernilai himpunan yang merupakan pengembangan dari penelitian Samet (2012). Sintunavarat (2013) kemudian memperumum hasil penelitian Aydi (2012) dengan memanfaatkan konsep α-admissibel untuk pemetaan bernilai himpunan Metodologi Penelitian Penyusunan tesis ini menggunakan metode studi literatur (kajian teori). Konsep ruang metrik, ruang b-metrik, pemetaan kuasi-kontraksi, dan pemetaan bernilai himpunan akan dikaji dalam meneliti eksistensi titik tetap untuk pemetaan kuasikontraksi bernilai himpunan pada ruang metrik dan ruang b-metrik. Memanfaatkan konsep pemetaan α-admissibel, akan dikaji eksistensi titik tetap untuk pemetaan α-kuasi-kontraksi bernilai himpunan pada ruang b-metrik. Berikut ini diagram alur proses penelitian yang akan dilakukan. Gambar 1.1 Diagram Proses Penelitian Adapun langkah-langkah sebagai penjelasan diagram alur di atas adalah sebagai berikut:

5 5 1. Memberikan definisi ruang metrik dan ruang b-metrik beserta sifat-sifatnya. 2. Memberikan definisi pemetaan kuasi-kontraksi dalam ruang metrik, kemudian dialnjutkan dengan mempelajari definisi kuasi-kontraksi dan α-kuasi-kontraksi bernilai himpunan pada ruang b-metrik. 3. Meneliti eksistensi titik tetap pemetaan kontraksi bernilai himpunan pada ruang metrik, kemudian dikembangkan untuk pemetaan kuasi-kontraksi. 4. Meneliti eksistensi titik tetap seperti yang dilakukan pada langkah (3) tetapi dengan mengganti ruangnya menjadi ruang b-metrik. 5. Memperumum hasil pada langkah (4) berkaitan pemetaan kuasi-kontraksi, dengan menyelidikinya untuk pemetaan α-kuasi-kontraksi, memanfaatkan konsep α-admissibel. Kemudian, mengkaji hubungannya dengan sebarang relasi biner Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Bab ini berisi landasan teori tentang ruang metrik, ruang b-metrik, pemetaan kuasikontraksi, dan pemetaan bernilai himpunan. BAB III TEOREMA TITIK TETAP PEMETAAN BERNILAI HIMPUNAN Bab ini berisi hasil penelitian yang diperoleh, yaitu eksistensi titik tetap untuk pemetaan kuasi-kontraksi bernilai himpunan pada ruang metrik yang kemudian dilanjutkan dengan mengkajinya pada ruang yang lebih umum yaitu ruang b-metrik. Selanjutnya, dibahas perumuman hasil sebelumnya yaitu eksistensi titik tetap untuk pemetaan α-kuasi-kontraksi bernilai himpunan pada ruang b-metrik. BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN Bab ini berisi kesimpulan dari hasil penelitian dan saran untuk pengembangan penelitian lebih lanjut.