Himpunan Spektrum Real Untuk Masalah Balikan Nilai Eigen Dari Matriks Tak Negatif

Transkripsi

1 Vol.4, No., -, Jaar 8 Hmpa petrm Real Ut Masalah ala Nla Ege ar Matrs Ta Negatf Kresa Jaya bstra Paa paper aa bahas represetas geometr ar hmpa spetrm la ege real yag la ege masmalya t masalah bala la ege vers egevales problem). Ut meja represetas tersebt aa gaa sfat vara ar jmlah oves matrs stoast terhaap jmlah oves spetrm matrs stoast tersebt. Represetas geometr yag peroleh haya paa R t =, 3 a 4. fat varat atas jga aa gaa t meja bahwa sebah spetrm matrs ta egatf tls alam bet vetor,, 3,..., ), maa, t, t3,..., t merpaa spetrm ar sebah matrs postf t t,. Keywors: petrm, matrs ta egatf, matrs stoast, jmlah oves.. Peahla Msala sebah vetor =,,...,, maa yag mas ega masalah bala la ege vers egevale problem) aalah mecar beberapa syarat perl a cp agar vetor tersebt apat paag sebaga spetrm ata mpla la ege ar sebah matrs ta egatf [,, 3, 4, 7]. alam baya lteratr megea masalah bala la ege, para ahl telah megemaa syarat perl a cp agar sebah vetor real apat paag sebaga spetrm matrs ta egatf walap pejaa tersebt haya bersfat ass-ass hss [, 3, 4]. Nam t vetor real bermes =, 3, syarat perl a cp t telah bera []. Teorema tama ar matrs ta egatf a la egeya aalah Teorema Perro- Frobes [6,] yag meyataa bahwa ja matrs oro ta egatf a ta teres, maa mempya la ege seema sehgga setap la ege t =,,, ar berla, vetor araerst t aalah vetor postf, a mltplstas aljabarya aalah. Nla ege yag ema sebt la ege masmal. Pegerta matrs teres ser bera [], yat matrs oro. sebt teres ja terapat matrs permtas P seema sehgga berla P T C P ega a aalah sb matrs bjr sagar. Matrs ataa ta teres ja ta terapat matrs permtas P. Pembahasa paa maalah membera bt postf t sebah problem terba ope problem) paa [8], ega terlebh ahl mejelasa beberapa teorema megea matrs ta egatf a masalah bala la ege. Ut meja secara taf Pegajar paa Jrsa Matemata FMIP Uverstas Hasa Maassar

2 Kresa Jaya 3 legap, aa tja paa matrs yag sfatya teres a ta teres t matrs stoast [], a sfat vara jmlah ovesya. Kema baga terahr bera represetas geometr hss paa spetrm real ar matrs ta egatf berore =, 3 a 4. Msala N meyataa hmpa matrs ta egatve, a P meyataa hmpa matrs postf. Ut meyeerhaaa persoala, spetrm real ar matrs ta egatf apat paag sebaga hmpa baga ar rag R sebaga bert ega ) aalah spetrm real matrs. Z N P,, 3,..., R :,3,...,, x,, 3,..., Z : N,, 3,..., x,,,..., Z : P,,,..., 3 3,. Matrs toast at matrs bjrsagar ta egatf sebt matrs stoast ja jmlah etretr setap barsya aalah. Teorema.. Ja matrs stoast ore, maa berla peryataa-peryataa bert: a. Nla ege masmalya. b. Msal J aalah matrs yag selrh etr-etrya aalah, J = J. c. Vetor =,,, ) aalah vetor ege t la ege. t : a) Msala = a j a la ege masmal aalah r, maa rm r rmax lhat [],Ch.). Karea r m rmax, maa r =. b) Msala = a j, maa t setap =,, berla a j. Msala J= b j, ega b j =,, j,...,, ega j a matrs J = J. maa J = abj a j j a t setap =,,, berla a,, maa etah J=J, ega J matrs ega etr-etr, maa J = abj a j, ega j,, j,,...,. Ut =,,, a aalah jmlah bars matrs, maa aalah matrs stoast. c) etah ar po a) r=, a msala aalah vetor ege yag ' berorespoes ega r=. Msala =,...,, = =,..., ', ega a, t setap =,,,. Msala s = max{,, } t sat s{,, }, maa a, s s a j

3 Kresa Jaya 4 a s a s s a s. s a s t setap =,,, a a s, maa harslah, t setap =,,,. t setap =,,,, maa vetor =,, s, ) aalah vetor ege yag berorespoes ega la ege. etah vetor ege yag berorespoes ega la ege masmal aalah =,,, ), t. Msala =a j,, j,,...,, ata a j = Maa jmlah etr-etr alam setap bars matrs aalah, ata aalah matrs stoast. Teorema.. Msala a aalah a matrs stoast, maa a. aalah matrs stoast b. Ut [, ), maa + ) aalah matrs stoast. t : a) Msala a aalah matrs stoast, ega meggaa sfat b) paa Teorema., maa )J = J) = J = J, peroleh )J = J maa aalah matrs stoast. b) Pembta ega memaa po b) paa Teorema., a msala a, berla aalah matrs stoast, maa t setap + ))J = J + )J = J + )J = J maa + ) matrs stoast t Msala Z,...,, ]., Z Z aalah blaga-blaga alam bag omples, a,,..., aalah blaga ta egatf yag jmlah eselrhaya, maa tt Z Z sebt jmlah oves ar Z, Z,..., Z. fat ema aa embaga alam a abat bert. bat.. Ja aalah la ege ar matrs stoast berore a aalah jmlah oves ar,,,...,, t c c,, maa aalah la ege ar matrs stoast = c I + c + c + + c. bat.. Ja la ege ar matrs stoast beroro, maa t sembarag blaga ta egatf c <, c la ege ar matrs stoast. Kea abat atas telah bera bt []. elajtya Perhata bet matrs J ega etr-etrya, la araterst ar J aalah a, ata spetrmya aalah, s

4 Kresa Jaya 5,, ). Ja ala ega salar / maa matrs J J aalah matrs stoast ega spetrmya aalah,,..., ). Teorema bert merpaa ragma bat. a bat.. Teorema.3. Ja ) =,,..., ) aalah spetrm matrs stoast, maa = + )J aalah matrs stoast ega spetrm )=,,..., t setap. t : Ut, paag jmlah oves matrs ega J, = + )J, maa ega Teorema. po b), aalah matrs stoast. etah J matrs stoast ega spetrm,,, ), maa terapat P matrs ta sglr seema sehgga PJP - = ag,,, ). ehgga PP PP P ) J P PP PP ) ag,,...,) ega PP - smlar ega a PP - smlar ega. Msala PP - Klam: petrm matrs aalah,,..., ) PJ P. Msala C = ag PP - C = PP - + ) ag,,, ) C,,...,, maa PP - C a tja eterma PP - C =. = PP - ag,,..., ) )

5 Kresa Jaya 6 etpp - C) = etpp - ag,,..., ) ) Karea,,..., ) aalah spetrm matrs, maa,,..., ) jga spetrm ar PP -. Ja etpp - ag,,..., ) ) =, maa etpp - C) =. petrm ar matrs PP - aalah,,..., ). Ja spetrm aalah ) =,,..., ) t setap. Ut sembarag matrs ta egatf ega la ege masmal yag aa bahas paa bab bert, seatasa terapat matrs stoast yag smlar ega matrs tersebt a taga alam teorema bert. Teorema.4. Ja matrs ta egatf ega la araterst masmal r a sat vetor araterst postf t la araterst r, maa r - serpa secara agoal ega sat matrs stoast. t Msala x = x, x,..., x aalah vetor araterst postf t la araterst masmal r ar. Ja = ag x, x,..., x, maa x = ega =,,, ) - r - ) = r - - r - - ) = r - - x = r - - rx = - x = Maa ega Teorema., r - - aalah matrs stoast. 3. Hmpa petrm Real Matrs ta Negatf Permasalaha yag aa bahas alam maalah aalah pertayaa paa paper lberto oroba a Jlo Moro [8]. paah bear ja,,..., ) spetrm matrs ta egatf yag ta smlar ega sembarag matrs postf), maa terapat a ompoe =,,..., yag sama, ata terapat sat sbset,..., s ar sehgga... s =. Ut t aa embal perhata hmpa-hmpa N a P yag telah efsa awal maalah. Teorema 3.. Ja,, 3,..., ) N, maa t setap, t, t3,..., t ) P. t : Msal,,..., ) N t [.) berla, maa terapat matrs yag ta egatf ega spetrm ) =,,..., ). ehgga t matrs tersebt aa ass, yat :. Ja matrs ta teres, maa t setap t alam [, ), maa matrs P = t + t)j aalah matrs postf ega spetrm P)=,,..., ).. Ja aalah matrs teres, maa terapat matrs permtas P seema sehgga

6 7 Kresa Jaya PP T K K K, 3 3,, aalah matrs ta teres, maa. Plh matrs ta egatf G, yat: G K maa spetrm G aalah G) = ),...,,. = K - aalah matrs stoast yag smlar ega, a = ag w w w,...,, ). Ut setap =,,, aalah matrs ta egatf yag ta teres etah:... ). Msala la araterst masmal aalah p t sat p,...,, maa terapat,..., vetor postf yag berorespoes ega la araterst, p maa p, ega = ag,..., a aalah matrs stoast ) ). et matrs G apat tls meja p p yag apat psaha alam perala tga matrs bert. G = p p -, ega. Matrs p p smlar ega matrs G. Paag matrs stoast bert.

7 Kresa Jaya 8 p E p t =,,, E aalah matrs berra + yag berbet p E p aalah matrs stoast ega spetrm, maa,,..., ega cara yag sama ega ass yag ta teres, matrs P = t + t)j aalah matrs postf ega spetrm P) =, t, t,..., t ). Ja, t, t,..., t ) P. 3 E 3 Kema paag hmpa = N P. Hmpa merpaa batas hmpa N. Msala,, 3,..., ), maa,, 3,..., ) aalah spetrm ar matrs ta egatf a ta aa satp matrs postf yag smlar ega. Cotohya,,,, ) a,,,..., ) seema sehgga..., merpaa spetrm ar 3 matrs ta egatf tap ba spetrm matrs postf maap. Gambar. Represetas Hmpa N. Perhata ja, N, maa t = ata =, vetor, ) aalah tt paa batas ata ta aa matrs postf yag spetrmya aalah, ). Nla-la haya terleta paa terval [, ]. Hmpa N aalah segme gars yag beraa sat sata e atas ar smb -, sebagamaa yag perlhata paa Gambar atas. Ut Hmpa N 3 Rag R 3, hmpa tersebt aalah sebah bag yag terleta paa = yag batas oleh gars + 3 =, =, 3 =, =, a 3 =, sebagamaa yag bera paa Gambar bert.

8 Kresa Jaya 9 Gambar. Represetas Hmpa N 3. Ut hmpa N 4 rag R 4, hmpaya aalah volme rag yag berbet bs terpotog oleh persamaa bag =. Nam t membera bet geometrsya aga slt laa, sehgga tampla grafya belm bera alam maalah. 4. Petp Ut =, pertayaa paa [8] terjawab secara trval, yat batas hmpa N aalah, ) a, ). Ut = 3, bag yag batas oleh + 3 =, =, 3 =, =, a 3 = atas bag O 3 sejah sata. Tt,,,, ) Rag R aalah sr P, a setap ta mear gars lrs e sembarag tt paa batas hmpa N, maa tt-tt yag ta peroleh seatasa sr alam P. batya, bet pertayaa ta hars lebh spesf ja,,..., ) spetrm matrs ta egatf yag ta smlar ega sembarag matrs postf), maa terapat =, 3,, seema sehgga =. ebalya ta selal bear bahwa terapat sat sbset,..., s ar sehgga... s =, maa,,..., ) spetrm matrs ta egatf yag ta smlar ega sembarag matrs postf). Ope problem yag mcl aalah spesfas pertayaa tersebt meja : paah bear ja,,..., ) spetrm matrs ta egatve yag ta smlar ega sembarag matrs postf), maa terapat =, 3,, seema sehgga =, ata...? s telah perlhata, a ema pla [,], bahwa 3 t =, 3 a 4, maa jawaba permasalaha paa ope problem aalah postf. aftar Pstaa [] KresaJaya,.,, Masalah la araterst vers real ta egatve, Thess, Magster Matemata IT. [] Wwe, G., 996, verse egevale problem for oegatve matrces, Lear lgebra a Its pplcatos, 49, pp :

9 Kresa Jaya [3] Rawa, N., 996, verse egevale problem for symmetrc a ormal matrces, Lear lgebra a Its pplcatos, 48, pp : -9. [4] Feler, M., 974, Egevales of o egatve symmetrc matrces, Lear lgebra a Its pplcatos, 9, pp : 9-4. [5] Kellogg, R.., 97, Matrces smlar to a postve or essetally postve matrx, Lear lgebra a Its pplcatos, 4, pp :9-4. [6] Marcs, M. & Mc, H., 964, Matrx Theory a Matrx Ieqaltes, lly a aco Ic., osto. [7] oroba,. a Moro, J., 997, O o egatve matrces smlar to postve matrces, Lear lgebra a Its pplcatos, 66, pp : [8] oroba,. a Moro, J., 998, O the boary of the set of real spectra of oegatve matrces, Lear lgebra a Its pplcatos, 78, pp : [9] oroba,., 998, O the oegatve egevale problem, Lear lgebra a Its pplcatos, 3/4, pp : [] Mc, H., 998, Noegatve Matrces, Joh Wley-Iterscece Pblcato, New Yor.