Prinsip Dasar Matematika

Transkripsi

1 Modul Pnsp Dasa Matemata Ds. Gatot Muhsetyo, M.Sc. P PENDAHULUAN nsp dasa matemata meupaan onsep-onsep utama yang dapat dgunaan sebaga model peman dalam menjawab atau menyelesaan masalah yang seupa, yatu untu menca jawaban da pemasalahan yang teat dengan menghtung banya. Pemasalahan tentang banya dapat beupa banyanya susunan, banyanya caa, banyanya plhan, atau banyanya selesaan. Pnsp dasa matemata yang elevan dengan menghtung banya memeluan pnsp ndus matemata dan pnsp dasa memblang. Pnsp ndus matemata membean landasan dalam membutan atau menguj ebenaan suatu dugaan tentang hubungan atau eteatan. Pnsp dasa memblang membean pedoman atau panduan tentang bagan-bagan yang dapat dgunaan sebaga alat bantu dalam menghtung banya. Mate dalam modul n melput onsep dan peneapan da pnsp ndus matemata, pnsp penjumlahan, pnsp nlus-eslus, pnsp pealan, dan pnsp andang mepat. Kompetens Umum Kompetens Umum dalam mempelaja modul n adalah mahasswa mampu memaham onsep dan peneapan da pnsp ndus matemata seta pnsp dasa memblang. Kompetens Khusus Kompetens Khusus dalam mempelaja modul n adalah mahasswa mampu menjelasan dan meneapan pnsp ndus matemata, pnsp penjumlahan, pnsp nlus eslus, pnsp pealan, dan pnsp andang

2 . Matemata Dst mepat, untu epeluan ehdupan seha-ha dan untu epeluan bagan matemata yang lan. Susunan Kegatan Belaja Modul n ted da dua egatan belaja. Kegatan belaja petama adalah Pnsp Indus Matemata. Kegatan belaja edua adalah Pnsp Dasa Memblang. Petunju Belaja. Bacalah uaan dan contoh dengan cemat beulang-ulang sehngga Anda bena-bena memaham dan menguasa mate papaan.. Kejaan lathan yang teseda secaa mand. Ja dalam asus tetentu Anda mengalam esultan menjawab, maa lhatlah ambu-ambu jawaban lathan. Ja langah tesebut belum behasl menjawab atau memaham soal lathan beseta ambu-ambu jawaban lathan, maa mntalah bantuan tuto Anda, atau oang lan yang lebh tahu. 3. Kejaan tes fomatf secaa mand, dan pesalah tngat emampuan Anda dengan jalan mencocoan jawaban Anda dengan Kunc Jawaban Tes Fomatf. Ulanglah pengejaan tes fomatf n sampa Anda benabena measa mampu mengejaan semua soal dengan bena.

3 PEMA448/MODUL.3 P Kegatan Belaja Pnsp Indus Matemata nsp ndus matemata meupaan suatu alat behaga untu membutan hasl-hasl yang teat dengan blangan bulat, atau hubungan tetentu yang dapat dpeluas belau untu semua blangan asl. Hasl-hasl yang teat teutama tentang penjumlahan, dan hubungan tetentu antaa lan dapat beupa etdasamaan, etebagan, atau dfeensal. Dalam atannya dengan hasl penjumlahan, pnsp ndus matemata melbatan notas jumlah (summaton) dan notas al (poducts). Kedua notas n sangat bemanfaat untu menyedehanaan tulsan sehngga menjad lebh sngat dan lebh mudah dpaham.. Notas Jumlah dan Notas Kal Notas jumlah adalah notas yang dlambangan dengan, dan notas al adalah notas yang dlambangan dengan, dan ddefnsan sebaga: x x x... x x x. x... x Huuf da ndes jumlah notas jumlah atau notas al dsebut vaabel dummy aena dapat dgant oleh sebaang huuf, msalnya: x = x j x j x = x = j j x = dsebut batas bawah (lowe lmt) dan = dsebut batas atas (uppe lmt).

4 .4 Matemata Dst Contoh. 4 a) = = 0 4 b) = = 4 f 5 c) 3 = = 5 d) 5 3 = = 43 3 e) t = = 4 f) t 3 t t =.. 3 = 36 Selanjutnya, ndes jumlah tda haus dmula da, atnya dapat dmula da blangan bulat selan asalan batas bawah tda melebh batas atas. Contoh. 5 a) = = 3 6 b) (t ) = (.4 ) + (.5 ) + (.6 ) = 7 c) t 4 4 = = = 57 4 t d) ( t ) = ( )(3 ) (4 ) =.. 3 = 6 Bebeapa sfat yang teat dengan notas jumlah adalah: s ) tx = tx + tx tx s = t(x + x x s ) s x = t

5 PEMA448/MODUL.5 ) s y x ) ( = (x + y ) + (x + + y + )+ + (x s + y s ) = (x + x x s ) + (y + y y s ) = s x + s y 3) b a d c j x y j = b a (x j d c j y ) = b a x (y c + y c+ + + y d ) = x a (y c + y c+ + + y d ) + x a+ (y c + y c + + +y d ) + + x b (y c + y c+ + + y d ) = (x a + x a+ + + x b )(y c + y c+ + + y d ) = b a x j d c j y 4) b a d c j y j x = b a x j d c j y = j d c j y b a x = d c j b a y j x = d c j b a x y j Contoh.3 a) 5 3 x = x 3 + x 4 + x 5 = (x 3 + x 4 + x 5 ) = 5 3 x b) 4 (a + 3b ) = (a + 3b ) + (a 3 + 3b 3 ) + (a 4 + 3b 4 ) = (a + a 3 + a 4 ) + (3b + 3b 3 + 3b 4 ) = (a + a 3 + a 4 ) + 3(b + b 3 + b 4 )

6 .6 Matemata Dst 3 c) d) j j 3 j = j 4 = 3 3 = = = j j 4 a + 3 (. +. ) b 5 = = 30 (. j +. j + 3. j ) 6 j = = = 30 Pnsp Indus Matemata (Pncple of Mathematcal Inducton) S adalah suatu hmpunan bagan da hmpunan blangan asl yang unsuunsunya memenuh hubungan. Ja: (a) S (b) S beabat ( + ) S maa: S memuat semua blangan asl, yatu S = N But: Msalan S N dan unsu-unsu S memenuh suatu hubungan, seta (a) dan (b) dpenuh oleh S. Haus dbutan bahwa S = N. Untu membutan S = N dgunaan but tda langsung. Anggaplah S N, maa tentu ada F N dan F yang mana F = {t N t S}. Kaena F dan F N, maa menuut pnsp uutan ap (Well Odeng Pncple), F mempunya unsu teecl, yatu F tetap S. sebab S, beat >, dan abatnya N. adalah unsu teecl F, maa F sebab <, beat S. S dan S memenuh (b), maa ( ) + S, atau + S, yatu S. Tejad ontads aena S dan S, jad S = N Dalam penyataan lan, pnsp ndus matemata dapat dtuls dengan S(n) adalah suatu penyataan yang memenuh hubungan untu satu atau lebh n N.

7 PEMA448/MODUL.7 Ja: (a) S() bena (b) S() bena beabat S ( + ) bena maa S() bena untu semua n N. Contoh.4 Butan untu sebaang n Z +, = n = But: n S(n) : = n (n + ) n S() bena sebab untu n = : n n (n + ) = = dan n (n + ) =. ( + ) =. = Msalan S() bena, yatu untu n = : = = ( + ) Haus dbutan S( + ) bena, yatu: Contoh.5 = = ( +)( + +) = ( +) (+ ) = = ( + ) + + ( + ) = ( + ) ( + ) =( + ). ( + ) = ( + )( + ) Jad: S(n) bena untu sebaang n Z + n Butan untu sebaang n Z +, = n = n(n + )(n + )/6 n But: S(n) = = n(n + )(n + )/6 S() bena sebab untu n = : n = = = dan n(n + )(n + ) =... 3 = 6 6 Msalan S() bena, yatu untu n = :

8 .8 Matemata Dst = = ( + )( + ) 6 Haus dbutan S( + ) bena, yatu = ( + ) = 6 ( + )( + )( + 3) = ( + ) = 6 ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) 6 = ( + ) { 6 ( + ) + ( + )} = 6 ( + ) {( + ) +6 ( + )} = 6 ( + ) + ( ) = ( + ) ( ) 6 = 6 ( + )( + ) ( +3) Jad: S(n) bena untu sebaang n Z + Contoh.6 Butan: untu semua n Z +, dan n 6, 4n < n 7 But : S(n): 4n < n 7, n 6 S(6) bena sebab untu n = 6 4n = 4. 6 = 4, n 7 = 6 7 = 36 7 = 3, dan 4 < 3 Msalan S() bena, yatu untu n = : 4 < 7 Haus dbutan bahwa S( + ) bena, yatu untu n = +, 4( + ) < ( + ) 7 4( + ) = < ( 7) < ( 7) + 3, sebab 4 < < ( 7) + ( + ), sebab + 3 untu n < ( + + ) < ( + ) 7

9 PEMA448/MODUL.9 Jad: 4n < n 7 untu semua blangan bulat n 6 Contoh.7 Butan: 6 n n + habs dbag oleh 43 untu semua n Z + But : S(n) : 6 n n + habs dbag oleh 43 S() bena sebab untu n = : 6 n n + = = 559 = 43(3) 559 habs dbag oleh 43 Msalan S() bena, yatu untu n = : habs dbag oleh 43 Haus dbutan bahwa S( + ) bena, yatu untu n = +, habs dbag oleh 43 ( ) ( ) = ( ) + ( ) = 6 + (6 ) (7 ) = = (5 + 43). 7 + = 5( ) = 5. 43x x = 5. 43x = 6(43x) = 43 (6x ) habs dbag oleh 43 sebab mempunya fato 43 Jad: 6 n n + 3 habs dbag oleh 43 untu semua n Z + LATIHAN Untu mempedalam pemahaman Anda mengena mate d atas, ejaanlah lathan beut! Butan dengan ndus matemata ) n < n untu semua n Z + ) n 3 n habs dbag 3 untu semua n Z + 3) n <! untu setap blangan bulat postf n 4 4) D dalam basan hamons:

10 .0 Matemata Dst 5) 6) belau n H n +, untu setap blangan bulat n 0 dx n = nx n untu setap blangan bulat n 0 dx n 7) ( ) t = =.. 3 n(n ) n n t = = 6 ( + )( + ) untu setap n Z + s 8) = s = 3 s 4 s(s ) dengan hubungan menggunaan hubungan: s = s s Petunju Jawaban Lathan ) S(n) : n < n S() : bena sebab untu n = : n =, n = =, dan < Msalan S() bena, yatu < Haus dbutan bahwa S(+) bena, yatu ( + ) < + < + < + + < + (sebab untu sebaang ) + <. + < + Jad: n < n untu setap n Z + ) S(n) : n 3 n habs dbag oleh 3 S() bena sebab untu n = : n 3 n = 3 = = 0 dan 0 habs dbag oleh 3. Msalan S() bena, yatu 3 habs dbag oleh 3 Haus dbutan bahwa S( + ) bena, yatu ( + ) 3 ( + ) habs dbag oleh 3 ( + ) 3 ( + ) = ( ) ( + ) = ( 3 ) + 3 ( + )

11 PEMA448/MODUL. = 3t + 3( + ) = 3(t + + ) ( + ) 3 ( + ) habs dbag 3 sebab mempunya fato 3 Jad: n n habs dbag 3 untu setap n Z + 3) S(n) : n < n! untu setap blangan bulat postf n 4 S(4) bena sebab untu n = 4 n = 4 = 6, n! = 4! = 4, dan 6 < 4 Msalan S() bena, yatu <! Haus dbutan bahwa S(+) bena yatu: + < ( + )! + =. <.! + < ( + ).! sebab + untu sebaang Z + + < ( + )! Jad : + < ( + )! untu setap blangan asl n n 4) S(n) : H n + untu setap blangan bulat n 0 H t = t H 4 = = 5/ S(0) bena sebab untu n = 0: Msalan n H 0 = H =, + = + 0, dan 0 H H bena, yatu untu n = : + Haus dbutan H bena, yatu untu n = + : H + ( + )/ H = = H

12 . Matemata Dst ( + ) ( + ) sebab tedapat n suu masng-masng tda uang da ( + ) + H + ( + ) Jad H n + (n + ) untu sebaang blangan bulat n 0 5) S(n) : dx n = nx n- untu setap blangan bulat n 0 dx dx n S(0) bena sebab dx dx 0 dx = = = 0, nx n- = 0. x - = 0 dx dx dx Msalan S() bena, yatu = x - dx Haus dbutan S( + ) bena, yatu dx dx dx dx dx dx (x x) x = lm, maa x x 0 (x x) x = lm x x 0 (x x).(x x) x = lm x x 0 (x x) x (x x). x x.x = lm x x 0 (x x) x (x x). x = lm x x x x 0 = ( + )x

13 PEMA448/MODUL.3 = x x - + x = x + x = ( + ) x 6) Caa : Gunaan hubungan: ) t(t = t t untu menggant setap suu deet Caa n dsebut caa telesops Caa : Gunaan ndus matemata, tunjuan: + ) )( ( = 7) Tunjuan bahwa 6 ( + )( + ) + ( + ) = 6 ( + )( + )( + 3) 8) s = s = s = s = s s = s s = ) s(s s 4 3 Dalam Kegatan Belaja n telah Anda pelaja poo-poo mate peulahan, yatu:. Penggunaan notas jumlah dan notas al.. Penggunaan vaabel dummy. 3. Sfat-sfat notas jumlah. RANGKUMAN

14 .4 Matemata Dst 4. Pnsp ndus matemata. 5. Pembutan hubungan jumlah deet dengan ndus matemata. 6. Pembutan hubungan petdasamaan dengan ndus matemata. 7. Pembutan hubungan etebagan dengan ndus matemata. 8. Pembutan hubungan dfeensal dengan ndus matemata. 5 ) 3 = t A. B. 5 C. 0 D. 6 6 ) = 3 3) A. B. 4 C. 6 D ) 6 s A. 53 B. 53 C. 35 D s TES FORMATIF Plhlah satu jawaban yang palng tepat! 4 t A. 53 B. 35 C. 53 D. 35 s = st =

15 PEMA448/MODUL.5 5) Bedasaan denttas t s(s s ) A. B. C. D. t t t t t t t t = s(s ) =, maa dapat dtentuan bahwa s s 50 6) = A B C D n 7) m A. B. C. D. m(m + ) = (n + )(n + ) 3 (n )(n + ) 3 (n + )(n ) 3 (n )(n ) 3 0 8) 0 (-) = A. 683 B. 638

16 .6 Matemata Dst 9) C. 863 D n3 A. B. C. D. (n + ) = 0) =... A. 0 B. 330 C. 440 D. 550 Cocoanlah jawaban Anda dengan Kunc Jawaban Tes Fomatf yang tedapat d bagan ah modul n. Htunglah jawaban yang bena. Kemudan, gunaan umus beut untu mengetahu tngat penguasaan Anda tehadap mate Kegatan Belaja. Tngat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Bena 00% Jumlah Soal At tngat penguasaan: 90-00% = ba seal 80-89% = ba 70-79% = cuup < 70% = uang Apabla mencapa tngat penguasaan 80% atau lebh, Anda dapat meneusan dengan Kegatan Belaja. Bagus! Ja mash d bawah 80%, Anda haus mengulang mate Kegatan Belaja, teutama bagan yang belum duasa.

17 PEMA448/MODUL.7 M Kegatan Belaja Pnsp Dasa Memblang emblang (enumeatng, countng) buan seada atmeta basa aena sasaan yang dpelaja memasu bebaga bagan matemata, antaa lan pobabltas, statsta, analss algotma, dan aljaba. Kejadan dalam asus-asus tetentu dcacah (dhtung) bedasaan caa-caa husus untu menyelesaan masalah yang beagam. Bebeapa masalah yang teat dalam enumeas atau memblang antaa lan adalah pemutas, ombnas, bnomal, multnomal, dan andang mepat. Dalam banya hal, masalah enumeas memeluan pnsp-pnsp husus untu membantu pengembangan teo-teonya, antaa lan adalah pnsp penjumlahan, pnsp pealan, gabungan pnsp penjumlahan dan pealan, dan pnsp andang mepat (pgeonhole pncple).. Pnsp Dasa Penjumlahan (The Sum Rule, The Rule of Sum). Ja suatu peejaan petama dapat dlauan dalam n caa, dan suatu peejaan edua dapat dlauan dalam n caa, dan edua peejaan tda dapat tejad dalam watu yang besamaan, maa seluuh peejaan dapat dlauan dalam n + n caa. Contoh. Suatu Juusan Matemata haus mengm seoang wal untu mengut suatu petemuan lmah yang dambl da elompo dosen yang bejumlah 50 atau elompo mahasswa yang bejumlah 400. Da masalah n dapat detahu bahwa peejaan petama adalah memlh dosen da 50 dosen, dan peejaan n dapat dlauan dalam 50 caa, seta peejaan edua adalah memlh mahasswa da 400 mahasswa, dan peejaan n dapat dlauan dalam 400 caa. Peejaan petama dan peejaan edua tda dapat tejad besama-sama aena pewalan yang dm hanya oang. Banyanya caa memlh seoang wal adalah = 450 caa.

18 .8 Matemata Dst Contoh. Dalam suatu ujan, setap mahasswa dmnta mengejaan soal da 0 soal A atau 5 soal B. Dalam masalah n setap mahasswa dhadapan pada dua tugas, tugas petama memlh soal da 0 soal A, dan tugas edua memlh soal da 5 soal B. Kaena banyanya caa memlh soal da 0 soal A adalah 0, dan banyanya caa memlh soal da 5 soal B adalah 5, seta masngmasng tda boleh angap mengejaan soal da 0 soal A dan soal da 5 soal B, maa banyanya seluuh caa memlh soal adalah = 5 caa. Contoh.3 Seoang sswa dmnta memlh tugas untu dejaan, da dua dafta tugas yang masng-masng ted da 5 soal dan 5 soal. Banyanya caa memlh tugas untu dejaan adalah = 40 caa. Pnsp dasa penjumlahan dapat dpeluas menjad lebh da dua peejaan. Dalam hal sepet n, banyanya caa untu menyelesaan peejaan sama dengan jumlah caa da masng-masng bagan peejaan. Contoh.4 Pada a buu teseda 5 buu geomet, 3 buu aljaba, dan buu alulus. Banyanya caa seseoang mengambl satu buu da a buu adalah = 0 Contoh.5 Nla t da bahasa semu: t : = 0 untu a : = e n t : = t + untu a : = e n t : = t + untu a : = e n

19 PEMA448/MODUL.9 t : = t + dapat dhtung sebaga beut: nla awal t adalah 0 poses petama memuat n, poses beulang, dan setap poses beulang, t betambah, dengan deman pada ah poses petama nla t = n poses edua memuat n poses beulang, dan setap poses beulang, t betambah, dengan deman pada ah poses edua nla t = n + n Deman seteusnya, sehngga pada ah poses e, nla t = n + n + n 3 + n. Dalam pemogaman BASIC, contoh nyata da bahasa semu d atas adalah: 0 LET T = 0 0 FOR A = TO 3 30 LET T = T + 40 NEXT A 50 FOR B = TO 5 60 LET T = T + 70 NEXT B 80 FOR C = TO 7 90 LET T = T + 00 NEXT C 0 PRINT T = ;T 0 END Da pogam d atas, ja djalanan (deseus), maa pada laya dhaslan tulsan T = 5 (nla 5 dpeoleh da ) Pnsp dasa penjumlahan dapat dnyataan dalam bentu hmpunan: Ja A, A,, A n adalah hmpunan-hmpunan yang salng lepas (dsjont), maa banyanya unsu gabungan A, A,, A n sama dengan jumlah unsu da A, A,, A n, yatu: A, A A n = A + A + + A n Pnsp Dasa Pealan (The Poduct Rule, The Rule of Poduct). Ja suatu peejaan dapat dpsah menjad dua peejaan, yatu peejaan petama yang dapat dlauan dalam n caa dan peejaan edua yang dapat dejaan dalam n caa setelah peejaan petama dlauan, maa seluuh peejaan dapat dlauan dalam n x n caa.

20 .0 Matemata Dst Contoh. Seoang pemuda mempunya 4 baju dan 3 celana. Banyanya caa bepaaan pemuda tu dapat dpsah menjad memaa baju, dlanjutan dengan memaa celana (atau sebalnya). Ja baju petama teplh, maa ada 3 caa memlh celana pasangannya, beat ada 3 caa bepaaan. Ja baju edua teplh, maa ada 3 caa memlh celana pasangannya, beat ada 3 caa bepaaan. Deman seteusnya, sehngga banyanya caa bepaaan adalah = 4 x 3 = caa. Ja b ( =,, 3, 4) menyataan baju e dan c j (j =,, 3, 4) menyataan celana e j, maa dagam caa bepaaan adalah sebaga beut: c (b, c ) b c (b, c ) c 3 (b, c 3 ) atau c (b, c ) b c (b, c ) c 3 (b, c 3 ) c (b 3, c ) b 3 c (b 3, c ) c 3 (b 3, c 3 ) c c c 3 b (b,c ) (b,c ) (b,c 3 ) b (b,c ) (b,c ) (b,c 3 ) b 3 (b 3,c ) (b 3,c ) (b 3,c 3 ) b 4 (b 4,c ) (b 4,c ) (b 4,c 3 ) c (b 4, c ) b 4 c (b 4, c ) c 3 (b 4, c 3 ) Contoh.3 Kus-us suatu aula dtanda dengan suatu huuf dan suatu blangan asl tda lebh da 50. Banyanya seluuh us yang dapat dtanda adalah: 6 x 50 = 300 Pnsp dasa pealan dapat dpeluas menjad lebh da dua peejaan. Dalam hal sepet n, banyanya caa untu menyelesaan seluuh

21 PEMA448/MODUL. peejaan sama dengan hasl al da banyanya caa masng-masng peejaan. Contoh.4 Nla m da bahasa semu: m : = 0 untu : = e t untu : = e t... untu : = e t m : = m + dapat dtentuan yatu m = t x t x x t Dalam pemogaman BASIC, contoh nyata da bahasa semu d atas adalah: 0 LET M = 0 0 FOR X = TO 3 30 FOR Y = TO 4 40 FOR Z = TO 5 50 LET M = M + 60 NEXT Z 70 NEXT Y 80 NEXT X 90 PRINT M = ; M 00 END Da pogam d atas, ja djalanan (deseus), maa pada laya dhaslan tulsan M = 60 (nla 60 dpeoleh da 3 x 4 x 5) Contoh.5 Memo utama setap ompute dsmpan dalam sel memo yang dsebut alamat (addess). Setap alamat dnyataan dalam dafta susunan lambang blangan 0 dan, satu lambang 0 atau dsebut bt. Ja setap alamat mempunya 8

22 . Matemata Dst lambang (8 bt, atau byte), maa banyanya alamat yang teseda adalah: x x x x x x x = 56 Ja setap alamat menggunaan dua byte atau 6 bt, maa banyanya alamat yang dapat dsedaan adalah: 56 x 56 = Contoh.6 Menca banyanya fungs yang dapat dbuat da A yang mempunya unsu, e B yang mempunya 3 unsu, dapat dlauan dengan menggunaan dagam panah sebaga beut. ) ) A B A B A B A B A B A B 3) A B A B A B Da dagaam panah d atas dapat detahu bedasaan ), ) dan 3) bahwa unsu petama A mempunya 3 plhan (unsu petama, unsu edua, dan unsu etga da B), dan bedasaan masng-masng ), ), dan 3) bahwa unsu edua A mempunya 3 plhan (masng-masng dapat dpasangan dengan unsu petama, unsu edua, dan unsu etga da B). Banyanya fungs yang dapat dbuat adalah 3 x 3 = 9

23 PEMA448/MODUL.3 Contoh.7 Menca banyanya fungs (one-to-one, njetf) da A yang mempunya unsu, e B yang mempunya 3 unsu, dapat dlauan dengan menggunaan dagam panah sebaga beut. ) A B A B ) A B A B 3) A B A B Da dagam panah d atas dapat detahu bedasaan ), ), dan 3) bahwa unsu petama A mempunya 3 plhan (unsu petama, unsu edua, dan unsu etga da B), dan bedasaan masng-masng ), ), dan 3) bahwa unsu edua A mempunya plhan (unsu B yang buan pasangan da unsu petama A). Banyanya fungs yang dapat dbuat adalah 3 x = 6 Contoh.8 Seseoang aan membuat susunan anga-anga menjad blangan bulat postf. Ja blangan-blangan tu ted da satu anga, susunan dua anga, atau susunan tga anga, dan untu susunan dua atau tga anga tda ada anga yang beulang dan tda ada susunan yang dmula dengan nol, maa banyanya seluuh susunan dapat dca dengan menggunaan gabungan pnsp penjumlahan dan pealan. Pnsp pealan dgunaan untu menca banyanya susunan dua anga dan susunan tga anga.

24 .4 Matemata Dst Pnsp penjumlahan dgunaan untu menca banyanya seluuh susunan, dengan menjumlahan banyanya seluuh blangan satu anga, banyanya seluuh susunan dua anga, dan banyanya seluuh susunan tga anga. ) Banyanya seluuh blangan satu anga adalah semblan, yatu,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. ) Banyanya seluuh susunan dua anga adalah 8, yatu 0,, 3,, 9, 0,, 3,, 9, 30, 3, 3, 34,,, 90, 9, 9, 93, 94, 95, 96, 97, 98. Anga petama setap susunan mempunya 9 plhan, yatu,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Anga edua setap susunan mempunya 9 plhan (aena 0 dapat dgunaan, tetap tda boleh ada anga yang beulang) Banyanya seluuh susunan dua anga adalah 9 x 9 = 8. 3) Dengan jalan yang seupa pada but ), banyanya seluuh susunan tga anga adalah: 9 x 9 x 8 = 648 4) Banyanya seluuh blangan adalah = 738 Contoh.9 Plat nomo endaaan bemoto suatu negaa dmula dengan satu atau dua huuf, dan dut dengan tga anga. Banyanya plat nomo yang teseda dapat dca dengan menggunaan pnsp penjumlahan dan pealan. Pnsp pealan dgunaan untu menca plat nomo satu huuf atau plat nomo dua huuf. Pnsp penjumlahan dgunaan untu menca eseluuhan plat nomo, yatu plat nomo yang dmula dengan satu huuf dan plat nomo yang dmula dengan dua huuf. ) Banyanya plat nomo yang dmula dengan satu huuf dan dut dengan tga anga dca sebag beut: Banyanya plhan huuf : 6 Banyanya plhan anga petama : 9 Banyanya plhan anga edua : 0 Banyanya plhan anga etga : 0 Banyanya plat nomo satu huuf dan tga anga adalah: 6 x 9 x 0 x 0 = 3400

25 PEMA448/MODUL.5 ) Banyanya plat nomo yang dmula dengan dua huuf dan dut dengan tga anga dca sebaga beut: Banyanya plhan huuf petama : 6 Banyanya plhan huuf edua : 6 Banyanya plhan anga petama : 9 Banyanya plhan anga edua : 0 Banyanya plhan anga etga : 0 Banyanya plat nomo dua huuf dan tga anga adalah: 6 x 6 x 9 x 0 x 0 = ) Banyanya seluuh plat nomo yang dapat dsedaan adalah: = Pnsp Inlus - Eslus Pnsp penjumlahan dgunaan untu menca banyanya unsu-unsu da hmpunan yang lepas. Untu menca banyanya unsu-unsu da hmpunan-hmpunan yang tda lepas (dsjont, salng asng) dgunaan pnsp nlus eslus, atau dsebut juga metode sangan (seve method) Teoema. Ja A dan B adalah hmpunan-hmpunan bagan tehngga da hmpunan semesta S dan A B, maa: A B = A + B _ A B But: Menuut pnsp penjumlahan dapat S dtentuan bahwa: AB AB AB A B = A B + A B + A B = A B + A B + A B + A B A B = ( A B + A B ) + ( A B + A B A B ) - A B A B = A + B _ A B Teoema. Ja A, B, dan C adalah hmpunan-hmpunan bagan tehngga da hmpunan semesta S dan etganya tda salng asng, maa:

26 .6 Matemata Dst ABC = A + B + C _ AB _ AC _ BC + ABC But: A ABC ABC ABC B ABC ABC ABC ABC C A B C = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C _ A B C _ A B C _ A B C + A B C + A B C + A B C _ A B C _ A B C _ A B C = A + B + C _ A B C _ A B C _ A B C _ A B C _ A B C = A + B + C _ ( AB C + A B C ) ( A B C + A B C) _ A B C = A + B + C _ AB _ BC _ A B C _ ABC +

27 PEMA448/MODUL.7 A B C ABC = A + B + C _ A B _ B C _ A C + A B C Ja poses seupa dlauan, maa dapat dtentuan bahwa banyanya unsu da gabungan n hmpunan adalah: n A A A n... A n = A A A j A A j A... j (-) n n A j Contoh.0 Da suatu elas 6 SD detahu bahwa tedapat 3 oang sswa yang senang matemata, 3 oang sswa senang IPA, dan 8 oang sswa senang Matemata dan IPA. Banyanya sswa d dalam elas 6 dapat dca sebaga beut: Msalan A adalah hmpunan sswa yang senang matemata, dan B adalah hmpunan sswa yang senang IPA, maa A = 5, B = 3, dan A B = 8, sehngga A B = A + B _ A B = = 30 Jad banyanya sswa elas 6 d dalam elas adalah 30 oang Contoh. Da semua 00 oang sswa d suatu seolah dasa, tedapat 95 oang sswa sua olahaga bulu tangs, 85 oang sswa sua olahaga sepa bola, dan 30 oang sswa sua olahaga eduanya. Banyanya sswa yang tda sua olahaga eduanya dca sebaga beut: Msalan A adalah hmpunan sswa yang sua olahaga bulu tangs, dan B adalah hmpunan sswa yang sua olahaga sepa bola, maa A = 95, B = 85, dan A B = 30, sehngga: A B = A + B _ A B = = 50 Jad banyanya sswa seolah dasa yang tda sua bulu tangs maupun sepa bola adalah = 50 oang.

28 .8 Matemata Dst Contoh. Pnsp nlus-eslus untu empat unsu dapat dtunjuan sebaga beut: 4 4 A A A A A A = A A 4 A j A A j A ( ) A j j = A + A + A 3 + A 4 _ ( A A + A A 3 + A A 4 + A A 3 + A A 4 + A 3 A 4 ) + ( A A A 3 + A A A 4 + A A 3 A 4 + A A 3 A 4 ) _ A A A 3 A 4 = A + A + A 3 + A 4 _ A A _ A A 3 _ A A 4 _ A A 3 _ A A 4 _ A 3 A 4 + A A A 3 + A A A 4 + A A 3 A 4 + A A 3 A 4 _ A A A 3 A 4 4. Pnsp Kandang Mepat (The Pgeonhole Pncple, The Dchlet Box Pncple). Pnsp andang mepat meupaan pnsp yang dapat dgunaan untu mengetahu pehtungan mnmal hasl memblang da suatu eadaan yang sedang belangsung. Mespun jawaban tedapat suatu masalah dengan menggunaan pnsp n dapat mengundang eagu-aguan, jawaban tu meupaan estmas yang palng tepat teutama dalam menduga atau mempeaan nla teecl yang haus dpenuh. Secaa sedehana peagaan da pnsp andang mepat menyebutan bahwa ja jumlah mepat lebh banya da jumlah andang meea (semua mepat masu andang, dan setap andang memuat semua mepat), maa palng sedt ada satu andang yang bes palng sedt dua mepat. Teoema.3 Ja + atau lebh obje dmasuan e dalam ota, maa palng sedt ada satu ota yang bes satu atau lebh obje.

29 PEMA448/MODUL.9 But: Anggaplah bahwa tda satupun ota yang bes lebh da satu obje, maa setap ota bes satu obje atau osong, beat setap ota palng banya bes satu obje. Dengan deman, untu ota, seluuhnya aan memuat palng banya obje. Hal n betentangan dengan eadaan semua obje sebanya + haus masu ota. Contoh.3 Da delapan oang yang teseda, tentu palng sedt ada dua oang yang lah pada ha yang sama. Keadaan n dapat djelasan sebaga delapan obje yang dmasuan e dalam tujuh ota (nama-nama ha dalam satu mnggu) In beat palng sedt ada satu ota (ha) yang bes palng sedt dua oang. Contoh.4 Dalam suatu ujan, so yang dgunaan guu dalam memesa peejaan sswa dengan menggunaan sala 0. Ja tedapat palng sedt dua oang sswa yang mempunya so sama, maa banyanya peseta ujan mnmal adalah oang. Semua peseta ujan dpandang sebaga obje yang dmasuan ota (so). Sebelum membahas teoema beutnya, malah ta lhat dua fungs pentng dalam matemata dst, yatu fungs lanta dan fungs atap. f(x) x dsebut fungs lanta (floo functon) g(x) = = blangan bulat tebesa uang da atau sama dengan x. x dsebut fungs atap (celng functon) = = blangan bulat teecl lebh da atau sama dengan x Contoh.5 3 = blangan bulat tebesa uang da atau sama dengan = 0 3,5 = blangan bulat tebesa uang da atau sama dengan,5 = = blangan bulat tebesa uang da atau sama dengan 4

30 .30 Matemata Dst = = blangan bulat teecl lebh da atau sama dengan = 3,5 = blangan bulat teecl lebh da atau sama dengan,5 = 3 = blangan bulat teecl lebh da atau sama dengan = Teoema.4 Ja N obje dmasuan dalam ota, maa palng sedt ada satu N ota yang bes palng sedt obje. But: N Anggaplah bahwa tda satupun ota yang bes tda lebh da obje, maa banyanya seluuh obje masmal adalah: N N ( ) < ( + ) ) = N Hal n betentangan aena banyanya seluuh obje masmal adalah N, dan buan uang da N. Contoh.6 Tedapat 3 obje untu dmasuan dalam 0 ota 3 3 Maa = 0,3 = 3, = 3 =, (3/0) + = 3,3 0 dan < Anggaplah bahwa tda satupun ota yang bes palng sedt = 0,3 = 3 ota, atau tda satupun ota yang bes lebh da = 3 3 = 0

31 PEMA448/MODUL.3 Maa banyanya seluuh obje masmal adalah = 0 < 0 (( 0 + ) ) = 3 0 Hal n betentangan aena banyanya seluuh obje adalah 3. Contoh.7 00 Da 00 oang sswa seolah dasa, tentu palng sedt tedapat = 6 = 7 oang sswa yang lah pada suatu bulan yang sama. 3 LATIHAN Untu mempedalam pemahaman Anda mengena mate d atas, ejaanlah lathan beut! ) Seoang ana aan memlh satu sepeda moto da dua mee sepeda moto, yatu Honda dan Yamaha. Banyanya sepeda moto Honda yang teseda lma buah, dan banyanya sepeda moto Yamaha yang teseda tga buah. Tentuan banyanya caa memlh sepeda moto! ) Dsuatu a buu teseda tga buu IPA, empat buu matemata, dan dua buu IPS. Seoang mengambl satu buu da a tu. Tentuan banyanya caa seluuh memlh buu! 3) Seseoang aan bepegan da Suabaya e Jaata dengan menggunaan bs malam. Taye bs malam da Suabaya e Jaata dlayan oleh empat bs A, lma bs B, dan enam bs C. Tentuan banya caa bepegan dengan bs! 4) Tentuan banyanya alamat yang dapat dsedaan dalam tga byte! 5) Seoang ana dmnta memlh dua manan da tga jens manan, yatu manan A, manan B, dan manan C. Ja banyanya manan A adalah 3, banyanya manan B adalah, dan banyanya manan C adalah 4, maa tentuanlah banyanya caa memlh manan tesebut!

32 .3 Matemata Dst 6) Tentuan banyanya fungs yang dapat dbuat da A yang mempunya 3 unsu, e B yang mempunya unsu! 7) Tentuan banyanya fungs yang dapat dbuat da A yang mempunya 3 unsu, e B yang mempunya 4 unsu! 8) Tentuan banyanya blangan bulat postf yang mempunya lambang dua anga bebeda dan tda dmula dengan lambang nol! Petunju Jawaban Lathan ) Banya caa memlh satu sepeda moto adalah = 8. ) Banya caa memlh satu buu adalah = 9. 3) Banya caa seseoang bepegan da Suabaya e Jaata dengan bs adalah = 5. 4) Banyanya alamat yang dsedaan dalam 3 byte adalah 4. 5) Seoang ana dua manan da 3 jens manan; ada 3 manan A, manan B, dan 4 manan C. 3 Banya memlh manan da A adalah = 3 Banya memlh manan da B adalah = 4 Banya memlh manan da C adalah = 6 Banya memlh manan da A dan B adalah 3 x = 6 Banya memlh manan da A dan C adalah 3 x 4 = Banya memlh manan da B dan C adalah x 4 = 8 Jad banyanya caa memlh manan da 3 jens manan A, B dan C adalah = 36. 6) Fungs da A e B, dengan A ted da 3 unsu dan B ted da unsu, banyanya fungs adalah x x = 8. 7) Banyanya fungs da A yang ted da 3 unsu e B yang ted da 4 unsu adalah 4 x 3 =.

33 PEMA448/MODUL.33 8) Blangan bulat postf yang ted da dua anga bebeda: Anga petama ted da 9 anga, anga edua ted da 9 anga. (Anga nol, tda boleh menjad anga petama, tetap boleh untu menjad anga edua. Anga edua tda boleh ada yang sama dengan anga petama). Jad banyanya blangan tesebut adalah 9 x 9 = 8. RANGKUMAN Poo-poo pembahasan dalam Kegatan Belaja yang pelu dmenget adalah:. Pengetan pnsp penjumlahan.. Pengetan pnsp pealan. 3. Peneapan pnsp penjumlahan untu memblang banyanya caa sesuatu dejaan. 4. Peneapan pnsp pealan untu memblang banyanya caa sesuatu dejaan. 5. Peneapan pnsp penjumlahan dan pealan untu memblang banyanya caa sesuatu dejaan. TES FORMATIF Plhlah satu jawaban yang palng tepat! ) Seoang ana dmnta mengambl sealeng ot da alengan ot-ot Khong Guan, Roma, dan Monde. Ja banyanya aleng-aleng ot Khong Guan adalah 3 aleng, ot Roma adalah 4 aleng, dan ot Monde adalah 5 aleng, maa banyanya caa mengambl adalah. A. 60 B. 0 C. 5 D. ) Pejalanan da ota A e ota B setap ha dapat dtempuh dengan menggunaan bs atau eeta ap. Ja pejalanan dengan bs teseda 0 taye, dan pejalanan dengan eeta ap teseda 4 taye, maa banyanya seluuh pejalanan da Kota A e Kota B adalah. A. 40 B. 6 C. 4 D.

34 .34 Matemata Dst 3) Satu byte da suatu alamat ted da anga 0 atau sebanya. A. anga B. anga C. 4 anga D. 8 anga 4) Banyanya alamat yang dapat dsedaan dalam empat byte adalah. A. 4 B. 3 C. 8 D. 6 5) Banyanya fungs yang dapat dbuat da A yang mempunya 4 unsu, e B yang mempunya 3 unsu adalah. A. B. 60 C. 8 D. 7 6) Banyanya fungs yang dapat dbuat da A yang mempunya 3 unsu, e B yang mempunya 5 unsu adalah. A. 5 B. 60 C. 8 D. 5 7) Nomo telepon dsuatu ota ted da blangan-blangan 6 anga. Banyanya sambungan nomo telepon yang dsedaan adalah. A B C D ) Banyanya caa mengambl satu atu hat atau satu atu as da satu pa atu bdge adalah. A. B. 3 C. 6 D. 6

35 PEMA448/MODUL.35 9) Banyanya caa mengambl satu atu benomo 3 sampa 0 atau atu Kng da satu pa atu bdge adalah. A. B. 30 C. 34 D. 36 0) Banyanya caa mempeoleh jumlah 4 atau jumlah 8 dalam melempa dua dadu bebeda adalah. A. B. 3 C. 6 D. 8 Cocoanlah jawaban Anda dengan Kunc Jawaban Tes Fomatf yang tedapat d bagan ah modul n. Htunglah jawaban yang bena. Kemudan, gunaan umus beut untu mengetahu tngat penguasaan Anda tehadap mate Kegatan Belaja. Tngat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Bena 00% Jumlah Soal At tngat penguasaan: 90-00% = ba seal 80-89% = ba 70-79% = cuup < 70% = uang Apabla mencapa tngat penguasaan 80% atau lebh, Anda dapat meneusan dengan modul selanjutnya. Bagus! Ja mash d bawah 80%, Anda haus mengulang mate Kegatan Belaja, teutama bagan yang belum duasa.

36 .36 Matemata Dst Kunc Jawaban Tes Fomatf Tes Fomatf ) A. ) C. 5 t ) D. 4) D. 5) C. 6) C. 7) A. 8) A. 9) C s ( ) s st ( s. s.3 s.4 s) 4s 4 s s t s s s t t... s( s ) s s 3 t t 50 (50) (50 ) (00 ) s s n n n n m( m ) ( m m) m m m m m m = n( n )(n ) n( n ) 6 = n( n )(n 3) n( n )(n 4) n( n )( n ) ( ) = = (n ) (( n ) ) (n 5) n 40 n3 n n n = = = 0) C = =. 0.. = 440 3

37 PEMA448/MODUL.37 Tes Fomatf ) C = ) C = 4 3) D. satu byte ted da 8 anga 0 atau 4) B. 8 x 8 x 8 x 8 = 3 5) C. 3 x 3 x 3 x 3 = 8 6) B. 5 x 4 x 3 = 60 7) A. 9 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 = ) C. Banyanya atu hat 3 (temasu as hat), dan banyanya as yang buan hat 3, sehngga banyanya caa = 6 9) D. Katu benomo 3 sampa 0 tedapat pada semua atu hat, seop, etng, dan waj (ed), masng-masng sebanya 8. Banyanya atu ng adalah 4 Jad banyanya caa adalah = 36 0) D. Pasangan jumlah empat adalah (,3), (,), (3,) Pasangan jumlah delapan adalah (,6), (3,5), (4,4), (5,3), dan (6,) Banyanya caa adalah = 8

38 .38 Matemata Dst Dafta Pustaa Gmald, R.P. (989). Dscete and Combnatoal Mathematcs, An Appled Intoducton. New Yo: Addson Wesley. Johnsonbangh, R. (993). Dscete Mathematcs. New Jesey: Pentce Hall. Mott, J.L., Kandel, A. & Bae, T.P. (983). Dscete Mathematcs fo Compute Scentsts Reston. Pentce Hall. Rosen, K.H. (988). Dscete Mathematcs and Its Applcatons. New Yo: Random House. Seymou, L. (976). Dscete Mathematcs: New Yo: Mc Gaw Hll.