METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE DUA DENGAN KOEFISIEN VARIABEL ABSTRACT

Transkripsi

1 METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE DUA DENGAN KOEFISIEN VARIABEL Marpipon Haryandi 1, Asmara Karma 2, Musraini M 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Uniersitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia Marpipon.haryandi@gmail.com ABSTRACT This paper discusses how to sole second order linear ordinary differential equations with ariable coefficients using ELzaki s transformation method, Euler s method and the method of ariation of parameters. Then described the ELzaki s transformation properties to be used in soling second order linear ordinary differential equation with ariable coefficients. From this reiew, ELzaki s transformation method produces particular solutions of second order linear ordinary differential equations with ariable coefficients. While the Euler s method and the method of ariation of parameters only generate the general solution of second order linear ordinary differential equations with ariable coefficients. Keywords: Deriatie, ELzaki s transformation, particular solution, second order linear ordinary differential equation, ariable coefficient,. ABSTRAK Makalah ini membahas tentang cara penyelesaian persamaan diferensial biasa linear orde dua dengan koefisien ariabel menggunakan metode transformasi ELzaki, metode Euler dan metode ariasi parameter. Kemudian diuraikan sifat-sifat transformasi ELzaki untuk digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial biasa linear orde dua dengan koefisien ariabel. Dari ulasan ini, metode transformasi ELzaki menghasilkan solusi khusus dari persamaan diferensial biasa linear orde dua dengan koefisien ariabel. Sedangkan metode Euler dan metode ariasi parameter hanya menghasilkan solusi umum dari persamaan diferensial biasa linear orde dua dengan koefisien ariabel. Kata kunci: Persamaan diferensial biasa linear orde dua dengan koefisien ariabel, solusi khusus, turunan fungsi, transformasi ELzaki. 1

2 1. PENDAHULUAN Salah satu persamaan diferensial biasa yang sering digunakan dalam pemodelan matematika adalah persamaan diferensial biasa linear orde dua dengan koefisien ariabel. Adapun bentuk umum dari persamaan diferensial biasa linear orde dua dengan koefisien ariabel sebagai berikut a (t)y +a 1 (t)y +a 2 (t)y = b(t), (1) dengan a (t),a 1 (t),a 2 (t) dan b(t) adalah fungsi terhadap ariabel t, serta a (t). Persamaan (??) disebut persamaan diferensial biasa linear orde dua nonhomogen dengan koefisien ariabel jika b(t) dan persamaan diferensial biasa linear orde dua homogen dengan koefisien ariabel jika b(t) =. Persamaan diferensial biasa linear orde dua homogen dengan koefisien ariabel yang berbentuk a t 2 y +a 1 ty +a 2 y =, t >, (2) dengan a,a 1,a 2 adalah konstanta, dapat diselesaikan dengan metode Euler [?, h.26]. Metode Euler menghasilkan solusi umum, y = c 1 t r 1 +c 2 t r 2, (3) dengan c 1 dan c 2 adalah konstanta, r 1 dan r 2 adalah akar karakteristik dari persamaan (??). Persamaan diferensial biasa linear orde dua nonhomogen dengan koefisien ariabel dapat diselesaikan dengan metode ariasi parameter [?, h.19], yang solusi umumnya diberikan oleh y = u 1 t r 1 +u 2 t r 2, dimana r 1 dan r 2 adalah akar karakteristik dari persamaan (??). Lebih lanjut dalam [?, h.183] menyatakan bahwa u 1 dan u 2 dapat dicari dengan rumus y 2 (t)b(t) u 1 = W(y 1,y 2 )(t) dt+c 1, y 1 (t)b(t) u 2 = W(y 1,y 2 )(t) dt+c 2, dengan c 1 dan c 2 adalah konstanta dan W(y 1,y 2 ) adalah Wronski dari y 1 dan y 2. Bila syarat awal untuk persamaan(??) tersedia, maka solusi khusus dari masalah nilai awal persamaan (??) dapat diperoleh dari solusi umum yang didapat dengan metode Euler atau ariasi parameter. Solusi khusus tanpa mendapatkan solusi umum dari persamaan (??) dapat diperoleh langsung dengan metode transformasi ELzaki. Hal inilah yang dibahas dalam makalah ini yang merupakan reiew dari artikel On The Elzaki Transform and Ordinary Differential Equation With Variable Coefficients [?]. 2

3 2. TRANSFORMASI ELZAKI Transformasi ELzaki adalah transformasi integral suatu fungsi yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 1 [?] Diberikan himpunan A dengan anggotanya adalah fungsi eksponensial berpangkat, sehingga A dapat ditulis, A = { f(t) : M,k 1 dan k 2 > : f(t) < Me t k j, jika t ( 1) j [, ) }, maka transformasi ELzaki f(t) dalam A adalah E[f(t)] = f(t)e t dt = T(), (k1,k 2 ). (4) Teorema 2 [?] Jika transformasi ELzaki pada fungsi f(t), yaitu T() = E[f(t)] = f(t)e t dt, maka 1. E[tf (t)] = 2 d T() T() f() f(). d 2. E[t 2 f (t)] = 4 d2 T() f(). d 2 3. E[tf (t)] = 2 d T() f() f T() () f() f (). d E[t 2 f (t)] = 4 d2 T() f() f (). Sifat-sifat transformasi ELzaki pada Teorema (??) digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa linear orde dua dengan koefisien ariabel. Kemudian diperoleh solusi persamaan diferensial biasa linear orde dua dengan koefisien ariabel dalam bentuk transformasi ELzaki. Dengan menggunakan skema iners transformasi ELzaki, diperoleh solusi sebenarnya dari persamaan dferensial biasa linear orde dua dengan koefisien arriabel. Beberapa skema iners transformasi ELzaki yang digunakan adalah sebagai berikut [?]: 1. Misal f(t) = 1, diperoleh E ( 1 ) = [ = E ( 1 ) = 2. e t dt e t ] 3

4 2. Misal f(t) = t, diperoleh E ( t ) = Berdasarkan integral parsial, diperoleh E ( t ) = 3. te t dt. Untuk kasus umum jika n > adalah bilangan bulat, diperoleh 3. Misal f(t) = e at, diperoleh E ( t n) = n! n+2. (5) E [ e at] = e t e at dt, E [ e at] = 2 1 a, (6) Hasil dari persamaan (??) berguna juga untuk mendapatkan transformasi ELzaki dari E sin at = a3 1+a 2 2, 2 E cos at = 1+a 2 2, E sinh at = a3 1 a 2 2, 2 E cosh at = 1 a METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE DUA DENGAN KOEFISIEN VARIABEL Pada bagian ini diberikan contoh persamaan diferensial biasa linear orde dua dengan koefisien ariabel, yang diselesaikan dengan menggunakan metode transformasi ELzki, kemudian akan dibandingkan dengan metode Euler dan metode ariasi parameter. Contoh 3.1 Temukanlah solusi khusus dari persamaan diferensial biasa linear orde dua homogen dengan koefisien ariabel sebagai berikut, 2t 2 y 5ty +3y =, t >, (7) y() =,y () =. (8) 4

5 Solusi: Misalkan y = f(t), berdasarkan Teorema (??) dan menggunakan (??), diperoleh E[t 2 y ] = E[t 2 f (t)] = 4 d2 T() f() f (), (9) sehingga persamaan (??) dapat ditulis, E[t 2 y ] = 2 E [y] 4e [y]+6. (1) Berdasarkan Teorema (??) yaitu, E[ty ] = E[tf (t)] = 2 d T() T() f() f(), (11) d persamaan (??) dapat ditulis, E[ty ] = E [y] 2. (12) Dengan mensubstitusikan persamaan (??) dan (??) kedalam persamaan (??), diperoleh Sehingga diperoleh 2 ( 2 E [y] 4E [y]+6 ) 5 ( E [y] 2 ) +3 =, 2 2 E [y] 13E [y]+25 =. = c c2 5. Berdasarkan persamaan (??), diperoleh solusi khusus dari persamaan (??) y = t 1 2 +t 3. Bila digunakan metode Euler untuk menyelesaikan persamaan (??) diperoleh solusi umum dengan bentuk, y = c 1 t 1 2 +c2 t 3. Contoh 3.2 Temukanlah solusi khusus dari persamaan diferensial biasa linear orde dua nonhomogen dengan koefisien ariabel sebagai berikut, t 2 y +4ty +2y = 12t 2, (13) y() =,y () =. (14) Solusi: Misalkan y = f(t), berdasarkan Teorema(??) dan menggunakan(??) diperoleh E[t 2 y ] = E[t 2 f (t)] = 4 d2 T() f() f (), 5

6 Berdasarkan Teorema (??) yaitu, E[ty ] = E[tf (t)] = 2 d T() T() f() f(). d Karena = T() dan y() = f() =, y () = f () =, diperoleh ( ) E[t 2 y ] = 4 d2 y() y (), ( ) E[t 2 y ] = 4 d2. (15) Kemudian diperoleh E[ty ] = 2 d d ( E[ty ] = 2 d d ( Ruas kanan pada persamaan (??) menjadi, ) ( ) y() y(), ) ( ). (16) E[12t 2 ] = (17) Jika persamaan (??) diubah ke bentuk transformasi ELzaki, maka E[t 2 y +4ty +2y] = E[12t 2 ]. (18) Dengan mensubstitusikan persamaan (??), (??) dan (??) ke dalam persamaan (??), diperoleh ( ) ( ) ( ) 4 d d 4 +2 = 24 4, (19) d dari persamaan (??), diperoleh ( ) ( ) ( ) 4 d2 = 4 d 2 E [y] 2 = 4 d E [y] 2, d 4 d 2 3 ( ) ( ) = 4 2 E [y] 2E [y] 2 3 E [y] 6 2, 4 6 ( 4 d2 d 2 ( = 4 E [y] 2E [y] 2E [y] ) = 2 E [y] 4E [y]+6. (2) 2 ), 6

7 Dengan mensubstitusikan persamaan (??) kedalam persamaan (??), diperoleh 2 E [y] 4E [y] 6+4E [y]+6 = 24 4, 2 E [y] 4E [y] 6+4E [y]+6 = (21) Sehingga persamaan (??) dapat ditulis, E [y] = Sehingga diperoleh E [y] = 24 2 d, E [y] = 8 3 +c 1. Kemudian diperoleh ( ) = 8 3 +c 1 d, = 2 4 +c 1 +c 2. dengan c 1 dan c 2 adalah konstanta. Bila c 1 = dan c 2 =, maka diperoleh Berdasarkan persamaan (??), diperoleh = 2 4. y = t 2. Bila digunakan metode ariasi parameter diperoleh solusi dari persamaan (??), diperoleh solusi umum, y = t 2 +c 1 t 2 +c 2 t 1. Dari Contoh 1 dan 2 dapat dilihat bahwa metode transformasi ELzaki, metode Euler dan metode ariasi parameter sama-sama dapat menyelesaikan persamaan diferensial biasa linear orde dua dengan koefisien ariabel yang diberikan. Metode Euler dan metode ariasi parameter memberikan solusi umum dari persamaan diferensial biasa linear orde dua dengan koefisien ariabel, sedangkan metode transformasi ELzaki memberikan solusi khusus dari persamaan diferensial biasa linear orde dua dengan koefisien ariabel. Jika solusi umum yang dihasilkan oleh metode Euler dan metode ariasi parameter diberikan syarat awal, maka akan menghasilkan solusi khusus yang sama dengan solusi khusus pada metode transformasi ELzaki. 7

8 DAFTAR PUSTAKA [1] Boyce, W.E & R. Diprima. 21. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 7 th edition. John Wiley and Sons. New York. [2] Elzaki, T.M & S.M. ELzaki On The Elzaki Transform and Ordinary Differential Equation With Variable Coefficients, Adances in Theoretical and Applied Mathematics 6(1). pp [3] Elzaki, T.M The New Integral Transform Elzaki Transform, Adances in Theoretical and Applied Mathematics 7(1). pp [4] Kreyszig E. 26. Adanced Engineering Mathematics, 9 th Edition. John Wiley and Sons. Canada. [5] Santoso, W Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern, Edisi Kedua. Erlangga. Jakarta. 8