PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER HOMOGEN ORDE 2 Oleh: Ir. Sigit Kusmaryanto, M.Eng

Transkripsi

1 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER HOMOGEN ORDE 2 Oleh: Ir. Sigit Kusmaryanto, M.Eng Pengantar: Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde 2 menjadi dasar penyelesaian persamaan diferensial orde n. Modul ini membahas dasar dasar penyelesaian Persamaan Diferensial Homogen Linier Orde 2 yang dilanjutkan pada PD Linier Homogen orde-n. Isi modul ini : Ketakbebasan Linier Himpunan Fungsi, Determinan Wronski, Prinsip Superposisi, PD Linier Homogen Koefisien Konstanta, Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde -2, Persamaan Cauchi-Euler, PD Linier Homogen Orde n. Tujuan Instruksional Umum: Setelah mengikuti modul ini mahasiswa diharapkan mampu memahami Persamaan Diferensial Linier Orde Persamaan Diferensial Linier Homogen Tujuan Instruksional Khusus: o Mahasiswa dapat memahami konsep ketakbebasan linier dan prinsip superposisi o Mahasiswa dapat menghitung determinan Wronski o Mahasiswa dapat menentukan akar Persamaan Karakteristik o Mahasiswa dapat menyelesaiakan Persamaan Cauchy-Euler o Mahasiswa dapat menyelesaiakan PD Homogen Orde-n Bentuk umum PD Linier orde-n adalah () () + () ( ) + + () + () = () PD yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan tidak linier = adalah PD Linier orde 2 + = adalah PD Tak-Linier orde 2 Selanjutnya pembahasan penyelesaian PD Linier orde-n dalam modul ini dimulai pada PD Linier Orde- 2, yang kemudian dibuat kasus umum untuk penyelesaian PD orde-n. Untuk menyelesaikan PD Linier berbentuk Φ(D)y = F(x) dengan F(x) 0, kita misalkan Y c (x) adalah solusi umum PD homogen dari Φ(D)y=0, maka penyelesaian umum PD Linier adalah dengan menjumlahkan penyelesaian umum PD homogen dan penyelesaian khusus, yaitu: y = Y c (x) + Y p (x) Solusi umum PD homogen: (D 2-3D+2)y=0 adalah y=c 1 e x +c 2 e 2x dan solusi khusus PD : (D 2-3D+2)y=4x 2 adalah 2x 2 +6x+7, maka solusi umum PD lengkap/tak homogen dari (D 2-3D+2)y=4x 2 adalah y= c 1 e x +c 2 e 2x +2x 2 +6x+7

2 3.1.1 Ketakbebasan Linier Himpunan n fungsi y 1 (x), y 2 (x),, y n (x) dikatakan takbebas linier pada suatu selang jika ada n konstanta c 1, c 2,, c n yang tidak semua nol, sehingga berlaku: c 1 y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ + c n y n (x) = 0 jika tidak maka himpunan fungsi tersebut dikatakan bebas linier. Contoh 1: 2e 3x, 5e 3x,e -4x takbebas linier pada suatu selang karena dapat ditentukan konstanta c 1, c 2, c 3 yang tidak semua nol sehingga: c 1 (2e 3x )+ c 2 (5e 3x )+c 3 (e -4x ) = 0 dengan c 1 =-5, c 2 =2, c 3 =0 Contoh 2: e x dan xe x adalah bebas linier karena c 1 (e x )+ c 2 (xe x )=0 hanya jika c 1 =0, c 2 =0 Latihan soal: 1. Tunjukkan bahwa himpunan fungsi berikut bebas linier! (), ( ), (), (!), (), ("), 2. Tunjukkan bahwa himpunan fungsi berikut tak-bebas linier! () 2, ( ), Determinan Wronski Himpunan fungsi y 1 (x), y 2 (x),, y n (x) (yang mempunyai turunan) adalah bebas linier pada suatu selang jika determinan: () () () $(,,, ) = % & () & () () () Determinan tersebut dinamakan determinan Wronski. & () % 0 () Contoh 1: Tentukan determinan Wronski (Wronskian) untuk fungsi-fungsi berikut: () ) 3, 3* ( ) ),, + * 3 3 () $() =, , = = 3 + ( ) $() = = = Contoh 2: Tunjukkan himpunan fungsi )1,1+,1 3* adalah takbebas linier untuk semua nilai x! (a) kita dapat menunjukkan dengan memilih konstanta c1, c2, c3 yang tidak semuanya nol sehingga c1(1-x)+c2(1+x)+c3(1-3x)=0, jika ditentukan c1=1, c2=-1, c3=0 maka 1-x-1-x+0=0, sehingga himpunan fungsi )1,1+,1 3* adalah takbebas linier.

3 (b) kita juga dapat menghitung determinan Wronski-nya, yaitu: $() = = terbukti bahwa Wronskian =0 berarti himpunan fungsi )1,1+,1 3* tak bebas linir untuk semua x Soal Latihan: 1. Buktikan himpunan fungsi berikut bebas linier! (), ( ),, () (2), (2) 2. Misalkan 1() dan 2() adalah penyelesaian && +0() & +1() = 0 (a) Buktikan bahwa determinan Wronskinya $ = & + & = 23 (b) Tentukan nilai c, sehingga 1() dan 2() bebas linier Prinsip Superposisi Jika y 1 (x), y 2 (x),, y n (x) adalah n penyelesaian bebas linier dari persamaan linier orde-n, Φ(D)y=0 maka solusi umumnya: y = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x) dgn c 1, c 2,, c n = konstanta. Jika () dan () adalah solusi persamaan diferensial homogen && +4() & +5() = 0 maka kombinsi linier () + () juga solusi persamaan diferensial. Bukti: () dan () solusi && +4 & +5 = 0 maka && +4 & +5 = 0 dan && +4 & +5 = 0 dari solusi = +, maka: & = & + & && = && + && substitusi ke persamaan diferensial diperoleh: && +4() & +5() = 0 && + && +4( & + & )+5( + )=0 && + && + 4 & + 4 & = 0 ( && +4 & +5 )+ ( && +4 & +5 ) = = Penyelesaian PD Linier Homogen Orde -2 Koefisien Konstanta PD Linier Homogen orde-2 dengan koefisien konstan adalah: && + & + = 0,, = 788 dimisalkan solusi umum PD: = 9 sehingga jika kita substitusi ke dalam PD maka:

4 && + & + = 0 ; 9 + ; = 0 (; + ;+) 9 = 0 Jadi < = = >? menjadi solusi PD jika ; + ;+ = 0 (disebut Persamaan Ciri/Karakteristik) Akar-akar Persamaan Ciri/ Karakteristik adalah: ;, = ± 4 2 Terdapat tiga kemungkinan akar-akar nilai m pada Persamaan Ciri: 1. Jika 4 > 0, maka ;, adalah dua akar Real yang berbeda dengan ;, R maka solusi umumnya: < = C D = > D? +C E = > E? 2. Jika 4 =0, maka ; = ; dengan ;, R, maka solusi umumnya: < = C D = >? +C E? = >? 3. Jika 4 < 0, maka ;,= α ± iβ dengan α,β R maka solusi umumnya: < = C D = (α G Hβ)? (α Hβ)? +C E = dengan rumus Euler, yaitu = H? = CIJ?+K JKL? maka bentuk trigonometri rumus dapat ditentukan: < = C D = (α G Hβ)? (α Hβ)? +C E? = =C D = α? ( CIJ β? +K JKL β? )+C E = α? ( CIJ β? K JKL β?); CIJ β? = CIJ β? =(C D +C E )= α? ( CIJ β? )+K(C D C E )= α? ( JKL β? ) =O= α? CIJ β? +P= α? JKL β?,o,p RILJSTLST UKV.RI>WV=RJ Tentukan solusi umum persamaan difrensial berikut: && +5 & 6 = 0 Akar-akar Persamaan Karakteristik pada PD di atas adalah: ; +5; 6 = 0 (; 1)(;+6) = 0 ; = 1! ; = 6 dua solusi bebas linier PD adalah : () = dan () = Y Jadi solusi umum PD adalah: () = + Y Penyelesaian menggunakan Program MATLAB: >> syms x >> y=dsolve('d2y+5*dy-6*y=0') y =C2*exp(t) + C4/exp(6*t) Selesaikan persamaan diferensial berikut: = 0,(0) = 1, (0) = 0

5 Akar-akar Persamaan Karakteristik pada PD di atas adalah: ; 1 = 0 dua solusi bebas linier PD adalah : Jadi solusi umum PD adalah: (; 1)(;+1) = 0 ; = 1 ; ; = 1 () = ; () = () = + masalah nilai awal (0) = 1, & (0)=0 (0) = 1 + = 1 Jadi solusi khusus PD adalah: (0) = 0 = 0 = 1 2, = 1 2 () = Penyelesaian menggunakan Program MATLAB: >> syms x >> y=dsolve('d2y-y=0','y(0)=0','dy(0)=1') y =exp(t)/2-1/(2*exp(t)) Tentukan penyelesaian umum PD = 0 Akar-akar Persamaan Karakteristik pada PD di atas adalah: ; +4;+4 = 0 (;+2)(;+2) = 0 ; = 2 Diperoleh akar-akar yang sama, sehingga solusi umum PD mestinya adalah: () = karena PD orde 2 akan memberikan dua solusi bebas linier dengan dua variabel konstanta maka solusi kedua dapat ditentukan dengan metode Reduksi Orde PD, yaitu: bentuk umum PD homogen orde-2: + + = 0 akar-akar persamaan karakteristik jika 4 = 0, ; = ; = [ satu solusi PD: () = ] ^ bentuk persamaan reduksi orde yaitu: = _() [ \ = _ () [ \ 2 _() [ \ \

6 = `_ () _ ()+ _()a 4 substitusi, &, && ke PD && + & + = 0, maka: `_ && () _ & [ ()+ 4 _()a \ + b_ & () _() c [ \ +_() [ \ = 0 2 kedua ruas dibagi ] ^, maka: [ \ `_ () _ ()+ 4 _()a+ b_ () \ _() c+_() = 0 2 _ () ` 4 a_() = 0 _ () ` karena 4 = 0 maka persmaan menjadi: _ && () = 0 sehingga: _() = + [ 4 a_() = 0 4 jadi satu solusi lain () adalah () = _() ] ^ = ( + ) ] ^ karena satu solusi PD telah diketahui yaitu () = ] ^ maka solusi lain yang dimaksud adalah () = ] ^ untuk kasus contoh soal di atas penyelesaian umum PD menjadi: () = + Tentukan penyelesaian umum PD berikut: akar-akar persamaan karakteristik: = 0 ; +2;+4 = 0 ;, = 2± 12 2 karena α=-1 dan β= 3 maka penyelesaian umum PD: = 1± 3 < = O=? CIJ 3? +P=? JKL 3? c PD Linier Homogen orde-2: Persamaan Cauchy-Euler Bentuk umum persamaan Cauchy-Euler-orde2 adalah: (+ ) && + (+ ) & + = 0 0,,, = 788 7hee Penyelesaian persamaan Cauchy-Euler-orde2 adalah: misal solusi PD = fg dengan 8 = h(+ ), maka &, && adalah: & =!!8.!8! = ifg. + && =!!8.b!8! c +! 8!8.!! = i fg i fg (+ ) (+ )

7 Substitusi, &, && pada PD didapatkan : (+ ) && + (+ ) & + = 0 (+ ) j i fg i fg (+ ) (+ ) k+ (+ )li fg. + m+ fg = 0 n i fg i fg o+ i fg + fg = 0 p i i + i+ q fg = 0 n i +( )i+ o fg = 0 sehingga persamaan karaktristik-nya: i +( )i+ = 0 Akar-akar Persamaan Karakteristik adalah: i, = ( )±r( ) 4 2 Terdapat tiga kemungkinan akar-akar nilai m pada Persamaan Ciri: 1. Jika r( ) 4 > 0, maka i, adalah dua akar Real yang berbeda maka solusi umumnya: < = C D (T?+U) s D +C E (T?+U) s E 2. Jika r( ) 4 > 0 = 0, maka i = i maka solusi umumnya: < = (T?+U) s DnC D +C E VL(T?+U)o 3. Jika r( ) 4 < 0, maka i,= α ± iβ maka solusi umumnya: < = (T?+U) α pc D CIJtβVL(T?+U)u+C E JKL (βvl(t?+u))q Tentukan persamaan karakterisik pada persamaan Cauchy-euler jika a=1 dan b=0! persamaan Cauchy-Euler: (+ ) && + (+ ) & + = 0 jika a=1 dan b=0, persamaan menjadi: () && + () & + =0 persamaan karakteristik: i +( )i+ = 0 i +( 1)i+ =0 Tentukan penyelesaian PD berikut: && 4 & +6 = 0 misal solusi umum PD = fg dengan 8 = h persamaan karakteristik: i 5i+6 = 0,i = 2,i = 3 penyelesaian umum PD: = + +

8 Tentukan penyelesaian PD berikut: = 0 misal solusi umum PD = fg dengan 8 = h persamaan karakteristik: i +2i+1 = 0,i, = 1 penyelesaian umum PD: = n + h()o Tentukan penyelesaian PD berikut: 3(2 5) && (2 5) & +2 = 0 misal solusi umum PD = fg dengan 8 = h(2 5) persamaan karakteristik: 6i 7i+1 = 0,i = 1,i = 6 penyelesaian umum PD: Latihan Soal: Tentukan solusi umum PD Cauchy-Euler berikut: 1. && 1 & 3 = 0 = (2 5)+ (2 5) /Y 2. && + & = 0 3. && 7 & +16 = && +12 & +3 = 0 5. && +3 & +5 = 0 6. && +1,25 = 0 7. (+2) && (+2) & + = 0 8. (+1) && +5(+1) & +3 =0 9. (2 3) && +7(2 3) & +4 = (1 ) && (1 ) & + = (1 2) && +11(2 1) & 2 = PD Linier Homogen orde-n dengan Koefisien Konstan Persamaan Diferensial Linier Homogen orde-n dengan koefisien konstan mempunyai bentuk umum: () + ( ) + + & + = 0, 0 Jika,,, adalah penyelesaian khusus PD Linier homogen, maka kombinasi liniernya juga penyelesaian PD Linier homogen, dirumuskan: = = z7 { { {, 7,7,,7 = 788 Penyelesaian PD Linier homogen orde-n dengan substitusi = f sehingga didapatkan persamaan karakteristik: i + i + + i + = 0 Untuk selanjutnya dengan teknik faktorisasi dapat ditentukan akar-akar persamaan karakteristik, yaitu: i + i + + i + = (i i )(i i ) (i i )=0

9 Akar-akar persamaan karakteristik di atas dapat bernilai sama atau disebut akar rangkap (multiplicity). Dua kasus akar rangkap untuk solusi PD Linier Homegen orde-n, yaitu: Kasus I. Jika Akar rangkap adalah r=bilangan riil, terdapat k penyelesaian bebas linier. k solusi bebas linier: Kasus II. solusi umumnya: = s?,?= s?,,? RD = s? ; R D < = C D = s? +C E?= s? + +C R? RD = s? ~ = Jika Akar rangkap adalah r=bilangan komplek (r=α±iβ). terdapat k penyelesaian bebas linier. k solusi bebas linier: solusi umumnya: = α? CIJ β?,?= α? CIJ β?,,? RD = α? CIJ β?, = α? JKL β?,?= α? JKL β?,,? RD = α? JKL β? < = = α? p(c D CIJ β?+c E JKL β?)+?(c CIJ β?+c JKL β?)+ +? RD (C RD CIJ β?+c R JKL β?)o Selesaikan persamaan diferensial berikut: persamaan karakteristik: ( ) 3 (ƒ) +3 = 0 i 3i ƒ +3i + i = 0 akar-akar persamaan karakteristik i = i = 0,i + = i ƒ = i = 1 solusi bebas linier:,,,, Jadi solusi umumnya: Tentukan penyelesaian PD berikut: persamaan karakteristik: = + +( + + ƒ + ) 2 +2 = 0 i + 2i +i+2 = 0 akar-akar persamaan karakteristik i = 1,i = 1,i + =2 solusi bebas linier:,, Jadi solusi umumnya: = Tentukan penyelesaian PD berikut: persamaan karakteristik: (ƒ) = 0

10 i ƒ 4i + +14i 20i+25 = 0 akar-akar persamaan karakteristik i = i = 1+2,i + = i ƒ = 1 2 solusi bebas linier: (2), (2), (2), (2) Jadi solusi umumnya: = (2)+ (2)+ + (2)+ ƒ (2) Latihan Soal: Tentukan penyelesaian umum PD berikut: 1. = 0 2. (ƒ) 5 +4 = 0 3. (ƒ) = = = 0 6. (ƒ) = 0 Untuk soal berikut tentukan solusi PD dengan syarat awal berikut: 7. = 0, (0) = 4, (0) = 0, (0) = 9 8. (ƒ) = 0, (0) = 5, (0) = 2, (0) = 1, (0) = 2 9. (ƒ) +3 4 = 0,(0) = 0, (0) = 1, (0) = 5, (0) = = 0, (0) = 1, (0) = 0, (0) = Rangkuman Himpunan n fungsi y 1 (x), y 2 (x),, y n (x) dikatakan takbebas linier pada suatu selang jika ada n konstanta c 1, c 2,, c n yang tidak semua nol, sehingga berlaku: c 1 y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ + c n y n (x) = 0 Himpunan fungsi y 1 (x), y 2 (x),, y n (x) (yang mempunyai turunan) adalah bebas linier pada suatu selang jika determinan Wronski: () () () $(,,, ) = % & () & () & () % 0 () () () Jika y 1 (x), y 2 (x),, y n (x) adalah n penyelesaian bebas linier dari persamaan linier orde-n, Φ(D)y=0 maka solusi umumnya: y = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x) PD Linier Homogen orde-2 dengan koefisien konstan adalah: + + = 0,, = 788 Jika diduga solusi umum < = = >? maka akan diperoleh Persamaan Ciri/Karakteristik ; + ;+ = 0 Akar-akar Persamaan Karakteristik adalah: ;, = ± 4 2 Terdapat tiga kemungkinan akar-akar nilai m pada Persamaan Ciri: 1. Jika 4 > 0, maka ;, adalah dua akar Real yang berbeda dengan ;, R maka solusi umumnya:

11 < = C D = > D? +C E = > E? 2. Jika 4 =0, maka ; = ; dengan ;, R, maka solusi umumnya: < = C D = >? +C E? = >? 3. Jika 4 < 0, maka ;,= α ± iβ dengan α,β R maka solusi umumnya: < = C D = (α G Hβ)? (α Hβ)? +C E = dengan rumus Euler, yaitu = H? = CIJ?+K JKL? maka bentuk trigonometri rumus dapat ditentukan: < == O= α? CIJ β? +P= α? JKL β?,o,p RILJSTLST UKV.RI>WV=RJ Test Formatif Tentukan penyelesaian umum PD berikut: 1. 3 = (ƒ) 5 +4 = (ƒ) = = = (ƒ) = 0 Untuk soal berikut tentukan solusi PD dengan syarat awal berikut: 7. 3 = 0, (0) = 4, (0) = 0, (0) = (ƒ) = 0, (0) = 5, (0) = 2, (0) = 1, (0) = (ƒ) +3 4 = 0,(0) = 0, (0) = 1, (0) = 5, (0) = = 0, (0) = 1, (0) = 0, (0) = Daftar Pustaka [1] Sigit Kusmaryanto, Buku Ajar Matematika Teknik I,2012 [2] Kreyszig, Erwin, Matematika Teknik lanjutan. Jakarta: Gramedia, [3] Stroud, K.A., Matematika untuk Teknik. Jakarta: Penerbit Erlangga, [4] Farlow, Stanley J., An Introduction to Diffrenential Equations and Their Applications, McGraw-Hill, Singapore, 1994 [5] Howard, P., Solving ODE in MATLAB, Fall, 2007 [6] Thompson, S., Gladwell, I., Shampine, L.F., Solving ODEs with MATLAB, Cambridge University Press, 2003 [7] Rosenberg, J.M., Lipsman, R.L., Hunti, B.R., A Guide to MATLAB for Beginners and Experienced Users, Cambridge University Press, 2006