METODE RUNGE-KUTTA DAN BLOK RASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL
|
|
- Liana Yuwono
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 METODE RUNGE-KUTTA DAN BLOK RASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh : Agung Christian NIM: PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017 i
2 RUNGE-KUTTA AND RATIONAL BLOCK METHODS FOR SOLVING INITIAL VALUE PROBLEM FINAL ASSIGNMENT Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains Mathematics Study Program Written by: Agung Christian Student Number: MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2017 ii
3
4
5 MOTTO Hal yang paling penting dalam hidup bukanlah kemenangan namun perjuangan. Hal yang perlu bukanlah menaklukan, tapi telah berjuang dengan baik ~Eddie the eagle~ Bagaimana buruknya hidup, akan selalu ada sesuatu yang bisa dilakukan dan bisa kau gapai, selama masih ada kehidupan maka akan selalu ada harapan ~The theory of everything~ v
6 HALAMAN PERSEMBAHAN Karya ini aku persembahkan kepada: Tuhan Yesus Kristus yang selalu membuatku kuat dan bertahan pada pilihan yang aku buat. Bapak-Ibu dan keluarga besar F. B. Soeharto. vi
7 PERNYATAAN KEASLIAN Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa tugas akhir yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain kecuali yang disebutkan dalam daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah. Yogyakarta, 20 Februari 2017 Agung Christian vii
8 LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Agung Christian NIM : Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul: METODE RUNGE-KUTTA DAN BLOK RASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap menyantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya, Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal: 20 Februari 2017 Yang menyatakan Agung Christian viii
9 ABSTRAK Tugas akhir ini membahas tentang penyelesaian numeris masalah nilai awal dengan menggunakan metode Runge-Kutta dan metode blok rasional. Metode Runge-Kutta yang digunakan yaitu, Runge-Kutta tingkat satu (metode Euler) dan Runge-Kutta tingkat dua (metode Heun). Kedua metode numeris Runge-Kutta tersebut sering digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal. Metode blok rasional diperkenalkan oleh Teh Yuan Ying dan kawankawan pada tahun Metode ini merupakan metode yang tidak banyak dikenal umum, sehingga metode ini jarang digunakan. Metode blok rasional merupakan gabungan dari metode satu langkah dan dua langkah yang dalam penghitungannya metode blok rasional membentuk suatu blok yang di dalamnya terdapat tiga buah titik. Jadi metode blok rasional mampu menghitung nilai hampiran dua buah titik secara bersamaan dalam satu iterasi. Selain itu metode blok rasional juga mempunyai penyelesaian yang lebih akurat dibandingkan dengan metode Euler dan metode Heun. Hal ini dapat dilihat melalui simulasi dengan komputer. Kesalahan dari metode blok rasional relatif lebih kecil dibandingkan metode Euler dan metode Heun. ix
10 ABSTRACT This final assignment discusses about numerical solutions to initial value problems using Runge-Kutta and rational block methods. The Runge-Kutta methods cosidered in this final assignment are the first order Runge-Kutta (Euler s method) and the second order Runge-Kutta (Heun s method). Both these Runge-Kutta numerical methods are often used to solve initial value problems. Rational block method was introduced by Teh Yuan Ying and colleagues in This method is not widely known in general, so this method is rarely used. Rational block method is a combination of one-step and two-step methods where in the calculations, rational block method forms a block in which there are three points. Therefore, rational block method is able to calculate the approximation values of two points simultaniously in one iteration. Furthermore, rational block method also has more accurate solution than Euler s and Heun s methods. This can be seen in computer simulation. The error of rational block method is relatively smaller than those of Euler s and Heun s methods. x
11 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat dan rahmat melimpah yang selalu diberikan kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Tugas akhir ini merupakan salah satu syarat yang harus dipenuhi oleh penulis agar penulis dapat memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si.). Pada kesempatan kali ini, penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada seluruh pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini. Penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dosen pembimbing dan Dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma. 2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma. 3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Ibu Any Herawati, S.Si., M.Si., Bapak Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, M.Si., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen-dosen Program Studi Matematika yang sangat membantu penulis selama proses menimba ilmu di Program Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma. 4. Bapak/Ibu dosen dan karyawan yang selalu membantu dan memberikan masukan dan dukungannya kepada penulis. 5. Kedua orang tuaku yang selalu mengingatkan dan memberi semangat untuk selalu belajar, berdoa dan berusaha. xi
12 6. Keluarga besar F. B. Soeharto atas dukungan, semangat, dan motivasi yang selalu diberikan kepada penulis. 7. Teman-teman seperjuangan, mahasiswa/i Program Studi Matematika angkatan 2013 atas suka duka dan pahit manisnya pengalaman yang pernah kita jalani bersama. 8. Kakak tingkat dan adik tingkat mahasiswa/i Program Studi Matematika karena boleh mengenal, bercanda, berbagi suka duka bersama kalian. 9. Teman-teman OMK Gereja St. F. X. Kidul Loji Yogyakarta atas bantuan dan dukungannya selama ini. Terima kasih karena selalu ada saat susah maupun senang. 10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan tugas akhir ini. Oleh karena itu, penulis mohon kritik dan saran kepada pembaca supaya penulis dapat menyempurnakan karya ini. Semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan bagi kemajuan ilmu pengetahuan. Yogyakarta, 20 Februari 2017 Penulis Agung Christian xii
13 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING. HALAMAN PENGESAHAN. MOTTO HALAMAN PERSEMBAHAN.. PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH.. ABSTRAK.. ABSTRACT. KATA PENGANTAR DAFTAR ISI i iii iv v vi vii viii ix x xi xiii BAB I: PENDAHULUAN.. 1 A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah. C. Batasan Masalah. D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II: PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN METODE NUMERIS 7 xiii
14 A. Persamaan Diferensial 1. Definisi Persamaan Diferensial.. 2. Klasifikasi Persamaan Diferensial Masalah Nilai Awal. 4. Teorema Eksistensi dan Ketunggalan.. B. Metode Pendekatan atas Nilai Fungsi 1. Deret Taylor 2. Metode Euler.. 3. Metode Heun.. C. Penyelesaian Analitis Masalah Nilai Awal 1. Persamaan Diferensial Biasa Tingkat Satu. 2. Persamaan Diferensial Biasa Tingkat Dua. 3. Penyelesaian Analitis Persamaan Diferensial Biasa BAB III: METODE BLOK RASIONAL 30 A. Metode Blok Rasional B. Penyelesaian Numeris Masalah Nilai Awal BAB IV: KEKONVERGENAN METODE NUMERIS 53 A. Definisi dan Teorema untuk Kekonvergenan B. Kekonvergenan Metode Euler C. Kekonvergenan Metode Heun D. Kekonvergenan Metode Blok Rasional BAB V: PENUTUP 62 A. Kesimpulan. 62 xiv
15 B. Saran DAFTAR PUSTAKA 64 LAMPIRAN 1 66 LAMPIRAN xv
16 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Dalam dunia sains dan teknik, model matematika sangat berguna untuk menyelesaikan berbagai macam persoalan yang ada. Ada berbagai macam model matematika yang bisa diterapkan, salah satunya model persamaan matematika yang terdiri atas beberapa turunan fungsi yang tidak diketahui. Persamaan tersebut biasa disebut persamaan diferensial. Berdasarkan banyaknya variabel bebas, persamaan diferensial dibedakan menjadi dua jenis, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Pada tugas akhir ini akan dibahas mengenai penyelesaian masalah nilai awal dari suatu persamaan diferensial biasa. Persamaan diferensial biasa adalah persamaan yang memuat beberapa turunan dari fungsi yang tidak diketahui dan memuat satu variabel bebas. Untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial biasa diperlukan nilai awal. Persamaan diferensial yang disajikan bersama nilai awalnya disebut masalah nilai awal. Masalah nilai awal yang melibatkan turunan pertama dapat ditulis dalam bentuk: y (x) = f(x, y(x)), y(a) = η dengan x merupakan variabel bebas, a merupakan titik awal, dan η merupakan nilai awal y di titik a. 1
17 2 Ada dua cara yang bisa dilakukan untuk menyelesaikan masalah nilai awal, yaitu secara analitis dan numeris. Penyelesaian masalah nilai awal secara analitis tidak selalu mudah didapatkan. Ada beberapa bentuk persamaan diferensial yang sulit diselesaikan secara analitis. Jika masalah nilai awal sulit diselesaikan secara analitis, maka masalah nilai awal tersebut dapat dicoba diselesaikan secara numeris. Dalam tugas akhir ini akan dibahas penyelesaian masalah nilai awal suatu persamaan diferensial biasa secara numeris dengan menggunakan metode Euler, metode Heun, dan metode blok rasional. Metode Euler dan metode Heun merupakan metode numeris yang sering digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal, sedangkan metode blok rasional merupakan metode yang tidak terlalu populer dan oleh karena itu metode ini jarang digunakan. Akan tetapi, metode blok rasional mempunyai penghitungan yang lebih cepat dibandingkan dengan metode Euler dan metode Heun. Hal ini karena dalam satu iterasi, metode blok rasional mampu menghitung nilai pendekatan dua titik secara bersamaan. Penghitungan masalah nilai awal dengan metode blok rasional diilustrasikan dalam Gambar 1.
18 3 Gambar 1. Metode blok rasional Dalam proses penghitungannya, metode blok rasional membentuk beberapa blok dengan setiap bloknya terdiri dari tiga titik. Untuk menghitung nilai dari titik-titik yang berada di dalam blok tersebut diperlukanlah nilai awal. Misal interval pengintegralan numerisnya adalah x [a, b] R, maka x = a merupakan titik awalnya. Pada blok ke-k, nilai y n di titik x n digunakan untuk menghitung nilai y n+1 dan y n+2. Pada blok ke-(k + 1), nilai y n+2 yang telah diperoleh dari penghitungan sebelumnya digunakan untuk menghitung nilai y n+3 dan y n+4. Proses penghitungan yang sama dilakukan pada blok-blok selanjutnya hingga mencapai titik akhir dari interval pengintegralannya, yaitu x = b. Jadi metode blok rasional mempunyai penghitungan numeris yang lebih cepat karena dalam satu iterasi, metode Blok Rasional mampu menghitung nilai dari dua titik secara bersamaan. B. Rumusan Masalah Rumusan masalah yang dibicarakan yaitu:
19 4 1. Bagaimana menyelesaikan masalah nilai awal dari suatu persamaan diferensial biasa dengan menggunakan metode Euler, metode Heun, dan metode blok rasional? 2. Bagaimana kekonvergenan metode Euler, metode Heun, dan metode blok rasional? C. Batasan Masalah Masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini terbatas pada penyelesaian masalah nilai awal dari suatu persamaan diferensial biasa tingkat satu dan tingkat dua. D. Tujuan Penulisan Tujuan penulisan tugas akhir ini: 1. Menyelesaikan masalah nilai awal dari suatu persamaan diferensial biasa secara numeris dengan menggunakan metode Euler, metode Heun, dan metode blok rasional. 2. Menganalisis kekonvergenan metode Euler, metode Heun, dan metode blok rasional dengan analisis numeris dan simulasi komputer. E. Manfaat penulisan Manfaat penulisan dari tugas akhir ini yaitu kita dapat menyelesaikan masalah nilai awal dari suatu persamaan diferensial biasa secara numeris.
20 5 F. Metode Penulisan Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini yaitu studi pustaka dengan mempelajari buku-buku dan jurnal-jurnal yang berkaitan dengan persamaan diferensial dan metode numeris serta dengan simulasi komputer. G. Sistematika Penulisan BAB I: PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II: PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN METODE NUMERIS A. Persamaan Diferensial 1. Definisi Persamaan Diferensial 2. Klasifikasi Persamaan Diferensial 3. Masalah Nilai Awal 4. Teorema Eksistensi dan Ketunggalan B. Metode Pendekatan atas Nilai Fungsi
21 6 1. Deret Taylor 2. Metode Euler 3. Metode Heun C. Penyelesaian Analitis Masalah Nilai Awal 1. Persamaan Diferensial Biasa Tingkat Satu 2. Persamaan Diferensial Biasa Tingkat Dua 3. Penyelesaian Analitis Persamaan Diferensial Biasa BAB III: METODE BLOK RASIONAL A. Metode Blok Rasional B. Penyelesaian Numeris Masalah Nilai Awal BAB IV: KEKONVERGENAN METODE NUMERIS A. Definisi dan Teorema untuk Kekonvergenan B. Kekonvergenan Metode Euler C. Kekonvergenan Metode Heun D. Kekonvergenan Metode Blok Rasional BAB V: PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran
22 BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN METODE NUMERIS Pada bab II ini akan dipaparkan beberapa pokok bahasan penting dalam persamaan diferensial dan metode numeris. A. Persamaan Diferensial Pada bagian ini akan dibahas pengertian, klasifikasi dan contoh-contoh persamaan diferensial. 1. Definisi 2.1. (Persamaan Diferensial) Persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang terdiri dari beberapa turunan fungsi yang tidak diketahui, yang menyatakan hubungan fungsi tersebut dengan turunan-turunannya. (Boyce, W. E. and R. C. DiPrima) 2. Klasifikasi Persamaan Diferensial Berdasarkan beberapa kriteria, persamaan diferensial diklasifikasikan ke dalam beberapa jenis. a. Persamaan Diferensial Biasa dan Parsial. Salah satu klasifikasi penting dalam persamaan diferensial yaitu banyaknya variabel bebas yang terdapat dalam persamaan diferensial tersebut. Banyaknya variabel bebas dalam suatu persamaan diferensial akan menentukan jenis persamaan diferensial. Berdasarkan banyaknya variabel bebas, persamaan diferensial dibedakan menjadi dua jenis, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. 7
23 8 Definisi 2.2. (Persamaan Diferensial Biasa) Persamaan Diferensial Biasa (PDB) adalah suatu persamaan diferensial yang hanya melibatkan turunan biasa dan mempunyai satu variabel bebas. (Boyce, W. E. and R. C. DiPrima) Contoh persamaan diferensial biasa: 5x dy dx + y = 0 (1) 3x 3 d2 y dx dy dx 3 y = 8 (2) 3 d10 y dy5 + 8 dx10 dx 5 y = 2 (3) y 2 dy dx + 2 x y = sin y (4) dengan y merupakan variabel tak bebas dan x merupakan variabel bebas. Persamaan (1) (4) dapat ditulis dalam bentuk lain, yaitu: 5 x y + y = 0 (5) 3 x 3 y + 8y 3 y = 8 (6) 3 y (10) + 8 y (5) y = 2 (7) y 2 y + 2 x y = sin y (8) dimana y, y,, y (n) merupakan turunan fungsi y terhadap x.
24 9 Definisi 2.3. (Persamaan Diferensial Parsial) Persamaan Diferensial parsial (PDP) adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan turunan parsial dan mempunyai lebih dari satu variabel bebas. (Boyce, W. E. and R. C. DiPrima) Contoh persamaan diferensial parsial: 2 u(x, t) x u(x, t) t 2 = 0 dengan u(x, t) merupakan variabel tak bebas dan x, t merupakan variabel bebas. b. Tingkat Persamaan Diferensial Tingkat (orde) dari suatu persamaan diferensial adalah tingkat turunan tertinggi pada persamaan diferensial tersebut. Jika turunan tertinggi suatu persamaan diferensial adalah n, maka persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan diferensial tingkat n. Contoh persamaan (1) merupakan persamaan diferensial tingkat satu, persamaan (2) merupakan persamaan diferensial tingkat dua dan persamaan (3) merupakan persamaan diferensial tingkat sepuluh. Jadi, jika turunan tertinggi dari suatu persamaan diferensial adalah n, maka persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial tingkat n. Berikut merupakan bentuk umum persamaan diferensial biasa berdasar tingkatannya. y = f(x, y) persamaan diferensial tingkat satu
25 10 y = f(x, y, y ) y (10) = f(x, y, y,, y (9) ) y (n) = f(x, y, y,, y (n 1) ) persamaan diferensial tingkat dua persamaan diferensial tingkat sepuluh persamaan diferensial tingkat n c. Linier dan Non-Linier. Salah satu klasifikasi penting pada persamaan diferensial adalah ketika persamaan diferensial tersebut bersifat linier atau non-linier. Definisi 2.4. (Persamaan Diferensial Biasa Linier) Persamaan diferensial biasa disebut linier jika f(x, y, y, y,., y (n) ) = 0 memuat semua suku fungsi linier dari variabel y, y, y,., y (n). (Boyce, W. E. and R. C. DiPrima) Secara umum, persamaan diferensial biasa linier ditulis dalam bentuk: a 0 (x)y (n) + a 1 (x)y (n 1) + + a n (x)y = g(x) (9) dengan g(x), a 0 (x), a 1 (x),, a n (x) merupakan fungsi dari x dan y merupakan variabel tak bebas. Contoh dari persamaan diferensial biasa linier adalah persamaan (1) dan (2) karena kedua persamaan tersebut memenuhi bentuk seperti pada persamaan (9).
26 11 Definisi 2.5. (Persamaan Diferensial Biasa Non-linier) Persamaan diferensial biasa disebut non-linier jika persamaan diferensial tersebut tidak memenuhi persamaan (9). (Boyce, W. E. and R. C. DiPrima) Contoh dari persamaan diferensial biasa non-linier adalah persamaan (4) karena pada persamaan tersebut terdapat fungsi y 2 dan sin y. 3. Masalah Nilai Awal Pada bagian ini akan dijelaskan pengertian masalah nilai awal dan contoh-contohnya. Definisi 2.6. Masalah nilai awal Masalah nilai awal adalah persamaan diferensial yang disajikan bersama dengan nilai awalnya. Misalkan masalah nilai awal untuk persamaan diferensial tingkat ke-n diberikan oleh: f(x, y, y,, y (n) ) = 0. Hal ini berarti mencari penyelesaian persamaan diferensial pada interval I yang memenuhi kondisi awal, y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1, y (n 1) (x 0 ) = y n 1,
27 12 dengan x 0 I dan y 0, y 1,, y n 1 merupakan suatu konstanta. Contoh masalah nilai awal, yaitu: y (x) = 10 y(x), y(0) = 1 (10) y (x) y (x) y(x) = 0, y(0) = 1.01, y (0) = 2 (11) y (x) = 1 + y(x) 2, y(0) = 1. (12) 4. Teorema Eksistensi dan Ketunggalan Teorema eksistensi dapat membantu untuk mencari tahu apakah penyelesaian masalah nilai awal tersebut ada atau tidak. Jika y(x) adalah fungsi kontinu yang melewati (x 0, y 0 ), maka masalah nilai awal tersebut mempunyai penyelesaian. Selanjutnya, jika masalah nilai awal tersebut mempunyai penyelesaian, dapat diperiksa apakah penyelesaiannya tunggal atau tidak. Oleh karena itu, untuk memeriksa ketunggalan dari penyelesaian masalah nilai awal tersebut dapat digunakan teorema ketunggalan. Jika f(x, y) kontinu dan f juga kontinu, maka masalah nilai y awal tersebut mempunyai penyelesaian yang tunggal. Lebih lanjut, diberikan teorema eksistensi dan ketunggalan sebagai berikut. Teorema. Diberikan masalah nilai awal: dy dx = f(x, y), y(x 0) = y 0.
28 13 Jika f dan f adalah fungsi yang kontinu pada daerah y R = {(x, y): a < x < b, c < y < d} yang memuat (x 0, y 0 ), maka masalah nilai awal mempunyai penyelesaian tunggal y(x) pada interval x 0 δ x x 0 + δ, dengan δ > 0. Bukti: Dapat dilihat dalam buku referensi Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problem. (6th edition). Chapter 13. B. Metode Pendekatan atas Nilai Fungsi Pada bagian ini akan dibahas beberapa metode pendekatan antara lain deret Taylor, metode Euler dan metode Heun. 1. Deret Taylor Misalkan y dan semua turunannya, y, y, y, kontinu di dalam interval [a, b]. Misalkan x 0 [a, b], maka untuk nilai-nilai x di sekitar x 0 dan x [a, b], y(x) dapat diuraikan ke dalam deret Taylor: y(x) = y(x 0 ) + (x x 0) 1! y (x 0 ) + + (x x 0) n n! y (n) (x 0 ) +. Jika x x 0 = h, maka deret Taylor dapat ditulis sebagai berikut: y(x) = y(x 0 ) + h 1! y (x 0 ) + + hn n! y(n) (x 0 ) +, atau dapat ditulis dalam notasi sigma sebagai berikut: y(x) = hn n! y(n) (x 0 ). n=0
29 14 2. Metode Euler Metode Euler merupakan metode numeris yang sering digunakan dalam menyelesaikan masalah nilai awal. Metode Euler diperoleh dengan menguraikan suatu fungsi ke dalam deret Taylor sampai dua suku awal. Metode ini mempunyai tingkat keakuratan satu. Berikut ini rumusan dari metode Euler. Diberikan masalah nilai awal: y (x) = f(x, y), y(x 0 ) = y 0. Misalkan y n = y(x n ) adalah hampiran nilai y di titik x n dengan x n = x 0 + n h untuk n = 0,1,2,, N. Metode Euler diturunkan dengan cara menguraikan y n+1 di sekitar x n ke dalam deret Taylor, sehingga diperoleh: y n+1 = y n + (x n+1 x n ) 1! y n + (x n+1 x n ) 2 2! y n +. Jika persamaan di atas dipotong sampai suku kedua, maka diperoleh: y n+1 = y n + (x n+1 x n ) 1! y n + O (h 2 ), dengan O(h 2 ) adalah suku sisa atau kesalahan pemotongan lokal dari metode Euler. Diketahui bahwa y (x) = f(x, y) dan h = x n+1 x n, maka persamaan tersebut menjadi: y n+1 = y n + h f(x n, y n ).
30 15 3. Metode Heun Metode Heun merupakan perbaikan dari metode Euler. Metode Euler mempunyai penghitungan yang lebih sederhana dibandingkan dengan metode Heun. Metode Heun merupakan metode Runge-Kutta tingkat dua. Bentuk umum penyelesaian persamaan diferensial biasa dengan menggunakan metode Runge-Kutta tingkat dua, yaitu: y n+1 = y n + (a 1 k 1 + a 2 k 2 ), dengan k 1 = h f(x n, y n ) dan k 2 = h f(x n + p 1 h, y n + q 11 k 1 ). Dari persamaan Runge-Kutta tingkat dua tersebut diketahui bahwa a 1, a 2, k 1, k 2 adalah koefisien-koefisien yang tidak diketahui nilainya. Oleh karena itu akan dicari nilai dari koefisien-koefisien tersebut. Misalkan, f = f(x n, y n ), f x = f(x n, y n ), x f y = f(x n, y n ). y Dengan menguraikan k 2 ke dalam deret Taylor di sekitar (x, y) sampai suku tingkat satu, diperoleh: k 2 = h f(x n + p 1 h, y n + q 11 k 1 ) = h (f + p 1 h f(x n, y n ) x = h (f + p 1 h f x + q 11 h ff y ) f(x n, y n ) + q 11 k 1 ) y = h (f + h (p 1 f x + q 11 f f y ))
31 16 = h f + h 2 (p 1 f x + q 11 f f y ). Jadi, y n+1 = y n + (a 1 k 1 + a 2 k 2 ) = y n + a 1 hf + a 2 (h f + h 2 (p 1 f x + q 11 f f y )) Diketahui: maka = y n + a 1 hf + a 2 hf + a 2 h 2 (p 1 f x + q 11 f f y ) = y n + (a 1 + a 2 ) hf + a 2 h 2 (p 1 f x + q 11 f f y ). (*) y (x n ) = f(x n, y n ) = f, y (x n ) = f (x n, y n ) = f dx x dx + f dy y dx, dengan menguraikan y n+1 ke dalam deret Taylor disekitar x n sampai suku tingkat dua, diperoleh: y n+1 = y n + h y n + h2 2 y n, = y n + h f + h2 2 ( f dx x dx + f dy y dx ), = y n + h f + h2 2 (f x + f y f). (**) Agar persamaan (*) sama dengan persamaan (**) haruslah, a 1 + a 2 = 1, a 2 p 1 = 1 2, a 2 q 11 = 1 2. Misalkan a 2 = t dengan t R, maka diperoleh penyelesaian:
32 17 a 1 = 1 a 2 = 1 t, p 1 = 1 2 a 2 = 1 2 t, q 11 = 1 2 a 2 = 1 2 t. Jadi metode Runge-Kutta tingkat dua mempunyai tak hingga banyak penyelesaian. Salah satu contoh metode Runge-Kutta tingkat dua yaitu metode Heun. Metode Heun merupakan penyelesaian khusus dari metode Runge-Kutta dengan mengambil a 1 = 1 2, a 2 = 1 2, p 1 = q 11 = 1, sehingga diperoleh rumus metode Heun, yaitu: y n+1 = y n h [f(x n, y n ) + f(x n+1, y n+1 )], dimana y n+1 = y n + h f(x n, y n ). C. Penyelesaian Analitis Masalah Nilai Awal Sebelum masuk ke contoh penyelesaian persamaan diferensial biasa, terlebih dahulu akan dipaparkan beberapa metode penyelesaian persamaan diferensial biasa. 1. Persamaan Diferensial Biasa Tingkat Satu Pada bagian ini akan dijelaskan teknik penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat satu, yaitu (a) persamaan diferensial biasa yang langsung diintegralkan, (b) persamaan diferensial biasa dengan variabel terpisah, (c) persamaan diferensial biasa linier, dan lain-lain.
33 18 a. Persamaan diferensial biasa yang bisa langsung diintegralkan. Akan dicari penyelesaian umum untuk persamaan diferensial biasa berikut: dy(x) dx = f(x). Dengan pengintegralan, diperoleh sebagai berikut: dy(x) dx = f(x) dy(x) = f(x) dx dy(x) = f(x) dx y(x) = f(x) dx + C. Jadi, diperoleh penyelesaian umum dari suatu persamaan diferensial biasa, yaitu: y(x) = f(x) dx + C. b. Persamaan diferensial biasa dengan variabel terpisah. Akan dicari penyelesaian umum untuk persamaan diferensial biasa berikut: dy(x) dx = f(x, y). Penyelesaian persamaan diferensial tersebut dapat dicari sebagai berikut. Misalkan f(x, y) = M(x) N(y) dengan M(x) fungsi dalam x dan N(y) fungsi dalam y. Sehingga diperoleh:
34 19 dy(x) dx = M(x) N(y) dy(x) N(y) = M(x) dx. Dengan pegintegralan, diperoleh: 1 dy(x) = M(x) dx N(y) 1 dy(x) = M(x) dx + C. N(y) Jadi, diperoleh penyelesaian umum dari suatu persamaan diferensial biasa, yaitu: dengan C suatu konstanta. 1 dy(x) = M(x) dx + C, N(y) c. Persamaan diferensial biasa linier Akan dicari penyelesaian untuk persamaan diferensial biasa berikut: dy(x) + p(x) y(x) = g(x). dx Persamaan diferensial biasa linier tingkat satu dapat diselesaikan dengan metode faktor integral. Berikut langkah-langkah mencari faktor integral. Diberikan persamaan diferensial biasa linier tingkat satu. Persamaan tersebut dikalikan dengan suatu fungsi μ(x) > 0 dengan μ(x) adalah fungsi dalam x yang tidak diketahui nilainya. Sehingga diperoleh:
35 20 μ(x) dy(x) dx + μ(x) p(x) y(x) = μ(x) g(x). Persamaan tersebut dapat diubah menjadi, d [μ(x) y(x)] = μ(x) g(x) dx μ(x) dy(x) dx + dμ dx y(x) = μ(x) g(x), sehingga diperoleh dμ = μ(x) p(x) dx dμ = p(x) dx μ(x) Dengan pengintegralan diperoleh: dμ = p(x) dx μ(x) ln μ(x) = p(x) dx μ(x) = e p(x) dx. Diperoleh faktor integral, yaitu: μ(x) = e p(x) dx. Karena faktor integral diketahui, maka dapat dicari penyelesaian dari persamaan diferensial biasa linier tingkat satu. dy dx + p(x) y(x) = g(x) μ(x) dy dx + μ(x) p(x) y(x) = μ(x) g(x) d dx [μ(x) y(x)] = μ(x) g(x). Dengan pengintegralan diperoleh:
36 21 d [μ(x) y(x)] = μ(x) g(x) dx μ(x) y(x) = μ(x) g(x) dx + C y(x) = 1 μ(x) [ μ(x) g(x) dx + C], dengan C adalah suatu konstanta. Jadi, diperoleh penyelesaian persamaan diferensial biasa linier tingkat satu, yaitu: y(x) = 1 μ(x) [ μ(x) g(x) dx + C]. 2. Persamaan Diferensial Biasa Tingkat Dua Pada bagian ini akan dijelaskan teknik penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua, yaitu (a) persamaan diferensial biasa koefisien konstan homogen, (b) persamaan diferensial biasa koefisien konstan non homogen. a. Persamaan diferensial biasa koefisien konstan homogen Diberikan persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan homogen: a d2 y(x) dx 2 + b dy(x) dx + c y(x) = 0 dengan a, b, c adalah konstanta. Misalkan penyelesaian umum persamaan diferensial biasa koefisien konstan homogen yaitu y(x) = e rx. Maka dapat dicari turunan pertama dan kedua dari penyelesaian tersebut, yaitu: y (x) = r e rx, y (x) = r 2 e rx,
37 22 dengan r adalah konstanta. Dengan mensubstitusikan y (x) dan y (x), diperoleh: a d2 y(x) dx 2 + b dy(x) dx + c y(x) = 0 a y (x) + b y (x) + c y(x) = 0 a (r 2 e rx ) + b (r e rx ) + c e rx = 0 e rx (a r 2 + b r + c) = 0. Diketahui bahwa e rx 0, maka (a r 2 + b r + c) = 0. Sehingga diperoleh persamaan karakteristik (a r 2 + b r + c) = 0. Dari persamaan karakteristik diatas terdapat tiga kemungkinan dalam menentukan akar-akarnya. 1) Terdapat dua akar real berbeda, yaitu r 1 dan r 2. 2) Terdapat satu akar real yang sama, yaitu r 1 = r 2 3) Terdapat dua akar kompleks Diasumsikan akar-akar dari persamaan karakteristik real berbeda. Dengan demikian diperoleh dua penyelesaian, yaitu: y 1 = e r1x, y 2 = e r2x. Jadi, penyelesaian umum persamaan diferensial biasa homogen tingkat dua menjadi: y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x), atau y(x) = c 1 e r1x + c 2 e r2x, Dengan c 1, c 2 adalah konstanta.
38 23 b. Persamaan diferensial biasa koefisien konstan non-homogen. Diberikan persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan non-homogen: a d2 y dy + b + cy = g(x), dx2 dx dengan a, b, c adalah konstanta dan g(x) 0 adalah fungsi dalam x. Penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan non-homogen dapat diselesaikan dengan metode koefisien tak tentu. Misalkan Y 1 dan Y 2 adalah penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan non-homogen, maka: dan a Y 1 + b Y 1 + c Y 1 = g(x), a Y 2 + b Y 2 + c Y 2 = g(x). Dengan mengeliminasi kedua persamaan diferensial tersebut, diperoleh: a (Y 1 Y 2 ) + b (Y 1 Y 2 ) + c (Y 1 Y 2 ) = 0. Dengan kata lain, Y 1 Y 2 adalah penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan homogen. Diketahui bahwa persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan homogen mempunyai penyelesaian umum: Hal ini berakibat, atau dapat ditulis, y = c 1 y 1 + c 2 y 2. Y 1 Y 2 = c 1 Y 1 + c 2 Y 2,
39 24 Y 1 = c 1 Y 1 + c 2 Y 2 + Y 2. Dengan mengambil y = Y 1 dan Y = Y 2 diperoleh: y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + Y, dengan y adalah penyelesaian umum persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan homogen dan Y adalah salah satu penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan non-homogen. 3. Penyelesaian Analitis Persamaan Diferensial Biasa Pada bagian ini diberikan tiga contoh masalah nilai awal yang akan diselesaikan secara analitis. a. Contoh 1. Diberikan masalah nilai awal dengan nilai awal y(0) = 1. Penyelesaian: y (x) = 10 y, Persamaan ini merupakan persamaan diferensial biasa tingkat satu dengan variabel terpisah. Dari dengan mengalikan dy(x) dx = 10 y, dx disetiap ruasnya diperoleh: 10 y dy(x) 10 y = dx. (i.1)
40 25 Penyelesaian persamaan (i.1), yaitu: dengan pengintegralan diperoleh: sehingga atau 1 10 dy(x) 10 y = dx, dy(x) 10 y = dx, ln y = x + C, C = konstanta ln y = 10 x 10 C, y = e 10 x 10 C. Diketahui nilai awalnya y(0) = 1. Akan dicari penyelesaian khusus dari penyelesaian umumnya. Oleh karena itu, dengan mensubstitusikan x = 0, diperoleh: atau atau y(0) = e C = 1, e 10 c = 1, c = 0. Jadi, diperoleh penyelesaian khususnya, yaitu: y(x) = e 10 x. b. Contoh 2. Diberikan masalah nilai awal
41 26 y (x) y (x) y(x) = 0, dengan nilai awal y(0) = 1.01, y (0) = 2. Penyelesaian: Masalah nilai awal tersebut merupakan persamaan diferensial biasa tingkat dua dengan koefisien konstan homogen. Dari masalah nilai awal diketahui y (x) y (x) y(x) = 0. Misalkan penyelesaian umum persamaan diferensial biasa koefisien konstan homogen yaitu y(x) = e rx. Maka dapat dicari turunan pertama dan kedua dari penyelesaian umum tersebut, yaitu: y = re rx, y = r 2 e rx, dengan e rx 0. Dengan mensubstitusikan y dan y ke dalam masalah nilai awal, maka diperoleh: r 2 e rx re rx e rx = 0 (r r + 100) e rx = 0 r r = 0. Diperoleh persamaan karakteristik: r r Dari persamaan karakteristik tersebut dapat dicari akar-akarnya, yaitu: r 1 = 100, r 2 = 1.
42 27 Persamaan karakteristik tersebut mempunyai dua akar real berbeda. Dengan mensubstitusikan r 1 dan r 2 ke dalam penyelesaian umumnya, maka diperoleh: y 1 = e 100x, y 2 = e x. Sehingga penyelesaian umumnya menjadi: y = c 1 y 1 + c 2 y 2 = c 1 e 100x + c 2 e x. Diketahui nilai awalnya y(0) = 1.01, y (0) = 2. Akan dicari penyelesaian khusus dari penyelesaian umumnya. Untuk y(0) = Dengan mensubstitusikan x = 0 diperoleh y(x) = c 1 e 100x + c 2 e x = 0 c 1 e c 2 e 0 = 1.01 c 1 + c 2 = 1.01 Untuk y (0) = 2. Dari y(x) = c 1 e 100x + c 2 e x, diperoleh y (x) = 100 c 1 e 100x c 2 e x. Dengan mensubstitusikan x = 0 diperoleh y (x) = 100 c 1 e 100x c 2 e = 0
43 c 1 e c 2 e 0 = c 1 c 2 = 2 Dengan mengeliminasi c 1 dan c 2 diperoleh: c 1 = 0.01, c 2 = 1. Sehingga diperoleh penyelesaian khususnya, yaitu: y(x) = 0.01 e 100x + e x. c. Contoh 3. Diberikan masalah nilai awal dengan nilai awal y(0) = 1. Penyelesaian: y (x) = 1 + y(x) 2, Masalah nilai awal tersebut merupakan persamaan diferensial biasa dengan variabel terpisah. Dari y(x) dx = 1 + y(x)2, karena 1 + y(x) 2 > 0 maka dengan mengalikan diperoleh: dx 1+y(x) 2 disetiap ruas, dy(x) = dx. (iii.1) 1 + y(x) 2 Penyelesaian umum persamaan (iii.1) diperoleh sebagai berikut: dy(x) 1 + y(x) 2 = dx,
44 29 dengan pengintegralan diperoleh dy(x) 1 + y(x) 2 = dx, sehingga arctan(y(x)) = x + C, atau y(x) = tan(x + C). Diketahui nilai awalnya y(0) = 1. Akan dicari penyelesaian khusus dari penyelesaian umumnya. Oleh karena itu, dengan mensubstitusikan x = 0, diperoleh: y(0) = tan(0 + C) = 1, atau tan(c) = 1, atau C = π 4. Jadi penyelesaian khususnya: y(x) = tan (x + π 4 ). Pada bab II ini, telah dipaparkan pengertian dan penyelesaian persamaan diferensial biasa secara analitis. Selain itu, disajikan pula metode numeris untuk masalah nilai awal dengan metode Euler dan metode Heun. Kedua metode terakhir ini (metode Euler dan metode Heun) akan dijadikan pembanding bagi metode blok rasional yang akan dipaparkan dalam bab III.
45 BAB III METODE BLOK RASIONAL A. Rumusan Metode Blok Rasional Metode blok rasional merupakan suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal dari suatu persamaan diferensial biasa. Metode ini merupakan gabungan dari metode satu langkah dan metode dua langkah. Untuk menghitung nilai hampiran y, metode blok rasional membentuk sebuah barisan blok dimana dalam satu blok terdiri dari tiga titik. Diberikan masalah nilai awal sebagai berikut: y (x) = f(x, y), y(a) = η (3.1.1) dengan f(x, y): R 2 R dan f(x, y) diasumsikan memenuhi semua syaratsyarat pada masalah nilai awal tersebut, sehingga masalah nilai awal mempunyai penyelesaian yang tunggal. Jika semua kondisi terpenuhi maka masalah nilai awal (3.1.1) mempunyai penyelesaian yang tunggal. Lebih lanjut, akan dipaparkan proses penghitungan metode blok rasional. Misal akan dicari penyelesaian numeris y(x) dalam suatu interval atas variabel x. Oleh karena itu, dibentuk interval pengintegralan numerisnya yaitu x [x a, x b ] R dengan x a adalah titik awal dan x b adalah titik akhir interval atas variabel x. Metode blok rasional mempunyai proses penghitungan yang sederhana, yaitu menghitung penyelesaian numeris dari suatu blok ke blok lainnya. Oleh karena itu, interval x [x a, x b ] R didiskretkan menjadi sebuah barisan titik-titik, sehingga menjadi: 30
46 31 {x a, x 1, x n, x n+1,, x b } R Setelah interval tersebut didiskretkan menjadi sebuah barisan titik-titik, kemudian barisan tersebut dibagi menjadi beberapa bagian ke dalam sebuah barisan blok dengan setiap blok terdiri dari tiga titik yang diilustrasikan seperti pada Gambar 1. Gambar 1. Metode blok rasional. Pada Gambar 1, dapat dilihat bahwa blok ke-k terdiri dari tiga titik yaitu x n, x n+1 dan x n+2. Pada blok ke-k, setiap titik di dalam blok tersebut dipisahkan oleh ukuran langkah h yang konstan. Pada blok ke-(k + 1), blok ini juga terdiri dari tiga titik, yaitu x n+2, x n+3 dan x n+4 dengan setiap titik di dalam blok tersebut juga dipisahkan oleh ukuran langkah h yang konstan. Lebih umum, setiap titik dalam interval atas variabel x dipisahkan oleh suatu ukuran langkah h yang konstan. Untuk menghitung nilai hampiran y(x) pada setiap titik, maka terlebih dahulu harus diketahui nilai awalnya. Jika nilai awal diketahui, maka nilai hampiran y(x) pada setiap titik dapat dihitung. Dari Gambar 1 dapat dilihat, misalkan pada blok ke-k nilai hampiran y n diketahui. Disini nilai hampiran y n artinya nilai y di titik x n atau bisa ditulis y(x n ). Karena nilai hampiran y n
47 32 diketahui maka untuk menghitung nilai hampiran y n+1 diperlukan informasi pada titik sebelumnya, yaitu (x n, y n ). Dengan menggunakan metode rasional satu langkah, maka nilai hampiran y n+1 dapat dihitung. Selanjutnya, untuk menghitung nilai hampiran y n+2 diperlukan informasi pada titik sebelumnya, yaitu (x n, y n ) dan (x n+1, y n+1 ). Dengan menggunakan metode rasional dua langkah, maka nilai hampiran y n+2 dapat dihitung. Jadi, nilai hampiran y n di titik x n digunakan untuk menghitung nilai hampiran y n+1 dan y n+2 secara bersamaan dalam satu iterasi. Dengan proses yang sama, nilai hampiran y n+2 yang telah diperoleh dari penghitungan sebelumnya, digunakan untuk menghitung nilai hampiran y n+3 dengan metode rasional satu langkah dan menghitung nilai hampiran y n+4 dengan metode rasional dua langkah. Secara keseluruhan, proses penghitungan yang sama diulang sebanyak berhingga kali sampai mendapatkan nilai hampiran di titik akhir, yaitu y b. Berikut ini merupakan analisis metode blok rasional. Pada sumbu-x, dapat didefinisikan bahwa titik x n, x n+1 dan x n+2 diberikan oleh: x n = x 0 + n h, (3.1.2) x n+1 = x 0 + (n + 1) h = x n + h, (3.1.3) x n+2 = x 0 + (n + 2) h = x n + 2 h. (3.1.4) Di sini x 0 adalah titik awal interval atas variabel x dan h merupakan ukuran langkah yang konstan atau h merupakan jarak antar titik yang saling berdekatan. Nilai h diperoleh dengan rumus h = x b x 0 N dengan N adalah banyaknya
48 33 langkah pengintegralan. Untuk menghitung nilai hampiran y di dalam interval tersebut, terlebih dahulu harus diasumsikan bahwa penyelesaian hampiran dari masalah nilai awal (3.1.1) direpresentasikan secara lokal pada interval [x n, x n+1 ] dengan hampiran rasional: y(x) R(x) = a 0 + a 1 x b 0 + x (3.1.5) dengan a 0, a 1 dan b 0 adalah koefisien-koefiisen yang tidak diketahui nilainya. Hampiran rasional pada persamaan (3.1.5) harus melalui titik (x n, y n ) dan (x n+1, y n+1 ). Selain itu, harus diasumsikan pada titik tersebut turunannya diberikan oleh y = f(x, y) dan y" = f (x, y). Untuk menghitung turunan dari hampiran rasional R(x) dapat menggunakan rumus aturan rantai. Diberikan persamaan: y(x) R(x) = a 0 + a 1 x b 0 + x. Misalkan u = a 0 + a 1 x dan v = b 0 + x, maka rumus turunan aturan rantai dapat ditulis: sehingga diperoleh, R (x) = u v u v v 2, R (x) = a 1(b 0 + x) (a 0 + a 1 x) 1 (b 0 + x) 2 = a 1 b 0 + a 1 x a 0 a 1 x (b 0 + x) 2 = a 1 b 0 a 0 (b 0 + x) 2.
49 34 R (x) merupakan turunan pertama dari hampiran rasional (3.1.5). Dengan menggunakan rumus yang sama, dapat dihitung turunan keduanya, yaitu R"(x). Diberikan: R (x) = a 1 b 0 a 0 (b 0 + x) 2 Misalkan u = a 1 b 0 a 0 dan v = (b 0 + x) 2. Maka turunan keduanya yaitu: R"(x) = u v u v v 2 = 0 (b 0 + x) 2 (a 1 b 0 a 0 ) 2 (b 0 + x) (b 0 + x) 4 = 2 (a 1 b 0 a 0 ) (b 0 + x) 3. Dari informasi-informasi di titik (x n, y n ), maka diperoleh empat persamaan yang harus dipenuhi, yaitu: R(x n ) = y n = a 0 + a 1 x n b 0 + x n, (3.1.6) R(x n+1 ) = y n+1 = a 0 + a 1 x n+1 b 0 + x n+1, (3.1.7) R (x n ) = f n = a 1 b 0 a 0 (b 0 + x n ) 2, (3.1.8) R"(x n ) = f n = 2 (a 1b 0 a 0 ) (b 0 + x n ) 3 = 2 f n (b 0 + x n ), (3.1.9) dengan f n = f(x n, y n ) dan f n = f (x n, y n ). Dari persamaan (3.1.6) (3.1.9) dapat dilihat bahwa keempat persamaan tersebut mengandung koefisien a 0, a 1 dan b 0 yang tidak diketahui nilainya. Oleh karena itu, untuk menghitung nilai hampiran y n+1 terlebih dahulu harus mengeliminasi ketiga koefisien tersebut
50 35 supaya dalam penyelesaiannya tidak terdapat koefisien a 0, a 1 dan b 0. Berikut adalah langkah-langkah mengeliminasi koefisien a 0, a 1 dan b 0. y n+1 y n = a 0 + a 1 x n+1 b 0 + x n+1 a 0 + a 1 x n b 0 + x n = (a 0 + a 1 x n+1 )(b 0 + x n ) b 0 + x n+1 (a 0 + a 1 x n )(b 0 + x n+1 ) b 0 + x n = (a 0 b 0 + a 0 x n + a 1 b 0 x n+1 + a 1 x n x n+1 ) (b 0 + x n+1 ) (b 0 + x n ) (a 0 b 0 + a 0 x n+1 + a 1 b 0 x n + a 1 x n x n+1 ) (b 0 + x n+1 ) (b 0 + x n ) = a 0 x n + a 1 b 0 x n+1 (a 0 x n+1 + a 1 b 0 x n ) (b 0 + x n+1 ) (b 0 + x n ) = a 0 x n a 0 x n+1 + a 1 b 0 x n+1 a 1 b 0 x n (b 0 + x n+1 ) (b 0 + x n ) = a 0 (x n x n+1 ) + a 1 b 0 (x n+1 x n ) (b 0 + x n+1 ) (b 0 + x n ) = a 0 ( h) + a 1 b 0 (h) (b 0 + x n+1 ) (b 0 + x n ) = h (a 1 b 0 a 0 ) (b 0 + x n+1 ) (b 0 + x n ). (3.1.10) Dari persamaan (3.1.8) dan (3.1.3) diketahui: f n (b 0 + x n ) = a 1 b 0 a 0 (b 0 + x n ) dan x n+1 = x n + h. Dengan mensubstitusikan f n (b 0 + x n ) dan x n + h ke persamaan (3.1.10) diperoleh:
51 36 h (a 1 b 0 a 0 ) (b 0 + x n+1 ) (b 0 + x n ) = h f n (b 0 + x n ) b 0 + (x n + h) = h f n (b 0 + x n ) (b 0 + x n ) + h. (3.1.11) Dari persamaan (3.1.9) diketahui: (b 0 + x n ) = 2 f n f. Dengan mensubstitusi n 2 f n f n ke persamaan (3.1.11) diperoleh: h f n (b 0 + x n ) (b 0 + x n ) + h = h f n 2 f n f n ( 2 f n f n + h) = = h f n 2 f n f n ( 2 f n + h f n f n ) h f n 2 f n f n ( 2 f n + h f n f n ) = 2 h (f n) 2 2 f n + h f n = 2 h (f n) 2 2 f n h f n 1 1, y n+1 y n = 2 h (f n )2 2 f n h f n y n+1 = y n + 2 h (f n )2 2 f n h f n.
52 37 Hasil dari eliminasi ketiga koefisien ini merupakan metode rasional orde dua satu langkah. Metode ini merupakan rumus metode rasional III yang dapat dilihat pada karangan Lambert (1974): y n+1 = y n + 2 h (f n )2 2 f n h f n (3.1.12) Persamaan (3.1.12) adalah rumus yang akan digunakan untuk mencari nilai hampiran y n+1 dengan menggunakan informasi pada titik sebelumnya, yaitu (x n, y n ). Selanjutnya, untuk mencari nilai hampiran y n+2, harus diasumsikan bahwa penyelesaian hampiran dari masalah nilai awal (3.1.1) direpresentasikan secara lokal pada interval [x n, x n+2 ] dengan hampiran rasional yang sama pada persamaan (3.1.5). Karena nilai hampirannya berada pada interval [x n, x n+2 ], maka hampiran rasional (3.1.5) harus melalui titik (x n, y n ), (x n+1, y n+1 ) dan (x n+2, y n+2 ). Selain itu, harus diasumsikan pada titik tersebut turunannya diberikan oleh y = f(x, y). Metode yang digunakan untuk menghitung nilai hampiran y n+2 adalah metode dua langkah. Oleh karena itu, untuk menghitung nilai hampiran y n+2 diperlukan informasiinformasi di titik (x n, y n ) dan (x n+1, y n+1 ) sehingga diperoleh lima persamaan yang harus dipenuhi, yaitu: R(x n ) = y n = a 0 + a 1 x n b 0 + x n, (3.1.13) R(x n+1 ) = y n+1 = a 0 + a 1 x n+1 b 0 + x n+1, (3.1.14)
53 38 R(x n+2 ) = y n+2 = a 0 + a 1 x n+2 b 0 + x n+2, (3.1.15) R (x n ) = f n = a 1 b 0 a 0 (b 0 + x n ) 2, (3.1.16) R (x n+1 ) = f n+1 = a 1 b 0 a 0 (b 0 + x n+1 ) 2, (3.1.17) dengan f n = f(x n, y n ) dan f n+1 = f(x n+1, y n+1 ). Dari persamaan (3.1.13) (3.1.17) dapat dilihat bahwa kelima persamaan tersebut mengandung koefisien a 0, a 1, b 0 dan f n yang tidak diketahui nilainya, maka untuk menghitung nilai y n+2 terlebih dahulu harus mengeliminasi a 0, a 1, b 0 dan f n. Berikut adalah langkah-langkah mengeliminasi koefisien a 0, a 1, b 0 dan f n. y n+2 y n+1 = a 0 + a 1 x n+2 b 0 + x n+2 a 0 + a 1 x n+1 b 0 + x n+1 = (a 0 + a 1 x n+2 ) (b 0 + x n+1 ) (b 0 + x n+2 ) (b 0 + x n+1 ) = (a 0 + a 1 x n+1 ) (b 0 + x n+2 ) (b 0 + x n+2 ) (b 0 + x n+1 ) = (a 0b 0 + a 0 x n+1 + a 1 b 0 x n+2 + a 1 x n+1 x n+2 ) (b 0 + x n+2 ) (b 0 + x n+1 ) (a 0 b 0 + a 0 x n+2 + a 1 b 0 x n+1 + a 1 x n+1 x n+2 ) (b 0 + x n+2 ) (b 0 + x n+1 ) = a 0 x n+1 + a 1 b 0 x n+2 (a 0 x n+2 + a 1 b 0 x n+1 ) (b 0 + x n+2 ) (b 0 + x n+1 ) = a 0 x n+1 a 0 x n+2 + a 1 b 0 x n+2 a 1 b 0 x n+1 (b 0 + x n+2 ) (b 0 + x n+1 ) = a 0 (x n+1 x n+2 ) + a 1 b 0 (x n+2 x n+1 ) (b 0 + x n+2 ) (b 0 + x n+1 )
54 39 = a 0 ( h) + a 1 b 0 (h) (b 0 + x n+2 ) (b 0 + x n+1 ) = h (a 1 b 0 a 0 ) (b 0 + x n+2 ) (b 0 + x n+1 ). (3.1.18) Dari (3.1.17) dan (3.1.4) diketahui: f n+1 (b 0 + x n+1 ) = a 1 b 0 a 0 b 0 + x n+1 dan x n+2 = x n + 2 h. Dengan mensubstitusi f n+1 (b 0 + x n+1 ) dan x n + 2 h ke persamaan (3.1.18) diperoleh: h (a 1 b 0 a 0 ) (b 0 + x n+2 ) (b 0 + x n+1 ) = h f n+1 (b 0 + x n+1 ) b 0 + x n + 2 h = h f n+1 ( b 0 + x n + 2 h b 0 + x n+1 ) = h f n+1 ( b. 0 + x n 2h + ) b 0 + x n+1 b 0 + x n+1 (3.1.19) Dari (3.1.10) diketahui: y n+1 y n = (y n+1 y n ). ( b 0 + x n ) = h h (a 1 b 0 a 0 ) (b 0 + x n+1 ) (b 0 + x n ) h (a 1 b 0 a 0 ) (b 0 + x n+1 ) (b 0 + x n ). (b 0 + x n h ) (y n+1 y n ) (b 0 + x n ) h = a 1 b 0 a 0 b 0 + x n+1. (3.1.20) Dari (3.1.17) diketahui: f n+1 (b 0 + x n+1 ) = a 1 b 0 a 0 b 0 + x n+1. (3.1.21) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.1.20) ke persamaan (3.1.21) diperoleh:
55 40 f n+1 (b 0 + x n+1 ) = (y n+1 y n ) (b 0 + x n ) h f n+1 h y n+1 y n = b 0 + x n b 0 + x n+1. Dengan mensubstitusi f n+1 h y n+1 y n ke persamaan (3.1.19), diperoleh: h (a 1 b 0 a 0 ) (b 0 + x n+2 ) (b 0 + x n+1 ) = = = h f n+1 ( b 0 + x n 2 h + ) b 0 + x n+1 b 0 + x n+1 h f n+1 ( h f n+1 2 h y n+1 y + ) n b 0 + x n+1 h f n+1 [ h f n+1 (b 0 + x n+1 ) + 2 h (y n+1 y n ) ] (y n+1 y n ) (b 0 + x n+1 ) 1 h f n+1 (y n+1 y n ) (b 0 + x n+1 ) ( ) = h f n+1 (b 0 + x n+1 ) + 2 h (y n+1 y n ) b 0 + x n+1 1 ( ) b 0 + x n+1 = h f n+1 (y n+1 y n ) [h f n h (y. n+1 y n ) ] b 0 + x n+1 (3.1.22) Agar rumus metode rasional dari II Lambert (1974) sama dengan persamaan (3.1.22), maka harus dibuktikan: 2 (y n+1 y n ) h f n+1 = h f n h (y n+1 y n ) b 0 + x n+1 2 (y n+1 y n ) 2 h f n+1 = 2 h (y n+1 y n ) b 0 + x n+1 1 b 0 + x n+1 = 2 [(y n+1 y n ) h f n+1 ] 2 h (y n+1 y n ) = (y n+1 y n ) h f n+1 h (y n+1 y n )
56 41 b 0 + x n+1 = h (y n+1 y n ) (y n+1 y n ) h f n+1. Dengan mensubstitusikan (b 0 + x n+1 ) ke persamaan (3.1.22), diperoleh: y n+2 y n+1 = h f n+1 (y n+1 y n ) [h f n h (y n+1 y n ) (b 0 + x n+1 ) ] = = h f n+1 (y n+1 y n ) 2 h (y [h f n+1 + n+1 y n ) ] h (y ( n+1 y n ) ) (y n+1 y n ) h f n+1 h f n+1 (y n+1 y n ) h f n [(y n+1 y n ) h f n+1 ] h f n+1 (y n+1 y n ) = h f n (y n+1 y n ) 2 h f n+1 = h f n+1 (y n+1 y n ) 2 (y n+1 y n ) h f n+1. Hasil dari eliminasi keempat koefisien tersebut merupakan metode rasional orde tiga dua langkah. Metode ini merupakan rumus metode II yang dapat dilihat pada karangan Lambert (1974): y n+2 = y n+1 + h f n+1 (y n+1 y n ) 2 (y n+1 y n ) h f n+1. (3.1.23) Persamaan (3.1.23) adalah rumus yang akan digunakan untuk mencari nilai hampiran y n+2 dengan menggunakan informasi pada titik sebelumnya, yaitu (x n, y n ) dan (x n+1, y n+1 ). Jadi, metode blok rasional didasarkan pada hampiran rasional (3.1.5) yang terdiri dari dua rumus, yaitu rumus (3.1.12) dan rumus (3.1.23). Penerapan
57 42 dari metode blok rasional agak sederhana. Jika nilai y n diketahui, maka dapat dihitung nilai hampiran y n+1 dengan menggunakan rumus (3.1.12), setelah itu dihitung nilai hampiran y n+2 dengan menggunakan rumus (3.1.23). B. Penyelesaian Numeris Masalah Nilai Awal Pada bagian ini akan diselesaikan contoh-contoh masalah nilai awal pada bab II dengan menggunakan metode Euler, metode Heun dan metode blok rasional. Selain mencari penyelesaiannya, akan dicari pula kesalahan (error) maksimum dari setiap metode numeris (metode Euler, metode Heun dan metode blok rasional) yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal tersebut. Oleh karena itu, perlu didefinisikan kesalahan maksimum sebagai berikut: e n = max 0 n N y n y(x n ) dengan N adalah banyaknya langkah pengintegralan, y n adalah penyelesaian numeris pada langkah ke-n dan y(x n ) adalah penyelesaian eksak pada langkah ke-n. Untuk mempermudah penghitungan dan menggambar penyelesaiannya, maka digunakan software MATLAB. Berikut diberikan tiga contoh masalah nilai awal seperti yang sudah dikerjakan secara analitis pada bab II. 1. Contoh 1 Diberikan masalah nilai awal sebagai berikut: y (x) = 10 y(x), y(0) = 1, x [0,1].
58 43 Masalah nilai awal tersebut merupakan persamaan diferensial biasa tingkat satu dengan variabel terpisah. Berdasarkan penyelesaian analitis masalah nilai awal pada bab II, diperoleh penyelesaian eksaknya, yaitu: y = e 10 x. (3.2.1) Persamaan (3.2.1) merupakan penyelesaian khusus (penyelesaian eksak) dari Contoh 1. Karena penyelesaian eksak diketahui, maka dapat dihitung kesalahan maksimum dari setiap metode numeris. Tabel 1. Kesalahan maksimum untuk Contoh 1 N Euler Heun Blok Rasional Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa kesalahan maksimum dari metode blok rasional lebih kecil dibandingkan dengan kedua metode numeris lainnya (metode Euler dan metode Heun). Hal ini berarti metode blok rasional mempunyai penyelesaian numeris yang lebih akurat dibandingkan dengan metode Euler dan metode Heun. Hal tersebut juga diperlihatkan pada Gambar 2 dan Gambar 3, untuk N = 32 metode blok rasional mempunyai kesalahan maksimum yang lebih kecil dari metode Euler dan metode Heun.
59 44 Gambar 2. Penyelesaian eksak dan numeris untuk Contoh 1. Gambar 3. Kesalahan penyelesaian numeris untuk Contoh 1.
60 45 Dari Gambar 2 dapat dilihat bahwa penyelesaian ketiga metode numeris tersebut selalu mendekati penyelesaian eksaknya. Hal ini berarti ketiga metode numeris tersebut cukup baik sebagai pendekatan penyelesaian eksaknya. Selain itu, ketiga metode numeris tersebut dapat menyelesaikan masalah nilai awal tersebut dengan baik. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 3 dengan kesalahan maksimum dari metode numeris tersebut kurang dari sama dengan Jadi dapat disimpulkan bahwa dengan nilai kesalahan maksimum yang kecil ( ), maka ketiga metode numeris tersebut dapat menyelesaikan masalah nilai awal pada Contoh 1 dengan baik. 2. Contoh 2 Diberikan masalah nilai awal sebagai berikut: y (x) y (x) y(x) = 0, y(0) = 1.01, y (0) = 2, x [0,1]. Masalah nilai awal tersebut merupakan persamaan diferensial biasa tingkat dua dengan koefisien konstan homogen. Karena ketiga metode numeris tersebut tidak dapat menyelesaikan persamaan diferensial biasa tingkat dua, maka persamaaan diferensial tersebut harus diubah ke bentuk persamaan diferensial biasa tingkat satu. Misal: y (x) = z(x), dengan y(0) = 1.01 maka
61 46 z (x) = 101 z(x) 100 y(x), dengan z(0) = 2. Berdasarkan penyelesaian analitis masalah nilai awal pada bab II, diperoleh penyelesaian eksaknya, yaitu: y(x) = 0.01 e 100 x + e x. Karena y(x) diketahui, maka dapat dihitung y (x) = z(x). Sehingga diperoleh: z(x) = e 100 x e x. Dari penyelesaian eksak tersebut, dapat dicari kesalahan maksimum dari penyelesaian numerisnya. Table 2. Kesalahan maksimum untuk Contoh 2 N Euler Heun Blok Rasional x ^ Dari Tabel 2 dapat dilihat bahwa untuk N yang berukuran kecil (pada masalah ini yaitu N = 32) metode Euler dan metode Heun mempunyai kesalahan maksimum yang sangat besar. Hal ini terjadi karena ketidakstabilan metode Euler dan metode Heun untuk nilai N yang berukuran kecil. Namun demikian, hal tersebut tidak berlaku untuk metode blok rasional. Metode ini mampu menyelesaikan masalah nilai awal dengan baik, dengan kesalahan maksimum Jika diambil nilai N yang lebih besar, metode Euler dan metode Heun mampu menyelesaikan masalah nilai awal ini dengan baik. Hal tersebut
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL oleh ASRI SEJATI M0110009 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Lebih terperinciSagita Charolina Sihombing 1, Agus Dahlia Pendahuluan
Jurnal Matematika Integratif. Vol. 14, No. 1 (2018), pp. 51 60. p-issn:1412-6184, e-issn:2549-903 doi:10.24198/jmi.v14.n1.15953.51-60 Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier Orde Satu dan Dua disertai
Lebih terperinciMETODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM-LIOUVILLE
METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM-LIOUVILLE oleh HILDA ANGGRIYANA M0109035 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE RUNGE-KUTTA ORDE-4 KUTTA BERDASARKAN RATA-RATA HARMONIK TUGAS AKHIR. Oleh : EKA PUTRI ARDIANTI
MODIFIKASI METODE RUNGE-KUTTA ORDE-4 KUTTA BERDASARKAN RATA-RATA HARMONIK TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh : EKA PUTRI ARDIANTI
Lebih terperinciAPLIKASI MASALAH 0/1 KNAPSACK MENGGUNAKAN ALGORITMA GREEDY
PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI APLIKASI MASALAH 0/1 KNAPSACK MENGGUNAKAN ALGORITMA GREEDY Skripsi Diajukan untuk Menempuh Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar
Lebih terperinciPERBANDINGAN PENYELESAIAN SISTEM OREGONATOR DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL DAN METODE ITERASI VARIASIONAL TERMODIFIKASI
PERBANDINGAN PENYELESAIAN SISTEM OREGONATOR DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL DAN METODE ITERASI VARIASIONAL TERMODIFIKASI oleh AMELIA FEBRIYANTI RESKA M0109008 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Konsep Dasar dan Pembentukan (Differential : Basic Concepts and Establishment ) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan
Lebih terperinciMETODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR ABSTRACT
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR Birmansyah 1, Khozin Mu tamar 2, M. Natsir 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Lebih terperinciKONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
Lebih terperinciMata Kuliah :: Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb
Mata Kuliah :: Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Sesi XII Differensial e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 PENDAHULUAN Persamaan diferensial
Lebih terperinciMETODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR. Rino Martino 1 ABSTRACT
METODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR Rino Martino 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya
Lebih terperinciPENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A
PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan
Lebih terperinciPENERAPAN METODE ADAMS-BASHFORTH-MOULTON ORDE EMPAT UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER HOMOGEN ORDE TIGA KOEFISIEN KONSTAN
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 2 Hal. 21 25 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENERAPAN METODE ADAMS-BASHFORTH-MOULTON ORDE EMPAT UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER
Lebih terperinciMETODE NEWTON TERMODIFIKASI UNTUK PENCARIAN AKAR PERSAMAAN NONLINEAR
METODE NEWTON TERMODIFIKASI UNTUK PENCARIAN AKAR PERSAMAAN NONLINEAR Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Disusun Oleh: Juliani
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL SINGULAR PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA ABSTRACT
MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL SINGULAR PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA Kristiani Panjaitan 1, Syamsudhuha 2, Leli Deswita 2 1 Mahasiswi Program
Lebih terperinciPertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
Lebih terperinciPENERAPAN METODE DERET PANGKAT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDEDUA KHUSUS SKRIPSI
PENERAPAN METODE DERET PANGKAT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDEDUA KHUSUS SKRIPSI Oleh: SAMSIATI NUR HASANAH NIM: 11321432 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
1.1 Latar Belakang BAB 1 PENDAHULUAN Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung derivatif dari variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas. Persamaan diferensial sendiri
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA NONLINIER ORDE DUA DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA NONLINIER ORDE DUA DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada
Lebih terperinciMETODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI Yuni Yulida Program Studi Matematika FMIPA Unlam Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km. 36
Lebih terperinciPenyelesaian Masalah Syarat Batas dalam Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua dengan Menggunakan Algoritma Shooting Neural Networks
Penyelesaian Masalah Syarat Batas dalam Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua dengan Menggunakan Algoritma Shooting Neural Networks Dewi Erla Mahmudah 1, Ratna Dwi Christyanti 2, Moh. Khoridatul Huda 3,
Lebih terperinciBAB 1 Konsep Dasar 1
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB Solusi Persamaan Fungsi Polinomial BAB 3 Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial 3 BAB 4 Metoda Numeris untuk Sistem Nonlinier 4 BAB 5 Metoda Numeris Untuk Masalah Nilai Awal 5
Lebih terperinciBAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Tujuan Instruksional: Mampu memahami definisi Persamaan Diferensial Mampu memahami klasifikasi Persamaan Diferensial Mampu memahami bentuk bentuk solusi Persamaan
Lebih terperinciMETODE MODIFIKASI NEWTON DENGAN ORDE KONVERGENSI Lely Jusnita 1
METODE MODIFIKASI NEWTON DENGAN ORDE KONVERGENSI 1 + Lely Jusnita 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya
Lebih terperinciPENGARUH PERUBAHAN NILAI PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDE 3
PENGARUH PERUBAHAN NILAI PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDE 3 Tornados P. Silaban 1, Faiz Ahyaningsih 2 1) FMIPA, UNIMED, Medan, Indonesia email: tornados.p_silaban@yahoo.com 2)
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persamaan diferensial berperan penting dalam kehidupan, sebab banyak permasalahan pada dunia nyata dapat dimodelkan dengan bentuk persamaan diferensial. Ada dua jenis
Lebih terperinciPertemuan Kesatu. Matematika III. Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si. Page 1.
Pertemuan Kesatu Matematika III Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si Page 1 Materi 1. Persamaan Diferensial Orde I Pengenalan bentuk dasar Pers. Diff. Orde I. Definisi Derajat,Orde. Konsep Pemisahan
Lebih terperinciPENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI ABSTRACT
PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI Febrian Lisnan, Asmara Karma 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE CAUCHY DENGAN ORDE KONVERGENSI EMPAT. Masnida Esra Elisabet ABSTRACT
MODIFIKASI METODE CAUCHY DENGAN ORDE KONVERGENSI EMPAT Masnida Esra Elisabet Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Riau Kampus
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Didunia nyata banyak soal matematika yang harus dimodelkan terlebih dahulu untuk mempermudah mencari solusinya. Di antara model-model tersebut dapat berbentuk sistem
Lebih terperinciBAB 1 Konsep Dasar 1
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB 2 Solusi Persamaan Fungsi Polinomial 2 BAB 3 Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial 3 BAB 4 Metoda Numeris untuk Sistem Nonlinier 4 BAB 5 Metoda Numeris Untuk Masalah Nilai Awal
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Homogen Tk. 2 (Differential: Linier Homogen Orde 2) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya PD linier homogen orde 2 Bentuk
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Banyak sekali masalah terapan dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, dan lain-lain yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk pesamaan
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37 Pendahuluan Konsep Dasar Beberapa
Lebih terperinciTEKNIK ITERASI VARIASIONAL DAN BERBAGAI METODE UNTUK PENDEKATAN SOLUSI PERSAMAAN NONLINEAR. Yeni Cahyati 1, Agusni 2 ABSTRACT
TEKNIK ITERASI VARIASIONAL DAN BERBAGAI METODE UNTUK PENDEKATAN SOLUSI PERSAMAAN NONLINEAR Yeni Cahyati 1, Agusni 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( )
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan
Lebih terperinciTEKNIK ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT
TEKNIK ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Koko Saputra 1, Supriadi Putra 2, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Pada metode numerik, dikenal suatu metode untuk menaksir atau mencari solusi pendekatan nilai eksak dari suatu ordinat y n+1 dengan diketahui nilai dari y n,
Lebih terperinciANALISIS KEKONVERGENAN GLOBAL METODE ITERASI CHEBYSHEV ABSTRACT
ANALISIS KEKONVERGENAN GLOBAL METODE ITERASI CHEBYSHEV Poppy Hanggreny 1, M. Imran, Zulkarnain 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciPENGARUH PERUBAHAN PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDO-2 SKRIPSI MIZWAR ARIFIN SRG
PENGARUH PERUBAHAN PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDO-2 SKRIPSI MIZWAR ARIFIN SRG 070803030 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciSolusi Persamaan Laplace Menggunakan Metode Crank-Nicholson. (The Solution of Laplace Equation Using Crank-Nicholson Method)
Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Jember, 19 November 2014 320 Persamaan Laplace Menggunakan Metode Crank-Nicholson (The Solution of Laplace Equation Using Crank-Nicholson Method) Titis
Lebih terperinciMETODE BERTIPE NEWTON UNTUK AKAR GANDA DENGAN KONVERGENSI KUBIK ABSTRACT
METODE BERTIPE NEWTON UNTUK AKAR GANDA DENGAN KONVERGENSI KUBIK Risvi Ayu Imtihana 1, Asmara Karma 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciFAMILI METODE ITERASI DENGAN KEKONVERGENAN ORDE TIGA. Rahmawati ABSTRACT
FAMILI METODE ITERASI DENGAN KEKONVERGENAN ORDE TIGA Rahmawati Mahasiswa Program Studi S Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya,
Lebih terperinciRATA-RATA KUADRAT SESATAN PENDUGA REGRESI DENGAN KOMBINASI LINIER DUA VARIABEL BANTU PADA SAMPEL ACAK SEDERHANA
RATA-RATA KUADRAT SESATAN PENDUGA REGRESI DENGAN KOMBINASI LINIER DUA VARIABEL BANTU PADA SAMPEL ACAK SEDERHANA oleh INTAN LISDIANA NUR PRATIWI NIM. M0110040 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi
Lebih terperinciPENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLE DARI PERSAMAAN GELOMBANG SUARA DI BAWAH AIR DENGAN METODE BEDA HINGGA
PENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLE DARI PERSAMAAN GELOMBANG SUARA DI BAWAH AIR DENGAN METODE BEDA HINGGA oleh FIQIH SOFIANA M0109030 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh
Lebih terperinciNOISE TERMS PADA SOLUSI DERET DEKOMPOSISI ADOMIAN DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL ABSTRACT
NOISE TERMS PADA SOLUSI DERET DEKOMPOSISI ADOMIAN DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL Heni Kusnani 1, Leli Deswita, Zulkarnain 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika
Lebih terperinciPENERAPAN METODE ELEMEN HINGGA UNTUK SOLUSI PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE
PENERAPAN METODE ELEMEN HINGGA UNTUK SOLUSI PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE Viska Noviantri Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus University Jln. K.H. Syahdan No. 9, Palmerah,
Lebih terperinciSEBUAH VARIASI BARU METODE NEWTON BERDASARKAN TRAPESIUM KOMPOSIT ABSTRACT
SEBUAH VARIASI BARU METODE NEWTON BERDASARKAN TRAPESIUM KOMPOSIT Vera Alvionita Harahap 1, Asmara Karma 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciMETODE GARIS SINGGUNG DALAM MENENTUKAN HAMPIRAN INTEGRAL TENTU SUATU FUNGSI PADA SELANG TERTUTUP [, ]
METODE GARIS SINGGUNG DALAM MENENTUKAN HAMPIRAN INTEGRAL TENTU SUATU FUNGSI PADA SELANG TERTUTUP [, ] Zulfaneti dan Rahimullaily* Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumbar Abstract: There is
Lebih terperinciANALISIS SPEKTRUM ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG
ANALISIS SPEKTRUM ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG KOMBINASI POTENSIAL MANNING-ROSEN HIPERBOLIK DAN ROSEN-MORSE TRIGONOMETRI DENGAN MENGGUNAKAN METODE HIPERGEOMETRI Disusun oleh : DWI YUNIATI M0209017 SKRIPSI
Lebih terperinciPENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTAN MENGGUNAKAN METODE ADAMS BASHFORTH MOULTON
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 2 (2014), hal 125 134. PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTAN MENGGUNAKAN METODE ADAMS BASHFORTH
Lebih terperinciSOLUSI POLINOMIAL TAYLOR PERSAMAAN DIFERENSIAL-BEDA LINEAR DENGAN KOEFISIEN VARIABEL ABSTRACT
SOLUSI POLINOMIAL TAYLOR PERSAMAAN DIFERENSIAL-BEDA LINEAR DENGAN KOEFISIEN VARIABEL Siti Nurjanah 1, Musraini M 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperincioleh WAHYUNI PUTRANTO NIM. M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
PERBANDINGAN METODE GRADIENT DESCENT DAN GRADIENT DESCENT DENGAN MOMENTUM PADA JARINGAN SYARAF TIRUAN BACKPROPAGATION DALAM PERAMALAN KURS TENGAH RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA oleh WAHYUNI PUTRANTO NIM.
Lebih terperinciMetode Chebyshev-τ untuk Menghitung Nilai Eigen pada Masalah Kestabilan Hidrodinamika
Metode Chebyshev-τ untuk Menghitung Nilai Eigen pada Masalah Kestabilan Hidrodinamika Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi Syarat Penyelesaian Tugas Akhir Program Studi Sarjana Matematika Oleh: Raden Ahnaf
Lebih terperinciFAMILI BARU METODE ITERASI BERORDE TIGA UNTUK MENEMUKAN AKAR GANDA PERSAMAAN NONLINEAR. Nurul Khoiromi ABSTRACT
FAMILI BARU METODE ITERASI BERORDE TIGA UNTUK MENEMUKAN AKAR GANDA PERSAMAAN NONLINEAR Nurul Khoiromi Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau
Lebih terperinciMETODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA JENIS KEDUA. Edo Nugraha Putra ABSTRACT ABSTRAK 1.
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA JENIS KEDUA Edo Nugraha Putra Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Jika y = f(x) dengan f(x) adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan terhadap
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Diferensial Jika y = f(x) dengan f(x) adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan terhadap variabel bebas x, maka dy adalah diferensial dari variabel tak bebas (terikat) y, yang
Lebih terperinciMETODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE DUA DENGAN KOEFISIEN VARIABEL ABSTRACT
METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE DUA DENGAN KOEFISIEN VARIABEL Marpipon Haryandi 1, Asmara Karma 2, Musraini M 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. iterasi Picard di dalam persamaan diferensial orde pertama, perlu diketahui
II. TINJAUAN PUSTAKA Untuk menuju ketahap pembahasan mengenai keberadaan dan ketunggalan dari iterasi Picard di dalam persamaan diferensial orde pertama, perlu diketahui beberapa bagian dari persamaaan
Lebih terperinciPersamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian
Modul 1 Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian Drs. Sardjono, S.U. M PENDAHULUAN odul 1 ini berisi uraian tentang persamaan diferensial, yang mencakup pengertian-pengertian dalam
Lebih terperinciPRA-PEMPROSESAN DATA LUARAN GCM CSIRO-Mk3 DENGAN METODE TRANSFORMASI WAVELET DISKRIT
TUGAS AKHIR - ST 1325 PRA-PEMPROSESAN DATA LUARAN GCM CSIRO-Mk3 DENGAN METODE TRANSFORMASI WAVELET DISKRIT ANGGREINI SUPRAPTI NRP 1305 100 005 Dosen Pembimbing Dr. Sutikno, S.Si, M.Si JURUSAN STATISTIKA
Lebih terperinciDERET TAYLOR UNTUK METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN ABSTRACT
DERET TAYLOR UNTUK METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Lucy L. Batubara 1, Deswita. Leli 2, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO. Mohamad Sidiq
MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO REFERENSI E-BOOK REFERENSI ONLINE SOS Mathematics http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html Wolfram Research Math World http://mathworld.wolfram.com/ordinarydifferentialequation.h
Lebih terperinciANALISIS MODEL FRAKSIONAL PENYEBARAN INFEKSI KODE MALICIOUS PADA JARINGAN KOMPUTER SKRIPSI
ANALISIS MODEL FRAKSIONAL PENYEBARAN INFEKSI KODE MALICIOUS PADA JARINGAN KOMPUTER SKRIPSI ROKHANA ETHA DAMAYANTI PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS
Lebih terperincioleh LILIS SETYORINI NIM. M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
PERAMALAN JUMLAH PEMINAT PROGRAM STUDI MATEMATIKA FMIPA UNS MENGGUNAKAN RUNTUN WAKTU FUZZY PADA PENENTUAN INTERVAL DENGAN METODE BERBASIS RATA-RATA DAN PENGELOMPOKAN OTOMATIS oleh LILIS SETYORINI NIM.
Lebih terperinciMODIFIKASI FAMILI METODE ITERASI MULTI-POINT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Yolla Sarwenda 1, Zulkarnain 2 ABSTRACT
MODIFIKASI FAMILI METODE ITERASI MULTI-POINT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Yolla Sarwenda 1, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
6 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar ang akan digunakan sebagai landasan berpikir seperti beberapa teorema dan definisi ang berkaitan dengan penelitian ini. Dengan begitu
Lebih terperinciBAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
BAB 2 BIASA 2.1. KONSEP DASAR Persamaan Diferensial (PD) Biasa adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa penurunan y (varibel terikat) terhadap x (variabel bebas) yang tidak spesifik dan ditentukan
Lebih terperinciVARIAN METODE HALLEY BEBAS TURUNAN KEDUA DENGAN ORDE KEKONVERGENAN ENAM. Siti Mariana 1 ABSTRACT ABSTRAK
VARIAN METODE HALLEY BEBAS TURUNAN KEDUA DENGAN ORDE KEKONVERGENAN ENAM Siti Mariana 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lebih terperinciPENDUGA RASIO PADA PENGAMBILAN SAMPEL ACAK SEDERHANA MENGGUNAKAN KOEFISIEN REGRESI, KURTOSIS, DAN KORELASI
PENDUGA RASIO PADA PENGAMBILAN SAMPEL ACAK SEDERHANA MENGGUNAKAN KOEFISIEN REGRESI, KURTOSIS, DAN KORELASI oleh EKO BUDI SUSILO M0110022 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRODINGER TIGA DIMENSI UNTUK POTENSIAL NON-SENTRAL ECKART DAN MANNING- ROSEN MENGGUNAKAN METODE ITERASI ASIMTOTIK
PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRODINGER TIGA DIMENSI UNTUK POTENSIAL NON-SENTRAL ECKART DAN MANNING- ROSEN MENGGUNAKAN METODE ITERASI ASIMTOTIK Disusun oleh : Muhammad Nur Farizky M0212053 SKRIPSI PROGRAM STUDI
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE NEWTON DENGAN KEKONVERGENAN ORDE EMPAT. Yenni May Sovia 1, Agusni 2 ABSTRACT
MODIFIKASI METODE NEWTON DENGAN KEKONVERGENAN ORDE EMPAT Yenni May Sovia, Agusni 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau
Lebih terperinciBANK SOAL METODE KOMPUTASI
BANK SOAL METODE KOMPUTASI 006 iv DAFTAR ISI Halaman Bio Data Singkat Penulis.. Kata Pengantar Daftar Isi i iii iv Pengantar... Kesalahan Bilangan Pendekatan... 6 Akar-akar Persamaan Tidak Linier.....
Lebih terperinciPENYELESAIAN MASALAH NILAI AWAL PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA MENGGUNAKAN MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 1 (2015), hal 9 16. PENYELESAIAN MASALAH NILAI AWAL PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA MENGGUNAKAN MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA. 10 Maret 2010
Metode Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA 10 Maret 2010 (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 1 / 16 Ekspansi Taylor Misalkan f 2 C [a, b] dan x 0 2 [a, b], maka untuk
Lebih terperinciPENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN NONLINIER SATU VARIABEL DENGAN METODE ITERASI BARU HASIL DARI EKSPANSI TAYLOR
Jurnal Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 93 98 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN NONLINIER SATU VARIABEL DENGAN METODE ITERASI BARU HASIL DARI EKSPANSI TAYLOR
Lebih terperinciPENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL FUZZY ORDE SATU MENGGUNAKAN METODE ADAMS BASHFORTH MOULTON ORDE TIGA
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 2 (2014), hal 117 124. PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL FUZZY ORDE SATU MENGGUNAKAN METODE ADAMS BASHFORTH MOULTON ORDE TIGA
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN POISSON 2D DENGAN MENGGUNAKAN METODE GAUSS-SEIDEL DAN CONJUGATE GRADIENT
Teknikom : Vol. No. (27) E-ISSN : 2598-2958 PENYELESAIAN PERSAMAAN POISSON 2D DENGAN MENGGUNAKAN METODE GAUSS-SEIDEL DAN CONJUGATE GRADIENT Dewi Erla Mahmudah, Muhammad Zidny Naf an 2 STMIK Widya Utama,
Lebih terperinciKONSEP METODE ITERASI VARIASIONAL ABSTRACT
KONSEP METODE ITERASI VARIASIONAL Yuliani 1, Leli Deswita 2, Agusni 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE HOMOTOPY PERTURBASI UNTUK PERSAMAAN NONLINEAR DAN MEMBANDINGKAN DENGAN MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN ABSTRACT
MODIFIKASI METODE HOMOTOPY PERTURBASI UNTUK PERSAMAAN NONLINEAR DAN MEMBANDINGKAN DENGAN MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Handico Z Desri 1, Syamsudhuha 2, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1
Lebih terperinciASPEK STABILITAS DAN KONSISTENSI METODA DALAM PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA DENGAN MENGGUNAKAN METODA PREDIKTOR- KOREKTOR ORDE 4
ASPEK STABILITAS DAN KONSISTENSI METODA DALAM PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA DENGAN MENGGUNAKAN METODA PREDIKTOR- KOREKTOR ORDE 4 Asep Juarna, SSi, MKom. Fakultas Ilmu Komputer, Universitas
Lebih terperinciPenyelesaian Persamaan Poisson 2D dengan Menggunakan Metode Gauss-Seidel dan Conjugate Gradient
Teknikom : Vol. No. (27) ISSN : 2598-2958 (online) Penyelesaian Persamaan Poisson 2D dengan Menggunakan Metode Gauss-Seidel dan Conjugate Gradient Dewi Erla Mahmudah, Muhammad Zidny Naf an 2 STMIK Widya
Lebih terperinciUniversitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika. Persamaan Diferensial Orde II
Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Persamaan Diferensial Orde II PDB Orde II Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka
Lebih terperinciMETODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL DAN INTEGRO-DIFERENSIAL VOLTERRA LINEAR DAN NONLINEAR ABSTRACT
METODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL DAN INTEGRO-DIFERENSIAL VOLTERRA LINEAR DAN NONLINEAR Nasrin 1, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciTINJAUAN KASUS PERSAMAAN GELOMBANG DIMENSI SATU DENGAN BERBAGAI NILAI AWAL DAN SYARAT BATAS
Tinjauan kasus persamaan... (Agus Supratama) 67 TINJAUAN KASUS PERSAMAAN GELOMBANG DIMENSI SATU DENGAN BERBAGAI NILAI AWAL DAN SYARAT BATAS ANALITICALLY REVIEW WAVE EQUATIONS IN ONE-DIMENSIONAL WITH VARIOUS
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah
1 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasikan dan menjelaskan masalah dunia nyata dalam pernyataan matematik. Representasi
Lebih terperinciDepartment of Mathematics FMIPAUNS
Lecture 2: Metode Operator A. Metode Operator untuk Sistem Linear dengan Koefisien Konstan Pada bagian ini akan dibicarakan cara menentukan penyelesaian sistem persamaan diferensial linear dengan menggunakan
Lebih terperinciSOLUSI ANALITIK MASALAH KONDUKSI PANAS PADA TABUNG
Jurnal LOG!K@, Jilid 6, No. 1, 2016, Hal. 11-22 ISSN 1978 8568 SOLUSI ANALITIK MASALAH KONDUKSI PANAS PADA TABUNG Afo Rakaiwa dan Suma inna Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas
Lebih terperinciMETODE ITERASI DUA LANGKAH BEBAS TURUNAN BERDASARKAN INTERPOLASI POLINOMIAL ABSTRACT
METODE ITERASI DUA LANGKAH BEBAS TURUNAN BERDASARKAN INTERPOLASI POLINOMIAL N.D. Monti 1, M. Imran, A. Karma 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika
Lebih terperinciPROGRAM LINIER FUZZY PENUH DENGAN ALGORITMA MULTI OBJECTIVE LINEAR PROGRAMMING. Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang
PROGRAM LINIER FUZZY PENUH DENGAN ALGORITMA MULTI OBJECTIVE LINEAR PROGRAMMING Mohamad Ervan S 1, Bambang Irawanto 2, Sunarsih 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto,
Lebih terperinciAPLIKASI METODE KAPLAN MEIER UNTUK MENDUGA SELANG WAKTU KETAHANAN HIDUP (Studi Kasus: Pasien Kanker Payudara di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta)
APLIKASI METODE KAPLAN MEIER UNTUK MENDUGA SELANG WAKTU KETAHANAN HIDUP (Studi Kasus: Pasien Kanker Payudara di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta) Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Lebih terperinciBAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciIlustrasi Persoalan Matematika
Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti
Lebih terperinciMETODE ITERASI VARIASIONAL HE UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR ABSTRACT ABSTRAK
METODE ITERASI VARIASIONAL HE UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR Istawi Arwannur 1, Endang Lily 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas
Lebih terperinciBAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER
BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER Bentuk umum PD orde-n adalah PD yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan tidak linier. Contoh: Jika F(x) pada persamaan (3.1) sama dengan nol maka
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN
LINIER NON HOMOGEN Contoh PD linier non homogen orde 2. Bentuk umum persamaan PD Linier Non Homogen Orde 2, adalah sebagai berikut : y + f(x) y + g(x) y = r(x) ( 2-35) Solusi umum y(x) akan didapatkan
Lebih terperinciDaimah 1. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia.
METODE NEWTON BISECTRIX UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Daimah 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru
Lebih terperinci