Suhu (X) Gula yang Dihasilkan (Y)

Transkripsi

1 Regresi Liear Sederhaa da Korelasi MA 208 Statistika Dasar Sei, 27 April by USP & RFU Dose : Udjiaa S. Pasaribu Utriwei i Mukhaiyar

2 Model Regresi Liear Tujua :. Meetuka/meaksir parameter-parameter yag terlibat dalam suatu model matematik yag liear terhadap parameter-parameter tersebut 2. Melakuka prediksi terhadap ilai suatu variabel, misalka Y, berdasarka ilai variabel yag lai, misalka X, dega megguaka model regresi liier (iterpolasi). 2

3 f(x) Suhu (X) Gula yag Dihasilka (Y) -Nilai Variabel X meetuka ilai variabel Y -Variabel X disebut prediktor, variabel Y disebut respos -Prediktor buka peubah acak -Respos adalah peubah acak 3

4 Observasi 2 3 X X X 2 X 3 X Y Y Y 2 Y 3 Y Diatara X atau Y, yag maa yag merupaka prediktor?? - Lihat variabel maa yag ilaiya mempegaruhi variabel yag laiya. Variabel itulah yag merupaka prediktor. - Hitug variasi kedua variabel, variabel yag variasiya terkecil adalah prediktor 4

5 Model : Y = β + β X + e i 0 i i β 0 β - da merupaka parameter-parameter model yag aka ditaksir i - e i adalah galat pada observasi ke-i (acak) 5

6 Sumber galat: a. ketidakmampua model regresi dalam memodelka hubuga prediktor da respos dega tepat 2. ketidakmampua peeliti dalam melakuka pegukura dega tepat 3. ketidakmampua k model utuk melibatka semua variabel prediktor 6

7 Peaksir Kuadrat Terkecil β 0 - β da ditaksir dega metode kuadrat terkecil (least square) - Asumsi-asumsi i :. Ada pegaruh X terhadap Y 2. Yi = β0 + β Xi + ei, utuk i =, 2,..., 3. Nilai harapa dari e i adalah 0, atau E[ e i ] = 0 4. Variasi dari e i, sama utuk semua i =, 2,, 5. e i berdistribusi ormal utuk semua i =, 2,, 6. e,e 2,...,e salig bebas (idepede) 7

8 Misalka b adalah taksira bagi β da b 0 adalah taksira bagi β 0. Maka taksira bagi model regresi adalah Yˆ = b + b X i 0 i Kriteria peaksira kuadrat terkecil adalah memiimumka 2 e i i= terhadap b 0 da b, dega e = Y Yˆ = Y b b X. i i i i 0 i 8

9 Diperoleh b JK XY = = JK XX ( X X)( Y Y) i i i= Xi X i= ( ) 2 b0 = Y bx Sedagka taksira utuk variasi galat acak adalah i i 2 JKG i= ˆ σ ( Y Yˆ ) 2 = = 2 2 9

10 Suhu (X) Gula yg dihasilka (Y) Sumber: Walpole ad Myers, 989 hasilka (Y Y) Gu ula yag di e i Suhu (X) 0

11 = x = xi =.5 i= y = y = 9.3 b i= = i i i i = 2 ( xi x) i= ( x x)( y y) = =.809 b0 = Y bx = Model persamaa regresi : Yˆ = X

12 Prediksi Nilai Respos Suhu (x i ) Gula yg dihasilka (y i ) Prediksi model ˆ i e = y yˆ (y ) i i i i Tki Taksira variasi i galat lt acak ˆ σ ( ˆ ) 2 = y yi =

13 Misalka suhu proses (X) adalah.55 satua suhu Maka prediksi bayakya gula yag dihasilka pada suhu tersebut adalah ŷ = x = (.55) =

14 Iferesi utuk Parameter- parameter Regresi Asumsi e i berdistribusi ib i ormal utuk semua i =, 2,, Y beristribusi ormal utuk semua i =, 2,, i b da b berdistribusi ib i ormal b 0 4

15 T = 0 ˆ σ i= b 0 β 0 x 2 i / JK XX b β da T = σˆ/ JK berdistribusi t dega derajat kebebasa -2 Selag kepercayaa (-α) utuk β t ˆ /2 XX < ˆ 0 < 0 + α σ xi β tα/2σ xi XX i= i= b / JK b / JK Selag kepercayaa ( b (-α) utuk t ˆ σ < β < b + JK XX utuk α/2 α/2 XX dega t α /2 adalah ilai i distribusi ib i t dega derajat kebebasa b -2 5 t JK β ˆ σ XX

16 Pegujia parameter-parameter regresi Tujua : meetuka apakah parameter-parameter tersebut dapat diabaika atau tidak. Rumusa Hipotesis : H 0 : β 0 = 0 Vs H : β 0 0, da H 0 : β = 0 Vs H : β 0 Statistik uji utuk meguji H 0 Vs H : t = 0 ˆ i= b x 0 2 i σ JK XX Statistik uji utuk meguji H 0 Vs H : t = σ ˆ b JK XX 6

17 H 0 ditolak dega tigkat keberartia α jika t0< t αatau t0> t α 2 2 H 0 ditolak dega tigkat keberartia α jika t< t αatau t> t α 2 2 t α/2 adalah ilai distribusi t dega derajat kebebasa -2 7

18 Selag prediksi Misalka ilai respos Y utuk X = X 0 adalah Y 0, da misalka Ŷ 0 adalah prediksi model regresi bagi Y 0. Maka Ŷ-Y T = σˆ +(/)+[(x x) / JK ] XX berdistribusi ib i t dega derajat kebebasa b -2. Selag prediksi ( α) bagi y 0 adalah (x x) (x x) yˆ t ˆ + + y yˆ t ˆ α/2σ < 0 < 0 + α/2σ JKXX JKXX 8

19 Tijau kembali cotoh sebelumya xx i i= ( ) 2 JK = x x =. b0 = b =.809 ˆ σ = ( y yˆ ) 2 = i i 2 Jika α = 5%, utuk derajat kebebasa 2 = 2 =9, t α / 2 = t0.025 = 2.26 Selag kepercayaa 95% utuk β 0 adalah (2.26)(0.4) < β0 < (2.26)(0.4) ()(.) ()(.) atau < β < Selag kepercayaa 95% utuk β adalah (2.26)(0.4) (2.26)(0.4).809 < β < atau < β <

20 H 0 : β 0 = 0 Vs H : β 0 0, α = 5% = b = = σˆ JK 0 t x 0.4 i i= ()(.) ) XX Utuk derajat kebebasa 2 = 9, ilai kritis t = 2.26 Karea t 0 > t 0.025, maka H 0 ditolak H 0 : β = 0 Vs H : β 0, α = 5% b.809 σˆ 0.4 /. JK t = = = 4.3 JK XX Karea t > t 0.025, maka H 0 ditolak Kesimpula : β 0 da β tidak dapat diabaika 20

21 Kecocoka Model Regresi Salah satu alat ukur utuk melihat apakah model regresi yag diperoleh sudah memadai adalah koefisie i determiasi i yaitu 2 2 (yˆ i y) JK R i= JKT 2 (yi y) 2 i= R = =, dega 0 R Besara R 2 meujukka proporsi variasi total dalam respos Y yag diteragka oleh model regresi yag diperoleh 2

22 Uji Kebaika Model H 0 : Model regresi yag diperoleh tidak memadai H : Model memadai Statistik uji f JK = R = ˆ σ i i= (yˆ y) ˆ σ 2 Tolak H 0 pada tigkat keberartia α jika,(, 2), dega f α,(, 2) adalah ilai distribusi F dega derajat kebebasa da -2 f > f α 22

23 Utuk cotoh sebelumya 2 R =0.499 Artiya proporsi variasi total dalam respos Y yag diteragka oleh model regresi yag diperoleh adalah 49.9% Uji kebaika model f 2 (yˆ i y) JKR i= = = = ˆ σ ˆ σ 8.99 Utuk α = 5%, titik kritis f > f, model memadai 0.05,(,9) f0.05,(,9) =

24 Korelasi Megukur hubuga liear dua peubah acak Misalka X da Y adalah dua peubah acak, maka korelasi atara X da Y diyataka dega E [(X µ )(Y µ ) ] ρ = XY X σσ X Y Y 24

25 Jika ilai i korelasi medekati maka hubuga kedua peubah sagat erat da searah sedagka jika ilai korelasi medekati maka hubuga kedua peubah sagat erat da berlawaa arah. Jika ilai korelasi sama dega ol berarti tidak terdapat hubuga liear atara kedua peubah acak. 25

26 Gambar Korelasi positif Gambar 2 Korelasi egatif Gambar 3 Korelasi ol Gambar 4 Korelasi ol 26

27 Korelasi dapat ditaksir dega koefisie korelasi sampel, yaitu r XY = = JK JK XY XX JK YY (X X)(Y Y) i i i= 2 2 (Xi X) (Yi Y) i= i= 27

28 Data dua peubah acak berat bada bayi (kg) da ukura dada bayi (cm) berat (kg) Rata-rata berat = 3.63 ukura dada (cm) Rata-rata ukura dada =

29 (cm) ukura berat (kg) 9 i i i= (X X)(Y Y) r = = (Xi X) (Yi Y) i= i= 29

30 Referesi Pasaribu, U.S., 2007, Catata Kuliah Biostatistika. Walpole, Roald E. Da Myers, Raymod H., Ilmu Peluag da Statistika utuk Isiyur da Ilmuwa, Edisi 4, Badug: Peerbit ITB,