MODUL INJEKTIF. Diajukan sebagai syarat mengikuti sidang Sarjana Matematika Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung TUGAS AKHIR

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "MODUL INJEKTIF. Diajukan sebagai syarat mengikuti sidang Sarjana Matematika Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung TUGAS AKHIR"

Widyawati Agusalim
6 tahun lalu
Tontonan:

MODUL INJEKTIF Diajukan sebagai syarat mengikuti sidang Sarjana Matematika Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung TUGAS AKHIR

1 MODUL INJEKTIF Diajukan sebagai syarat mengikuti sidang Sarjana Matematika Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung TUGAS AKHIR Disusun oleh: Erma Suwastika PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2007

2 ABSTRACT Module over a ring is a generalization of a vector space over a field. Field itself is a commutative division ring. One of the properties of vector space is the bases existence. Besides the vector space over a field, there is a module over a ring which has bases. Module over a ring which has a basis is called a free module. Projective module is more general than free module. Not all modules have projective cover, but every module has injective hulls. Hence, in this final project, the existence of injective hulls is showed, or in another word, every module has injective hulls. i

3 ABSTRAK Modul atas gelanggang adalah perumuman dari ruang vektor atas lapangan. Lapangan itu sendiri adalah gelanggang pembagian yang komutatif. Salah satu sifat dari ruang vektor atas lapangan adalah memiliki basis. Selain ruang vektor atas lapangan, ada juga modul atas gelanggang yang memiliki basis. Modul atas gelanggang yang juga memiliki basis dinamakan modul bebas. Satu tingkat lebih umum dari modul bebas adalah modul projektif. Modul bebas termasuk ke dalam modul projektif. Akan tetapi, apabila diambil sebarang modul, belum tentu akan didapat hubungan antara modul tersebut dengan modul projektif. Tidak semua modul memiliki projective cover, sedangkan injective hull dimiliki oleh setiap modul. Oleh karena itu, dalam tugas akhir ini ditunjukkan eksistensi dari injective hulls, atau dengan kata lain setiap modul memiliki injective hulls. ii

4 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT karena atas kekuasaan dan kehendak-nya, tugas akhir yang berjudul Modul Injektif dapat diselesaikan setelah sekitar satu tahun mengalami proses pengerjaan. Shalawat dan salam dicurahkan kepada Rasulullah Muhammad SAW yang telah menjadi teladan dan sumber inspirasi bagi penulis dalam menyelesaikan tugas akhir. Aljabar adalah cabang dari Matematika yang merupakan dasar dari cabang-cabang Matematika yang lain. Perkembangan dalam dunia Aljabar akan sangat berpengaruh pada perkembangan Matematika secara umum. Banyak teori yang dibahas dalam Aljabar, salah satunya adalah teori modul. Dalam teori modul, terdapat beberapa jenis modul, di antaranya adalah modul injektif dan modul projektif. Modul injektif memiliki sifat-sifat istimewa yang tidak dimiliki oleh modul projektif. Oleh karena itu, pembahasan mengenai modul injektif akan sangat menarik dan bermanfaat yang diakibatkan oleh sifat-sifat istimewanya. Tidaklah mudah bagi penulis untuk menyelesaikan tugas akhir ini, tetapi berkat dukungan dari berbagai pihak, penulis dapat menghadapi berbagai rintangan dalam proses pengerjaan tugas akhir. Oleh karena itu, penulis berterima kasih kepada: 1. Ibu dan bapak yang telah mendidik dan berusaha keras untuk membiayai sekolah penulis hingga jenjang S1. 2. Dr. Irawati sebagai dosen pembimbing yang kurang lebih satu tahun membimbing penulis dalam mengerjakan tugas akhir ini. iii

5 3. Ibu Hanni Garminia, M.Si, Dr. Muchtadi Intan Detiena, dan Dr. Janny Lindiarni yang telah bersedia menjadi dosen penguji pada seminar tugas akhir. 4. Teh Della dan Acung yang selalu menjawab pertanyaan-pertanyaan penulis seputar tugas akhir ini. 5. Mega dan Rahma yang telah memberikan bantuan dengan meminjamkan komputer dan printer untuk penyelesaian tugas akhir ini. 6. Kelompok penelitian HIMATIKA ITB-Tanoto Foundation yang telah mengizinkan penulis untuk menggunakan printer untuk draf tugas akhir. 7. Dona sebagai teman satu perjuangan dalam mengerjakan tugas akhir. 8. Teman-teman Matematika ITB 2003 yang telah mendukung penulis dalam proses pembuatan tugas akhir ini. 9. Pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu-persatu yang telah berjasa dalam penyelesaian tugas akhir ini. Penulis berharap tugas akhir ini dapat memberikan informasi yang berharga mengenai modul injektif bagi pembaca. Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini tidak sempurna karena di dunia ini tidak ada yang sempurna. Penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca. Bandung, Juli 2007 Penulis. iv

6 DAFTAR ISI Abstract...i Abstrak...ii Prakata...iii Daftar Isi...v BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Rumusan Masalah Tujuan Manfaat Sumber Data dan Teknik Penelitian Sistematika Penulisan...3 BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Modul Annihilator Kali dan Tambah Langsung Perluasan Fungsi Lemma Zorn Gelanggang dan Ideal Grup Divisible dan Grup Injektif...9 v

7 BAB III MODUL INJEKTIF 3.1. Modul Injektif Divisibility Injective Hulls...30 BAB IV PERBANDINGAN ANTARA MODUL INJEKTIF DAN MODUL PROJEKTIF 4.1. Modul Bebas Modul Projektif Perbandingan antara Modul Injektif dan Modul Projektif...41 BAB V PENUTUP 5.1. Kesimpulan Saran...43 Daftar Pustaka vi

dokumen-dokumen yang mirip

MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS

MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS MODULES AND BASES OF FREE MODULES Dian Mardiani Pendidikan Matematika, STKIP Garut Garut, Indonesia Alfid51@yahoo.com Abstrak Penelitian ini membahas beberapa