Pelabelan Pseudo Edge-Magic dan Pseudo Vertex-Magic pada Graf Sebarang

Transkripsi

1 Pelabelan Pseudo Edge-Magic dan Pseudo Vertex-Magic pada Graf Sebarang TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB Oleh : Julius Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2007

2 Pelabelan Pseudo Edge-Magic dan Pseudo Vertex-Magic pada Graf Sebarang TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB Oleh : Julius Bandung, Juni 2007 Telah diperiksa dan disetujui oleh Pembimbing Tugas Akhir Prof. Dr. Edy Tri Bakoro Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2007 i

3 Abstrak Dalam teori graf, khususnya mengenai pelabelan, penelitian terutama ditujukan untuk mencari berbagai bentuk pelabelan yang unik baik untuk kelas-kelas graf tertentu maupun untuk graf secara umum. Salah satu jenis pelabelan yang dikenal adalah pelabelan magic. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai perluasan dari pelabelan magic, yaitu pelabelan pseudo magic, yang dapat diterapkan pada sebarang graf. Seperti juga pada pelabelan magic, pelabelan total pseudo magic ini juga terbagi menjadi dua jenis, pertama yaitu pelabelan pseudo edge-magic di mana untuk setiap sisi dalam graf, jumlah label sisi dengan label kedua titik ujungnya selalu tetap. Di samping itu juga ada jenis pelabelan pseudo vertex-magic dengan jumlah label setiap titik dengan semua sisi yang terkait dengannya selalu konstan untuk semua titik dalam graf. Karena pelabelan pseudo magic ini menggunakan bilangan bulat positif yang tidak terurut sebagai labelnya, maka terdapat banyak kemungkinan pelabelan pseudo magic yang ada untuk sebuah graf. Tujuan dari tugas akhir ini adalah memperlihatkan bahwa greedy algorithm dapat memberikan pelabelan pseudo magic dengan nilai konstanta magic number yang kecil. Dalam tugas akhir ini juga diperlihatkan batas atas dan batas bawah untuk kedua algoritma yang digunakan. iii

4 Abstract In graph theory, especially labellings, the study has been focused mainly to find another unique form for each graph classes, or for any graphs. One type of well known labellings are magic labellings, which can only be applied to certain classes of graphs. Therefore we consider expanded variations of magic labellings which known as pseudo magic labellings, that can be applied to any graphs. as a variations of magic labellings, pseudo magic labellings also divided into two types, first type is pseudo edge-magic, in which for every edges, the sum of it s label and both endvertices are constants. The other type named pseudo vertex-magic, with the sum if all it s vertices and all edges incident to it is constants. Since we are using any positive integers as our labels, there is many possibilities of pseudo magic labellings for each graph. Our objective is to show that greedy algorithm we used can produce pseudo magic total labellings with constant called magic number relatively small. We also present lower bounds and upper bounds for both used algorithm ii

5 Prakata Pertama-tama penulis ingin mengucapkan puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena oleh karunia-nyalah penulis dapat menghadapi berbagai masalah sehingga pada akhirnya sanggup menyelesaikan tugas akhir ini sebagai syarat kelulusan dari perkuliahan di Institut Teknologi Bandung. Tugas akhir dengan judul Pelabelan edge-magic dan vertex-magic pada graf sembarang ini disusun penulis untuk memenuhi syarat sidang sarjana program studi Matematika di fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam tempat penulis mengenyam ilmu. Selama penulis berada di Institut Teknologi Bandung, baik perkuliahan maupun saat penyusunan tugas akhir ini, penulis banyak mendapatkan bantuan berupa bimbingan, dan dorongan dari berbagai pihak, karenanya penulis merasa ingin memngungkapkan rasa terima kasih yang sedalam-dalamnya kepada pihak-pihak yang telah turut berperan dalam penyusunan karya tulis ini, yaitu : 1. Orang tua penulis, yaitu alm. Putra Halim dan Hennywati Surya untuk semua yang telah diberikan kepada penulis, berupa kasih sayang, nasihat, yang telah mendidik penulis hingga saat ini, juga untuk doanya untuk penulis. 2. Kedua adik penulis, yaitu Hendra Gunadi dan Himawan Hutomo atas dukungan dan dorongan, saran-saran dan kebersamaan dalam keluarga selama ini. iv

6 3. Prof. Dr. Edy Tri Baskoro selaku dosen pembimbing penulis yang telah membimbing penulis dalam menyusun tugas akhir ini, atas masukan dan saran, hingga selesainya tugas akhir ini. 4. Dr. Rinovia Simanjuntak sebagai dosen penguji, yang memberikan penilaian dan memberi banyak masukan untuk penulis pada saat seminar tugas akhir ini. 5. Achmad Muchlis Ph.D selaku dosen wali penulis yang telah banyak memberikan masukan-masukan dan perhatian juga dukungan di saat penulis mengikuti perkuliahannya di Institut Teknologi Bandung. 6. Seluruh staff pengajar di kampus Institut Teknologi Bandung yang telah memberikan ilmu dan wawasan yang berguna bagi masa depan penulis pada umumnya dan penyusunan tugas akhir ini, pada khususnya. 7. Ibu Diah, selaku staf tata usaha Institut Teknologi Bandung yang telah banyak membantu penulis selama masa perkuliahannya, juga untuk nasihatnasihat dan perhatian nya yang luar biasa. Serta kepada seluruh staf tata usaha Matematika Institut Teknologi Bandung atas bantuannya dalam hal masalah administrasi penulis selama menjalani masa kuliah. 8. Rekan-rekan penulis selama kuliah di Institut Teknologi Bandung : Tutur, Adjie, Galih, Harris, Sean, harfizan, Irwin, Yulhendri, Dengara, Wiena, Surya, Agus, dan Endro. 9. Juga kepada seluruh pihak yang telah banyak membantu dan mendukung penulis, yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu. v

7 Seluruh dukungan, dan bantuan dari Bapak, Ibu, dan teman-temanlah yang telah memampukan penulis menjalani kehidupannya. Semoga segala kebaikan Bapak, Ibu, dan teman-teman sekalian diberi balasan oleh Yang Maha Kuasa. Sadar akan banyaknya kekurangan pada tugas akhir ini, penulis menerima semua kritik dan saran dari semua pihak untuk memperbaiki tugas akhir ini. Akhir kata, penulis mengharapkan tugas akhir ini dapat memberikan manfaat yang sebesar-besarnya bagi kita semua. Bandung, Juni 2007 Penulis vi

8 Daftar Isi Abstract... ii Abstrak...iii Prakata...iv Bab I Pendahuluan... 1 Latar Belakang... 1 Rumusan Masalah... 5 Batasan Masalah... 6 Tujuan... 6 Sistematika Penulisan... 6 Bab II Kajian Teori... 8 Teori-teori Dasar Graf... 8 Pelabelan Magic dan Pseudo-Magic Bab III Kajian Dan Algoritma Pelabelan Pseudo Edge-Magic Batas Bawah Magic Number pada Pelabelan Total Pseudo Edge-Magic Algoritma pada Pelabelan Total Pseudo Edge-Magic Batas Atas Magic Number pada Pelabelan Total Pseudo Edge-Magic Bab IV Kajian Dan Algoritma Pelabelan Pseudo Vertex-Magic Batas Bawah Magic Number pada Pelabelan Total Pseudo Vertex-Magic Algoritma pada Pelabelan Total Pseudo Vertex-Magic Batas Atas Magic Number pada Pelabelan Total Pseudo Vertex-Magic Bab V Kesimpulan Daftar Pustaka vi