BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Fluida Pengertian Fluida Fluida didefinisikan sebagai zat yang berdeformasi terus-menerus selama dipengaruhi suatu tegangan geser. Tegangan (gaya per satuan luas) geser terbentuk apabila sebuah gaya tangensial bekerja pada sebuah permukaan, (Munson, et al, 2003). Apabila benda-benda padat biasa seperti baja atau logam-logam lainnya dikenai oleh suatu tegangan geser, mula-mula benda ini akan berdeformasi (biasanya sangat kecil), tetapi tidak akan terus-menerus berdeformasi (mengalir). Namun, cairan yang biasa seperti air, minyak, dan udara memenuhi definisi dari sebuah fluida artinya, zat-zat tersebut akan mengalir apabila padanya bekerja sebuah tegangan geser Jenis Jenis Fluida Cairan : Fluida yang cenderung mempertahankan volumenya karena terdiri atas molekul-molekul tetap rapat dengan gaya kohesif yang relatif kuat dan fluida cairan praktis tak compressible. Gas : Fluida yang volumenya tidak tertentu karena jarak antar molekulmolekul besar dan gaya kohesifnya kecil sehingga gas akan memuai bebas sampai tertahan oleh dinding yang mengukungnya. Pada fluida gas, gerakan momentum antara molekulnya sangat tinggi, sehingga sering terjadi tumbukan antar molekul. Fluida pada dasarnya terbagi atas dua kelompok besar berdasarkan sifatnya, yaitu fluida cairan dan fluida gas. Fluida diklasifikasikan atas 2, yaitu: 1. Fluida Newtonian : fluida fluida yang menunjukkan hubungan linier antara tegangan geser dan gradien kecepatan ( laju perubahan bentuk yang diakibatkan). Kebanyakan fluida biasa, seperti udara, air dan minyak.

2 7 2. Fluida non-newtonian : fluida yang tegangan gesernya tidak berhubungan secara linier terhadap laju regangan geser (laju perubahan bentuk sudut), seperti Dilatan dan pseudoplastik Berbagai jenis fluida non-newtonian dibedakan dengan bagaimana viskositas nyatanya berubah dengan laju geseran. 1. Untuk fluida yang mengencer akibat geseran (shear thinning fluids), viskositas nyatanya berkurang dengan meningkatnya laju geseran-semakin kuat fluida mengalami geseran, maka fluida tersebut semakin encer (viskositasnya berkurang).misalnya, cat lateks tidak menetes dari kuas karena laju geserannya kecil dan viskositas nyatanya besar. Namun, cat tersebut mengalir mulus pada dinding karena lapisan tipis cat antara dinding dengan kuas mengakibatkan laju geseran yang besar dan viskositas nyata yang kecil. 2. Untuk fluida yang mengental akibat geseran (shear thickening fluids), viskositas nyatanya meningkat dengan peningkatan laju geseran-semakin kuat fluida mengalami geseran, maka semakin kental tersebut (viskositasnya bertambah). Seperti campuran air-tepung jagung (maizena) dan campuran air-pasir ( quicksand ). Jadi, sulitnya memisahkan sebuah benda dari campuran air-pasir akan semakin meningkat tajam jika kecepatan pemisahan meningkat Pergerakan Fluida Secara umum, fluida dikenal memiliki kecenderungan untuk bergerak atau mengalir. Sangat sulit untuk mengekang fluida agar tidak bergerak. Tegangan geser yang sangat kecil saja sudah menyebabkan fluida bergerak. Demikian pula halnya, suatu kesetimbangan dari tegangan (tekanan) normal akan menyebabkan fluida bergerak.

3 8 Gambar 2.1: Tempat Kedudukan Partikel Yang Dinyatakan Dengan Vektor Posisinya. Untuk menggambarkan suatu aliran fluida harus ditentukan berbagia parameter, tidak hanya sebagai fungsi koordinat ruang (misalnya x, y, z) tetapi juga sebagai fungsi waktu, t. Contohnya untuk menyatakan temperatur, T didalam sebuah ruang, maka medan temperaturnya adalah T = T (x, y, z, t). Pada seluruh ruangan pada suatu waktu sepanjang siang atau malam. Salah satu variabel yang paling penting dari pergerakan fluida adalah kecepatannya, yaitu: VV = uu(xx, yy, zz, tt)ii + vv(xx, yy, zz, tt)jj + ww(xx, yy, zz, tt)kk (2.1) Dimana uu, vv, dan ww merupakan komponen vektor kecepatan dalam arah xx, yy, dan zz. Kecepatan sebuah partikel adalah laju perubahan per satuan waktu dari vektor posisi partikel tersebut. Dari gambar 2.1, posisi partikel A diberikan oleh vektor posisi rr AA, yang = VV AA merupakan fungsi dari waktu (jika partikel bergerak), yaitu dddd AA dddd Jenis Jenis Aliran Fluida Berdasarkan Kemampuan Menahan Tekanan : Fluida incompressible (tidak termampatkan), yaitu fluida yang tidak dapat dikompressi atau volumenya tidak dapat ditekan menjadi lebih kecil sehingga massa jenis, ρρ nya konstan. Fluida compressible (termampatkan), yaitu fluida

4 9 yang dapat dikompressi atau volumenya dapat ditekan menjadi lebih kecil sehingga massa jenis, ρρ nya tidak konstan Berdasarkan Sifat Alirannya : Fluida bersifat Turbulen, dimana alirannya mengalami pergolakan (berputarputar). Fluida bersifat Laminar (stream line), dimana alirannya memiliki lintasan lapisan batas yang panjang, sehingga dikatakan juga aliran berlapis-lapis Berdasarkan Sifat Kekentalannya Aliran kental (viscous) dan aliran tak kental (inviscid) : Pada fluida yang mengalir terdapat perpindahan massa, momentum, energi dari suatu tempat ke tempat lain. Perpindahan pada skala molekul menimbulkan fenomena difusi massa, viskositas, dan konduksi termal. Semua aliran molekul memperlihatkan efek phenomena transport, aliran ini disebut dengan aliran viskous sedangkan pada aliran inviscid aliran diasumsikan tidak ada gesekan konduksi panas dan diffusi Darah Darah adalah jaringan ikat dengan sel-sel yang tersuspensi dalam plasma. Tubuh manusia pada umumnya mengandung 4 sampai 6 L darah. Jika sampel darah diambil, sel-sel darah dapat dipisahkan dari plasma unsur seluler yang berkisar sekitar 45% dari volume darah akan mengendap didalam alat sentrifuge yang diputar dengan kecepatan tertentu. Plasma darah mengandung sekitar 90% air. Didalamnya terdapat berbagai zat yang berpindah-pindah dari satu bagian tubuh ke bagian yang lain, yang meliputi nutrien, produk buangan metabolisme, gas-gas respirasi, dan hormon. Terdapat tiga unsur sel yang tersebar diseluruh plasma darah: sel darah merah (eritrosit), yang mengangkut oksigen, sel darah putih, yang berfungsi dalam pertahanan tubuh, dan keping darah adalah bagian-bagian sel yang terlibat dalam penggumpalan darah.

5 Sistem Peredaran Darah Pada Manusia Sistem peredaran darah atau sistem kardiovaskular adalah suatu sistem organ yang berfungsi memindahkan zat ke dan dari sel. Sistem ini juga menolong stabilisasi suhu dan ph tubuh. Ada dua jenis sistem peredaran darah: sistem peredaran darah terbuka, dan sistem peredaran darah tertutup. sistem peredaran darah, yang merupakan juga bagian dari kinerja jantung dan jaringan pembuluh darah (sistem kardiovaskuler) dibentuk. Sistem ini menjamin kelangsungan hidup organisme, didukung oleh metabolisme setiap sel dalam tubuh dan mempertahankan sifat kimia dan fisiologis cairan tubuh. 1. Pertama, darah mengangkut oksigen dari paru-paru ke sel dan karbon dioksida dalam arah yang berlawanan (lihat respirasi). 2. Kedua, yang diangkut dari nutrisi yang berasal pencernaan seperti lemak, gula dan protein dari saluran pencernaan dalam jaringan masing-masing untuk mengonsumsi, sesuai dengan kebutuhan mereka, diproses atau disimpan. Metabolit yang dihasilkan atau produk limbah (seperti urea atau asam urat) yang kemudian diangkut ke jaringan lain atau organ-organ ekskresi (ginjal dan usus besar). Juga mendistribusikan darah seperti hormon, sel-sel kekebalan tubuh dan bagian-bagian dari sistem pembekuan dalam tubuh. Pembuluh nadi atau arteri adalah pembuluh darah berotot yang membawa darah dari jantung. Fungsi ini bertolak belakang dengan fungsi pembuluh balik yang membawa darah menuju jantung. Sistem sirkulasi sangat penting dalam mempertahankan hidup. Fungsi utamanya adalah menghantarkan oksigen dan nutrisi ke semua sel, serta mengangkut zat buangan seperi karbon dioksida. Pada negara berkembang, kejadian kematian utama disebabkan oleh stroke pada sistem pembuluh nadi, misalnya arterosklerosis.

6 Penyempitan Pembuluh Darah Arteri Aorta adalah arteri terbesar dalam tubuh. Arteri adalah pembuluh yang membawa darah dari jantung. Berfungsi untuk membawa dan mendistribusikan darah yang kaya oksigen ke seluruh arteri. Didalam aorta darah mengalir lebih dari seribu kali lebih cepat (rata-rata sekitar 30 cm/detik) dibandingkan didalam kapiler (sekitar 0,026 cm/detik). Untuk memahami mengapa aliran darah mengalami penurunan kecepatan, perlu dipertimbangkan hukum kontinuitas, yaitu hukum mengenai aliran cairan melalui pipa. Jika diameter suatu pipa berubah sepanjang pipa tersebut, cairan akan mengalir lebih cepat melalui segmen yang lebih sempit dibandingkan dengan ketika cairan mengalir melewati segmen yang lebih lebar. Volume aliran perdetik harus konstan disepanjang pipa tersebut, dengan demikian cairan mengalir lebih cepat ketika luas penampang menyempit. Cairan memberikan suatu gaya yang disebut tekanan hidrostatik terhadap permukaan yang mengadakan kontak dengan cairan tersebut, dan tekanan inilah yang menggerakkan cairan melalui pipa tersebut. Gaya hidrostatik yang diberikan oleh darah terhadap dinding pembuluh darah disebut tekanan darah. Tekanan darah adalah gaya utama yang mendorong darah dari jantung melalui arteri dan arteriola kehamparan kapiler. Cairan selalu mengalir dari daerah bertekanan tinggi ke daerah bertekanan rendah. Gambar 2.2 Pembuluh Darah Arteri

7 Medan Percepatan Percepatan adalah laju perubahan kecepatan terhadap waktu dari sebuah partikel. secara umum, kecepatan partikel dinyatakan dengan VV AA untuk partikel A, adalah sebuah fungsi dari lokasinya dan waktu. VV AA = VV AA (rr AA, tt) = VV AA (xx AA (tt), yy AA (tt), zz AA (tt), tt) (2.2) Dimana xx AA = xx AA (tt), yy AA = yy AA (tt), zz AA = zz AA (tt) mendefinisikan lokasi dari partikel yang sedang bergerak. Dengan menggunakan fakta bahwa komponen kecepatan partikel diberikan oleh: uu AA = ddxx AA, vv dddd AA = ddyy AA, dan ww dddd AA = ddzz AA dddd Dengan menggunakan dalil rantai turunan, maka (2.3) aa AA = AA + uu AA AA + vv AA AA + ww AA AA (2.4) Gambar 2.3 : Kecepatan dan posisi dari partikel A pada waktu t. Sehingga, medan percepatan dapat dituliskan secara umum sebagai: aa = + uu + vv + ww Persamaan 2.3 dapat ditulis menjadi aa = DDVV DDDD. (2.5) Dimana operator DD( ) DDDD ( ) ( ) ( ) ( ) + uu + vv + ww (2.6)

8 13 Disebut sebagai turunan material atau turunan substansial. Turunan material digunakan untuk menggambarkan laju perubahan terhadap waktu dari sebuah partikel. Notasi ringkas yang sering digunakan untuk operator turunan material adalah DD( ) DDDD = ( ) + ( VV. )() (2.7) adalah operator gradien, Sehingga, ( ) = ( ) ( ) ( ) ii + jj + kk (2.8) ( VV. )() = uu ( ) + vv ( ) + ww ( ) (2.9) 2.4. Kontinuitas Massa Persamaan kontinuitas adalah pernyataan bahwa massa kekal. Jumlah massa dalam sebuah sistem adalah konstan. Persamaan kontinuitas diturunkan dari persamaan kekekalan massa. Maka persamaan differensial untuk kekekalan massa (persamaan kontinuitas) dengan massa jenis, ρρ dan vektor kecepatan arusnya, v. Persamaan kontinuitas dapat dituliskan adalah + (ρρρρ) + (ρρρρ) + (ρρρρ) = 0 (2.10) Persamaan ini berlaku untuk aliran yang tunak dan tak tunak, dan fluida mampumampat ataupun tak mampu-mampat. Dalam notasi vektor dapat dituliskan, +. ρρ vv = 0 (2.11) Untuk fluida tak mampu-mampat (incompressible), massa jenis fluida, ρρ konstan. Persamaan (2.10) dapat disederhanakan menjadi.vv = 0 (2.12)

9 14 Atau + + = 0 Hal ini sesuai dengan menyatakan bahwa tidak terdapat dilatasi (pembesaran) dari volume lokal Persamaan Persamaan Gerak Persamaan gerak diperoleh dengan penerapan hukum kedua Newton untuk turunan volume (δδδδ δδδδ δδδδ) pada massa δδδδ. δδδδ = δδδδ aa (2.13) Gaya resultan, δδδδ, yang bekerja pada massa differensial adalah kombinasi dari gaya permukaan resultan (δδδδ ss ) dan gaya badan (δδδδ bb ) δδδδ = δδδδ ss + δδδδ bb (2.14) δδδδ bb = δδδδ gg (2.15) δδδδ ss = δδδδ ssss ii + δδδδ ssss jj + δδδδ ssss kk (2.16) Dimana komponen komponennya: δδδδ bbbb = δδδδ gg xx (2.17 a) δδδδ bbbb = δδδδ gg yy (2.17 b) δδδδ bbbb = δδδδ gg zz (2.17 c) δδδδ ssss = σσ xxxx + ττ yyyy + ττ zzzz δδδδ δδδδ δδδδ (2.18 a) δδδδ ssss = ττ xxxx + σσ yyyy + ττ zzzz δδδδ δδδδ δδδδ (2.18 b) δδδδ ssss = ττ xxxx + ττ yyyy + σσ zzzz δδδδ δδδδ δδδδ (2.18 c) Dimana gg adalah pernyataan vektor percepatan gravitasi, σσ adalah tegangan normal, dan ττ adalah tegangan geser. Dalam bentuk komponen, persamaan (2.12) dapat ditulis dalam bentuk δδδδ xx = δδδδ aa xx (2.19 a) δδδδ yy = δδδδ aa yy (2.19 b)

10 15 δδδδ zz = δδδδ aa zz (2.19 c) Dimana δδδδ = ρρ δδδδ δδδδ δδδδ, sehingga ρρgg xx + σσ xxxx + ττ yyyy + ττ zzzz ρρgg yy + ττ xxxx + σσ yyyy + ττ zzzz ρρgg zz + ττ xxxx + ττ yyyy + σσ zzzz = ρρ = ρρ = ρρ Dimana volume elemen δδδδ δδδδ δδδδ saling meniadakan + uu + vv + ww (2.20 a) + uu + vv + ww (2.20 b) + uu + vv + ww (2.20 c) Gambar 2.4: gaya gaya permukaan dalam arah x yang bekerja pada elemen fluida Untuk fluida yang didalamnya tidak terdapat tegangan geser (tanpa gesekan / inviscid / nonviskos), tegangan normal pada sebuah titik tidak tergantung pada arahnya, artinya σσ xxxx = σσ yyyy = σσ zzzz. Dalam hal ini, tekanan didefinisikan sebagai negatif dari tegangan normal, sehingga pp = σσ xxxx = σσ yyyy = σσ zzzz (2.21)

11 Hubungan Tegangan-Deformasi Untuk fluida Newtonian tak mampu-mampat, diketahui bahwa tegangan berbanding lurus terhadap laju deformasi dan dapat dinyatakan dalam koordinat Cartesius sebagai (untuk tegangan normal) (untuk tegangan geser) σσ xxxx = pp + 2μμ σσ yyyy = pp + 2μμ σσ zzzz = pp + 2μμ (2.22) (2.23) (2.24) ττ yyyy = ττ xxxx = μμ + (2.25) ττ yyyy = ττ zzzz = μμ + (2.26) ττ zzzz = ττ xxxx = μμ + (2.27) Dimana p adalah tekanan yang merupakan negatif dari rata-rata tiga tegangan normal, artinya pp = 1 3 σσ xxxx + σσ yyyy + σσ zzzz 2.7. Persamaan Navier-Stokes Tegangan yang telah didefinisikan sebelumnya dapat disubstitusikan kedalam persamaan diferensial gerakan dan disederhanakan dengan menggunakan persamaan kontinuitas untuk mendapatkan ρρ + uu + vv + ww = + ρρgg xx + μμ 2 uu uu uu (2.28 a) 2 ρρ + uu + vv + ww = + ρρgg yy + μμ 2 vv vv vv (2.28 b) 2

12 17 ρρ + uu + vv + ww = + ρρgg zz + μμ 2 ww ww ww 2 (2.28 c) Suku-suku percepatan berada di ruas kiri dan suku-suku gaya diruas kanan. Persamaan (2.26) disebut sebagai persamaan Navier-Stokes, dinamakan demikian untuk menghormati ahli matematika Prancis, L.M.H Navier ( ) dan ahli mekanika Inggris Sir G.G.Stokes ( ), yang menemukan rumus-rumus tersebut. Persamaan Navier-Stokes dianggap sebagai persamaan differensial pengatur dari gerakan fluida Newtonian tak mampu-mampat Potensial Kecepatan Komponen kecepatan dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi skalar (xx, yy, zz, tt) uu =, vv =, ww = (2.29) Dimana disebut sebagai potensial kecepatan. Untuk suatu fluida tak mampu mampat dari kekekalan massa bahwa. VV = 00 Dan oleh karena itu untuk aliran tak mampu-mampat, tak berotasi (dengan VV = ) Disebut persamaan Laplace 2.9. Fungsi Arus Fungsi arus didefinisikan sebagai 2 = (2.30) uu =, dan vv = v (2.31) Sehingga persamaan kontinuitas dengan datar, sehingga = 0 terpenuhi untuk semua aliran

13 18 Dan dinyatakan dalam fungsi arus Tiga sifat dari fungsi arus adalah: = 0 (2.32) 2 ΨΨ xx ΨΨ yy 2 = 0 (2.33) Fungsi arus memiliki nilai konstan di sepanjang streamline Streamline dan garis potensial konstan berpotongan pada sudut siku-siku Selisih fungsi-fungsi arus diantara dua garis arus adalah laju aliran qq persatuan kedalaman diantara kedua garis arus, sehingga qq = ΨΨ 2 ΨΨ 1 Untuk sebuah aliran tak-berotasi pada bidang, dapat menggunakan baik itu potensial kecepatan atau fungsi arus, keduanya harus memenuhi persamaan Laplace dua-dimensi Metode Elemen Hingga Metode elemen hingga (MEH) adalah metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan teknik dan problem matematis suatu gejala phisis (Susatio, 2004). Konsep dasar metode elemen hingga adalah: 1. Menjadikan elemen elemen diskrit untuk memperoleh simpangansimpangan dan gaya-gaya anggota dari suatu struktur 2. Menggunakan elemen-elemen kontinu untuk memperoleh solusi pendekatan terhadap permasalahan mekanika fluida, perpindahan panas, dan mekanika solid Langkah untuk menyelesaikan permasalahan fisik dengan metode elemen hingga, yaitu: Solusi dari masalah kontinum umum dengan metode elemen hingga selalu mengikuti proses secara bertahap. Berkenaan dengan permasalahan struktural statis, tahapannya sebagai berikut:

14 19 1. Struktur dibagi menjadi elemen-elemen diskrit (diskritisasi), 2. Pilih interpolasi yang tepat atau model perpindahan (displacement), 3. Turunkan elemen matriks kekakuan dan vektor beban (gaya), 4. Merakit persamaan elemen untuk mendapatkan persamaan ekulibrium keseluruhan, Karena struktur yang terdiri dari beberapa elemen hingga, elemen individual matriks kekakuan dan vektor beban yang akan dirakit dengan cara yang sesuai dan persamaan ekuilibrium keseluruhan telah dirumuskan sebagai [KK]Φ = P (2.34) di mana [KK] adalah matriks kekakuan,φ adalah vektor perpindahan nodal, dan P adalah vektor dari gaya nodal untuk struktur lengkap. 5. Memecahkan untuk perpindahan nodal tidak diketahui, 6. Hitung elemen strain dan tekanan Diskritisasi Domain Langkah awal dari metode elemen hingga adalah membagi daerah/ benda dalam bagian bagian kecil (disebut elemen). Langkah ini disebut sebagai diskritisasi. Objek satu dimensi dibagi ke segmen garis pendek. Badan dua-dimensi dapat dibagi menjadi segitiga, persegi panjang, segi- empat atau sub daerah lain yang sesuai. Gambar 2.5 : Elemen Satu -Dimensi

15 20 (a) (b) (c) (d) Gambar 2.6 : Elemen Dua-Dimensi (a) (b)

16 21 (c) Gambar 2.7 : Elemen Tiga Dimensi (a) (b) Gambar 2.8 : elemen axisimetri Fungsi Interpolasi (Elemen Simpleks Dua Dimensi) Metode elemen hingga didasarkan atas konsep pendekatan dari fungsi fungsi kontinu (seperti temperatur, tekanan, dan perpindahan) ke model diskrit. Bentuk yang sering digunakan dari fungsi interpolasi adalah bentuk polinomial. Derajat dari polinomial dipilih bergantung pada banyaknya item yang diketahui dari fungsi kontinu pada setiap elemen. Terdapat tiga macam fungsi interpolasi yang dipakai dalam metode elemen hingga, yaitu: simpleks, kompleks, dan multipleks (Susatio, 2004). Elemen simpleks adalah pendekatan yang dilakukan dengan polinomial yang terdiri dari suku konstan dan suku linier. Banyaknya koefisien dalam

17 22 polinomial sama dengan dimensi dari koordinat ruang yang ada ditambah satu (Susatio, 2004). Titik-titik tertentu dalam elemen-elemen, seperti sudut-sudut elemen segitiga, ditunjuk sebagai titik nodal. Biasanya, polinomial digunakan sebagai fungsi interpolasi karena mudah untuk didiferensialkan dan diintegralkan. Setiap fungsi interpolasi polinomial akan selalu kontinu dalam suatu elemen., sehingga kondisi tersebut berlaku untuk batas antar elemen. Elemen simpleks memiliki polinomial linier (Allaire, 1985). Elemen axisimetri terbentuk dari suatu luasan yang diputar disekitar sumbu yang terletak pada luasan tersebut. Untuk elemen simpleks axisimetri adalah elemen segitiga dengan fungsi interpolasi linier berbentuk uu (rr, zz) = αα 1 + αα 2 rr + αα 3 zz (2.35) ww (rr, zz) = αα 4 + αα 5 rr + αα 6 zz (2.36) Banyaknya koefisien αα ii adalah 6, yang sama dengan jumlah derajat kebebasan elemen. Displacement nodal adalah: dd ii dd = dd jj = dd mm uu ii ww ii uu jj ww jj uu mm ww mm (2.37) Evaluasi u pada node i: uu(rr ii, zz ii ) = uu ii = aa 1 + aa 2 rr ii + aa 3 zz ii Bentuk umum dari fungsi displacment dinyatakan dalam bentuk matriks adalah: [ΨΨ] = uu ww = aa 1 + aa 2 rr + aa 3 zz 1 rr zz aa 4 + aa 5 rr + aa 6 zz = aa 1 aa rr zz aa 3 aa 4 aa 5 aa 6

18 23 (2.38) Dengan mensubsitusikan koordinat nodal pada persamaan 2.36, maka besarnya a masing-masing adalah aa 1 1 rr ii zz ii aa 2 = 1 rr jj zz jj aa 3 1 rr mm zz mm 1 uu ii uu jj uu mm (2.39) aa 4 1 rr ii zz ii aa 5 = 1 rr jj zz jj aa 6 1 rr mm zz mm 1 ww ii ww jj ww mm (2.40) Untuk invers matriks pada persamaan 2.37 dan 2.38, dihasilkan aa 1 aa 2 = 1 aa 2AA 3 αα ii αα jj αα mm uu ii ββ ii ββ jj ββ mm uu jj γγ ii γγ jj γγ mm uu mm (2.41) aa 1 aa 2 = 1 aa 2AA 3 αα ii αα jj αα mm ww ii ββ ii ββ jj ββ mm ww jj γγ ii γγ jj γγ mm ww mm (2.42) dimana: αα ii = rr jj zz mm zz jj rr mm αα ii = rr mm zz ii zz mm rr ii αα ii = rr ii zz jj zz ii rr jj ββ ii = zz jj - zz mm ββ jj = zz mm - zz ii ββ mm = zz ii - zz jj γγ ii = rr mm rr jj γγ jj = rr ii rr mm γγ mm = rr jj rr ii Menurunkan Elemen Matriks dan Vektor Matriks karakteristik dan vektor karakteristik dari elemen hingga dapat diturunkan menggunakan pendekatan berikut

19 Direct Approach (Pendekatan Langsung) Metode ini ditunjukkan bersama dengan beberapa contoh dari bagian yang berbeda. Metode ini didasari oleh penggunaan penalaran fisik untuk membangun sifat elemen, yakni matriks karakteristik dan vektor dalam bentuk variabel yang bersangkutan. Karena pendekatan menggunakan prinsip dasar dari ilmu teknik, hal itu membantu memahami secara fisik dari metode elemen hingga. Bagaimanapun, metode ini hanya sesuai untuk masalah sederhana, kesulitan yang muncul dapat diatasi dengan menggunakan metode untuk masalah yang kompleks dengan memasukkan dua dan tiga dimensi elemen hingga. Sehingga metode langsung ini tidak digunakan dalam analisis elemen hingga dari masalah yang paling praktis Varitional Approach (Pendekatan Variasi) Pada metode ini, analisis elemen hingga diartikan sebagai pendekatan untuk menyelesaikan masalah varisional. Karena banyak masalah fisik dan teknik dapat di rumuskan dalam bentuk varisional, metode elemen hingga mudah diterapkan untuk menemukan solusi pendekatannya. Pendekatan varisional paling banyak diggunakan dalam literatur untuk merumuskan persamaan elemen hingga. Keterbatasan utama dari metode ini adalah bahwa ia memerlukan masalah fisik atau teknik untuk dinyatakan dalam bentuk varitional, yang tidak mungkin dalam semua kasus Weight Residual Approach (Pendekatan Residu Bobot) Dalam metode ini, elemen matriks dan vektor di turunkan secara langsung dalam persamaan differensial umum tanpa bergantung dari masalah tanpa tergantung pada pernyataan varisional dari masalah. Metode ini menawarkan prosedur yang paling umum untuk menurunkan persamaan elemen hingga dan dapat diterapkan untuk hampir semua masalah praktis ilmu pengetahuan dan rekayasa. Dalam pendekatan residu bobot, prosedur penurunan, seperti metode Galerkin dan metode kuadrat kecil (Least Square) dapat digunakan untuk menurunkan persamaan elemen.

20 Formula Weak Persamaan weak form biasanya dalam bentuk integral dan memerlukan kontinuitas lemah pada variabel bidang. Karena kebutuhan yang lebih lemah pada variabel bidang dan bentuk integral dari persamaan yang mengatur, formulasi didasarkan pada weak form yang diharapkan mengarah pada suatu himpunan persamaan untuk sistem diskrit yang menghasilkan hasil yang lebih akurat, terutama untuk sistem yang melibatkan geometri yang kompleks. Oleh karena itu, jenis weak form dari formulasi adalah lebih disukai untuk mendapatkan suatu solusi pendekatan. Dengan demikian, metode elemen hingga, berdasarkan weak form dari formulasi seperti prinsip energi atau pendekatan residual tertimbang, telah menjadi sangat populer.contoh berikut menunjukkan keuntungan dari formulasi weak form. Contoh: Persamaan yang mengatur defleksi balok, ww(xx), diberikan oleh EEEE dd4 ww ddxx 4 = pp(xx) (C.1) di mana pp(xx) adalah gaya didistribusikan sepanjang balok. Untuk balok kantilever dikenakan beban akhir dan momen akhir seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.9, mencari defleksi balok menggunakan metode Galerkin dengan solusi diasumsikan ww (xx) = CCCC(xx) = CC(3xx 2 ll xx 3 ) (C.2) di mana ff(xx) adalah fungsi trial dan CC adalah konstanta. Juga, menunjukkan keuntungan dari formulasi weak. 3. Gambar Kantilever beam dikenakan beban dan momen 4.

21 26 Solusi: Karena beban didistribusikan pp(xx) = 0 untuk balok yang ditunjukkan pada Gambar 2.9, persamaan yang mengatur (governing equation) menjadi EEEE dd4 ww ddxx 4 = 0 (C.3) Dalam metode Galerkin, konstanta CCdalam solusi diasumsikan ditemukan dengan menggunakan hubungan ll RR(xx)ff(xx) = 0 (C.4) 0 di mana RR(xx) adalah residu dan ff(xx) = 3xx 2 ll xx 3 adalah fungsi bobot/tertimbang yang diberikan oleh persamaan (C.2). Persamaan (C.4) dapat ditulis kembali sebagai ll EEEE dd4 ww ddxx 4 ff(xx) = 0 (C.5) 0 Karena turunan keempat ww (xx) adalah nol, akan dikurangi orde turunan tertinggi ww (xx) dengan mengintegrasikan per bagian (integral by parts) persamaan (C.5): EEEEEE(xx) dd3 ll ww ddxx 3 0 ll EEEE dddd dddd 0 dd 3 ww ddxx 3 dddd = 0 (C.6) Integrasi suku kedua di sisi kiri dari persamaan (C.6) per bagian menghasilkan persamaan ll EEEE dd2 ff dd 2 ww ddxx 2 ddxx 2 dddd 0 Kondisi batas mengasilkan = EEEEEE(xx) dd3 ll ww ddxx EEEE dddd dd 2 ww dddd ll ddxx 2 0 ff(xx = 0) = 0, dddd dddd (xx = 0) = 0, EEEE dd2 ww ddxx 2 (xx = 1) = MM 0, EEEE dd3 ww ddxx 3 (xx = ll) = PP 0 (C.7) (C.8)

22 27 Dengan menggunakan dua kondisi pertama persamaan (C.8), persamaan (C.7) dapat dinyatakan sebagai ll EEEE dd2 ff dd 2 ww ddxx 2 ddxx 2 dddd 0 = EEEEEE(xx) dd3 ww ddxx 3 ll EEEE dddd dd 2 ww dddd ddxx 2 ll Dari persamaan (C.2) dan Gambar 2.9 diperoleh (C.9) ff(ll) = 2ll 3, dddd dddd (ll) = 3ll2, EEII dd2 ww ddxx 2 (ll) = MM 0, EEEE dd3 ww ddxx 3 (ll) = PP (C.10) 0 Integral pada persamaan (C.9) dapat dihitung dengan hubungan pada persamaan (C.2) sebagai ll EEEE dd2 ff dd 2 ww ddxx 2 ddxx 2 dddd = EEEE(6ll 6xx)CC (6ll 6xx) dddd = (12EEEE ll 3 )CC 0 0 ll (C.11) Gunakan persamaan (C.10) dan (C.11) pada persamaan (C.9), konstanta C dapat ditemukan sebagai berikut: CC = PP 0 EEEE + MM 0 4EEEEEE Maka, solusi pendekatan untuk defleksi balok menjadi ww (xx) = PP 0 EEEE + MM 0 4EEEEEE (3xx2 ll xx 3 ) yang menghasilkan defleksi pada ujung bebas (xx = ll) sebagai ww (xx) = PP 0ll 3 3EEEE + MM 0ll 2 3EEEE (C.12) (C.13) (C.14) Metode Galerkin Dalam hal ini bobot ww ii dipilih menjadi fungsi yang diketahui ff ii (xx) dari fungsi trial dan nn integral berikut residu tertimbang ditetapkan sama dengan nol: ff ii RR dddd = 0 (2.41) VV Persamaan (2.40) menyatakan nn persamaan simultan di nn tidak diketahui, CC 1, CC 2,, CC nn. Metode ini umumnya memberikan solusi pendekatan terbaik.berikut ini penurunan persamaan elemen hingga menggunakan pendekatan residu tertimbang dengan metode Galerkin:

23 28 Misalkan persamaan diferensial pengatur (governing) dari masalah ekuilibrium diberikan oleh AA(φφ) = bb dalam VV (2.42) dan kondisi batas BB jj (φφ) = g jj, ii = 1, 2,, pp pada SS (2.43) Metode Galerkin mengharuskan AA φφ bb ff ii dddd = 0, ii = 1, 2,, nn (2.44) VV di mana fungsi trial ff ii dalam solusi pendekatan nn φφ = CC ii ff ii ii=1 (2.45) diasumsikan memenuhi kondisi batas persamaan (2.42). Perhatikan bahwa ff ii didefinisikan atas seluruh domain dari persoalan. Persamaan (2.43) dapat berlaku untuk elemen ee sebagai AA φφ (ee) bb (ee) NN ii (ee) ddvv (ee) = 0, ii = 1, 2,, nn (2.46) VV (ee) di mana model interpolasi diambil dalam bentuk standar seperti φφ (ee) = NN (ee) Φ (ee) (ee) (ee) = NN ii Φii (2.47) Persamaan (2.45) memberikan persamaan elemen hingga yang diperlukan untuk elemen khusus. Persamaan elemen ini harus dirakit untuk mendapatkan sistem atau persamaan secara keseluruhan. ii

24 Software Comsol Comsol adalah software simulasi elemen hingga, yang pada dasarnya dapat mensimulasikan berbagai aplikasi fisika dan teknik, seperti mensimulasikan perpindahan panas melalui struktur yang kompleks, kristal fotonik pada skala nano, lentur mekanik balok, aliran cairan, proses elektrokimia, fisika plasma dan lainnya. Comsol Multiphysics 4.2 merupakan ekspansi yang signifikan dari aplikasi software, fitur dan fungsi. Keuntungan utama dalam menggabungkan simulasi komputer dan analisis prinsip-prinsip utama adalah bahwa penggguna dapat mencoba banyak pendekatan yang berbeda untuk solusi dari masalah yang sama yang diperlukan untuk mendapatkan solusi yang benar (atau setidaknya mendekati benar). Gambar 2.9 : Comsol multiphysics versi 4.2