LOGIKA MATEMATIKA PENGERTIAN HIMPUNAN DAN OPERASI OPERASI DALAM HIMPUNAN. TITI RATNASARI, SSi., MSi. Modul ke: Fakultas ILKOM

Transkripsi

1 LOGIKA MATEMATIKA Modul ke: PENGERTIAN HIMPUNAN DAN OPERASI OPERASI DALAM HIMPUNAN Fakultas ILKOM TITI RATNASARI, SSi., MSi Program Studi SISTEM INFORMASI

2 Pengertian Himpunan Definisi : Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau hal-hal yang terdefinisi secara jelas. Lambang himpunan menggunakan huruf besar. Contoh : A, B, X, Y,

3 Anggota (elemen) himpunan menggunakan huruf kecil Contoh : p, a, x, y, b, Berikutnya adalah symbol yang berarti elemen dan yang berarti bukan elemen. Contoh : Jika p merupakan elemen (unsur) dari A, maka secara symbol : p A Jika p bukan merupakan elemen (unsur) dari A, maka secara symbol : p A

4 Himpunan terbagi 5 jenis, yaitu himpunan hingga, himpunan tak hingga, himpunan bagian, himpunan semesta dan himpunan kosong A. Himpunan Hingga Adalah himpunan yang mengandung n unsur banyaknya (terbatas dan dapat di hitung). Contoh : M adalah himpunan hari dalam 1 minggu : {senin, selasa, rabu, kamis, jum at, sabtu}

5 B. Himpunan Tak Hingga Adalah himpunan yang mengandung unsur tak terhingga banyaknya (tak terbatas dan tidak dapat di hitung). Contoh : Himpunan bilangan genap : {2, 4, 6, 8, }

6 C. Himpunan Bagian Adalah himpunan yang berada di dalam suatu himpunan. Simbolnya : Contoh : 1. Jika Himpunan A berada di dalam himpunan B, berarti A merupakan himpunan bagian dari B, maka secara symbol : A B atau bisa juga di tulis : B A, dengan arti (maksud) yang sama.

7 2. N himpunan bilangan bulat positif, Z himpunan bilangan bulat, Q himpunan bilangan rasional, R himpunan bilangan riil, maka seraca symbol dapat di tulis : N Z Q R

8 D. Himpunan Semesta Adalah himpunan dari kumpulan beberapa himpunan, yang biasanya mempunyai sifat yang sama. Symbol : U Himpunan semesta biasanya di sebut juga sebagai himpunan semesta pembicaraan atau biasa juga di sebut sebagai himpunan universal.

9 Contoh : 1. Himpunan wanita, dalam himpunan wanita ini bisa saja terdiri dari himpunan wanita yang bertubuh langsing, himpunan wanita bertubuh gemuk, himpunan wanita berkulit putih, dll

10 2. Himpunan laki-laki, dalam himpunan lakilaki ini bisa saja terdiri dari himpunan lakilaki berjenggot, himpunan laki-laki bertubuh pendek, himpunan laki-laki berhidung mancung, dll.

11 E. Himpunan Kosong Adalah himpunan yang tidak mempunyai elemen (unsure/anggota). Simbolnya : atau { }

12 Dalam penyajian himpunan, terbagi atas 4 cara penyajian, yaitu : menggunakan enumerasi elemen-elemennya, menggunakan symbolsymbol baku, menggunakan syarat keanggotaan dan menggunakan diagram venn. I. Enumerasi elemen-elemennya Artinya menuliskan semua elemen (anggota) himpunan di antara 2 buah kurung kurawal.

13 Enumerasi elemen-elemen ini biasanya di gunakan untuk himpunan yang terbatas dan tidak terlalu besar. Contoh : {4, 6, 8, 10} himpunan B berisi 4 bilangan genap positif yang pertama {a, b, c,, x, y, z} himpunan yang berisi alphabet dst

14 II. Symbol-symbol baku Artinya himpunan yang menggunakan symbol symbol baku yang di gunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering di gunakan dan biasanya symbol tersebut menggunakan huruf tebal (boldface).

15 Contoh : P = Himpunan bilangan bulat positif = {1,2,3, } Z = Himpunan bilangan bulat = {,-2,-1,0,1,2, } R = Himpunan bilangan riil C = Himpunan bilangan kompleks

16 III. Syarat keanggotaan Artinya himpunan di tulis dengan menggunakan syarat keanggotaan. Notasi : {x syarat yang harus di penuhi oleh x} Contoh : A adalah himpunan bilangan bulat posistif yang lebih kecil dari 5, maka himpunan A dapat di nyatakan sebagai :

17 A = {x x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} Atau A = {x x P, x < 5}

18 IV. Diagram venn Artinya himpunan di sajikan dalam bentuk grafis. Contoh : U A x.

19 Operasi Operasi Dalam Himpunan Jenis operasi yang biasa digunakan terhadap himpunan adalah operasi irisan (intersection), operasi gabungan (union), komplemen (complement), selisih (difference), perkalian katersian (cartesian product) dan beda setangkup (symmetric difference).

20 a. Irisan (intersection) Irisan dari 2 himpunan adalah himpunan yang berisi elemen yang sama dari kedua himpunan tersebut. Notasi : Contoh : Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10} Jika A = {3, 5, 9} dan B = {-2, 6}, maka A B =

21 Jika dalam bentuk diagram venn

22 b. Gabungan (union) Gabungan dari 2 himpunan adalah himpunan yang berisi gabungan seluruh elemen dari 2 himpunan. Notasi : Contoh : 1. Jika A = {2, 5, 8} dan B = {7, 5, 22}, maka A B = {2, 5, 7, 8, 22} 2. A = A

23 Dalam bentuk diagram venn U A A B

24 c. Komplemen (complement) suatu himpunan yang unsur (elemen)nya merupakan unsur U yang bukan unsur di A. Notasi : = {x x U dan x A} atau dalam beberapa literatur, notasi komplemen : A c atau A Contoh : Misalkan U = {1, 2, 3,, 9} 1. Jika A = {1, 3, 7, 9} maka A c = { 2, 4, 5, 6, 8}

25 2. Jika A = {x x/2 U, x < 9}, maka A c = {1, 3, 5, 7, 9} Jika dalam bentuk diagram venn U A A

26 d. Selisih (difference) Selisih dari 2 himpunan A dan B adalah suatu himpunan yg unsurnya merupakan unsur di A, tetapi bukan unsur di B. Selisih antara A dan B dapat juga di katakan sebagai komplemen himpunan B relatif terhadap himpunan A. Notasi : A-B = {x x A dan x B} = A B

27 Contoh : 1. Jika A = {1, 2, 3,, 10} dan B = {2, 4, 6, 8, 10}, maka : 2. A B = {1, 3, 5, 7, 9} 3. B A =

28 Jika dalam bentuk diagram venn, yg daerah yg di arsir warna abu-abu, merupakan daerah A B. U A B

29 e. Perkalian katersian (cartesian product) Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya merupakan pasangan terurut (order pair) yang di bentuk dari komponen pertamadari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B. Notasi : A x B = {(a, b) a A dan b B}

30 Contoh : Jika C = {1, 2, 3} dan D = {a, b}, maka C x D = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

31 Catatan : 1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka AxB = A x B 2. (a, b) (b, a) 3. A x B B x A 4. Jika A = atau B =, maka A x B = B x A =

32 f. Beda setangkup (symmetric difference) Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yg unsurnya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya. Notasi : A B = (A B) (A B) = (A B) (B A)

33 Beda setangkup memenuhi hukum : A B = B A (Komutatif) (A B) C = A (B C) (Asosiatif) Contoh : Jika A = {2, 4, 6} dan B = {2, 3, 5}, maka A B = {3, 4, 5, 6}

34 Jika dalam bentuk diagram venn, daerah yg di arsir warna merah dan biru merupakan daerah dari A B :

35 Terima Kasih TITI RATNASARI, SSi., MSi