PENENTUAN BILANGAN REPRODUKSI DASAR DENGAN MENGGUNAKAN MATRIKS NEXT GENERATION PADA MODEL WEST NILE VIRUS LINA DWI OKTAFIANI

Transkripsi

1 PENENTUAN BILANGAN REPRODUKSI DASAR DENGAN MENGGUNAKAN MATRIKS NEXT GENERATION PADA MODEL WEST NILE VIRUS LINA DWI OKTAFIANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar dengan Menggunakan Matriks Next Generation pada Model West Nile Virus adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, 2013 Lina Dwi Oktafiani NIM G

4 ABSTRAK LINA DWI OKTAFIANI. Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar dengan Menggunakan Matriks Next Generation pada Model West Nile Virus. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan JAHARUDDIN. West nile virus atau WNV adalah virus dari keluarga flaviviridae yang dapat ditemukan di daerah beriklim tropis dan daerah beriklim sedang. Virus ini disebarkan melalui gigitan nyamuk terinfeksi dan dapat menyebabkan radang otak dan menjadi penyakit yang serius dan fatal bagi manusia. Pada saat ini, belum terdapat vaksin yang dapat diberikan pada manusia sehingga masyarakat sebaiknya memiliki informasi untuk mengenali dan mencegah WNV. Dari hasil analisis terhadap model WNV diperoleh titik tetap bebas penyakit. Kestabilan titik tetap ditentukan oleh bilangan reproduksi dasar. Bilangan reproduksi dasar merupakan nilai eigen dominan dari matriks next generation. Titik tetap stabil jika dan tidak stabil jika Pada kondisi lingkungan yang buruk, populasi nyamuk meningkat sehingga kondisi bebas penyakit tidak dapat dipertahankan. Untuk mengurangi penularan WNV, maka laju kematian nyamuk ditingkatkan agar sehingga kondisi bebas penyakit dapat dicapai. Kata kunci: bilangan reproduksi dasar, matriks next generation, titik tetap bebas penyakit, west nile virus ABSTRACT LINA DWI OKTAFIANI. Determining Basic Reproduction Number Using Next Generation Matrix in Model of West Nile Virus. Supervised by ALI KUSNANTO and JAHARUDDIN. West Nile Virus known as WNV is a virus of flaviviridae family which is found in temperate and tropical regions of the world. This virus is transmitted by infected mosquitoes. It can cause inflammation of the brain human. Currently, vaccine against WNV infection is not available so that people should have information about WNV to prevent WNV. This paper produces a disease free fixed point. Stability of is determined by basic reproduction number, i.e. spectral radius of next generation matrix. The fixed point is stable if and unstable if. In the poor environmental conditions, the population of infected mosquitoes increases so that free disease condition can t be hold. To decrease the transmission of WNV, it requires so that disease free condition can be achieved. It needs increasing natural mortality rate of mosquitoes. Keywords: basic reproduction number, disease free fixed point, next generation matrix, west nile virus

5 PENENTUAN BILANGAN REPRODUKSI DASAR DENGAN MENGGUNAKAN MATRIKS NEXT GENERATION PADA MODEL WEST NILE VIRUS LINA DWI OKTAFIANI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Matematika pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

6

7 Judul Skripsi : Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar dengan Menggunakan Matriks Next Generation pada Model West Nile Virus Nama : Lina Dwi Oktafiani NIM : G Disetujui oleh Drs Ali Kusnanto, MSi Pembimbing I Dr Jaharuddin, MS Pembimbing II Diketahui oleh Dr Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen Tanggal Lulus:

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan September 2012 ini ialah model penularan penyakit, dengan judul Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar dengan Menggunakan Matriks Next Generation pada Model West Nile Virus. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi dan Bapak Dr Jaharuddin, MS selaku pembimbing, serta Bapak Drs Siswandi, MSi yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya serta Arief atas dukungan dan doanya. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Nur, Irka, Meda, dan Sonia buat kebersamaannya selama di Departemen dan bimbel serta teman-teman sekalian yang telah saling mendukung selama ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Mei 2013 Lina Dwi Oktafiani

9 DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 LANDASAN TEORI 2 HASIL DAN PEMBAHASAN 5 Model Matematika 5 Penentuan Titik Tetap Bebas Penyakit 9 Bilangan Reproduksi Dasar 10 Analisis Kestabilan Lokal untuk 12 Analisis Kestabilan Global untuk 13 Dinamika Populasi Nyamuk, Burung, dan Manusia 16 SIMPULAN 19 DAFTAR PUSTAKA 20 RIWAYAT HIDUP 32

10 DAFTAR GAMBAR 1 Diagram alir model populasi nyamuk dan burung 6 2 Diagram alir model populasi manusia 7 3 Dinamika populasi nyamuk, burung, dan manusia pada kondisi bebas penyakit 17 4 Dinamika populasi nyamuk, burung, dan manusia dengan 18 5 Dinamika populasi nyamuk, burung, dan manusia dengan 18 6 Dinamika populasi nyamuk, burung, dan manusia dengan 19 7 Dinamika populasi nyamuk, burung, dan manusia dengan 19 8 Kurva dan untuk kasus dan 26 DAFTAR LAMPIRAN 1 Pembuktian Lema Pembuktian Teorema Penentuan Titik Tetap Bebas Penyakit 23 4 Pembuktian Lema Program Dinamika Populasi pada Kondisi Bebas Penyakit 26 6 Program Dinamika Populasi dengan 27 7 Program Dinamika dengan 28 8 Program Dinamika Populasi dengan 29 9 Program Dinamika Populasi dengan 30

11 PENDAHULUAN Latar Belakang West Nile Virus atau WNV adalah virus dari keluarga Flaviviridae yang ditemukan di daerah tropis dan daerah beriklim sedang. Virus ini khususnya menginfeksi burung, manusia, kuda, dan beberapa mamalia lainnya. WNV dapat menyebabkan radang otak dan dapat menjadi penyakit yang serius dan fatal bagi penderita terinfeksi. Saat ini masih belum ada vaksin yang dapat diberikan pada manusia sehingga masyarakat sebaiknya memiliki informasi yang dapat membantu mereka mengenali dan mencegah WNV (West 2012a). Sejak tahun 1999, WNV telah menyebar cepat di Amerika Serikat mengikuti pola burung bermigrasi dan telah muncul di Afrika, Eropa, Asia Tengah, Asia Barat, Timur Tengah, dan Amerika Utara. WNV ditularkan melalui gigitan nyamuk terinfeksi. Nyamuk menjadi terinfeksi ketika mereka menggigit burung terinfeksi kemudian nyamuk terinfeksi dapat menyebarkan virus ke manusia dan hewan lain ketika mereka menggigit. Pada manusia, WNV tidak menyebar melalui sentuhan, tetapi menyebar melalui transfusi darah, transplantasi organ, menyusui, dan kehamilan dari ibu ke bayi (West 2012a). Sebanyak 80% dari penderita terinfeksi WNV tidak menunjukkan gejalagejala sedangkan sisanya sebanyak 20%, penderita terinfeksi WNV menunjukkan gejala demam, sakit kepala, sakit badan, bercak-bercak pada kulit dada, perut, dan punggung, muntah-muntah, dan pembengkakan kalenjar getah bening. Gejalagejala ini terlihat beberapa hari terakhir setelah penderita terinfeksi WNV tiga hingga empat belas hari sebelumnya (West 2012b). Thomas dan Urena (2001) telah memformulasikan sebuah model persamaan diferensial untuk mengetahui akibat WNV pada kota New York dan menentukan jumlah nyamuk yang harus dibunuh untuk menghilangkan WNV. Wonham et al. (2004) juga telah mengembangkan model persamaan diferensial yang menjelaskan perpindahan WNV pada nyamuk dan burung pada satu musim. Pada tulisan tersebut, dengan menggunakan kestabilan lokal dan simulasi yang telah dilakukan ditunjukkan bahwa ketika pengawasan terhadap nyamuk diturunkan, maka WNV akan mulai menjadi wabah. Bowman et al. (2005) telah mengembangkan model penularan penyakit WNV dari tulisan sebelumnya tetapi dengan beberapa perubahan. Perubahan ini dimaksudkan untuk memperoleh wawasan tentang dinamika perpindahan WNV pada populasi nyamuk, burung, dan manusia pada waktu dimulainya musim semi hingga musim gugur. Periode ini dipilih karena pada waktu ini burung akan melakukan migrasi sehingga terjadi peningkatan populasi burung. Karena WNV menyebar melalui nyamuk terinfeksi yang sebelumnya mengigit burung terinfeksi, maka peningkatan populasi burung mengakibatkan peluang nyamuk menjadi terinfeksi juga semakin meningkat. Pada tulisan ini akan direkonstruksi pembentukan model WNV yang dimodelkan oleh Bowman et al. (2005). Pertama, ditentukan titik tetap bebas penyakit dari model. Kestabilan titik tetap ini akan memengaruhi kestabilan sistem secara umum. Kestabilan lokal dari titik tetap ini ditentukan menggunakan bilangan reproduksi dasar. Nilai bilangan reproduksi dasar akan diperoleh dengan

12 2 menggunakan matriks next generation seperti yang dilakukan dalam model Diekmann et al. (1990). Pada sistem persamaan diferensial dengan jumlah persamaan diferensial yang banyak maka pencarian nilai bilangan reproduksi dasar mengunakan matriks next generation akan lebih mudah karena matriks next generation dapat diperoleh dengan hanya mengevaluasi persamaan diferensial yang merupakan golongan terinfeksi. Kemudian, akan dilakukan analisis kestabilan global dari titik tetap yang diperoleh sebelumnya. Terakhir, akan dilakukan simulasi. Tujuan Penelitian Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah: 1 merekonstruksi pembentukan model WNV yang dikembangkan oleh Bowman et al. (2005) dan analisis dinamikanya, 2 menentukan bilangan reproduksi dasar dengan menggunakan matriks next generation, 3 menjelaskan dinamika solusi model dengan memilih parameter model untuk mengetahui apakah infeksi pada populasi nyamuk, burung, dan manusia yang disebabkan virus west nile menghilang atau tidak. LANDASAN TEORI Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai ( 1 ) dengan merupakan fungsi kontinu bernilai real dari dan mempunyai turunan parsial kontinu. Sistem persamaan (1) disebut sistem persamaan diferensial (SPD) biasa mandiri (autonomous) karena fungsi tidak memuat secara eksplisit. SPD ini disebut linear jika linear terhadap dan disebut SPD taklinear jika taklinear terhadap (Tu 1994). Tinjau persamaan diferensial (1). Jika titik memenuhi, maka titik disebut titik tetap, atau titik kritis atau titik kesetimbangan (Verhulst 1990). Jika uraian Taylor digunakan di sekitar titik tetap, maka SPD (1) dapat dituliskan sebagai berikut: dengan matriks Jacobi yang dinyatakan sebagai berikut:

13 3 [ ] dan fungsi berorde tinggi yang memenuhi i Bentuk pada persamaan ini disebut pelinearan dari sistem persamaan (1). Jadi, sistem linear dari persamaan ini adalah dengan A matriks Jacobi atau dinotasikan. Notasi lainnya yaitu (Tu 1994). Misalkan adalah matriks bernilai kompleks berukuran Berdasarkan Vanden-Driessche dan Watmough (2005), nilai dikatakan nilai eigen dominan bagi matriks A, jika p* + dengan atau spektrum adalah himpunan semua nilai eigen dari matriks A. Nilai dikatakan nilai eigen dominan bagian real bagi matriks, jika p* + Misalkan adalah titik tetap SPD mandiri (1) dan adalah solusi yang memenuhi kondisi awal dengan. Titik dikatakan titik tetap stabil, jika untuk sebarang terdapat sehingga jika posisi awal memenuhi, maka solusi memenuhi untuk. Jika i t, maka titik tetap disebut stabil asimtotik (Verhulst 1990). Berdasarkan Vanden-Driessche dan Watmough (2005), titik tetap stabil asimtotik, jika semua nilai eigen dari matriks Jacobi mempunyai nilai bagian realnya negatif. Selain itu, titik tetap dikatakan tidak stabil jika ada nilai eigen dari matriks Jacobi yang bagian realnya mempunyai nilai positif. Misalkan ada populasi heterogen, yang dapat dikelompokkan ke dalam n golongan homogen, yang dinotasikan oleh, Besaran menyatakan jumlah individu pada masingmasing golongan homogen. Kemudian, golongan-golongan homogen tersebut disusun sehingga diperoleh m golongan terinfeksi, yaitu * + Didefinisikan adalah himpunan semua kejadian bebas penyakit, yaitu: * Berdasarkan Vanden-Driessche dan Watmough (2005), model penularan penyakit baik terinfeksi atau tidak terjadi dinyatakan sebagai berikut:

14 4 ( 3 ) dengan menyatakan laju pertumbuhan infeksi baru pada golongan i dan menyatakan laju perpindahan individu pada golongan i, yang dirumuskan dengan menyatakan laju perpindahan indvidu keluar dari golongan dan menyatakan laju perpindahan individu masuk ke golongan i. Karena fungsi menunjukkan perpindahan langsung individu, maka fungsi bernilai taknegatif dan memenuhi asumsi sebagai berikut: A1 Jika, maka taknegatif untuk. A2 Jika, maka. Khususnya, jika, maka untuk. A3 jika. A4 Jika, maka dan untuk. A5 Jika adalah himpunan bernilai nol, maka semua nilai eigen dari bernilai real negatif untuk, dengan adalah titik tetap bebas penyakit. Lema 1 Misalkan adalah titik tetap bebas penyakit dari persamaan (3) dan memenuhi A1 A5, maka matriks Jacobi dan dapat dinyatakan sebagai berikut:. / dengan matriks F dan V berukuran yang memenuhi 1 F matriks tak negatif, 2 V matriks tak singular, 3 semua nilai eigen dari memiliki nilai real positif. Bukti: lihat Lampiran 1 Misalkan F dan V adalah matriks yang memenuhi Lema 1, maka adalah matriks next generation untuk model yang didefinisikan (3) dengan yang menyatakan rata-rata panjang waktu yang dibutuhkan individu dalam golongan j selama waktu hidupnya dan F menyatakan laju individu terinfeksi pada golongan j yang menimbulkan infeksi baru pada golongan i. Akibatnya, menyatakan nilai harapan infeksi baru pada golongan i yang dihasilkan oleh individu terinfeksi yang mula-mula dimasukkan ke dalam golongan k (Diekmann et al. 1990). Bilangan reproduksi dasar adalah rata-rata banyaknya individu yang rentan terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang telah terinfeksi bila individu yang telah terinfeksi tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih rentan. Bilangan reproduksi dasar dilambangkan dengan. Berdasarkan Vanden- Driessche dan Watmough (2005), bilangan reproduksi dasar dinyatakan sebagai berikut:

15 ( 4 ) yaitu nilai eigen dominan bagi matriks next generation. Beberapa kondisi yang akan timbul, yaitu 1 Jika maka penyakit akan menghilang, 2 Jika, maka penyakit akan menetap, 3 Jika maka penyakit akan meningkat menjadi wabah. Teorema 1 Tinjau model penularan penyakit (3) dengan memenuhi asumsi A1 A5. Misalkan adalah titik tetap bebas penyakit dari model. Jika, maka stabil lokal asimtotik dan jika, maka tidak stabil. Bukti: lihat Lampiran 2 5 HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini akan ditinjau model infeksi west nile virus (WNV), kemudian dilakukan analisis kestabilan titik tetapnya dan menggambarkannya dalam suatu simulasi. Model Matematika Model yang akan dianalisis pada tulisan ini dibuat berdasarkan pengamatan dinamika populasi nyamuk, burung, dan manusia pada waktu dimulainya musim semi hingga berakhirnya musim gugur yang dikembangkan oleh Bowman et al. (2005). Periode ini dipilih karena pada waktu ini burung akan melakukan migrasi sehingga terjadi peningkatan populasi burung. Karena WNV menyebar melalui nyamuk terinfeksi yang sebelumnya mengigit burung terinfeksi maka peningkatan populasi burung mengakibatkan peluang nyamuk menjadi terinfeksi juga semakin meningkat. Pertama-tama akan disusun SPD yang menjelaskan dinamika populasi nyamuk tak terinfeksi, nyamuk terinfeksi, burung tak terinfeksi, dan burung terinfeksi. Selanjutnya, untuk menyusun model ini digunakan beberapa asumsi sebagai berikut. 1 Karena nyamuk menggigit burung dan manusia, maka rata-rata jumlah gigitan nyamuk yang diterima oleh burung dan manusia didasarkan pada total ukuran populasi nyamuk, burung, dan manusia pada komunitas. 2 Nyamuk terinfeksi akan tetap terinfeksi namun tidak mati akibat terinfeksi WNV melainkan mati secara alami. 3 Penularan WNV secara vertikal pada nyamuk tidak ada. 4 Penularan WNV secara horizontal antara burung rentan terinfeksi WNV dan burung terinfeksi WNV tidak ada.

16 6 Diagram alir dari model untuk populasi nyamuk dan burung dapat dilihat pada Gambar 1. Nyamuk M u M i Burung B u B i Gambar 1 Diagram alir model populasi nyamuk dan burung Berdasarkan diagram alir pada Gambar 1 diperoleh model persamaan sebagai berikut. dengan banyaknya populasi nyamuk tak terinfeksi WNV pada waktu t, banyaknya populasi nyamuk terinfeksi WNV pada waktu t, banyaknya populasi burung tak terinfeksi WNV pada waktu t, banyaknya populasi burung terinfeksi WNV pada waktu t, laju pertambahan nyamuk tak terinfeksi WNV, laju pertambahan burung rentan terinfeksi WNV, laju kematian burung akibat terinfeksi WNV, laju kematian nyamuk secara alamiah, laju kematian burung secara alamiah, peluang penularan WNV dari burung ke nyamuk, peluang penularan WNV dari nyamuk ke burung,

17 7 laju gigitan nyamuk pada burung. Untuk mengetahui dinamika populasi manusia terhadap infeksi WNV dibutuhkan model kedua. Model kedua ini merupakan SPD yang menjelaskan dinamika populasi manusia yang dibagi menjadi lima subpopulasi. Untuk menyusun model ini digunakan beberapa asumsi sebagai berikut. 1 Laju infeksi baru terhadap manusia didasarkan pada rata-rata jumlah gigitan nyamuk per satuan waktu dan peluang penularan WNV terhadap total populasi manusia. 2 Semua manusia yang baru terinfeksi WNV akan mengalami masa inkubasi selama 2-14 hari. 3 Manusia yang telah terinfeksi WNV akan memiliki imunitas jangka panjang sehingga tidak akan terinfeksi WNV lagi. Diagram alir dari model untuk populasi manusia dapat dilihat pada Gambar 2. M i S E P I R Gambar 2 Diagram alir model populasi manusia Berdasarkan diagram alir pada Gambar 2 diperoleh model persamaan berikut. dengan

18 8 banyaknya populasi manusia rentan terinfeksi WNV pada waktu t, banyaknya populasi manusia terinfeksi WNV pada masa inkubasi pada waktu t, banyaknya populasi manusia terinfeksi WNV pada waktu t, banyaknya populasi manusia yang berada dalam masa perawatan akibat terinfeksi WNV pada waktu t, banyaknya populasi manusia yang telah memiliki imunitas terhadap WNV pada waktu t, laju pertambahan manusia rentan terinfeksi WNV, laju kematian manusia secara alamiah, laju kematian manusia akibat terinfeksi WNV, laju perpindahan manusia dari masa inkubasi menjadi terinfeksi, laju perpindahan manusia dari golongan terinfeksi masuk ke dalam masa perawatan, laju perpindahan manusia dari masa perawatan ke golongan manusia yang telah memiliki imunitas terhadap WNV, peluang penularan WNV dari nyamuk ke manusia, laju gigitan nyamuk pada manusia. Dari model dan diperoleh persamaan untuk laju perubahan total populasi nyamuk, burung dan manusia sebagai berikut: dengan, yaitu total populasi nyamuk., yaitu total populasi burung., yaitu total populasi manusia. Pada model diasumsikan laju kematian, laju pertambahan, dan koefisien penularan WNV bernilai taknegatif serta bernilai positif untuk laju gigitan nyamuk.

19 Dalam karya ilmiah ini, diasumsikan bahwa pada kondisi awal belum terjadi infeksi WNV dan total masing-masing populasi dari ( ) diasumsikan bernilai positif ketika sehingga diperoleh daerah solusi: 9 { } Penentuan Titik Tetap Bebas Penyakit Titik tetap dari sistem persamaan (5) dan (6) dapat ditentukan dengan menetapkan sistem persamaan sebagai berikut: Dengan menggunakan kesembilan persamaan di atas secara serentak akan diperoleh titik tetap bebas penyakit. Titik tetap bebas penyakit merupakan kondisi sehingga semua individu tak terinfeksi WNV. Titik tetap ini diperoleh dengan memilih nilai Kemudian, nilai disubstitusi ke persamaan yang lain sehingga dihasilkan titik tetap bebas penyakit, yaitu: Pada titik tetap ini, banyaknya populasi nyamuk tak terinfeksi, burung tak terinfeksi, dan manusia rentan sebesar laju pertambahan dibagi dengan laju kematian alamiahnya, sedangkan banyaknya populasi nyamuk terinfeksi, burung terinfeksi, dan manusia terinfeksi adalah nol. Penentuan titik tetap bebas penyakit dapat dilihat pada Lampiran 3.

20 10 Bilangan Reproduksi Dasar Kestabilan lokal sistem di titik tetap ditentukan dengan menggunakan matriks next generation untuk sistem dan. Misalkan adalah laju pertumbuhan infeksi baru pada golongan ke-i, maka dari model dan adalah sebagai berikut. Selanjutnya, dari sembilan golongan yang terdapat pada model dan terdapat lima golongan terinfeksi, yaitu, dan. Karena adalah titik tetap bebas penyakit, maka dengan menggunakan Lema 1 diperoleh. / dengan F matriks taknegatif berukuran yang didefinisikan sebagai berikut: ( ) Akibatnya, didapatkan dengan dan. Misalkan adalah laju perpindahan individu pada golongan i, maka dari model dan adalah sebagai berikut:

21 Selanjutnya, dari sembilan golongan yang terdapat pada model dan terdapat lima golongan terinfeksi, yaitu, dan. Karena adalah titik tetap bebas penyakit, maka dengan menggunakan Lema 1 diperoleh 11 dengan V matriks tak singular berukuran yang dinyatakan sebagai berikut: Akibatnya, diperoleh ( ) dengan dan. Dengan menggunakan matriks F dan V diperoleh matriks next generation sebagai berikut: dengan dan ( ) Karena F matriks tak negatif dengan ordo 2 dan V matriks tak singular, maka. Jadi, nilai eigen dari matriks next generation diperoleh dengan menyelesaikan, atau ( )

22 12 sehingga diperoleh Karena dan, maka diperoleh Karena dan, maka diperoleh yang merupakan bilangan reproduksi dasar pada model penularan penyakit WNV. Analisis Kestabilan Lokal untuk Berdasarkan Bowman et al. (2005), kestabilan lokal dari titik tetap ditunjukkan menggunakan Teorema 2. Teorema 2 Untuk model penularan penyakit dan, titik tetap yang diberikan pada (8) stabil lokal asimtotik jika, dan tak stabil jika. Bukti: Misalkan titik tetap yang diberikan pada Akan ditunjukkan stabil lokal asimtotik jika. Dalam hal ini akan ditunjukkan seluruh nilai eigen dari bernilai real negatif. Berdasarkan Lema 1, nilai eigen dari hanya bergantung pada dan. Pada Lema 1 juga diperoleh bahwa nilai eigen dari matriks bernilai real negatif sehingga kestabilan titik tetap ditentukan berdasarkan nilai eigen dari matriks. Matriks Jacobi dari matriks pada titik tetap adalah sebagai berikut. Berikut ini akan ditunjukkan nilai eigen dari bernilai real negatif dengan menyelesaikan persamaan karakteristiknya, yaitu t( ), atau

23 13 yang menghasilkan persamaan berikut ( ) dengan akar-akar berbentuk dengan dan. Karena, maka terjadi jika atau atau. Dengan demikian, nilai eigen real negatif, jika. Selanjutnya, akan ditunjukkan nilai eigen real negatif dengan menyelesaikan persamaan karakteristiknya, yaitu t Persamaan tersebut memberikan nilai-nilai eigen, yaitu Karena semua parameter bernilai tak negatif, maka nilai eigen dari matriks bernilai real negatif. Karena semua nilai eigen dari matriks pada titik tetap bernilai real negatif, maka stabil lokal asimtotik. Analisis Kestabilan Global untuk Untuk menentukan kestabilan global digunakan beberapa asumsi agar diperoleh bentuk fungsi an sebagai berikut: 1 Laju rata-rata gigitan nyamuk tetap karena inangnya selalu memiliki cukup bahan makanan. 2 Laju burung terinfeksi yang diakibatkan oleh rata-rata gigitan nyamuk, jumlah nyamuk terinfeksi peluang gigitan nyamuk yang menyebabkan infeksi dan gigitan nyamuk pada burung rentan diberikan oleh rasio dari burung rentan terhadap total populasi inang. / sehingga dorongan terjadinya kondisi terinfeksi pada persamaan diberikan sebagai berikut sehingga diperoleh Dengan cara yang sama diperoleh, dengan dan adalah konstanta yang diasumsikan bernilai tetap. 3 Kematian manusia dan burung akibat terinfeksi WNV an bernilai kecil. 4 Kematian burung dapat ditunjukkan dalam bentuk variabel.

24 14 Menggunakan model (7) dapat ditunjukkan total populasi burung dan manusia setelah dilakukan beberapa transisi berada pada selang 0 1 dan 0 1 sehingga variasi populasi burung dan manusia akan sangat kecil jika nilai dan kecil. Dengan mengabaikan variasi perpindahan, maka diperoleh dan. Berikut ini diberikan lema mengenai ketunggalan dari titik tetap et al. (2005). Bukti dapat dilihat pada Lampiran 4. Lema 2 berdasarkan Bowman Misalkan Jika maka yang diberikan pada persamaan (8) merupakan satu-satunya titik tetap bagi model dan. Berdasarkan Bowman et al. (2005), untuk menunjukkan kestabilan global titik tetap digunakan Teorema 3. Teorema 3 Jika, maka titik tetap yang diberikan persamaan (8) stabil global asimtotik di. Bukti: Berikut ini akan ditunjukkan bahwa titik tetap stabil global asimtotik. Karena semua solusi yang diperoleh terletak pada daerah, maka untuk setiap. Berdasarkan Lema 1, diketahui titik tetap stabil lokal asimtotik, maka dalam teorema ini cukup dibuktikan bahwa semua solusi dari model dan konvergen ke untuk pada daerah Dengan menggunakan faktor integrasi, maka solusi PD (7) untuk sebagai berikut: diperoleh, - Misalkan, maka persamaan (10) menjadi dengan

25 Karena, maka sehingga berdasarkan persamaan,, (11), dan (12) diperoleh 15 Berdasarkan Lakshmikantham dan Leela (1969), maka cukup ditunjukkan bahwa setiap solusi dari model konvergen ke nol ketika. Karena persamaan pada model dan memiliki titik tetap yang unik pada penutup daerah berikut { } maka berdasarkan Smith (1995) diperoleh ( ) ti a Karena ( ) ketika maka, dan untuk yang sangat besar. Berdasarkan persamaan diperoleh sehingga i t i t in in

26 16 Untuk dan, maka i t i t in in Berdasarkan persamaan (9), (14), dan (15) diperoleh i t i t bilamana. Berdasarkan persamaan (16), (17), dan (13), jika maka. / ketika Kemudian, dengan menggunakan persamaan (13) dalam model maka dapat ditunjukkan bahwa an ketika Karena stabil lokal asimtotik dan seluruh solusi dari model pada daerah konvergen ke, maka global asimtotik di ketika. Dinamika Populasi Nyamuk, Burung, dan Manusia Pengaruh pertumbuhan populasi nyamuk, burung, dan manusia dapat diamati melalui kurva bidang solusi yang menunjukkan hubungan banyaknya populasi dengan variabel waktu. Solusi numerik dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai parameter ke model dan, sehingga diperoleh hubungan antara populasi terinfeksi dan populasi tak terinfeksi berdasarkan analisis kestabilan titik tetapnya. Pengaruh yang signifikan pada model ini adalah laju pertambahan dan laju kematian. Dengan menggunakan nilai-nilai pada Wonham et al. (2004) dipilih nilai, dan. Karena diasumsikan kematian akibat terinfeksi WNV bernilai kecil sehingga dipilih nilai dan. Selanjutnya, karena masa inkubasi WNV adalah 2-14 hari, maka dipilih nilai. Diasumsikan semua manusia terinfeksi akan melakukan perawatan sehingga nilai. Nilai parameter selainnya hanya merupakan nilai perkiraan dan dapat dilihat pada Tabel 1 berikut.

27 17 Tabel 1 Nilai Parameter Parameter Nilai Keterangan 250 Laju pertambahan nyamuk tak terinfeksi per hari 100 Laju pertambahan burung tak terinfeksi per hari 10 Laju pertambahan manusia rentan terinfeksi per hari 0.25 menunjukkan rata-rata panjang hidup nyamuk (hari) 0.1 menunjukkan rata-rata panjang hidup burung (hari) 0.05 menunjukkan rata-rata panjang hidup manusia (hari) 0.09 Laju gigitan nyamuk pada burung per hari 0.09 Laju gigitan nyamuk pada manusia per hari 0.16 Peluang penularan WNV dari burung ke nyamuk 0.88 Peluang penularan WNV dari nyamuk ke burung 0.88 Peluang penularan WNV dari nyamuk ke manusia Laju kematian burung akibat terinfeksi WNV Laju kematian manusia akibat terinfeksi WNV 1/(14) menunjukkan masa inkubasi WNV pada manusia 1 Laju perawatan untuk manusia 1/(14) menunjukkan laju penyembuhan untuk manusia Dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel 1 diperoleh dinamika populasi nyamuk, burung, dan manusia yang ditunjukkan pada gambar-gambar dalam simulasi ini. Dengan menggunakan nilai-nilai parameter pada Tabel 1 diperoleh. Pada kondisi ini golongan tak terinfeksi akan meningkat hingga pada waktu tertentu nilainya akan menuju ke nilai kestabilannya, sedangkan golongan terinfeksi akan menurun dan menuju kepunahan. Hasil-hasil ini ditunjukkan pada Gambar 3. Gambar 3 Dinamika populasi nyamuk, burung, dan manusia pada kondisi bebas penyakit Dinamika Populasi Akibat Pengaruh Salah satu aspek yang dapat mengubah nilai adalah kondisi lingkungan. Kondisi lingkungan yang baik akan menyebabkan nilai dapat dibuat sekecil mungkin. Sebaliknya, kondisi lingkungan yang buruk akan meningkatkan nilai. Pada Gambar 4 diperlihatkan bahwa peningkatan populasi nyamuk belum menyebabkan infeksi WNV mewabah. Dengan menggunakan nilai dan nilai parameter lainnya tidak berubah diperoleh.

28 18 Gambar 4 Dinamika populasi nyamuk, burung, dan manusia dengan Kemudian, pada Gambar 5 diperlihatkan bahwa kondisi lingkungan yang sangat buruk telah menyebabkan nilai meningkat sebanyak 34 kali nilai sebelumnya, yaitu sehingga menyebabkan kondisi bebas penyakit tidak dapat dipertahankan. Dengan menggunakan nilai dan nilai parameter lainnya tidak berubah diperoleh Kondisi bebas penyakit dapat dipertahankan jika nilai. Sebaliknya, jika, maka populasi pada golongan terinfeksi akan meningkat sehingga kondisi bebas penyakit tidak dapat dipertahankan. Gambar 5 Dinamika populasi nyamuk, burung, dan manusia dengan Dinamika Populasi Akibat Pengaruh Peningkatan infeksi WNV pada burung dan manusia dapat dihentikan dan diturunkan salah satunya dengan cara mengurangi populasi nyamuk, baik nyamuk tak terinfeksi maupun nyamuk terinfeksi. Pengurangan populasi nyamuk dapat dilakukan dengan melakukan penyemprotan sehingga laju kematian nyamuk meningkat. Berikut ini adalah adalah salah satu dinamika populasi dengan meningkatkan nilai dengan asumsi

29 19 Gambar 6 Dinamika populasi nyamuk, burung, dan manusia dengan Dengan menggunakan nilai dapat dilihat pada Gambar 6 bahwa infeksi WNV belum menghilang dari populasi nyamuk, burung, dan manusia. Kondisi ini terjadi karena. Kemudian, dengan meningkatkan nilai diperoleh. Pada Gambar 7 diperlihatkan bahwa pada golongan terinfeksi telah menuju kepunahan dan golongan tak terinfeksi menuju nilai kestabilannya. Gambar 7 Dinamika populasi nyamuk, burung, dan manusia dengan SIMPULAN Dari hasil analisis terhadap model west nile virus (WNV) diperoleh titik tetap bebas penyakit Kestabilan lokal titik tetap ditentukan menggunakan bilangan reproduksi dasar. Bilangan reproduksi dasar dinyatakan sebagai nilai eigen dominan dari matriks next generation. Matriks next generation diperoleh dengan mengevaluasi golongan terinfeksi dari model. Simulasi dalam karya ilmiah ini dipilih untuk menunjukkan dinamika dari solusi model dengan memilih parameter-parameter pada model. Tujuan simulasi ini adalah untuk mengetahui apakah infeksi pada populasi nyamuk, burung, dan

30 20 manusia yang disebabkan virus west nile menghilang atau tidak. Dari hasil simulasi diperoleh bahwa titik tetap dipengaruhi oleh parameter laju pertambahan dan laju kematian alamiah. Pada simulasi, dilakukan peningkatan laju pertambahan nyamuk secara bertahap untuk memperhatikan pengaruh perubahan laju pertambahan nyamuk terhadap dinamika populasi nyamuk, burung, dan manusia. Salah satu penyebab peningkatan laju pertambahan nyamuk adalah kondisi lingkungan yang buruk. Pertama, dilakukan peningkatan laju pertambahan nyamuk sebesar per hari. Dengan peningkatan nilai ini, kondisi bebas penyakit masih dapat dipertahankan. Namun, setelah peningkatan laju pertambahan nyamuk sebesar per hari terjadi peningkatan populasi golongan terinfeksi. Kondisi bebas penyakit dapat dipertahankan jika nilai per hari. Selanjutnya, jika kondisi bebas penyakit tidak dapat dipertahankan, maka WNV dapat diatasi salah satunya dengan meningkatkan laju kematian nyamuk secara alamiah Contoh kegiatan yang dapat meningkatkan laju kematian nyamuk secara alamiah adalah penyemprotan. Pada simulasi ini dilakukan peningkatan laju kematian nyamuk secara alamiah sebesar per hari. Namun, dengan menggunakan nilai tersebut, infeksi WNV belum menghilang. Pada simulasi selanjutnya, laju kematian nyamuk secara alamiah ditingkatkan sebesar per hari dan diperoleh bahwa pada kondisi ini kondisi infeksi WNV telah menghilang. DAFTAR PUSTAKA Berman A, Plemmons RJ Nonnegative Matrices in Mathematical Sciences. New York (US): Academic Pr. Bowman C, Gumel AB, Vanden-Driessche P, Wu J, Zhu H A mathematical model for assessing control strategies against west nile virus. Bulletin of Mathematical Biology 67: doi: /j.bulm Diekmann O, Heesterbeek JAP, Metz JAJ On the definition and the computation of the basic reproduction ratio in models for infectious diseases in heterogeneous populations. J Math Biol. 28: Lakshmikantham V, Leela S Differential and Integral Inequalities: Theory and Application. New York (US): Academic Pr. News Medical. 2012a. West Nile Virus [Internet]. [diunduh 2012 Nov 17]. Tersedia pada (Indonesian).aspx. News Medical. 2012b. West Nile Virus Symptoms, Risk, Treatment [internet]. [diunduh 2012 Nov 17]. Tersedia pada Smith HL Monotone Dynamical Systems: An Introduction to the Theory of Competitive and Cooperative Systems. Rhode Island (US): American Mathematical Soc.

31 Thomas DM, Urena B A model describing the evolution of west nile-like encephalitis ini new york city. Math Comput Modelling. 34: doi: /S (01)00098-X. Tu PNV Dynamical System. An Introduction with Application in Economics and Biology. Heidelberg (DE): Springer-Verlag. Vanden-Driessche P, Watmough J Reproduction numbers and subthreshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission. Math Biosci. 180: Verhulst F Nonlinear Differential Equations and Dynamical System. New York (US): Springer-Verlag. Wonham MJ, de-camio-beck T, Lewis MA An epidemiological model for west nile virus: invansion analysis and control application. Proc R Soc Lond. B 271 (1538): doi: /rspb

32 22 Lampiran 1 Pembuktian Lema 1 Pembuktian Lema 1 dan Teorema 1 memerlukan konsep-konsep berikut. Matriks [ ] dikatakan mempunyai tanda Z, jika Selanjutnya, jika dengan matriks identitas, setiap elemen tak negatif, dan, maka matriks-m tak singular. Definisi lain dari matriks-m tak singular adalah sebagai berikut. Matriks dikatakan matriks-m tak singular, jika matriks mempunyai tanda Z dan Salah satu sifat yang berkaitan dengan matriks-m tak singular diberikan pada Berman et al. (1970) yang dinyatakan oleh lema berikut. Lema 3 Misalkan matriks-m tak singular, dan mempunyai tanda Z. Matriks merupakan matriks-m tak singular jika dan hanya jika matriks-m tak singular. Bukti Lema 1: Misalkan adalah titik tetap bebas penyakit. Berdasarkan asumsi (A3), yaitu dan asumsi (A4), yaitu maka diperoleh, atau. Dengan cara yang sama, berdasarkan asumsi (A2), yaitu dan asumsi (A4), yaitu maka diperoleh, dan. Dengan demikian matriks Jacobian dan dapat dipartisi oleh blokblok nol. Selanjutnya, berdasarkan asumsi (A1) dan (A4) diperoleh matriks tak negatif. Berikut ini akan ditunjukkan matriks tak singular berdasarkan Lema 3. Misalkan { } basis-basis standar, maka ( ) untuk setiap. Berdasarkan asumsi (A2) dan (A4) diperoleh. Karena komponen ke i dari adalah nol dan berdasarkan asumsi (A1) dan (A2),, maka diperoleh untuk dan, dan mempunyai tanda Z. Kemudian, dari asumsi (A5) diperoleh bahwa semua nilai eigen matriks real positif sehingga. Jadi, matriks tak singular. Selain itu, berdasarkan asumsi (A5) diperoleh pula nilai eigen dari real positif. Lampiran 2 Pembuktian Teorema 1 Kestabilan dari titik tetap ditentukan berdasarkan nilai-nilai eigen dari Diketahui matriks Jacobi adalah, yaitu.

33 Nilai eigen dari matriks Jacobi ditentukan oleh nilai eigen dari matriks dan matriks. Berdasarkan Lema 1, nilai eigen dari matriks adalah real negatif. Karena nilai eigen dari matriks adalah real negatif, maka kestabilan dari titik tetap ditentukan oleh nilai eigen dari matriks. Misalkan sehingga Karena adalah matriks tak singular dan matriks tak negatif, maka memiliki tanda Z sehingga. Jadi, adalah matriks tak singular. Karena matriks tak negatif, maka memiliki tanda Z. Berdasarkan Lema 3 dengan dan diperoleh matriks tak negatif, 23 matriks-m tak singular. Karena matriks-m tak singular, dan dengan nilai-nilai eigen dari, maka. Jadi,. Karena, maka titik tetap stabil asimtotik. Dengan demikian, titik tetap stabil asimtotik jika Misalkan ada nilai eigen dari yang memiliki nilai real positif, maka ada nilai eigen dari yang memiliki nilai real positif sehingga. Jadi, matriks-m singular sehingga matriks-m singular. Ini berarti Berdasarkan hasil-hasil di atas, jika, maka. Dengan kata lain, titik tetap tak stabil, jika Lampiran 3 Penentuan Titik Tetap Bebas Penyakit Titik tetap diperoleh dengan menetapkan i ii ii i i ii iii i Dari persamaan (i) dapat disederhanakan agar diperoleh nilai, yaitu. /

34 24 Dari persamaan (iv) dapat disederhanakan agar diperoleh nilai, yaitu Dari persamaan (iii) dapat disederhanakan agar diperoleh nilai, yaitu. / Jika, dan disubstitusikan ke dalam persamaan (ii), maka diperoleh nilai dalam persamaan berikut: (. / dengan penyelesaian dalam bentuk ata. / ) Dengan memilih nilai, maka diperoleh titik tetap bebas penyakit. Jika nilai disubstitusikan ke persamaan (iii), maka diperoleh Karena Karena, maka persamaan (iv) memberikan, maka persamaan (i) memberikan Dari persamaan (v) dan, diperoleh nilai sebagai berikut Dari persamaan (vi) dan Dari persamaan (vii) dan Dari persamaan (viii) dan Dari persamaan (ix) dan, diperoleh nilai, diperoleh nilai, diperoleh nilai, peroleh nilai Dengan demikian diperoleh titik tetap bebas penyakit sebagai berikut :

35 25 Lampiran 4 Pembuktian Lema 2 Akan ditunjukkan ketunggalan titik tetap dari model dan ketika. Dengan menjumlahkan persamaan dan pada model diperoleh persamaan i pada saat steady state ( ) Dengan menjumlahkan persamaan dan diperoleh persamaan pada saat steady state ( ) Dari persamaan (i) dan (ii) diketahui dan jika dan. Akibatnya, untuk menjamin bahwa seluruh variabel bernilai tak negatif, maka akan dibatasi nilai Selanjutnya, dengan mensubstitusi persamaan (i) dan persamaan pada model dihasilkan persamaan sebagai berikut: terhadap. / pada saat steady state ( ). Kurva memiliki kemiringan pada titik. Dari persamaan (iii), jika, maka kurva memiliki asimtot tegak di dengan. Sebaliknya, jika, maka kurva berimpit dengan kurva dengan kemiringan. Dengan cara yang sama, jika persamaan (ii) disubstitusikan ke dalam persamaan pada model dengan maka diperoleh persamaan sebagai berikut:. / pada saat steady state ( ). Kurva memiliki kemiringan pada titik. Kurva memiliki asimtot tegak pada dengan.

36 26 Kurva dan untuk kasus dan diberikan pada Gambar 8. Gambar 8 Kurva dan untuk kasus dan Berdasarkan Gambar 8, disimpulkan bahwa jika, maka Dengan kata lain, dan berpotongan hanya di satu titik. Jadi, merupakan satu-satunya titik tetap bagi model dan. Lampiran 5 Program Dinamika Populasi pada Kondisi Bebas Penyakit,*

37 27 + * + * +- >> Gambar 3,,* + - * + *,,* +-- [,* +-],,* +--+ * + * +-,,* + - * + *,,* +-- [,* +-] [,* +-] [,* +-],,* +--+ * + * +- Lampiran 6 Program Dinamika Populasi dengan,*

38 28 + * + * +- >> Gambar 4,,* + - * + *,,* +-- [,* +-],,* +--+ * + * +-,,* + - * + *,,* +-- [,* +-] [,* +-] [,* +-],,* +--+ * + * +- Lampiran 7 Program Dinamika dengan,*

39 29 + * + * +- >> Gambar 5,,* + - * + *,,* +-- [,* +-],,* +--+ * + * +-,,* + - * + *,,* +-- [,* +-] [,* +-] [,* +-],,* +--+ * + * +- Lampiran 8 Program Dinamika Populasi dengan,*

40 30 + * + * +- >> Gambar 6,,* + - * + *,,* +-- [,* +-],,* +--+ * + * +-,,* + - * + *,,* +-- [,* +-] [,* +-] [,* +-],,* +--+ * + * +- Lampiran 9 Program Dinamika Populasi dengan,*

41 31 + * + * +- >> Gambar 7,,* + - * + *,,* +-- [,* +-],,* +--+ * + * +-,,* + - * + *,,* +-- [,* +-] [,* +-] [,* +-],,* +--+ * + * +-

42 32 RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Balikpapan pada tanggal 11 Oktober 1993 sebagai anak sulung dari dua bersaudara, anak dari Lami dan Titi Dwianti. Tahun 2005 penulis lulus dari SDN 005 Samarinda. Tahun 2007 penulis lulus dari SMPN 4 Samarinda. Tahun 2009 penulis lulus dari SMAN 1 Samarinda dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Tulis Mandiri IPB (UTMI). Pada tahun 2010, penulis masuk Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menuntut ilmu di IPB, penulis pernah menjadi pengajar Pengantar Matematika dan Kalkulus I pada Bimbingan Belajar Sm@rt. Penulis aktif di Unit Kegiatan Mahasiswa Koperasi Mahasiswa (UKM Kopma) periode 2009/2010. Penulis pernah menjabat sebagai bendahara Keluarga Pelajar Kalimantan Timur (KPMKT) cabang Bogor pada periode 2011/2012.