PENYELESAIAN TRAVELING TOURNAMENT PROBLEM PADA JADWAL PERTANDINGAN SEPAK BOLA DENGAN ALGORITME HEURISTIK GERRY FREDRICK VENRO BANGUN

Transkripsi

1 PENYELESAIAN TRAVELING TOURNAMENT PROBLEM PADA JADWAL PERTANDINGAN SEPAK BOLA DENGAN ALGORITME HEURISTIK GERRY FREDRICK VENRO BANGUN DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Traveling Tournament Problem pada Jadwal Pertandingan Sepak Bola dengan Algoritme Heuristik adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Desember 2016 Gerry Fredrick Venro Bangun NIM G

4 ABSTRAK GERRY FREDRICK VENRO BANGUN. Penyelesaian Traveling Tournament Problem pada Jadwal Pertandingan Sepak Bola dengan Algoritme Heuristik. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan RUHIYAT. Traveling tournament problem merupakan masalah penjadwalan suatu turnamen dengan menambahkan unsur pengoptimuman. Dalam traveling tournament problem dibuat jadwal turnamen round robin yang meminimumkan total jarak perjalanan semua tim yang berpartisipasi. Pada karya ilmiah ini, Traveling tournament problem diaplikasikan pada masalah penjadwalan pertandingan suatu liga sepak bola di Indonesia dan diselesaikan dengan algoritme heuristik. Tahapan dalam menyelesaikan traveling tournament problem ialah membuat jadwal single round robin, membuat jadwal double round robin yang fisibel, dan membuat penjadwalan venue. Hasil yang diperoleh adalah jadwal double round robin dengan total jarak perjalanan semua tim adalah km. Kata kunci: heuristik, round robin, travelling tournament problem ABSTRACT GERRY FREDRICK VENRO BANGUN. The Solution of Traveling Tournament Problem on Football Matches Scheduling with Heuristic Algorithm. Supervised by FARIDA HANUM and RUHIYAT. Traveling tournament problem is a problem of scheduling a tournament by adding an element of optimization. On traveling tournament problem, round robin tournament schedule is created which minimizes total traveled distance of all participants. In this manuscript, traveling tournament problem is applied on scheduling a football league in Indonesia and it is accomplised using heuristic algorithm. The steps in the solution of traveling tournament problem are creating single round robin schedule, creating feasible double round robin schedule, and creating venue scheduling. The obtained result is the double round robin schedule with total traveled distance of all participants is km. Keywords: heuristic, round robin, travelling tournament problem

5 PENYELESAIAN TRAVELING TOURNAMENT PROBLEM PADA JADWAL PERTANDINGAN SEPAK BOLA DENGAN ALGORITME HEURISTIK GERRY FREDRICK VENRO BANGUN Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

6

7

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam karya ilmiah ini adalah Riset Operasi dengan judul Penyelesaian Traveling Tournament Problem pada Jadwal Pertandingan Sepak Bola dengan Algoritme Heuristik. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dra Farida Hanum, MSi dan Bapak Ruhiyat, MSi selaku pembimbing yang telah banyak memberikan ilmu, motivasi, dan saran, serta Bapak Drs Siswandi, MSi selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, motivasi, dan saran. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Nova, Mufid, Putri, Rina selaku teman seperjuangan dan satu bimbingan yang telah memberikan motivasi serta doa. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Desember 2016 Gerry Fredrick Venro Bangun

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vi DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 1 TINJAUAN PUSTAKA 1 Traveling Salesman Problem 1 Heuristik 2 Graf 2 Turnamen Round Robin 5 Modulo dan Kongruensi 5 TRAVELING TOURNAMENT PROBLEM (TTP) 5 HASIL DAN PEMBAHASAN 10 Aplikasi Masalah 10 Konstruksi Jadwal Single Round Robin tanpa Pola Home Away 10 Penyusunan Jadwal Single Round Robin dengan Pola Home Away 11 Fungsi Pola Home Away yang Fisibel 13 Penyusunan Jadwal Double Round Robin yang Fisibel 14 Penjadwalan Venue 15 Penghitungan Nilai Total Jarak Perjalanan 17 Hubungan Edge dengan Jadwal Double Round Robin beserta Klasifikasi Edge 18 SIMPULAN DAN SARAN 19 Simpulan 19 Saran 20 DAFTAR PUSTAKA 20 LAMPIRAN 21 RIWAYAT HIDUP 64

10 DAFTAR TABEL 1 Nama tim beserta stadion utamanya 10 2 Jadwal single round robin tanpa pola home away 11 3 Jadwal single round robin dengan pola home away 14 4 Jadwal double round robin Z Total jarak perjalanan setiap tim t 17 6 Himpunan partisi edge E t (1) untuk setiap t 18 DAFTAR GAMBAR 1 Hasil MST 15 2 Hasil double MST 15 3 Hasil cycle Hamilton 16 4 Graf G 1 dengan E 4 (1) 18 DAFTAR LAMPIRAN 1 Jarak antarstadion (km) 21 2 Cara penyusunan jadwal single round robin berdasarkan definisi jadwal Kirkman tanpa pola home away 22 3 Pola home away untuk Tim Mengonstruksi jadwal single round robin dengan pola home away dengan untuk t Tahapan mengkonstruksi jadwal double round robin yang fisibel 36 6 Mencari minimum spanning tree dengan algoritme Kruskal 38 7 Mencari sirkuit Euler pada double minimum spanning tree 41 8 Total jarak perjalanan dari masing-masing tim t 49 9 Hasil jadwal pertandingan yang diperoleh dengan tim yang sesungguhnya Gambar graf tak berarah G 1 yang menunjukkan jadwal double round robin Z 1 dengan himpunan partisi edge E t (1) dengan t = 0, 1, 2,..., Jenis-jenis edge dan klasifikasinya 62

11 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Sepak bola merupakan cabang olahraga yang sangat digemari oleh berbagai lapisan masyarakat di dunia, baik di kota-kota maupun di desa-desa. Sepak bola sebenarnya memiliki beberapa perangkat penting yang harus ada dalam penyelenggaraannya, salah satu di antaranya ialah jadwal pertandingan. Penyusunan jadwal pertandingan harus dilakukan secara hati-hati dan penuh perhitungan serta pertimbangan agar diperoleh jadwal pertandingan yang sesuai dengan berbagai kondisi yang ada serta memuaskan keinginan semua pihak. Pada umumnya, penjadwalan pertandingan sepak bola di Indonesia masih dilakukan secara manual. Penjadwalan pertandingan dengan cara seperti itu dapat mengakibatkan perjalanan yang harus ditempuh oleh suatu tim ke kandang tim lawan untuk bertanding menjadi tidak efektif. Oleh karena itu, diperlukan suatu metode untuk membuat jadwal pertandingan sepak bola yang dapat meminimumkan total jarak perjalanan dari setiap tim ke kandang tim lawan selama satu musim kompetisi. Salah satu cara membuat penjadwalan pertandingan ialah dengan menyelesaikan Traveling Tournament Problem. Masalah tersebut dapat diselesaikan dengan algoritme heuristik. Karya ilmiah ini bersumber pada artikel dari Yamaguchi et al. (2011) yang berjudul An Improved Approximation Algorithm for the Traveling Tournament Problem. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini ialah: 1 memformulasikan masalah penjadwalan pertandingan sepak bola sebagai model Traveling Tournament Problem yang meminimumkan total jarak perjalanan setiap tim, 2 menyelesaikan masalah Traveling Tournament Problem tersebut dengan algoritme heuristik. TINJAUAN PUSTAKA Traveling Salesman Problem Traveling Salesman Problem (TSP) adalah suatu permasalahan ketika seorang salesman akan mengunjungi seluruh tempat yang ada untuk memulai suatu tur yang diawali dari tempat pertama dan mengunjungi setiap tempat lain tepat satu kali, kemudian kembali ke tempat pertama sehingga total jarak perjalanan menjadi minimum (Nemhauser dan Wolsey 1999).

12 2 Heuristik Kata heuristik berasal dari bahasa Yunani, heuriskein, yang berarti mencari atau menemukan. Di dalam mempelajari metode-metode pencarian, kata heuristik diartikan sebagai suatu fungsi yang memberikan suatu nilai berupa biaya perkiraan (estimasi) dari suatu solusi (Suyanto 2007). Graf Suatu graf G adalah pasangan terurut (V,E) dengan V adalah himpunan takkosong dan berhingga dan E adalah himpunan pasangan takterurut yang menghubungkan elemen-elemen V. Graf G dinotasikan dengan G = (V, E). Elemen V disebut simpul (verteks), sedangkan elemen E disebut sisi (edge). Himpunan dari simpul-simpul pada graf G dinotasikan dengan V(G), sedangkan himpunan dari sisi-sisi pada graf G dinotasikan dengan E(G) (Foulds 1992). Order Misalkan diberikan graf G. Banyaknya simpul pada graf G disebut order. Order dari graf G dinotasikan dengan V(G) (Chartrand dan Oellermann 1993). Incident Misalkan diberikan graf G. Jika e = {u, v} E(G) dengan u, v V(G), maka e dikatakan incident dengan u dan v (Chartrand dan Oellermann 1993). Degree Derajat (degree) dari suatu simpul v pada graf G adalah banyaknya edge yang incident dengan v dan dinotasikan dengan deg(v) (Chartrand dan Oellermann 1993). Graf lengkap (complete graph) Suatu graf yang setiap verteks pada n buah verteks dihubungkan secara langsung oleh edge disebut graf lengkap (complete graph) dan dinotasikan dengan K n (Foulds 1992). Walk Suatu walk pada graf G adalah suatu barisan simpul dan sisi dari graf G dengan bentuk {v 1, {v 1, v 2 }, v 2, {v 2, v 3 }, v 3,, {v n-1, v n }, v n } dan dapat dituliskan sebagai {v 1,v 2,, v n } atau v 1, v 2,, v n. Suatu walk yang menghubungkan v 1 dengan v n dikatakan tertutup jika v 1 = v n. Jika v 1 v n, maka walk tersebut dikatakan terbuka (Foulds 1992). Path Path pada suatu graf G adalah suatu walk dengan semua simpulnya berbeda. Graf dengan order n 1 yang berbentuk path disebut graf path dengan order n, dituliskan P n (Chartrand & Oellermann 1993).

13 3 Trail Suatu walk pada graf G dikatakan trail jika semua barisan edge-nya berbeda (Foulds 1992). Graf terhubung (connected graph) dan graf tak terhubung (disconnected graph) Suatu verteks u dikatakan terhubung (connected) ke v apabila pada graf G tersebut terdapat path u v. Suatu graf G itu sendiri dikatakan terhubung apabila suatu verteks u terhubung ke verteks v untuk setiap pasang verteks u dan v di G. Suatu graf G dikatakan tak terhubung (disconnected) jika ada dua verteks u dan v sehingga tidak terdapat path u v (Chartrand & Oellermann 1993). Bridge Suatu edge e di graf terhubung G yang apabila dihilangkan akan menjadi graf tak terhubung disebut dengan bridge (Chartrand et al. 2016). Sirkuit dan Cycle Sirkuit pada graf G adalah suatu trail u v dengan u = v yang mengandung setidaknya tiga edge. Dengan kata lain, suatu sirkuit harus diakhiri dengan suatu verteks yang sama dengan verteks awal tersebut (Chartrand 1977). Suatu sirkuit yang tidak mengulang suatu verteks (kecuali verteks awal dan verteks terakhir) disebut cycle (Chartrand 1977). Cycle Hamilton Suatu spanning cycle (cycle yang memuat semua simpul) dalam suatu graf dinamakan cycle Hamilton (Foulds 1992). Tree 1992). Tree adalah suatu graf terhubung yang tidak mempunyai cycle (Foulds Spanning tree Suatu tree T dikatakan spanning tree pada graf G jika himpunan verteks pada tree T sama dengan himpunan verteks pada graf G (Foulds 1992). Minimum Spanning Tree (MST) Minimum spanning tree (MST) atau pohon rentang minimum adalah spanning tree dengan bobot edge yang paling minimum dari semua kemungkinan spanning tree yang ada pada graf G (Chartrand et al. 2016). Minimum spanning tree merupakan salah satu cara untuk mencari rute penghubung dari semua tempat pelanggan dalam jaringan secara bersamaan dengan jarak minimum. Salah satu algoritme yang umum digunakan untuk membuat minimum spanning tree ialah algoritme Kruskal. Sirkuit Euler Suatu sirkuit Euler pada graf G adalah walk tertutup yang melewati setiap edge di G tepat satu kali (Gross dan Yellen 2003).

14 4 Berikut ini akan dibahas beberapa algoritme atau metode dalam teori graf yang akan digunakan pada karya ilmiah ini. Beberapa di antaranya ialah sebagai berikut. Algoritme Kruskal Algoritme Kruskal pertama kali diperkenalkan oleh Joseph Kruskal pada tahun Algoritme Kruskal adalah sebuah algoritme dalam teori graf yang mencari sebuah minimum spanning tree untuk sebuah graf berbobot yang terhubung. Ini berarti mencari subset dari sisi yang membentuk sebuah tree yang menampung setiap verteks sehingga total bobot dari semua sisi dalam tree adalah minimum. Langkah-langkah yang dilakukan untuk mencari MST dengan algoritme Kruskal yaitu: 1 Sisi-sisi (edge) dari graf sudah diurutkan secara naik berdasarkan bobotnya dari bobot kecil ke bobot yang besar. 2 Pilih sisi atau edge yang mempunyai bobot minimum yang tidak membentuk cycle. 3 Ulangi langkah 2 sebanyak n 1 kali dengan n merupakan banyaknya verteks pada graf tersebut. (Chartrand et al. 2016). Double Minimum Spanning Tree Double minimum spanning tree merupakan salah satu metode heuristik untuk menentukan solusi dari TSP. Solusi yang didapatkan merupakan solusi pendekatan sehingga solusi tersebut tidak dijamin optimal. Namun dengan nilai pendekatan, diharapkan hasil yang diperoleh menjadi lebih baik dari sebelumnya. Langkah-langkah penentuan rute dengan double minimum spanning tree ialah sebagai berikut: 1 Dibuat minimum spanning tree dari graf tersebut. 2 edge pada hasil minimum spanning tree digandakan. 3 Dicari sirkuit Euler pada graf yang sudah digandakan edge-nya pada Langkah 2. 4 Titik selain depot yang muncul lebih dari satu kali dihapus atau dihilangkan. 5 Dibuat rute baru dari setiap urutan titik yang didapat dari Langkah 4 (Nemhauser dan Wosley 1999). Algoritme Fleury Algoritme Fleury merupakan salah satu algoritme yang digunakan untuk mencari sirkuit Euler. Langkah-langkah untuk mencari sirkuit Euler dengan algoritme tersebut adalah sebagai berikut: 1 Pilihlah sembarang verteks v. 2 Selama masih ada edge di graf G, jika terdapat lebih dari satu edge yang incident dengan verteks v di G, hapus edge yang incident dengan v yang bukan merupakan bridge. Jika tidak, hapus edge yang incident dengan v. 3 Masukkan v ke dalam himpunan sebagai unsur untuk sirkuit Euler yang terbentuk. 4 Ulangi Langkah 2 dan 3 sampai semua edge di graf G tidak ada (Bondy dan Murty 2008).

15 5 Turnamen Round Robin Suatu turnamen round robin adalah turnamen di mana setiap tim bermain melawan tim lain dengan jumlah tetap. Dalam turnamen single round robin, setiap tim berhadapan satu sama lain tepat satu kali (tepat dua kali untuk turnamen double round robin) dan bertanding paling banyak satu kali di setiap ronde. Sebuah turnamen round robin dikatakan kompak jika jumlah ronde adalah minimum dan setiap tim memainkan satu kali di setiap ronde (Ribeiro 2012). Setiap tim memiliki stadion tersendiri di kota masing-masing dan setiap pertandingan dimainkan di stadion salah satu tim yang bertanding dan bergantung pada jadwal yang telah ditetapkan. Tim yang bermain di tempat sendiri disebut tim tuan rumah dan dikatakan memainkan pertandingan kandang (home), sedangkan yang lainnya disebut tim tamu dan dikatakan memainkan pertandingan tandang (away). Jika setiap kali pasangan yang sama dari tim saling berhadapan dua kali dalam dua ronde berturut-turut maka dikatakan ada pengulangan. Jika banyaknya tim adalah bilangan ganjil, maka dalam setiap ronde satu tim mendapatkan bye, yaitu tidak bermain. Turnamen double round robin sering dibagi menjadi dua fase sehingga setiap pertandingan harus terjadi tepat satu kali dalam setiap fase, tetapi dengan hak rumah yang berbeda. Dalam kasus yang disebut jadwal cermin, permainan yang dimainkan oleh setiaptim di fase kedua mengikuti persis urutan yang sama seperti yang dimainkan di fase pertama, tetapi dengan tempat bertukar. Oleh karena itu, dua pertandingan yang dimainkan oleh setiap pasangan lawan berlangsung di babak yang sama dari fase pertama dan kedua. Modulo dan Kongruensi Misalkan a, b, dan m merupakan bilangan integer dengan m 0. Suatu bilangan integer a dikatakan kongruen dengan b modulo m jika bilangan m membagi a b, dinotasikan dengan a b (mod m). Jika bilangan m tidak membagi a b, maka bilangan a dikatakan tidak kongruen dengan b modulo m, dinotasikan dengan a b (mod m). Beberapa sifat dari modulo dan kongruensi adalah sebagai berikut: 1 a a (mod m) (refleksif), 2 jika a b (mod m), maka b a (mod m) (simetrik), 3 jika a b (mod m) dan b c (mod m), maka a c (mod m) (transitif), 4 jika a b (mod m) dan c d (mod m), maka a + c b + d (mod m) dan a c b d (mod m), 5 jika a b (mod m), maka untuk setiap integer k, ka kb (mod m) (Andreescu et al. 2007). TRAVELING TOURNAMENT PROBLEM (TTP) Traveling Tournament Problem (TTP) merupakan masalah penjadwalan suatu turnamen dengan menambahkan unsur pengoptimuman (Trick 2003). Masalah ini pertama kali dipublikasikan oleh Easton, Nemhauser, dan Trick.

16 6 Tujuan dari Traveling Tournament Problem ialah membuat jadwal turnamen round robin yang meminimumkan total jarak perjalanan semua tim yang berpartisipasi. Misalkan diberikan suatu himpunan T yang terdiri atas n tim dengan n merupakan bilangan genap dan n 4. Setiap tim di T memiliki kandang main masing-masing. Turnamen double round robin merupakan sekumpulan permainan sehingga setiap tim harus bermain melawan tim lain sebagai tuan rumah maupun tamu. Akibatnya, setiap tim harus bermain sebanyak 2(n 1) kali dalam satu musim kompetisi atau turnamen. Misalkan V merupakan suatu himpunan kandang main (verteks) tiap tim yang memenuhi V = n. Untuk setiap pasangan kandang i, j V, d ij 0 melambangkan jarak antara kandang-i dengan kandang-j. Misalkan juga matriks jarak dilambangkan dengan D = (d ij ). Diasumsikan jarak d ij memenuhi pertaksamaan segitiga (d ij + d jl d il ), simetrik (d ij = d ji ), dan d ii = 0 berlaku i,j,l V. Diberikan suatu konstanta k dengan k 3 dan integer. Traveling Tournament Problem dengan konstanta k didefinisikan sebagai berikut. Traveling Tournament Problem (TTP(k)) Input: himpunan tim T dan matriks jarak D = (d ij ), dengan i, j V. Output: jadwal double round robin yang terdiri atas n tim dengan ketentuan sebagai berikut: 1 tidak ada tim yang bermain lebih dari k permainan sebagai tuan rumah berturutturut, 2 tidak ada tim yang bermain lebih dari k permainan sebagai tamu berturut-turut, 3 pertandingan tim i di j tidak boleh diikuti dengan pertandingan j di i, 4 jarak total perjalanan setiap tim adalah minimum. Diasumsikan bahwa n cukup besar dibandingkan dengan parameter tetap k. Ketentuan 1 dan 2 disebut atmost constraints, sedangkan ketentuan 3 disebut norepeater constraint. Ide dari algoritme heuristik ialah dengan menggunakan jadwal Kirkman dan cycle Hamilton terpendek. Algoritme heuristik ini mengonstruksi cycle Hamilton terpendek yang melewati semua kandang (verteks) dan mencari permutasi dari semua tim berdasarkan urutan siklik sesuai dengan cycle Hamilton yang diperoleh. Langkah-langkah yang akan digunakan ialah sebagai berikut: 1 membuat jadwal single round robin, 2 membangun jadwal double round robin yang fisibel, 3 membuat penjadwalan venue atau stadion. Membuat jadwal single round robin Diberikan suatu himpunan tim T yang terdiri atas n tim, yaitu T = {0, 1,..., n 1} dan himpunan yang terdiri atas n 1 slot, misalkan S = {0, 1,..., n 2}. Jadwal single round robin (tanpa pola home away) dapat dinyatakan dengan suatu matriks, misalkan dilambangkan dengan K, dengan (t, s) merupakan unsur K(t, s) yang menyatakan lawan tim t di slot s. Jadwal Kirkman K* merupakan suatu matriks yang didefinisikan sebagai berikut:

17 7 K*(t, s) = { mod 1 ; 1; 2 ; 1 2 ; jika t n 1 dan s t t (mod n 1) jika t n 1 dan s t t (mod n 1) jika t = n 1 dan s genap jika t = n 1 dan s ganjil. Selanjutnya, didefinisikan pola home away pada jadwal Kirkman sebagai berikut. Diberikan fungsi f : U {H,A} dengan U = {i Z i 0 (mod n 1), i = 1, 2, 3,..., n 2}. H menyatakan Home (tuan rumah) dan A menyatakan Away (tandang atau tamu). Untuk suatu fungsi f, didefinisikan fungsi negasi ~ f : U {H,A} dengan H, jika A ~ f ( i ) = { A, jika H Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa ~H adalah A dan ~A adalah H. Fungsi f merupakan HA-fisibel jika f memenuhi 1 i, j U, i j (mod n 1) yang berimplikasi f (i) = f (j), dan 2 i U, f ( i ) = ~f ( i). Untuk membangun pola home away secara lengkap, didefinisikan sebuah pola home away dari tim n 1 dengan menunjukkan barisan (r 0, r 1,...,r n 2 ) {H,A} n 1 ({H,A} n 1 merupakan hasil kali Cartesius atau perkalian himpunan {H,A} sebanyak n 1 kali {H,A} {H,A} {H,A}... {H,A})) - 1 kali dengan r i = { H; A; -2; jika i n 3 dan i {0, 1,..., k 1}(mod 2k) jika i n 3 dan i {k, k + 1,..., 2k 1}(mod 2k) jika i = n 3. Akibatnya, dengan diberikan fungsi HA-fisibel dan barisan tersebut dapat dibangun pola home away (HA-assignment) pada jadwal Kirkman K* sebagai berikut: untuk setiap pasangan (t, s) T S (T merupakan himpunan tim {0,1,..., n 1} dan S merupakan himpunan slot {0,1,..., n 2}), di slot s, tim t bermain 1 f (s 2t)-game untuk t n 1 dan s t t (mod n 1), 2 ~r s -game untuk t n 1 dan s t t (mod n 1), 3 r s -game untuk t = n 1. Untuk kasus t n 1 dan s t t (mod n 1), musuh dari tim t yang dinotasikan dengan K*(t, s) adalah K*(t, s) = s t (mod n 1) dan tim t tersebut bermain sebagai f (K*(t, s) t) di slot s. Akibatnya, f (K*(t, s) t) = f (s 2t). Membangun jadwal double round robin yang fisibel Untuk {1, 2,..., k} dengan k menyatakan banyaknya pertandingan kandang atau tandang secara berturut-turut, berdasarkan jadwal single round robin X yang diberikan, dibangun sebuah jadwal double round robin dengan langkahlangkah sebagai berikut:

18 8 1 Suatu jadwal single round robin dikonstruksi, misalkan dinotasikan dengan Y dengan menggantikan slot pertama dengan slot terakhir pada X. 2 Suatu jadwal double round robin dikonstruksi dengan suatu pencerminan yang dinotasikan yang merupakan jadwal yang diperoleh dari Y dengan membalikkan kandang (home) dan tandang (away). Kemudian gabungkan dua jadwal single round robin Y dan untuk memperoleh jadwal double round robin yang dinotasikan dengan Z. Penjadwalan venue (stadion) Misalkan T merupakan himpunan dari tim khayalan (imaginary team) tanpa venue dan setiap venue di V merupakan tim nyata (real team). Langkah-langkah yang akan dilakukan adalah sebagai berikut: 1 Dipilih {1, 2,, k} sembarang dan dibangun suatu jadwal double round robin Z dengan imaginary teams di T. 2 Dikonstruksi suatu graf tak berarah yang lengkap dengan himpunan verteks (venue) V dan panjang sisi atau edge {i, j} ialah d ij. 3 Dengan algoritme heuristik double minimum spanning tree, dikonstruksi suatu cycle Hamilton H C. Cycle Hamilton yang diperoleh ditunjukkan dengan sebuah barisan verteks (v 0, v 1, v 2,..., v n 1 ). Isi barisan tersebut secara berurutan merupakan suatu rute cycle Hamilton dengan v 0 merupakan titik awal atau depot, sedangkan v n 1 merupakan verteks terakhir dari suatu rute cycle Hamilton yang pada akhirnya kembali lagi ke v 0. 4 Dipilih {0, 1,, n 1} sembarang dan dikonstruksi suatu fungsi bijektif π : T V yang didefinisikan sebagai berikut, π (i) = v j dengan j i + (mod n), T = {0, 1,, n 1}. Nilai total jarak perjalanan Untuk menghitung nilai total jarak perjalanan berdasarkan langkah-langkah yang diberikan pada penjadwalan venue, didefinisikan graf tak berarah G yang merupakan jadwal double round robin Z Graf tersebut memiliki sebuah himpunan verteks T dan himpunan sisi/edge E( dengan partisi {E t ( t T} di mana setiap edge di E t ( berhubungan dengan pergerakan tim t T di Z Jika terdapat fungsi bijektif π : T V, total jarak perjalanan akan menjadi sebagai berikut: { } d dengan (. melambangkan jarak atau bobot edge antara verteks ( dengan verteks Keterkaitan edge pada graf dengan jadwal double round robin Misalkan diberikan graf tak berarah G yang merupakan jadwal double round robin Z Graf tersebut memiliki sebuah himpunan verteks T dan himpunan edge E( dengan partisi {E t ( t T} di mana setiap edge di E t ( berhubungan dengan

19 9 pergerakan tim t T di Z Secara lengkap, E t ( terdiri dari paling banyak empat tipe edge yang diberikan sebagai berikut: 1 Ketika tim t bermain dua kali tandang secara berturut-turut, E t ( menyatakan edge di antara dua tim lawan dari tim t tersebut. 2 Ketika tim t bermain di kandang dan tandang secara berturut-turut, E t ( menyatakan edge di antara tim t dengan lawan dari tim t pada pertandingan tandang. 3 Ketika tim t bermain tandang di slot atau ronde pertama, E t ( menyatakan edge di antara tim t dan lawan dari tim t di pertandingan tandang. 4 Ketika tim t bermain tandang di slot atau ronde terakhir, E t ( menyatakan edge di antara tim t dan lawan dari tim t di pertandingan tandang. Klasifikasi edge Suatu graf tak berarah G yang merupakan jadwal double round robin Z memiliki edge yang terdiri atas tiga subset, yaitu edge iregular, edge regular Hamilton, dan edge regular non-hamilton. Setiap edge yang merupakan edge noniregular disebut edge regular. Suatu edge di E t ( dikatakan iregular jika e memenuhi setidaknya satu dari enam kondisi berikut: 1 e memiliki setidaknya satu edge paralel atau ganda di E t ( 2 e menghubungkan sepasang verteks di {t 5, t 4,..., t + 5} {n 2, n 1, 0} {t + 1, t + 2, t + 3} {t + 3, t + 2, t + 1}, di mana setiap integer t + i yang muncul di atas bersesuaian dengan verteks T dengan t + i (mod n). 3 e bersesuaian dengan pergerakan antara pasangan slot di {(0,1), (n 3, n 2), (n 2, n 1), (n 1, n), (2n 4, 2n 3)}. 4 e bersesuaian dengan pergerakan yang disebabkan oleh pertandingan tandang dislot pertama (jika ada), 5 e bersesuaian dengan pergerakan yang disebabkan oleh pertandingan tandang dislot terakhir (jika ada), 6 e E n 1 ( atau e bersesuaian dengan pergerakan dari tim n 1. Jika edge regular di E( menghubungkan sepasang verteks { } dengan t + 1 (mod n), edge tersebut dinamakan edge regular Hamilton. Suatu edge disebut edge regular Hamilton karena edge-edge tersebut berkaitan dengan cycle Hamilton yang diperoleh pada penjadwalan venue, sedangkan disebut regular non-hamilton karena tidak berkaitan dengan cycle Hamilton yang diperoleh pada penjadwalan venue. Algoritme Heuristik untuk Menyelesaikan TTP Ada beberapa algoritme heuristik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan Travelling Tournament Problem (TTP). Salah satunya ialah dengan menggunakan double minimum spanning tree. Langkah-langkah untuk menyelesaikan TTP dengan algoritme ini adalah sebagai berikut: 1 Dicari minimum spanning tree (MST) pada graf lengkap yang verteksnya merupakan venue atau stadion dari setiap tim,

20 10 2 Hasil minimum spanning tree (MST) tersebut kemudian digandakan edge-nya, 3 MST yang digandakan edge-nya tersebut (double minimum spanning tree) kemudian dicari sirkuit Eulernya, 4 Dari sirkuit Euler tersebut, dibentuk cycle Hamilton dengan cara menghapus verteks yang muncul atau dilewati lebih dari satu kali selain verteks awal. HASIL DAN PEMBAHASAN Aplikasi Masalah Indonesia seringkali memiliki kendala untuk menentukan jadwal turnamen sepak bola yang ideal. Salah satunya ialah turnamen Piala Super Indonesia dengan jumlah peserta terdiri atas 16 tim. Turnamen ini bukan merupakan turnamen yang sesungguhnya, tetapi hanya turnamen buatan saja. Pada Tabel 1 diberikan daftar nama tim yang mengikuti turnamen tersebut beserta nama stadion utamanya. Tabel 1 Nama tim beserta stadion utamanya No Nama Tim Nama Stadion 1 Arema Cronus Kanjuruhan, Malang 2 Sriwijaya FC Gelora Sriwijaya, Palembang 3 Persija Jakarta Gelora Bung Karno, Jakarta 4 Persipasi Bandung Raya Jalak Harupat Soreang, Bandung 5 Persegres Gresik United Petrokimia Gresik, Gresik 6 Bali United Kapten I Wayan Dipta, Gianyar 7 Mitra Kukar Aji Imbut, Kutai 8 PSM Makassar Andi Mattalata, Makassar 9 Persipura Jayapura Mandala, Jayapura 10 Semen Padang Haji Agus Salim, Padang 11 Surabaya United Gelora Bung Tomo, Surabaya 12 Persib Bandung Gelora Bandung Lautan Api, Bandung 13 Persiba Balikpapan Persiba, Balikpapan 14 Persela Lamongan Surajaya, Lamongan 15 PSS Sleman Maguwoharjo, Sleman 16 Martapura FC Demang Lehman, Martapura Data jarak antarstadion dapat dilihat pada Lampiran 1. Data jarak antarstadion diperoleh dari situs distancecalculator.globefeed.com. Konstruksi Jadwal Single Round Robin tanpa Pola Home Away Didefinisikan suatu himpunan T yang terdiri atas n = 16 elemen, yaitu T = {0, 1, 2,..., 15} dan himpunan slot atau ronde S = {0, 1, 2,..., 14}. Jadwal Kirkman didefinisikan sebagai berikut:

21 11 K*(t, s) = { mod15 ; 15; 2 ; 15 2 jika t 15 dan s t t (mod 15) jika t 15 dan s t t (mod 15) jika t = 15 dan s genap jika t = 15 dan s ganjil. Berdasarkan definisi jadwal Kirkman, maka diperoleh jadwal single round robin seperti pada Tabel 2. Detail penghitungan penyusunan jadwal single round robin tersebut dapat dilihat pada Lampiran 2. Angka-angka pada Tabel 2 menunjukkan lawan dari tim pada judul baris yang bermain pada suatu slot. Sebagai contoh, pada slot 3, Tim 0 bertanding melawan Tim 3, Tim 1 bertanding melawan Tim 2, Tim 2 bertanding melawan Tim 1, dan seterusnya. Tabel 2 Jadwal single round robin tanpa pola home away Slot (Ronde) Tim Penyusunan Jadwal Single Round Robin dengan Pola Home Away Diberikan fungsi f : U {H,A} dengan U = {i Z i 0 mod 15 }. Dengan diberikannya fungsi f, didefinisikan fungsi negasi ~ f : U {H, A} dengan H, jika A ~ f ( i ) = { A, jika H Dari definisi, fungsi f merupakan fungsi HA-fisibel jika f memenuhi 1 i, j U, i = j mod 15 yang berimplikasi f ( i ) = f ( j ), dan

22 12 2 i U, f ( i ) = ~f ( i). Sebagai contoh, untuk i = 1, maka nilai j yang memenuhi yaitu 14. Untuk i = 2, maka nilai j yang memenuhi yaitu 13, dan seterusnya. merupakan hasil kali Cartesius atau perkalian himpunan {H,A} sebanyak 15 kali. Jadi, untuk n = 16, HA-fisibel akan terpenuhi jika: 1. f (1) = f ( 14) f (2) = f ( 13) f (3) = f ( 12) f (4) = f ( 11) f (5) = f ( 10) 2. f (1) = ~f ( 1) f (2) = ~f ( 2) f (3) = ~f ( 3) f (4) = ~f ( 4) f (5) = ~f ( 5) f (6) = f ( 9) f (7) = f ( 8) f (8) = f ( 7) f (9) = f ( 6) f (10) = f ( 5) f (6) = ~f ( 6) f (7) = ~f ( 7) f (8) = ~f ( 8) f (9) = ~f ( 9) f (10) = ~f ( 10) f (11) = f ( 4) f (12) = f ( 3) f (13) = f ( 2) f (14) = f ( 1) f (11) = ~f ( 11) f (12) = ~f ( 12) f (13) = ~f ( 13) f (14) = ~f ( 14) Untuk membangun pola home away secara lengkap, didefinisikan sebuah pola home away dari Tim 15 dengan barisan (r 0,r 1,...,r 14 ) {H,A} 15 ({H,A} 15 merupakan hasil kali Cartesius atau perkalian himpunan {H,A} sebanyak 15 kali {H,A} {H,A} {H,A}... {H,A})) yang didefinisikan sebagai berikut: 15 kali r i = { H; A; 14 ; jika i 13 dan i {0, 1,..., k 1} (mod 2k) jika i 13 dan i {k, k + 1,..., 2k 1} (mod 2k) jika i = 13. Simbol k menunjukkan banyaknya pertandingan kandang dan tandang secara berturutturut. Dalam kasus ini, misalkan diambil k = 3 sehingga dari definisi r i di atas, H; jika i 13 dan i {0, 1, 2}(mod 6) r i = { A; jika i 13 dan i {3, 4, 5}(mod 6) 14; jika i = 13. Dengan n = 16 dan k = 3, maka pola home away untuk Tim 15 menjadi HHHAAAHHHAAAHHH. Cara perhitungan pola home away untuk Tim 15 dapat dilihat pada Lampiran 3. Akibatnya, dengan diberikan fungsi HA-fisibel dan barisan tersebut dapat dibangun pola home away (HA-assignment) pada jadwal Kirkman K* sebagai berikut. Untuk setiap pasangan (t, s) T S, di slot s, tim t bermain sebanyak: 1 f (s - 2t)-game untuk t 15 dan s t t (mod 15), 2 ~r s -game untuk t 15 dan s t t (mod 15), 3 r s -game untuk t = 15. Untuk kasus t 15 dan s t t (mod 15), dapat ditulis bahwa tim t bermain sebagai f (K*(t, s) t) dengan K*(t, s) merupakan lawan dari tim t di slot s.

23 13 Fungsi Pola Home Away yang Fisibel Definisikan k fungsi HA-fisibel f 1, f 2,.., f k. k} dengan suatu barisan f yaitu (f f f )). Definisikan juga F dengan barisan (f f f * f f f dengan * merupakan unsur tengah pada F yang isinya bisa berupa unsur A atau H. Dengan n = 16, maka barisan fungsi F -nya adalah (f f f f f f f f f f f f f f Tetapkan barisan (f f f * f f f dengan langkah sebagai berikut: 1 Tetapkan barisan takhingga yang terdiri dari unsur H sebanyak k berturut-turutdan A sebanyak k berturut-turut sehingga barisannya adalah sebagai berikut: AAA A HHH H AAA A HHH H. 2 Potong barisan tersebut menjadi unsur di mana unsur k + 1 pertama adalah (A,A,A,A,H). - 3 Jika diperlukan, buat elemen pertama dan kedua menjadi A dan ganti unsur sebelum unsur terakhir dengan unsur yang sama dengan unsur terakhir. Catatan: ketika k = 3, tetapkan unsur ketiga dan keempat menjadi H. Pada karya ilmiah ini, ditetapkan k = 3 dengan n = 16. Misalkan diambil maka pada langkah 2, barisan takhingga yang telah ditetapkan pada langkah 1 dipotong sehingga menjadi 7 unsur di mana 3 unsur pertama adalah A,A,H. 3}, barisan yang diperoleh untuk setiap langkah adalah sebagai berikut: (2) HHHAAAH (3) AAHHAHH Jika langkah (3) tidak diperlukan, maka HA-fisibelnya sampai pada langkah (2) sehingga diperoleh: F 1 = HHAAAHH*AAHHHAA F 2 = HHHAAAH*AHHHAAA F 3 = AHHHAAA*HHHAAAH Dengan demikian, jadwal single round robin dengan pola home away untuk dapat dilihat pada Tabel 3. Tim yang diberikan simbol ~ menunjukkan bahwa tim di slot tersebut bertindak sebagai tuan rumah melawan tim yang berada di dalam kolom baris (angka yang dicetak tebal) sebagai tim tamu atau tandang. Sebagai contoh, pada Slot 3, Tim 0 bertanding melawan Tim 3 sebagai tuan rumah, Tim 1 bertanding melawan Tim 2 sebagai tamu, Tim 2 bertanding melawan Tim 1 sebagai tuan rumah, dan seterusnya.

24 14 Detail penghitungan penyusunan jadwal single round robin dengan pola home away dapat dilihat pada Lampiran 4. Tabel 3 Jadwal single round robin dengan pola home away Slot (Ronde) Tim ~15 ~1 ~ ~6 ~7 8 9 ~10 ~11 ~ ~15 ~2 ~ ~7 ~ ~11 ~12 ~13 2 ~13 ~ ~3 ~ ~8 ~ ~ ~13 ~14 ~0 1 2 ~15 ~4 ~ ~9 ~ ~ ~14 ~0 ~1 2 3 ~15 ~5 ~ ~ ~11 ~ ~0 ~1 ~ ~6 ~ ~12 ~ ~1 ~2 ~3 4 5 ~15 ~7 ~8 7 ~8 ~ ~13 ~ ~2 ~3 ~4 5 6 ~ ~15 ~9 ~ ~14 ~0 1 2 ~3 ~4 ~5 6 9 ~ ~10 ~ ~0 ~1 2 3 ~4 ~5 10 ~5 ~6 ~ ~11 ~ ~1 ~ ~6 ~7 ~ ~15 ~12 ~ ~2 ~3 12 ~3 ~4 5 6 ~7 ~8 ~ ~13 ~ ~4 ~5 6 7 ~8 ~9 ~ ~14 ~ ~ ~5 ~6 7 8 ~9 ~10 ~ ~15 ~ ~9 ~2 ~ ~12 ~5 ~ Penyusunan Jadwal Double Round Robin yang Fisibel Pada pembahasan sebelumnya, diperoleh jadwal single round robin dengan pola home away (lihat Tabel 3). Misalkan jadwal tersebut dinotasikan dengan X 1 (. Langkah-langkah penyusunan jadwal double round robin adalah sebagai berikut: 1 Jadwal single round robin dikonstruksi dengan menukarkan slot (ronde) pertama dengan slot (ronde) terakhir pada jadwal X 1 (misalkan dinotasikan dengan Y 1 ). 2 Jadwal Y 1 tersebut dibuat pencerminan (misalkan dinotasikan dengan 1). 3 Jadwal Y 1 dan 1 digabung menjadi satu untuk membentuk jadwal double round robin (misalkan dinotasikan dengan Z 1 ). Jika dilakukan langkah-langkah di atas, maka akan diperoleh jadwal double round robin (Z 1 ) yang dapat dilihat pada Tabel 4. Tahapan penyusunan jadwal double round robin dapat dilihat pada Lampiran 5. Angka-angka yang dicetak tebal pada Tabel 4 menunjukkan bahwa tim di slot tersebut bertindak sebagai tuan rumah melawan tim yang berada di dalam kolom baris sebagai tim tamu atau tandang. Sebagai contoh, pada Slot 0, Tim 0 bertanding melawan Tim 14 sebagai tuan rumah, pada Slot 15, Tim 0 bertanding melawan Tim 14 sebagai tamu, pada Slot 1, Tim 0 bertanding melawan Tim

25 15 1 sebagai tamu, pada Slot 16, Tim 0 bertanding melawan Tim 1 sebagai tuan rumah, dan seterusnya. Tabel 4 Jadwal double round robin Z 1 Tim Slot (Ronde) Dalam penjadwalan venue, terlebih dahulu dicari double minimum spanning tree untuk mencari sirkuit Euler yang kemudian dilanjutkan dengan mencari cycle Hamiltonnya. Double minimum spanning tree tersebut diperoleh dengan menggandakan setiap edge pada minimum spanning tree. Pada masalah ini, verteks-verteks yang digunakan (V) adalah stadion utama dari setiap tim yang mengikuti turnamen Piala Super Indonesia. Berdasarkan jarak antarstadion yang diberikan (lihat Lampiran 1), minimum spanning tree yang diperoleh dapat dilihat pada Gambar 1, sedangkan penggandaan edge-nya (double minimum spanning tree) dapat dilihat pada Gambar 2. Langkah-langkah untuk mencari minimum spanning tree nya dapat dilihat pada Lampiran 6. A B C D A B C D Penjadwalan Venue E F G H E F G H I J K L I J K L M N O P 281 M N O P 452 Gambar 1 Hasil MST 452 Gambar 2 Hasil double MST

26 16 Selanjutnya, dicari sirkuit Euler pada hasil MST yang sudah digandakan edge-nya dengan algoritme Fleury (lihat Gambar 2). Berdasarkan Gambar 2, misalkan dipilih titik awalnya (depot) adalah F. Maka, sirkuit Euler yang diperoleh dari F kembali lagi ke F adalah F-A-K-E-N-O-L-D-C-B-J-B-C-D-L-O-N-E-K-H-M-G-M-P-M-I-M-H-K-A-F. Langkah-langkah memperoleh sirkuit Euler tersebut dapat dilihat pada Lampiran 7. Dengan menghapus atau menghilangkan titik yang muncul lebih dari satu kali selain titik awal (depot), maka akan didapat cycle Hamilton dengan rutenya adalah F-A-K-E- N-O-L-D-C-B-J-H-M-G-P-I-F. Cycle Hamilton yang diperoleh dapat dilihat pada Gambar A B C D E F G H 26 I Dengan demikian, barisan verteks pada cycle Hamilton tersebut adalah (F, A, K, E, N, O, L, D, C, B, J, H, M, G, P, I) dengan F adalah titik awal atau depot, sedangkan I merupakan verteks terakhir dari rute cycle Hamilton tersebut yang pada akhirnya kembali lagi ke titik atau verteks awal F. Selanjutnya, dibuat fungsi bijektif π : T V yang menghubungkan fungsi π (i) dengan verteks pada cycle Hamilton, yaitu π (i) = v j dengan T {0,1,,15} dan j = i + mod 16) dengan. Misalkan, dipilih = 4, maka fungsi bijektifnya diperoleh sebagai berikut: π (0) = v 4 π (1) = v 5 π (2) = v 6 π (3) = v 7 π (4) = v 8 J K L M N O P Gambar 3 Hasil cycle Hamilton 33 π (5) = v 9 π (6) = v 10 π (7) = v 11 π (8) = v 12 π (9) = v 13 A = Stadion Kanjuruhan, Malang B = Gelora Sriwijaya, Palembang C = Gelora Bung Karno, Jakarta D = Jalak Harupat Soreang, Bandung E = Petrokimia Gresik, Gresik F = Kapten I Wayan Dipta, Gianyar G = Aji Imbut, Kutai H = Andi Mattalata, Makassar I = Mandala, Jayapura J = Haji Agus Salim, Padang K = Gelora Bung Tomo, Surabaya L = Gelora Bandung Lautan Api, Bandung M = Persiba, Balikpapan N = Surajaya, Lamongan O = Maguwoharjo, Sleman P = Demang Lehman, Martapura π (10) = v 14 π (11) = v 15 π (12) = v 0 v 1 π (14) = v 2 π (15) = v 3. Jika dikaitkan dengan barisan verteks pada cycle Hamilton yang telah diperoleh, maka fungsi bijektifnya adalah sebagai berikut :

27 17 π (0 π (1 π (2 π (3 π (4 N O L D C π (5) = B π (6 J π (7 H π (8 M π (9 G π (10 π (11 π (12 P I F A π (14 K π (15 E Penghitungan Nilai Total Jarak Perjalanan Selanjutnya, akan dihitung nilai total jarak perjalanan berdasarkan fungsi bijektif yang telah diberikan dengan rumus sebagai berikut: {, } d ( π(, dengan melambangkan jarak atau bobot edge antara verteks ( dengan verteks (. Rumus di atas dapat dijabarkan sehingga model matematikanya menjadi sebagai berikut: {, } d ( ( d ( ( { } t, {0, 1, 2,, 15}. Berdasarkan fungsi bijektif yang telah diberikan, total jarak perjalanan dari semua tim t, untuk t {0, 1, 2,..., 15} adalah sebesar km. Total jarak perjalanan dari setiap tim t diberikan pada tabel berikut. Tabel 5 Total jarak perjalanan setiap tim t t Total Jarak Perjalanan (km) Total

28 18 Detail penghitungan total jarak perjalanan dari setiap tim t tersebut dapat dilihat pada Lampiran 8. Jika dihubungkan verteks venue (stadion) dengan tim yang memiliki venue (stadion) tersebut, maka terbentuklah jadwal pertandingan dengan tim yang sebenarnya, bukan tim imajinasi (imaginary team) lagi. Jadwal pertandingan dengan tim yang sebenarnya dapat dilihat pada Lampiran 9. Hubungan Edge dengan Jadwal Double Round Robin beserta Klasifikasi Edge Pada bab Tinjauan Pustaka telah dijelaskan mengenai keterkaitan edge dengan jadwal double round robin dan klasifikasi edge-nya. Sebagai contoh, untuk t = 4, maka graf G 1 yang hanya terdiri dari edge E 4 (1) dapat dilihat pada Gambar 4. Untuk graf G 1 dengan himpunan partisi edge E t (1) dengan t yang lainnya dapat dilihat pada Lampiran Gambar 4 Graf G 1 dengan E 4 (1) Edge pada Gambar 4 dapat dituliskan dalam himpunan E 4 (1) = {(4,10), (10,4), (4,14), (14,0), (0,1), (1,4), (4,15), (15,5), (5,6), (6,4), (4,11), (11,4), (4,12), (12,13), (13,4), (4,2), (2,3), (3,4), (4,7), (7,8), (8,9), (9,4)}. Himpunan edge partisi dengan t yang lainnya dapat dilihat pada Tabel 6, sedangkan pengklasifikasian edge-nya yang dikaitkan dengan jadwal double round robin Z 1 dapat dilihat pada Lampiran 11. Tabel 6 Himpunan partisi edge E t (1) untuk setiap t t E t (1) 0 {(0,1), (1,2), (2,0), (0,6), (6,7), (7,0), (0,10), (10,11), (11,12), (12,0), (0,15), (15,14), (14,0), (0,3), (3,4), (4,5), (5,0), (0,8), (8,9), (9,0), (0,13), (13,0)} 1 {(1,13), (13,1), (1,15), (15,2), (2,3), (3,1), (1,7), (7,8), (8,1), (1,11), (11,12), (12,1), (1,0), (0,1), (1,4), (4,5), (5,6), (6,1), (1,9), (9,10), (10,1), (1,14)} 2 {(2,12), (12,14), (14,2), (2,3), (3,4), (4,2), (2,8), (8,9), (9,2), (2,13), (13,2), (2,0), (0,1), (1,15), (15,2), (2,5), (5,6), (6,7), (7,2), (2,10), (10,11), (11,2)} 3 {(3,13), (13,14), (14,0), (0,3), (3,15), (15,4), (4,5), (5,3), (3,9), (9,10), (10,3), (3,11), (11,3), (3,1), (1,2), (2,3), (3,6), (6,7), (7,8), (8,3), (3,12)} 4 {(4,10), (10,4), (4,14), (14,0), (0,1), (1,4), (4,15), (15,5), (5,6), (6,4), (4,11), (11,4), (4,12), (12,13), (13,4), (4,2), (2,3), (3,4), (4,7), (7,8), (8,9), (9,4)}

29 19 Tabel 6 Himpunan partisi edge E t (1) untuk setiap t (lanjutan) t E t (1) 5 {(5,11), (11,12), (12,5), (5,0), (0,1), (1,2), (2,5), (5,6), (6,7), (7,5), (5,9), (9,5), (5,13), (13,14), (14,5), (5,3), (3,4), (4,15), (15,5), (5,8), (8,10)} 6 {(6,8), (8,6), (6,12), (12,13), (13,6), (6,1), (1,2), (2,3), (3,6), (6,15), (15,7), (7,6), (6,10), (10,11), (11,6), (6,14), (14,0), (0,6), (6,4), (4,5), (5,6), (6,9)} 7 {(7,15), (15,9), (9,7), (7,13), (13,14), (14,7), (7,2), (2,3), (3,4), (4,7), (7,8), (8,7), (7,10), (10,11), (11,12), (12,7), (7,0), (0,1), (1,7), (7,5), (5,6), (6,7)} 8 {(8,15), (15,9), (9,10), (10,8), (8,14), (14,0), (0,8), (8,3), (3,4), (4,5), (5,8), (8,6), (6,8), (8,11), (11,12), (12,13), (13,8), (8,1), (1,2), (2,8), (8,7)} 9 {(9,5), (5,9), (9,10), (10,11), (11,9), (9,0), (0,1), (1,9), (9,4), (4,6), (6,9), (9,7), (7,8), (8,15), (15,9), (9,12), (12,13), (13,14), (14,9), (9,2), (2,3), (3,9)} 10 {(10,6), (6,7), (7,10), (10,11), (11,12), (12,10), (10,1), (1,2), (2,10), (10,5), (5,4), (4,10), (10,8), (8,9), (9,15), (15,10), (10,13), (13,14), (14,0), (0,10), (10,3), (3,10)} 11 {(11,3), (3,11), (11,6), (6,7), (7,8), (8,11), (11,15), (15,12), (12,13), (13,11), (11,2), (2,11), (11,5), (5,11), (11,9), (9,10), (10,11), (11,14), (14,0), (0,1), (1,11), (11,4)} 12 {(12,4), (4,12), (12,7), (7,8), (8,9), (9,12), (12,13), (13,14), (14,12), (12,3), (3,2), (2,12), (12,5), (5,6), (6,12), (12,10), (10,11), (11,15), (15,12), (12,0), (0,1), (1,12)} 13 {(13,4), (4,5), (5,13), (13,8), (8,9), (9,10), (10,13), (13,14), (14,0), (0,13), (13,1), (1,3), (3,13), (13,6), (6,7), (7,13), (13,11), (11,12), (12,15), (15,13), (13,2)} 14 {(14,0), (0,14), (14,5), (5,6), (6,14), (14,9), (9,10), (10,11), (11,14), (14,15), (15,1), (1,14), (14,2), (2,3), (3,4), (4,14), (14,7), (7,8), (8,14), (14,12), (12,13), (13,14)} 15 {(15,9), (9,2), (2,10), (10,15), (15,12), (12,5), (5,13), (13,15), (15,7), (7,8), (8,1), (1,15), (15,3), (3,11), (11,4), (4,15), (15,6), (6,14), (14,0)} SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Pada masalah penjadwalan pertandingan sepak bola, jarak perjalanan dari setiap tim ke kandang tim lawan untuk bertanding selama satu kompetisi penuh diformulasikan sebagai jumlah total dari panjang edge partisi untuk setiap tim yang berkaitan dengan jadwal double round robin berdasarkan fungsi bijektif yang digunakan. Traveling Tournament Problem dapat diselesaikan dengan algoritme heuristik. Tahapan dalam menyelesaikan traveling tournament problem ialah membuat jadwal single round robin, membuat jadwal double round robin yang fisibel, dan membuat penjadwalan venue. Pada penjadwalan venue, digunakan double minimum spanning tree untuk mencari cycle Hamilton di mana double minimum spanning tree tersebut

30 20 merupakan hasil minimum spanning tree yang digandakan edge-nya sehingga diperoleh hasil total jarak perjalanan 16 tim adalah km. Saran Penyelesaian Traveling Tournament Problem dengan menggunakan algoritme heuristik dengan salah satunya ialah menggunakan double minimum spanning tree belum sepenuhnya menghasilkan nilai total jarak perjalanan semua tim yang minimum atau optimal, disarankan untuk menggunakan algoritme Christofides atau algoritme lainnya jika ada yang ingin menyelesaikan Traveling Tournament Problem ini agar diperoleh nilai total jarak perjalanan semua tim yang optimal atau minimum. DAFTAR PUSTAKA Andreescu T, Andrica D, Feng Z Number Theory Problem: From the Training of the USA IMO Team. Boston (US): Birkhauser. Bondy AJ, Murty RS Graph Theory. New York (US): Springer. Chartrand G Introductory Graph Theory. New York (US): Dover Publications, Inc. Chartrand G, Lesniak L, Zhang P Graphs & Digraphs Ed ke-6. New York (US): CRC Press. Chartrand G, Oellermann OR Applied and Algorithmic Graph Theory. New York (US): McGraw-Hill. Foulds LR Graph Theory Applications. New York (US): Springer-Verlag. Gross LJ, Yellen J Handbook of Graph Theory. New York (US): CRC Press. Nemhauser G, Wolsey L Integer and Combinatorial Optimization. New York (US): Wiley-Interscience. Ribeiro CC Sports scheduling: problems and applications. International Transactions in Operational Research. 19(1-2): doi: /j x. Suyanto Artificial Intelligence: Searching, Reasoning, Planning and Learning.Bandung (ID) : Informatika. Trick M Integer and constraint programming approaches for round robin tournament scheduling. In: E. Burke and P. De Causmaecker (eds.), PATAT. Lecture Notes in Computer Science : Springer. Yamaguchi D, Imahori S, Miyashiro R, Matsui T An improved approximation algorithm for the traveling tournament problem.in : Algorithmica. 61: doi: /s

31 21 Lampiran 1 Jarak antarstadion (km) A B C D E F G H I J K L M N O P A B C D E F G H I J K L M N O P A = Kanjuruhan, Malang B = Gelora Sriwijaya, Palembang C = Gelora Bung Karno, Jakarta D = Jalak Harupat Soreang, Bandung E = Petrokimia Gresik, Gresik F = Kapten I Wayan Dipta, Gianyar G = Aji Imbut, Kutai H = Andi Mattalata, Makassar I = Mandala, Jayapura J = Haji Agus Salim, Padang K = Gelora Bung Tomo, Surabaya L = Gelora Bandung Lautan Api, Bandung M = Persiba, Balikpapan N = Surajaya, Lamongan O = Maguwoharjo, Sleman P = Demang Lehman, Martapura