PENENTUAN RUTE PENDISTRIBUSIAN MINUMAN RINGAN MENGGUNAKAN METODE HEURISTIK RIZKY NOVALIA SARY

Transkripsi

1 PENENTUAN RUTE PENDISTRIBUSIAN MINUMAN RINGAN MENGGUNAKAN METODE HEURISTIK RIZKY NOVALIA SARY DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 213

2 ABSTRAK RIZKY NOVALIA SARY. Penentuan Rute Pendistribusian Minuman Ringan Menggunakan Metode Heuristik. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan PRAPTO TRI SUPRIYO. Pendistribusian barang merupakan salah satu bagian penting dari kegiatan sebuah perusahaan. Pendistribusian barang harus dilakukan secara efektif dan efisien. Dalam karya ilmiah ini, masalah yang dibahas ialah pendistribusian minuman ringan dengan dua aktivitas yang meminimumkan biaya pendistribusian. Aktivitas yang dilakukan ialah pengiriman barang (delivery) dari depot ke pelanggan dan pengambilan barang (pick-up) dari pelanggan. Metode yang digunakan ialah Nearest Neighbour Heuristic, Petal Heuristic, dan beberapa metode lain sebagai metode perbaikan. Metode-metode perbaikan yang digunakan ialah metode 2-opt, metode 3-opt, metode 2-interchange terbatas, dan penggabungan rute. Hasil studi kasus menunjukkan bahwa semakin banyak metode perbaikan yang dilakukan, maka rute yang diperoleh semakin baik. Kata kunci: Heuristik, Nearest Neighbour Heuristic, Petal Heuristic, rute pendistribusian

3 ABSTRACT RIZKY NOVALIA SARY. Determination of Soft-drink Distribution Route Using Heuristic Methods. Supervised by FARIDA HANUM and PRAPTO TRI SUPRIYO. Distribution of goods is one important part in marketing activities. Therefore, it should be done effectively and efficiently. In this article, the study is focused on soft-drink distribution in order to minimize distribution cost, which includes two activities, i.e. delivery and pick-up. The methods used are nearest neighbour heuristic, petal heuristic and some other methods for route improvement. The methods for route improvement are 2-opt method, 3-opt method, restricted 2- interchange, and route merge methods. The study case results show that the more improvements are given, the better route will be obtained. Keywords: Heuristic methods, Nearest Neighbour, Petal, distribution route

4 PENENTUAN RUTE PENDISTRIBUSIAN MINUMAN RINGAN MENGGUNAKAN METODE HEURISTIK RIZKY NOVALIA SARY Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 213

5 Judul Skripsi Nama NIM : Penentuan Rute Pendistribusian Minuman Ringan Menggunakan Metode Heuristik : Rizky Novalia Sary : G6886 Menyetujui Pembimbing I, Pembimbing II, Dra. Farida Hanum, M.Si. NIP: Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. NIP: Mengetahui Ketua Departemen Matematika Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP: Tanggal Lulus:

6 PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt atas berkat, rahmat dan kasih sayang-nya sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai kendala dialami oleh penulis sehingga banyak sekali orang yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Sang pencipta, Tuhan semesta alam Allah swt, atas maha karya-nya yaitu bumi yang sempurna ini, 2. keluarga tercinta: ayah dan ibu sebagai pemberi motivasi, untuk saudara-saudaraku Irra, Trisna, Roy, Minda, Jerry, Agri, Ulfa, dan Jihan yang selalu memberikan semangat dan doa, 3. Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan pikiran dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa,. Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu, kritik dan saran, motivasi serta doanya,. Drs. Siswandi, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran dan doanya, 6. semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan, 7. staf Departemen Matematika, terima kasih atas bantuan yang telah diberikan selama ini, 8. semua teman Matematika 3 yang selalu menjadi bagian dari keluarga, 9. semua teman Matematika yang selalu mendukung agar terus berkembang, 1. Gumatika yang telah mengasah pribadi ini menjadi pribadi yang tangguh, 11. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya. Bogor, Januari 213 Rizky Novalia Sary

7 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Palembang pada tanggal 1 November 1987 sebagai anak kelima dari sembilan bersaudara, anak dari pasangan Syahril dan Irmawati. Pada tahun 2 penulis lulus dari SD Polisi Bogor kemudian tahun 23 lulus dari SLTP Negeri 6 Bogor. Tahun 26 penulis lulus dari SMA Negeri Bogor dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB). Pada tahun 27, penulis memilih jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus 2 tahun ajaran 28/29. Penulis juga aktif dalam mengajar Matematika bimbingan belajar privat maupun kelompok mahasiswa. Penulis pernah mengikuti seleksi olimpiade nasional Matematika dan IPA (ON-MIPA) sebagai wakil IPB pada tahun 29. Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan di kampus, seperti organisasi himpunan profesi Departemen Matematika yang dikenal dengan GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai anggota Kesekretariatan tahun 28/29. Selain itu, penulis juga terlibat dalam beberapa kegiatan, antara lain Komisi Disiplin MPKMB (Masa Perkenalan Kampus Mahasiswa Baru) tahun 27, Bendahara panitia Try-Out Pengantar Matematika mahasiswa IPB 27, koordinator Konsumsi Matematika Ria dalam acara Pesta Sains se-indonesia 29.

8 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR... viii DAFTAR TABEL... DAFTAR LAMPIRAN... ix ix I II III IV V PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tujuan Penulisan... 1 LANDASAN TEORI 2.1 Graf dan Digraf Metode Heuristik Nearest Neighbour Heuristic Metode 2-Opt Metode λ-interchange Terbatas Masalah Pemartisian Himpunan... PEMBAHASAN 3.1 Deskripsi Masalah Langkah-langkah Penyelesaian Secara Umum Petal Heuristic Tahap Perbaikan... 7 APLIKASI PERMASALAHAN.1 Konstruksi Rute dari Setiap Metode Heuristik Konstruksi rute dengan Nearest Neighbour Heuristic (NNH) Konstruksi rute Petal Heurstic (PH) Tahap Perbaikan Rute dari Setiap Heuristik Perbaikan Rute NNH Tahap Perbaikan PH Hasil... 1 SIMPULAN DAN SARAN.1 Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN vii

9 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Graf G = (V,E) Graf berarah D = (V,A) Graf berbobot... 2 Adjacent dan incident... 2 Rute yang dibentuk NNH Ilustrasi metode 2-opt Contoh metode 2-opt dengan jarak awal 11 satuan menjadi 1 satuan Rute awal Contoh Ilustrasi metode 2-pemindahan verteks... 1 Ilustrasi metode 2-penukaran verteks Rute Iterasi 3 Kendaraan 1 Tipe 2 pada NNH Rute Iterasi 3 Kendaraan 1 Tipe 2 pada NNH dengan melakukan prosedur 2-opt Rute awal tiap iterasi pada metode NNH pemindahan verteks antara Iterasi 1 dan Iterasi pemindahan verteks antara Iterasi 2 dan Iterasi Rute awal yang dihasilkan pada metode PH penukaran verteks antara Rute e 2 dan Rute e Rute hasil NNH Rute hasil NNH perbaikan Rute hasil PH Rute hasil PH perbaikan Rute awal Iterasi 1 PH kendaraan Tipe 2 dengan jarak tempuh 1.88 km Pengaplikasian metode 2-opt pada Iterasi 1 PH kendaraan Tipe Rute awal Iterasi 1 PH kendaraan Tipe 3 dengan jarak tempuh 1.88 km Pengaplikasian metode 2-opt pada Iterasi 1 PH kendaraan Tipe Rute awal Iterasi 2 PH kendaraan Tipe 3 dengan jarak tempuh 32. km Pengaplikasian metode 2-opt pada Iterasi 2 PH kendaraan Tipe Rute hasil 1-penukaran verteks antara rute Iterasi 1 dan rute Iterasi 2 pada NNH Rute hasil 1-pemindahan verteks antara rute Iterasi 1 dan rute Iterasi 3 pada NNH Rute hasil 1-penukaran verteks antara rute Iterasi 1 dan rute Iterasi 3 pada NNH Rute Hasil 1-pemindahan verteks antara rute Iterasi 1 dan rute Iterasi pada NNH Rute hasil 2-pemindahan verteks antara rute Iterasi 1 dan rute Iterasi pada NNH 2 33 Rute hasil 1-pemindahan verteks antara rute Iterasi 2 dan rute Iterasi 3 pada NNH Rute hasil 1-penukaran verteks antara rute Iterasi 2 dan rute Iterasi 3 pada NNH 2 3 Rute hasil 1-pemindahan verteks antara rute Iterasi 2 dan rute Iterasi pada NNH 2 36 Rute hasil 3-opt pada rute e Rute hasil 2-penukaran verteks antara rute e 2 dan rute e Rute hasil 2-penukaran verteks antara rute e 2 dan rute e viii

10 DAFTAR TABEL Halaman 1 Jarak antarpelanggan pada Contoh Data permintaan di setiap pelanggan Data tiap tipe kendaraan... 8 Data jarak antarpelanggan... 8 Rute Iterasi 1 Kendaraan 1 Tipe 1 dengan NNH (kapasitas 2 krat) Rute Iterasi 2 Kendaraan 2 Tipe 1 dengan NNH (kapasitas 2 krat) Rute Iterasi 3 Kendaraan 1 Tipe 2 dengan NNH (kapasitas 3 krat) Rute Iterasi Kendaraan 2 Tipe 2 dengan NNH (kapasitas 3 krat) Rute Iterasi kendaraan Tipe 3 dengan NNH (kapasitas krat) Rute-rute hasil pembatasan 2-interchange pada NNH Biaya perbaikan NNH Rute-rute hasil pembatasan 2-interchange pada PH Biaya PH perbaikan Data jarak dan biaya tiap heuristik Biaya pendistribusian dengan mempertimbangkan aktivitas pick-up... 1 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Program LINGO 11. pada contoh masalah pemartisian himpunan Program LINGO 11. pada contoh masalah pemartisian himpunan yang diperumum Semua kemungkinan metode 2-opt pada rute (,1,,9,2,) Semua kemungkinan metode 2-opt pada rute (,1,,9,2,)... 2 Semua kemungkinan metode 2-opt pada rute (,,3,8,) Program LINGO 11. pada aplikasi masalahan pemartisian himpunan yang diperumum Metode Pembatasan 2-interchange untuk Iterasi 1 pada NNH Metode Pembatasan 2-interchange untuk Iterasi 2 pada NNH Semua kemungkinan metode 3-opt pada metode PH Metode Pembatasan 2-interchange untuk e 2 pada PH Biaya yang dikeluarkan dengan mempertimbangkan pick-up ix

11 1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Suatu perusahaan produksi perlu melakukan pendistribusian barang yang diproduksinya agar permintaan dapat sampai ke konsumen. Pendistribusian yang dilakukan haruslah dilakukan secara efektif dan efisien. Selain itu, perusahaan juga harus memperhatikan waktu dan biaya yang dikeluarkan. Oleh karena itu, diperlukan solusi yang tepat untuk menentukan banyaknya kendaraan yang dibutuhkan serta rute yang dipilih agar biaya pendistribusian minimum. Pada karya ilmiah ini akan dibahas masalah pendistribusian minuman ringan. Pada pendistribusian minuman ringan ini terdapat dua aktivitas yaitu pengiriman barang (delivery) yang diambil dari depot dan pengambilan barang (pick-up) dari lokasi pelanggan kembali ke depot. Barang yang dikirim merupakan minuman ringan dalam botol, dan barang yang diambil adalah botol kosong bekas minuman yang selanjutnya dapat dijual ke perusahaan pendaur ulang. Permasalahan pendistribusian minuman ringan ini akan diselesaikan menggunakan metode heuristik. Metode-metode yang digunakan antara lain Nearest Neighbour heuristic (NNH) dan Petal Heuristic (PH). Sumber utama karya ilmiah ini ialah artikel yang berjudul Solving a vehicle routing problem arising in soft drink distribution yang disusun oleh Prive dan kawan-kawan pada tahun Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini ialah penentuan rute pendistribusian barang yang meminimumkan biaya dengan metode heuristik. II LANDASAN TEORI 2.1 Graf dan Digraf Definisi 1 (Graf) Suatu graf G adalah pasangan terurut (V,E) dengan V, biasa disebut V(G), adalah himpunan berhingga dan takkososng dari elemen graf yang disebut verteks (vertex, point), sedangkan E, biasa disebut E(G), ialah himpunan pasangan yang menghubungkan dua elemen subset dari V yang disebut sisi (edge, line). Setiap sisi {u,v} pada V biasanya dinotasikan dengan uv atau vu. Banyaknya verteks dari suatu graf disebut order dan banyaknya sisi pada suatu graf disebut size. (Chartrand & Zhang 29) G : u w Pada Gambar 1 diperlihatkan bahwa V = {u,v,w,x,y,z} dan E = {{u,v},{v,w},{v,x},{x,y}}. v Gambar 1 Graf G = (V, E). Definisi 2 (Graf Berarah/Digraf) Graf berarah (digraph) D adalah pasangan terurut (V,A) dengan V himpunan takkosong x y berhingga dan A himpunan pasangan terurut yang menghubungkan elemen-elemen di V. Elemen-elemen dari A disebut sisi berarah (arc). Sisi berarah (u,v) dinyatakan dengan garis berarah dari u ke v. (Chartrand & Zhang 29) D : v w Gambar 2 Graf berarah D = (V, A). Pada Gambar 2 diperlihatkan bahwa V={u,v,w,x} dan A={(v,w),(u,w),(w,x)}. Definisi 3 (Graf/Digraf Berbobot) Suatu graf G = (V,E) atau digraf D = (V,A) dikatakan berbobot jika terdapat sebuah fungsi w : E R atau l : A R (dengan R adalah himpunan bilangan real) yang memberikan sebuah bilangan real pada setiap sisi di E atau sisi berarah A yang disebut bobot. Bobot dari sisi berarah uv A atau {u,v} E dinotasikan dengan w uv. (Foulds 1992) u x

12 2 u Bobot tiap sisi untuk graf pada Gambar 3 adalah w uv =1, w vz =23, w zx =9, w vx =72. Definisi (Adjacent dan Incident) Untuk suatu sisi e = uv, verteks u dan verteks v disebut berhubungan (incident) dengan sisi e, dan verteks u dikatakan berdampingan (adjacent) dengan verteks v. (Foulds 1992) G : u v e 2 x 23 z 1 72 v Gambar 3 Graf berbobot. e 3 e 1 e Gambar Adjacent dan incident. Ilustrasi adjacent dan incident diperlihatkan pada Gambar. Verteks u adjacent dengan verteks v dan x namun verteks u tidak adjacent dengan verteks w. Verteks u incident dengan sisi e 1 namun tidak incident dengan e. Definisi (Jalan/Walk) Walk W pada suatu graf G adalah barisan berhingga W = v i e j v i+1 e j+1...e k v m atau W = v i - v i v m yang dimulai dari suatu verteks dan berakhir pada suatu verteks juga sehingga setiap sisi dalam barisan harus incident dengan verteks sebelum dan sesudahnya. (Chartrand & Zhang 29) W = ue 2 xe we ve 3 x pada Gambar adalah walk pada graf G. Definisi 6 (Walk Tertutup) Walk pada suatu graf G dikatakan tertutup (closed) jika walk tersebut dimulai dan diakhiri pada verteks yang sama. (Chartrand & Zhang 29) 2.2 Metode Heuristik Metode heuristik merupakan metode yang dirancang untuk menyelesaikan suatu masalah dalam skala besar dan rumit dengan cara 9 w e x komputasi moderat agar menghasilkan solusi yang fisibel. (Grötschel 1982) Solusi yang dihasilkan oleh metode heuristik tidak dijamin optimal namun hanya mampu mendekati solusi yang optimal saja dan waktu pencarian yang relatif lebih cepat bila dibandingkan dengan metode riset operasi pada umumnya karena membuang kemungkinan-kemungkinan yang sepertinya bukan merupakan solusi. Pada umumnya terdapat tahapan-tahapan penyelesaian VRP dengan metode heuristik, yaitu: i. penentuan rute, ii. perbaikan solusi/rute. Pada penelitian ini metode nearest neighbour heuristic akan digunakan untuk mencari solusi pada fase pertama. Selanjutnya metode 2-opt, metode 3-opt, metode pembatasan 2-interchange, dan metode penggabungan rute digunakan untuk memperbaiki solusi yang telah ada. Metodemetode tersebut akan dijelaskan pada bagian berikut ini Nearest Neighbour Heuristic (NNH) Metode nearest neighbour heuristic (NNH) adalah suatu metode penentuan rute dengan memilih suatu verteks awal kemudian memilih verteks selanjutnya dengan verteks yang belum dipilih dan terdekat dari verteks sebelumnya. (Grötschel 1982) Berikut ini akan ditampilkan contoh penerapan NNH. Contoh 1 Misalkan suatu perusahaan mempunyai 1 depot (gudang) yang dinyatakan dengan pelanggan, dan 3 pelanggan. Jarak antarpelanggan diberikan pada Tabel 1. Tabel 1 Jarak antarpelanggan pada contoh 1 Pelanggan Dengan menggunakan metode NNH, rute dimulai dari depot (pelanggan ) kemudian mengunjungi pelanggan 2 (karena jaraknya terdekat dari depot), kemudian mengunjungi pelanggan 1, selanjutnya ke pelanggan 3 setelah itu kembali ke depot, seperti yang terlihat pada Gambar.

13 3 depot 3 3 Gambar Rute yang dibentuk NNH Metode 2-Opt Pada dasarnya metode 2-opt dilakukan dengan memindahkan dua sisi pada rute yang ada, kemudian menghubungkan kembali sisi tersebut dengan pasangan konsumen yang berbeda sedemikian sehingga rute baru yang dihasilkan lebih baik daripada rute awal (Nilsson 23). Algoritme yang digunakan adalah sebagai berikut: i. tentukan satu rute untuk satu kendaraan, ii. hapus 2 sisi yang menghubungkan konsumen yang berbeda, iii. hubungkan kembali keempat konsumen dengan pasangan yang berbeda, iv. jika biaya berkurang dan tidak melanggar kendala yang ada kembali ke langkah (ii), v. selesai. (ILOG 22) Gambar 6 Ilustrasi metode 2-opt Gambar 7 Contoh metode 2-opt dengan jarak awal 11 satuan menjadi 1 satuan. Rute yang dihasilkan dapat disebut sebagai 2-optimal atau 2-opt, jika metode 2-opt digunakan pada setiap rute yang ada sampai tidak dimungkinkan lagi penggunaan metode tersebut Metode n-opt serupa dengan metode 2-opt, tetapi banyaknya sisi yang dapat dihapus dan ditambahkan sebanyak n sisi. (Nilsson 23) Metode λ -interchange Terbatas Metode λ-interchange terdiri dari dua metode yaitu metode λ-penukaran atau metode λ-pemindahan. Metode λ-penukaran dilakukan dengan menukarkan (saling memberi) verteks yang dimiliki dengan verteks lain maksimal sebanyak λ dan berurutan, dengan tetap memperhatikan kapasitas yang dimiliki. Sedangkan Metode λ-pemindahan dilakukan dengan memberikan atau mendapatkan verteks maksimal sebanyak λ dan berurutan dari rute lain. Metode λ- interchange yaitu pengombinasian antara metode λ-penukaran verteks atau metode λ- pemindahan verteks pada dua buah rute dengan mengupayakan semua kemungkinan yang ada guna menemukan rute terbaik. Metode 2-interchange terbatas adalah pemindahan dan penukaran verteks paling banyak dua verteks berurutan. (Prive 26) Contoh 2 Misalkan terdapat 2 rute yaitu Rute 1 melewati verteks 1, verteks 2, verteks 3, verteks, dan kembali ke verteks 1. Rute 2 melewati verteks, verteks 6, verteks 7, verteks 8, dan kembali ke verteks Gambar 8 Rute awal Contoh 2. Jika rute-rute pada Gambar 8 dilakukan λ- pemindahan verteks maka salah satu rute akan kehilangan verteks dan lainnya akan bertambah. Seperti terlihat pada Gambar 9, Rute 1 akan kehilangan verteks 3 pada 1- pemindahan verteks, sedangkan pada 2- pemindahan kehilangan verteks 2 dan verteks 3. Pada 2-pemindahan verteks, verteks yang berpindah harus 2 verteks yang berurutan dan susunan urutannya dapat diubah.

14 Contoh rute dengan 1-pemindahan verteks Contoh rute dengan 2-pemindahan verteks Gambar 9 Ilustrasi metode 2-pemindahan verteks. Sedangkan jika rute pada Gambar 8 dilakukan metode λ-penukaran verteks maka banyaknya verteks pada setiap rute akan tetap. Pada 1-penukaran verteks, verteks 2 pada Rute 1 menjadi bagian dari Rute 2 sebagai gantinya verteks 6 menjadi bagian dari Rute 1. Begitu pula dengan 2-penukaran verteks, yang membedakan hanyalah banyaknya verteks yang bertukar masing-masing sebanyak 2 verteks yang berurutan. Contoh λ-penukaran verteks dapat dilihat pada Gambar Contoh rute dengan 1-penukaran verteks Contoh rute dengan 2-penukaran verteks Gambar 1 Ilustrasi metode 2-penukaran verteks. 2.3 Masalah Pemartisian Himpunan Masalah pemartisian himpunan juga diperlukan dalam karya ilmiah ini. Definisi 7 (Partisi) Misalkan diberikan dua himpunan, yaitu I={1,2,...,m} dan P = {P 1,P 2,...,P n } dengan P j adalah suatu himpunan bagian dari I, j J = {1,2,...,n}. Himpunan P j, partisi dari I jika: * * jj P j I dan * j J J adalah untuk j, k J, j k P P. j k (Garfinkel & Nemhauser 1972) Ilustrasi dari suatu partisi dapat dilihat pada contoh berikut: Contoh 3 Misalkan diberikan himpunan I={1,2,3,,,6} dan kelas-kelas himpunan P 1 ={1,2}, P 2 ={3}, P 3 ={,6}, P ={1,,}, P ={2,3,6}. Partisi dari I di antaranya ialah {P,P }, karena untuk himpunan J * ={,} memenuhi: * jj P j I dan * j k J j k P P,,. j k Sedangkan yang bukan partisi dari I ialah {P 1,P 2,P 3 }, karena gabungannya bukan I. Masalah pemartisian himpunan (set partitioning problem/spp) adalah masalah menentukan partisi dari himpunan I dengan biaya minimum. Untuk mendapatkan partisi tersebut, misalkan dengan menggunakan data sebelumnya, P j ={P,P }, 1, jika j termasuk dalam partisi x j, lainnya 1, jika elemen i terdapat pada P j a ij, lainnya dengan P j adalah kelas himpunan c j adalah biaya dari P j. Bentuk umum SPP: min n cjxj j1 terhadap kendala n j 1 a x 1 i 1, 2,..., m ij j x j = atau 1 (1) a ij = atau 1 Model ini memiliki beberapa sifat penting yaitu: Sifat 1 : Masalah pada model ini memiliki kendala berbentuk persamaan. Sifat 2 : Nilai sisi kanan semua kendala adalah 1. (Garfinkel & Nemhauser 1972)

15 Contoh Masalah pemartisian himpunan Misalkan diberikan himpunan I beserta kelas-kelas P seperti pada Contoh 3. Misalkan diketahui biaya dari setiap kelas P j yaitu c j, dengan c 1 =1, c 2 =1, c 3 =19, c =18, c =17. Diinginkan himpunan dari P j yang dapat memartisi I dengan biaya minimum. Masalah tersebut dapat dimodelkan sebagai masalah pemartisian himpunan Min 1x 1 + 1x x x + 17x terhadap kendala x 1 + x = 1 x 1 + x = 1 x 2 + x = 1 x 3 + x = 1 x = 1 x 3 + x = 1 x j = atau 1, untuk j {1,2,3,,}. Kendala-kendala masalah tersebut dapat dituliskan dalam perkalian matriks AX=1, dengan 1 1 A ( a ij ) x 6 x1 x 2 1 x, X 1 x 1 x 1 Dengan menggunakan LINGO 11. diperoleh solusi untuk masalah SPP sebagai berikut: x 1 =x 2 =x 3 =, x =x =1, dan nilai fungsi objektif sebesar 3 (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 1). Jadi partisi dari I={1,2,3,,,6} dengan biaya minimum adalah P ={1,,} dan P ={2,3,6}. Jika SPP (1) ditambahkan kendala MX B, dengan M dan B adalah kendala tambahan yang diinginkan, maka masalah tersebut dikatakan Masalah Pemartisian Himpunan yang Diperumum (generalized set partitioning problem/gspp). (Yen & Birge 26) Contoh Masalah pemartisian himpunan yang diperumum Misalkan diberikan himpunan I beserta kelas-kelas P seperti pada Contoh 3 dan n n dengan menambahkan kendala x j j 1 2 pada contoh SPP maka GSPP dapat dimodelkan Min 1x 1 + 1x x x + 17x terhadap kendala x 1 + x = 1 x 1 + x = 1 x 2 + x = 1 x 3 + x = 1 x = 1 x 3 + x = 1 x x x x x x j = atau 1, untuk j {1,2,3,,}. Dengan menggunakan LINGO 11. diperoleh solusi untuk masalah GSPP sebagai berikut: x 1 =x 2 =x 3 =, x =x =1, dan nilai fungsi objektif sebesar 3 (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 2). III PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas deskripsi masalah dan metode-metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah pada karya ilmiah ini. 3.1 Deskripsi Masalah Masalah pada pendistribusian minuman ringan ini dinyatakan sebagai sebuah graf G=(V,A), dengan V={,1,2,3,,n} adalah himpunan verteks dan A adalah himpunan sisi berarah. Verteks merupakan depot dan sisanya berupa verteks pelanggan. Pendistribusian dilakukan menggunakan beberapa tipe kendaraan yang dilihat dari kapasitas pengangkutannya dan setiap tipe kendaraan terdiri atas beberapa kendaraan. Biaya tetap kendaraan akan muncul bila kendaraan tersebut digunakan dalam pendistribusian dan biaya variabel dihitung berdasarkan jarak tempuhnya.

16 6 Pada pendistribusian ini terdapat dua aktivitas yaitu pengiriman barang (delivery) dan pengambilan barang (pick-up). Barang yang dikirim merupakan produk baru, sedangkan barang yang diambil merupakan produk daur ulang (botol kosong). Pada karya ilmiah ini, pengambilan barang (pick-up) tidak menjadi prioritas sehingga terkadang dapat diabaikan. Aktivitas ini baru menjadi perhatian saat rute optimal telah terbentuk. 3.2 Langkah-langkah Penyelesaian Secara Umum Metode yang dilakukan untuk menyelesaikan permasalahan pada karya ilmiah ini ialah: 1. Pembangkitan rute dengan metode NNH a. Pengantaran barang dimulai oleh kendaraan dengan kapasitas terkecil yang ada di depot. b. Kendaraan tersebut mengunjungi pelanggan terdekat dari depot. c. Jika kapasitas pada kendaraan masih tersedia untuk pelanggan berikutnya, maka kunjungi pelanggan terdekat dari pelanggan pertama; jika melebihi kapasitas yang tersisa, maka kendaraan dapat mengunjungi pelanggan lain yang cukup dekat dari pelanggan pertama sehingga tidak melebihi kapasitas. Lakukan hingga tidak ada lagi permintaan pelanggan yang dapat dimuat. d. Setelah seluruh permintaan didistribusikan oleh kendaraan, kemudian kendaraan tersebut kembali ke depot. e. Dengan menggunakan tipe kendaraan yang sama bangkitkan rute-rute lainnya sehingga permintaan seluruh pelanggan terpenuhi. f. Pada tipe kendaraan lainnya, lakukan hal yang sama. 2. Perbaikan rute yang telah dibangkitkan sebelumnya dengan metode 2-pt a. Biaya yang dihasilkan oleh rute-rute yang telah dibangkitkan kemudian dihitung. b. Rute diperbaiki dengan metode 2-opt dan biaya yang dihasilkan dihitung kembali. c. Jika biaya hasil metode 2-opt lebih kecil dari biaya sebelumnya, maka rute yang telah diperbaiki yang kemudian akan digunakan, jika tidak maka rute awal yang digunakan. 3. Penentuan rute yang akan digunakan dari rute-rute yang ada dengan metode PH (akan dijelaskan pada 3.2.1).. Rute yang telah ditetapkan dari metode PH diperbaiki dengan metode 3-opt, 2- interchange terbatas, dan penggabungan rute (akan dijelaskan pada 3.2.2) Petal Heuristic (PH) Petal heuristic (PH) mengonstruksi satu himpunan rute berdasarkan pada metode NNH, kemudian memilih rute yang optimal dengan menyelesaikan masalah pemartisian himpunan yang diperumum. Misalkan F adalah himpunan verteks yang digunakan sebagai verteks seed yaitu verteks awal yang dikunjungi pertama kali dari depot (verteks ) karena memiliki jarak terdekat dari depot. Misalkan U adalah himpunan konsumen yang belum dikunjungi, dan R adalah himpunan rute yang dibangkitkan. Untuk membuat rute awal PH, maka digunakanlah pencarian rute NNH beberapa kali dari sebuah verteks seed. Algoritme yang digunakan adalah sebagai berikut : 1. Inisialisasi F ={} dan R 2. Pemilihan verteks seed (i) Jika F=V maka dilanjutkan ke Langkah. Jika tidak, dipilih verteks dari V\F sebagai verteks seed selanjutnya, didefinisikan sebagai i, yaitu verteks terdekat dari depot. F {i} menjadi F, U=V\{,i}, rute (,i,) dimasukkan ke R. 3. Perluasan rute Rute diperluas dengan cara memilih sebuah verteks j yang memungkinkan untuk ditambahkan pada rute. Jika U \ F maka j dipilih dari U\F. Jika tidak, j dipilih dari F\{i}. Himpunan U diperbarui menjadi U\{j} kemudian prosedur 2-opt digunakan pada rute {,i,..,j,}, lalu hasilnya ditambahkan ke himpunan R. Lanjutkan ke Langkah 2.. Pengevaluasian rute Pada tahap ini dilakukan evaluasi pada rute dengan menugaskan kendaraan pada setiap rute serta menghitung biaya yang dikeluarkan tiap kendaraannya. E adalah himpunan pasangan rute dengan kendaraan yang digunakan. Biaya yang dikeluarkan setiap rute e sebesar π e yaitu penjumlahan biaya tetap dan biaya variabel pada rute e.. Penentuan solusi masalah pemartisian himpunan yang diperumum Misalkan didefinisikan variabel -1 sebagai berikut:

17 7 Variabel : 1, jika rute e digunakan x e, lainnya Parameter: 1, konsumen i dikunjungi di rute e ei, lainnya ek 1, rute e ditetapkan untuk tipe k, lainnya π e biaya rute e m k banyaknya kendaraan tiap tipe Fungsi objektif: min x (3.1) e e ee terhadap kendala x 1 ee ee ei e x m ek e k i I k K (3.2) (3.3) Fungsi objektif pada persamaan (3.1) adalah meminimumkan biaya kendaraan dari keseluruhan rute yang ada. Kendala (3.2) menggambarkan bahwa setiap konsumen hanya dikunjungi satu kali, sedangkan kendala (3.3) menggambarkan bahwa banyaknya rute kendaraan yang akan dilewati pada setiap kendaraan maksimal sebanyak m k Tahap Perbaikan Tahap perbaikan dilakukan pada setiap solusi dari metode yang ada yaitu NNH dan PH. Pada tahap ini dilakukan tiga langkah perbaikan guna mencapai hasil yang terbaik, yaitu prosedur 3-opt, prosedur 2-interchange terbatas, dan penggabungan rute. Setelah terbentuk rute baru dari metode 2- interchange terbatas, jika terdapat kendaraan yang dapat melayani dua rute sekaligus, maka digunakan NNH untuk menggabungkan kedua rute tersebut. Jika hasil yang diperoleh dapat menghemat biaya maka rute gabungan tersebut dapat menggantikan kedua rute tadi. IV APLIKASI PERMASALAHAN Misalkan suatu perusahaan minuman ringan dalam botol memiliki sebuah depot dan mempunyai 9 pelanggan. Permintaan tiap pelanggan berbeda-beda, serta memiliki lima kendaraan dengan tiga tipe kapasitas. Perusahaan depot merupakan tempat berawal dan berakhirnya suatu rute pendistribusian. Misalkan perusahaan menerima pesanan dari para pelanggan setiap waktunya dan mengantarkannya sesuai dengan pesanan yang diinginkan. Selain pengiriman barang pesanan, distributor juga dapat melakukan pengangkutan botol kosong di setiap pelanggan, namun pengangkutan ini hanya dilakukan bila tersedia ruang di kendaraan tersebut. Jika memungkinkan semua botol kosong pada pelanggan tersebut akan diangkut; jika tidak, hanya beberapa saja yang diangkut dengan tetap memperhatikan sisa kapasitas kendaraan. Pengangkutan botol kosong akan menghasilkan pendapatan bagi distributor sebesar.1 ribu rupiah/krat. Biaya tetap kendaraan akan muncul bila kendaraan tersebut digunakan sedangkan biaya perjalanan adalah biaya kendaraan yang bergantung pada jarak tempuh. Asumsi pengantaran dan pengoperasian pickup diatur sebagai berikut: 1. Awal dan akhir rute kendaraan adalah depot. 2. Setiap pelanggan hanya boleh dikunjungi satu kali. 3. Semua permintaan diantarkan kepada para pelanggan.. Setiap satu hari sekali kendaraan yang akan digunakan diisi di depot.. Banyaknya pelanggan yang dikunjungi oleh sebuah kendaraan harus memenuhi kendala kapasitas kendaraan. 6. Banyaknya botol kosong hasil dari pengambilan barang (pick-up) dihitung setelah rute akhir terbentuk. Berikut ini diberikan tabel mengenai permintaan pelanggan, informasi mengenai kendaraan yang dimiliki, serta jarak antarpelanggan.

18 8 Tabel 2 Data permintaan di setiap pelanggan Pelanggan Permintaan Botol minuman kosong Tabel 3 Data tiap tipe kandaraan Tipe kendaraan Kapasitas 2 3 Banyak kendaraan (buah) Biaya tetap (ribu rupiah) Biaya perjalanan 1./km 1 /km 1./km (ribu rupiah) Kecepatan (km/jam) Tabel Data jarak antarpelanggan Keterangan: menunjukkan depot sedangkan 1-9 menunjukkan pelanggan, data jarak diadaptasi dari (Raditya 29).1 Konstruksi Rute dari Setiap Metode Heuristik.1.1 Konstruksi rute dengan Nearest Neighbour Heuristic (NNH) Pada langkah ini, setiap kendaraan melakukan iterasi satu kali dilanjutkan oleh kendaraan lain hingga permintaan semua pelanggan terpenuhi. Iterasi 1: Kendaraan 1 Tipe 1 Berdasarkan Tabel, kendaraan ini mengunjungi pelanggan 1 dari depot karena jaraknya terdekat dari depot. Kapasitas yang dimiliki kendaraan sebesar 2 krat dan permintaan pelanggan 1 sebesar 17 krat, sehingga dimungkinkan untuk menambah pelanggan dalam rute kendaraan ini. Pelanggan terdekat dari pelanggan 1 ialah pelanggan dengan permintaan sebesar 17 krat. Jika pelanggan dimasukkan ke dalam rute kendaraan ini maka permintaan yang diangkut akan melebihi kapasitas. Maka dari itu, dicari pelanggan lain yang cukup dekat dengan pelanggan 1 dengan permintaan maksimal 8 krat. Berdasarkan Tabel 2, pelanggan yang mungkin dikunjungi ialah pelanggan 2, pelanggan 3, pelanggan, dan pelanggan 9. Jika dilihat pada Tabel maka pelanggan yang kunjungi selanjutnya ialah pelanggan, kemudian kendaraan kembali ke depot. Tabel Rute Iterasi 1 Kendaraan 1 Tipe 1 dengan NNH (kapasitas 2 krat) Pelanggan Permintaan Jarak (km) Sisa kapasitas Total

19 9 Sisa pelanggan = {2,3,,6,7,8,9}. Karena masih terdapat pelanggan yang belum dikunjungi maka iterasi dilanjutkan ke Iterasi 2 menggunakan kendaraan lain. Rute yang dihasilkan pada Iterasi 1 hanya memuat tiga verteks (dua pelanggan dan satu depot) sehingga tidak perlu dilakukan metode 2-opt. Biaya yang dikeluarkan pada Iterasi 1 = (26.76) = 1.1 ribu rupiah. Iterasi 2: Kendaraan 2 Tipe 1 Iterasi 2 dilakukan untuk menentukan rute selanjutnya bagi para pelanggan yang belum dikunjungi. kendaraan yang digunakan ialah Kendaraan 2 Tipe 1 dengan kapasitas 2 krat. Metode yang digunakan sama dengan metode pada Iterasi 1, tetapi pelanggan yang diamati hanya pelanggan yang belum dikunjungi pada iterasi sebelumnya. Tabel 6 Rute Iterasi 2 Kendaraan 2 Tipe 1 dengan NNH (kapasitas 2 krat) Pelanggan Permintaan Jarak (km) Sisa kapasitas Total Sisa pelanggan = {2,6,7,8,9}, dilanjutkan ke Iterasi 3. Pada Iterasi 2 verteks yang dihasilkan hanya tiga verteks maka tidak perlu dilakukan metode 2-opt. Biaya yang dikeluarkan pada Iterasi 2 = (28.) = ribu rupiah. Iterasi 3: Kendaraan 1 Tipe 2 Iterasi 3 menggunakan metode yang sama dengan iterasi-iterasi sebelumnya. Tabel 7 Rute Iterasi 3 Kendaraan 1 Tipe 2 dengan NNH (kapasitas 3 krat) Pelanggan Permintaan Jarak (km) Sisa kapasitas Total Sisa pelanggan = {6,7}, dilanjutkan ke Iterasi. Pada Iterasi 3, metode 2-opt dapat dilakukan karena verteks yang dihasilkan sebanyak empat verteks. Metode 2-opt mudah diaplikasikan jika rute dibentuk dalam gambar. Maka dari itu, rute yang dihasilkan dari Iterasi 3 dibentuk seperti pada Gambar 11. Gambar 11 Rute Iterasi 3 Kendaraan 1 Tipe 2 pada NNH. Jika rute pada Gambar 11 dilakukan prosedur 2-opt maka akan didapat beberapa rute seperti pada Gambar 12. a) b) Gambar 12 Rute Iterasi 3 Kendaraan 1 Tipe 2 pada NNH dengan melakukan prosedur 2-opt. Rute yang dihasilkan pada Gambar 12a ( ) menempuh jarak sebesar km sedangkan pada Gambar 12b ( ) menempuh jarak 1.72 km, sehingga rute yang dipilih ialah rute pada Gambar 12a dengan biaya yang dikeluarkan yaitu = (39.92) = ribu rupiah. Iterasi : Kendaraan 2 Tipe 2 Iterasi dilakukan karena masih terdapat pelanggan yang belum dikunjungi. Rute Iterasi dapat dilihat pada Tabel 8. Tabel 8 Rute Iterasi Kendaraan 2 Tipe 2 dengan NNH (kapasitas 3 krat) Pelanggan Permintaan Jarak (km) Sisa kapasitas Total

20 1 Sisa pelanggan = {6}, dilanjutkan ke Iterasi. Biaya yang dikeluarkan pada Iterasi = (27.8) = ribu rupiah. Iterasi : Kendaraan Tipe 3 Iterasi kendaraan hanya mengunjungi satu pelanggan yaitu Pelanggan 6 karena hanya pelanggan tersebut yang belum dikunjungi. Tabel 9 Rute Iterasi kendaraan Tipe 3 dengan NNH (kapasitas krat) Verteks Permintaan Jarak (km) Sisa kapasitas Total Sisa pelanggan = {}, pada Iterasi semua permintaan pelanggan telah terpenuhi, iterasi dihentikan. Biaya yang dikeluarkan pada Iterasi = (36.) = 2. ribu rupiah. Setelah iterasi selesai total biaya yang didapat pada metode NNH ialah sebesar 8.6 ribu rupiah..1.2 Konstruksi rute dengan Petal Heuristic (PH) Misalkan F adalah himpunan pelanggan yang telah digunakan sebagai verteks seed yaitu pelanggan pertama yang dikunjungi dari depot. U adalah himpunan pelanggan yang belum dikunjungi. R adalah himpunan rute yang dibangkitkan. Seperti halnya pada NNH, kendaraan yang digunakan dimulai dari kendaraan dengan tipe terkecil (lihat Tabel 3). Kendaraan Tipe 1 dengan kapasitas 2 krat. Iterasi 1: 1. Inisialisasi F={}, R= 2. Pemilihan verteks seed (i) Karena jarak yang terdekat dari depot adalah pelanggan 1 maka yang menjadi verteks seed adalah pelanggan 1. Jadi F={,1}, R={(,1,)}, U={2,3,,,6,7,8,9}. 3. Perluasan rute Karena PH mengonstruksi satu himpunan rute berdasarkan NNH maka perluasan rute yang diperoleh: R={(,1,),(,1,,)}, U=U\{}={2,3,,6,7,8,9} Pada Iterasi 1 metode 2-opt tidak perlu diterapkan. Dilanjutkan ke langkah 2. Iterasi 2 : 2. Pemilihan verteks seed Pelanggan i= merupakan verteks seed karena merupakan verteks di V\F dengan jarak terdekat dari depot. F={,1,}, U={2,3,6,7,8,9}, R={(,1,),(,1,,),(,,)}. 3. Perluasan rute Jarak pelanggan terdekat dari pelanggan adalah pelanggan 3. Pada Iterasi 2 metode 2-opt juga tidak perlu diterapkan, sehingga didapat:u=u\{3}={2,6,7,8,9} R={(,1,),(,1,,),(,,),(,,3,)}. Dilanjutkan ke langkah 2. Iterasi 3 : 2. Pemilihan verteks seed Pelanggan i=8 merupakan verteks seed karena merupakan verteks di V\F dengan jarak terdekat dari depot. F={,1,2,,8}, U=U\{8}={2,6,7,9} R={(,1,),(,1,,),(,,),(,,3,), (,8,)}. 3. Perluasan rute Jarak pelanggan terdekat dari pelanggan 8 adalah pelanggan 9 dilanjutkan ke pelanggan 2. Jika metode 2-opt dilakukan pada iterasi ini rute yang awalnya berjarak.2 km (lihat Gambar 11) menjadi km (lihat Gambar 12a), sehingga didapat: R={(,1,),(,1,,),(,,),(,,3,), (,8,),(,9,8,2,)}, U=U\{9,2}={6,7}. Dilanjutkan ke langkah 2. Iterasi : 2. Pemilihan verteks seed Pelanggan i=7 merupakan verteks seed karena merupakan verteks di V\F dengan jarak terdekat dari depot. F={,1,,8,7}, U=U\{7}={6} R={(,1,),(,1,,),(,,),(,,3,), (,8,),(,9,8,2,),(,7,)}. 3. Perluasan rute Pada Iterasi tidak dapat dilakukan perluasan rute karena kapasitas yang tersisa sudah tidak dapat menampung permintaan dari pelanggan yang belum dikunjungi. Dilanjutkan ke langkah 2. Iterasi : 2. Pemilihan verteks seed

21 11 Pelanggan i=6 merupakan verteks seed karena merupakan verteks di V\F dengan jarak terdekat dari depot. F={,1,,8,7}, U=U\{6}= R={(,1,),(,1,,),(,,),(,,3,), (,8,),(,9,8,2,),(,7,),(,6,)}. 3. Perluasan rute Pada Iterasi tidak perlu dilakukan perluasan rute karena tidak ada lagi pelanggan yang dikunjungi. Selanjutnya dilakukan metode PH menggunakan kendaraan Tipe 2 dengan kapasitas 3 krat. Iterasi 1: 1. Inisialisasi F={}, R= 2. Pemilihan verteks seed Pelanggan i=1merupakan verteks seed sehingga F={,1}, R={(,1,)}, U={2,3,,,6,7,8,9} 3. Perluasan rute Pelanggan terdekat dari pelanggan 1 ialah pelanggan, dilanjutkan ke pelanggan 9 kemudian ke pelanggan 2 dan kembali ke depot karena kendaraan sudah tidak mampu menampung permintaan lagi, sehingga didapat:r={(,1,),(,1,,9,2,)} U=U\{,9,2}={3,,6,7,8}. Jika metode 2- opt dilakukan pada iterasi ini maka beberapa kemungkinan rute yang dihasilkan (detail rute dapat dilihat di Lampiran 3). Rute dengan jarak terpendek ialah rute (,1,2,9,,) dengan jarak 1.28 km. R = {(,1,),(,1,2,9,,). Dilanjutkan ke langkah 2. Iterasi 2: 2. Pemilihan verteks seed Pelanggan i= menjadi verteks seed sehingga: F={,1,}, U={3,6,7,8}, R={(,1,),(,1,2,9,,),(,,)}. 3. Perluasan rute Pelanggan yang dikunjungi setelah pelanggan yaitu pelanggan 3 kemudian kembali ke depot karena kendala kapasitas kendaraan, sehingga didapat U={6,7,8}, R={(,1,),(,1,2,9,,),(,,),(,,3,)}. Pada Iterasi 2 tidak perlu dilakukan metode 2-opt. Dilanjutkan ke langkah 2. Iterasi 3: 2. Pemilihan verteks seed Pelanggan i=8 menjadi verteks seed sehingga: F={,1,,8}, U={6,7}, R={(,1,),(,1,2,9,,),(,,),(,,3,), (,8,)}. 3. Perluasan rute Perluasan rute yang didapat dari iterasi ini dengan metode yang sama ialah U={7}, R={(,1,),(,1,2,9,,),(,,),(,,3,), (,8,),(,8,6,)}. Pada iterasi ini tidak perlu melakukan metode 2-opt. Dilanjutkan ke langkah 2. Iterasi : 2. Pemilihan verteks seed Pelanggan i=7 menjadi verteks seed sehingga: F={,1,,8,7}, U={ }, R={(,1,),(,1,2,9,,),(,,),(,,3,), (,8,),(,8,6,),(,7,)}. 3. Perluasan rute Pada Iterasi tidak perlu dilakukan perluasan rute karena tidak ada lagi pelanggan yang dikunjungi. Selanjutnya dilakukan metode PH menggunakan kendaraan Tipe 3 dengan kapasitas krat. Kendaraan Tipe 3 juga melakukan langkah-langkah yang sama sehingga didapat : Iterasi 1: F={,1},R={(,1,),(,1,,9,2,)}, U={3,,6,7,8}, setelah dilakukan metode 2-opt (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran ) maka terjadi perubahan R menjadi R={(,1,),(,1,2,9,,)}. Iterasi 2: F={,1,}, R={(,1,),(,1,,9,2,),(,,),(,,3,8,)}, U={6,7}, setelah dilakukan metode 2-opt R={(,1,),(,1,2,9,,),(,,),(,8,,3,)}. (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran ). Iterasi 3: F={,1,,7}, R={(,1,),(,1,,9,2,),(,,),(,,3,8,),(,7,),(,7,6,)}, U={ }, metode 2-opt tidak perlu dilakukan.. Evaluasi rute Rute-rute yang dihasilkan tiap iterasi pada setiap tipe kendaraan, dapat dimisalkan seperti berikut : e 1 = rute (,1,,) kendaraan Tipe 1 e 2 = rute (,,3,) kendaraan Tipe 1 e 3 = rute (,8,9,2,) kendaraan Tipe 1 e = rute (,7,) kendaraan Tipe 1 e = rute (,6,) kendaraan Tipe 1 e 6 = rute (,1,,9,2,) kendaraan Tipe 2

22 12 e 7 = rute (,,3,) kendaraan Tipe 2 e 8 = rute (,8,6,) kendaraan Tipe 2 e 9 = rute (,7,) kendaraan Tipe 2 e 1 = rute (,1,2,9,,) kendaraan Tipe 3 e 11 = rute (,8,,3,) kendaraan Tipe 3 e 12 = rute (,7,6,) kendaraan Tipe 3 sehingga biaya tiap rute ialah: π 1 = (26.76) = 1.1 π 2 = (29.7) = π 3 = (39.92) = π = (27.8) = π = (36.) = 1. π 6 = (1.88) = π 7 = (28.) = 178. π 8 = (3.2) = 18.2 π 9 = (27.8) = π 1 = (1.88) = π 11 = (31.32) = π 12 = (36.) = 2.. Penentuan solusi masalah pemartisi himpunan yang diperumum Fungsi objektif Min 1.1 x x x x + 1. x x x x x x x x 12 terhadap kendala x 1 + x 6 + x 1 = 1 x 3 + x 6 + x 1 = 1 x 2 + x 7 + x 11 = 1 x 2 + x 7 + x 1 = 1 x 1 + x 6 + x 11 = 1 x + x 8 + x 12 = 1 x + x 9 + x 12 = 1 x 3 + x 8 + x 11 = 1 x 3 + x 6 + x 1 = 1 x 1 + x 2 + x 3 + x + x 2 x 6 + x 7 + x 8 + x 9 2 x 1 + x 11 + x 12 1 Dengan LINGO 11. diperoleh solusi untuk masalah SPP sebagai berikut: x 1 =x 3 =x =x 7 =x 9 =x 1 =x 11 =x 12 =, x 2 =x =x 6 =x 8 =1, dan nilai fungsi objektif sebesar 661. (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 6)..2 Tahap Perbaikan dari Setiap Heuristik.2.1 Perbaikan rute NNH Rute-rute yang dihasilkan dari setiap iterasi kemudian diperbaiki dengan metode 3- opt, metode pembatasan 2-interchange, dan pencarian rute gabungan. Metode-metode tersebut akan lebih mudah diterapkan jika rute-rute yang ada direpresentasikan dalam bentuk sebagai berikut: Rute Iterasi 1 Rute iterasi 2 7 Rute Iterasi 3 Rute Iterasi Rute Iterasi Gambar 13 Rute awal tiap iterasi pada metode NNH. 1. Metode 3-opt Metode 3-opt tidak dapat dilakukan pada rute NNH karena banyaknya verteks yang dihasilkan setiap iterasi tidak dimungkinkan untuk mendapatkan rute lain. 2. Metode pembatasan 2-interchange Pencarian rute baru dengan menggunakan metode pembatasan 2-interchange ialah dengan memperhatikan perubahan total jarak sebelum dan sesudah dilakukannya metode ini. Pembatasan 2-interchange dimulai dengan mencari pasangan terbaik dari Iterasi 1 dengan tetap memperhatikan kapasitas kendaraan. a) Pembatasan 2-interchange rute Iterasi 1 Selisih jarak total terbesar pada iterasi 1 ialah dengan melakukan 2-pemindahan verteks antara Iterasi 1 dengan Iterasi. Total jarak awal ialah km dan total jarak akhir 39.2 km, sehingga selisih totalnya yaitu sebesar 23.2 km (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 7). 1 1 Gambar 1 2-pemindahan verteks antara Iterasi 1 dan Iterasi

23 13 b) Pembatasan 2-interchange rute Iterasi 2 Pembatasan 2-interchange pada rute Iterasi 2 hanya didapat pada 1-pemindahan verteks dengan Iterasi 3. Total jarak awal ialah km dan total jarak akhir ialah 6.12 km, sehingga selisih totalnya yaitu sebesar 3.2 km (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 8). 9 3 Gambar 1 1-pemindahan verteks antara Iterasi 2 dan Iterasi 3. Rute yang tersisa hanya rute Iterasi maka tidak perlu mencari pasangan pembatasan 2- interchange. 3. Pencarian rute gabungan Pencarian rute gabungan dapat dilakukan dengan memperhatikan tabel di bawah ini. Tabel 1 Rute-rute hasil dari pembatasan 2- interchange pada NNH Iterasi Sisa Total Tipe kapasitas permintaan kendaraan kendaraan Pada Tabel 1 terlihat bahwa tidak ada rute yang dapat digabungkan sehingga ruterute yang telah diperbaiki dapat dihitung biayanya. Tabel 11 Biaya perbaikan NNH Iterasi Rute Jarak (km) Biaya (ribu rupiah) 2 (,,) (,9,8,2,3,) (,7,) (,6,1,,) Total Berdasarkan Tabel 11 dapat dilihat bahwa setelah perbaikan maka biaya yang dikeluarkan pada metode NNH yaitu sebesar 71.3 ribu rupiah, sehingga perusahaan dapat menghemat biaya sebesar 1.26 ribu rupiah Tahap perbaikan PH Rute-rute yang dihasilkan oleh metode PH dapat direpresentasikan sebagai berikut: 3 Rute e 2 Rute e Rute e 6 Rute e 8 Gambar 16 Rute awal yang dihasilkan pada metode PH. 1. Metode 3-opt Metode 3-opt hanya bisa diaplikasikan pada rute e 6, namun dari semua kemungkinan yang ada tidak terdapat rute dengan jarak yang lebih baik, sehingga rute yang digunakan tetap rute awal. (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 9). 2. Metode pembatasan 2-interchange Berdasarkan data sebelumnya, rute e 2 dan rute e menggunakan kendaraan Tipe 1 dengan kapasitas 2 krat sedangkan rute e dan rute e 6 menggunakan kendaraan Tipe 2 dengan kapasitas 3 krat. a) Pembatasan 2-interchange rute e 2 Selisih jarak total terbesar pada e 2 hanya didapat dengan melakukan 2-penukaran verteks antara e 2 dengan e 6. Total jarak awal ialah 7.32 km dan total jarak akhir 7.2 km, sehingga selisih totalnya yaitu sebesar.12 km (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 1) Gambar 17 2-penukaran verteks antara Rute e 2 dan Rute e

24 1 Rute e dan Rute e 8 tidak dapat mengaplikasikan metode pembatasan 2- interchange karena kendala kapasitas. 3. Pencarian rute gabungan Pencarian rute gabungan dapat dilakukan dengan memperhatikan tabel di bawah ini Tabel 12 Rute-rute hasil dari pembatasan 2- interchange pada PH Rute Sisa Total Tipe kapasitas permintaan kendaraan kendaraan e e e e Pada Tabel 12 terlihat bahwa tidak ada rute yang dapat digabungkan sehingga ruterute yang telah diperbaiki dapat dihitung biayanya. Rute yang dihasilkan pada PH perbaikan dapat dilihat pada Tabel 13 Tabel 13 Biaya PH perbaikan Rute Jarak (km) Biaya (ribu rupiah) e 2 (,1,,) e (,7,) e 6 (,,3,9,2,) e 8 (,8,6,) Total Berdasarkan Tabel 13 dapat dilihat bahwa setelah perbaikan maka biaya yang dikeluarkan pada metode PH yaitu sebesar 66.8 ribu rupiah, sehingga perusahaan dapat menghemat biaya sebesar.96 ribu rupiah..3 Hasil Hasil yang didapat dari penerapan metodemetode yang ada dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1 Data jarak dan biaya tiap heuristik Heuristik Heuristik dengan perbaikan NNH PH NNH PH Jarak (km) Biaya (ribu rupiah) Berdasarkan Tabel 1 heuristik dengan perbaikan menampilkan biaya yang lebih baik bila dibandingkan dengan heuristik tanpa perbaikan. Setiap heuristik memiliki rute berbeda, rute-rute yang diambil menyebabkan perbedaan jarak yang ditempuh dan kendaraan tertentu yang digunakan, jenis kendaraan yang digunakan akan sangat memengaruhi biaya yang dikeluarkan sehingga jarak yang lebih kecil belum tentu menghasilkan biaya yang lebih kecil pula. Setelah rute tiap heuristik terbentuk, maka aktivitas pick-up berupa pengangkutan botol kosong yang ada pada tiap pelanggan mulai diperhitungkan. Aktivitas pick-up ini dapat mengurangi biaya pendistribusian. Adapun biaya yang dikeluarkan oleh pendistribusi jika memperhitungkan aktivitas pick-up dapat dilihat pada Tabel 1 (detail penghitungan dapat dilihat pada Lampiran 11). Tabel 1 Biaya pendistribusian dengan mempertimbangkan aktivitas pick-up Heuristik Heuristik dengan perbaikan Biaya (ribu rupiah) NNH PH NNH PH

25 1 DEPOT DEPOT Keterangan: Tipe kendaraan Jarak (km) Biaya (ribu rupiah) Gambar 18 Rute hasil NNH. Keterangan: Tipe kendaraan Jarak (km) Biaya (ribu rupiah) Gambar 19 Rute hasil NNH perbaikan. DEPOT DEPOT Keterangan: Tipe kendaraan Jarak (km) Biaya (ribu rupiah) Gambar 2 Rute hasil PH. Keterangan: Tipe kendaraan Jarak (km) Biaya (ribu rupiah) Gambar 21 Rute hasil PH perbaikan.

26 16 V SIMPULAN DAN SARAN.1 Simpulan Masalah penentuan rute distribusi barang dapat diselesaikan menggunakan metode heuristik. Penelitian ini menggunakan metode nearest neighbour heuristic dan petal heuristic serta beberapa metode perbaikan. Metode-metode perbaikan yang digunakan ialah metode 2- opt, metode 3-opt, metode 2-interchange terbatas, dan penggabungan rute. Hasil studi kasus menunjukkan bahwa semakin banyak metode perbaikan yang dilakukan, maka rute yang diperoleh semakin baik..2 Saran Beberapa hal yang dapat dilakukan agar penelitian ini lebih baik terkait dengan implementasinya di lapangan adalah 1. banyaknya pelanggan dapat diperbesar agar semua metode dapat digunakan, 2. dapat ditambahkan kendala waktu pada model matematikanya. DAFTAR PUSTAKA Chartrand G, Zhang P. 29. Chromatic Graph Theory. London: CRC Pr Foulds LR Graph Theory Applications. New York: Springer-Verlag. Garfinkel S, Nemhauser G Integer Programming. New York:A Wiley Interscience Publication. Grötschel M Approaches to hard combinatorial optimization Problems. Di dalam: Bernhard K, editor. Modern Applied Mathematics Optimization and Operations Research. New York: North- Holland Publishing Company. hlm Nilsson C. 23. Heuristics for the Traveling SalesmanProblem. ~TDDB19/reports/htsp.pdf. [2 Agustus 212]. Raditya A. 29. Penggunaan Metode Heuristik dalam Permasalahan Vehicle Routing Problem dan Implementasinya di PT Nippon Indosari Corpindo [Skripsi]. Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Yen J, Birge J. 26. A Note on A Stochastic Programming Approach to the Airline Crew Scheduling Problem. Transportation Science :3-1. ILOG. 22. User s Manual ILOG Dispatcher 2.1. France: ILOG. Prive J, Renaud J, Boctor F, Laporte G. 26. Solving a vehicle-routing problem arising in soft-drink distribution. Journal of Operational Research Society 7: 1-12.