PERBANDINGAN ARIMA DENGAN MAXIMAL OVERLAP DISCRETE WAVELET TRANSFORM. Abstrak

Transkripsi

1 PERBANDINGAN ARIMA DENGAN MAXIMAL OVERLAP DISCRETE WAVELET TRANSFORM Rezzy Eko Caraka 1 1) Departement Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro Rezzyekocaraka@gmail.com Abstrak Penggunaan dekomposisi wavelet untuk pemodelan statistika khususnya pada data time telah mengalami perkembangan yang pesat. Transformasi wavelet yang dipandang lebih sesuai untuk data time series adalah Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform (MODWT) karena dalam setiap level dekomposisi terdapat koefisien wavelet dan skala sebanyak panjang data. Kelebihan ini mereduksi kelemahan pemfilteran dengan Discrete Wavelet Transform (DWT) yang tidak dapat dilakukan pada sebarang ukuran sampel. Penentuan level dekomposisi dan koefisien yang digunakan sebagai input model menggunakan dekomposisi multi skala. Dari analisis dapat disimpulkan data pasang surut Kota Semarang model yang terbaik digunakan adalah ARIMA ([3,12],1,0) karena mendapatkan nilai MSE minimal untuk permasalahan data surat keterangan asal (SKA) MSE minimal diperoleh pada dekomposisi level 1 dan banyaknya koefisien pada level tersebut adalah 3 dengan nilai MSE Kata Kunci: MODWT, time series 1. Pendahuluan Peramalan adalah suatu kegiatan memperkirakan apa yang terjadi pada masa yang akan datang berdasarkan nilai sekarang dan masa lalu dari suatu peubah (Makridakis, 1999). Peramalan merupakan suatu unsur yang sangat penting terutama dalam perencanaan dan pengambilan keputusan. Adanya tenggang waktu antara suatu peristiwa dengan peristiwa yang terjadi mendatang merupakan alasan utama bagi peramalan dan perencanaan. Dalam situasi tersebut peramalan merupakan alat yang penting dalam perencanaan yang efektif serta efisien.pemilihan metode dalam peramalan tergantung pada beberapa aspek penilitian yaitu aspek waktu, pola data, tipe model sistem yang diamati, dan tingkat keakuratan peramalan. Penggunaan metode tersebut dalam peramalan harus memenuhi asumsi-asumsi yang digunakan. Analisis dekomposisi wavelet merupakan fungsi basis yang memberikan alat baru sebagai pendekatan yang dapat digunakan dalam merepresentasikan data atau fungsi-fungsi yang lain (Banakar dan Azeem, 2006). Algoritma wavelet mampu memproses data pada skala atau resolusi yang berbeda. Beberapa kajian yang berkaitan dengan transformasi wavelet telah banyak dibahas, diantaranya oleh Khashman dan Dimililer (2008) dan Mallat (1998). Beberapa kajian tentang transformasi wavelet pada data time series juga telah dilakukan, diantaranya oleh Murguia dan Canton (2006) serta Kozlowski (2005). Transformasi Wavelet akan menghasilkan himpunan koefisien Wavelet yang dihitung dari titik (lokasi) observasi pada level (skala) dan lebar range yang berbeda (Kozlowzki, 2005). Penghitungan koefisien wavelet dapat dilakukan dengan Discrete Wavelet Transform (DWT) sebagaimana dikemukakan oleh Mallat (1998) atau Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform (MODWT) seperti dalam Percival dan Walden (2000).

2 2. Analisis Runtun Waktu George E.P.Box dan Gwilym M. Jenkins dalam Makridakis et.al (1999) memperkenalkan analisis runtun waktu, yaitu pengamatan sekarang (Zt) tergantung pada satu atau beberapa pengamatan sebelumnya (Zt-k). Metode peramalan yang sering digunakan antara lain adalah metode ARIMA Box-Jenkins yang digunakan untuk mengolah runtun waktu yang univariat. Menurut Wei (2006), suatu runtun waktu harus memenuhi syarat stasioneritas, yaitu nilai mean 2 2 dan varians Var Z t E Z t konstan. Uji stasioneritas data dalam mean digunakan UjiDickey Fuller. Jika data tidak stasioner dalam mean maka dilakukan differensi. Untuk melihat dan mengatasi ketidakstasioneran dalam varian dapat digunakan transformasi Box-Cox (Wei, 2006). (λ) Z λ T(Z t ) = Z t = t 1 λ Salah satu model runtun waktu non-musiman adalah ARIMA (p,d,q). Bentuk umum model ini sebagai berikut : p d ( B )(1 B) Z ( B) a t q t p q dimana ( B) (1 1B... pb ) merupakan operator AR(p) yang stasioner dan ( B) (1 1B... qb ) merupakan operator MA(q) yang invertible dengan at independen dan berditribusi normal dengan mean 0 dan varians (Soejoeti, 1987). Model Subset ARIMA merupakan bagian dari model ARIMA tergeneralisasi (Tarno, 2013). Contoh model subset ARIMA([1,5],0,[1,12]) dapat ditulis sebagai: (1 φ 1 B φ 5 B 5 )Z t = (1 θ 1 B θ 12 B 12 )a t Sedangkan model SARIMA (p,d,q)(p,d,q) s dalam Wei (2006) adalah 2 a p P s d s D s B 1 B 1 B Zt q ( B Q B a t ( B) ) dimana p (B) 1 B 2 B = P (B s s ) = 1 B d D 2 p 1... p B 2s 1 2 B... P 1 B = tingkat differencing non-musiman s 1 B = tingkat differencing musiman 2 q (B) 1 1 B 2 B... = s s 2s = 1 B B... Q B q q B 1 2 Q B B dengan at independen dan berditribusi normal dengan mean 0 dan varian 3. Dekomposisi Wavelet Ps Qs Fungsi wavelet adalah suatu fungsi matematika yang mempunyai sifat-sifat tertentu diantaranya berosilasi di sekitar nol (seperti fungsi sinus dan cosinus) dan terlokalisasi dalam domain waktu, artinya pada saat nilai domain relatif besar, fungsi wavelet berharga nol. Wavelet merupakan fungsi basis yang dapat digunakan dalam merepresentasikan data atau fungsi-fungsi yang lain. Fungsi Wavelet mempunyai nilai yang berbeda dari nol dalam interval waktu yang relatif pendek. Dalam hal ini wavelet berbeda dengan fungsi normal, ataupun fungsi gelombang seperti sinusoida, yang semuanya ditentukan dalam suatu domain waktu (-1,1). Wavelet dibedakan menjadi dua jenis, yaitu wavelet ayah (ϕ) dan wavelet ibu (ψ) yang mempunyai sifat: ϕ(x) dx = 1 dan 2 a ψ(x) dx = 0 (1). E ( Z t )

3 integer yaitu : Keluarga wavelet dihasilkan dari wavelet ayah dan wavelet ibu melalui dilatasi diadik dan translasi ϕ j,k (x) = (2 j ) 1 2 ϕ(2 j x k) (2) ψ j,k (x) = (2 j ) 1 2 ψ(2 j x k) (3) dengan j dan k masing-masing adalah parameter dilatasi dan parameter translasi. Wavelet dengan bentuk dilatasi dan translasi dengan j = 0 dan k = 0 dapat dipandang sebagai wavelet dasar. Indeks dilatasi j dan translasi k berpengaruh terhadap perubahan support dan range dari wavelet dasar. Indeks translasi k berpengaruh terhadap pergeseran posisi pada sumbu mendatar tanpa mengubah lebar support sedangkan pada indeks dilatasi j, jika support menyempit maka range akan melebar. Karena wavelet terlokalisasi dalam domain waktu (artinya pada saat nilai domain relatif besar, fungsi wavelet berharga nol) maka representasi fungsi dengan wavelet menjadi lebih efisien. Hal ini dikarenakan banyaknya koefisien wavelet yang tidak nol dalam rekonstruksi fungsi dengan wavelet relatif sedikit (Suparti dan Subanar, 2005). Selain itu, wavelet juga mampu merepresentasikan fungsi yang bersifat tidak mulus maupun fungsi dengan lonjakan atau volatilitas tinggi. Pada bagian fungsi yang tidak mulus, representasi wavelet akan menggunakan panjang support yang sempit. Fungsi wavelet dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari basis yang dibangun oleh wavelet atau dapat dituliskan dalam persamaan berikut. dengan f(x) = k Z c J,k ϕ J,k (x) + k Z d j,k ψ j,k (x) c J,k = f(x)ϕ J,k (x)dx d j,k = f(x)ψ j,k (x)dx j<j (4) Transformasi pada persamaan (4) merupakan transformasi wavelet kontinu atau Continue Wavelet Transform (CWT) dimana koefisien-koefisien wavelet diperoleh melalui proses integrasi sehingga nilai wavelet harus terdefinisi pada setiap x R. Bentuk transformasi yang lain adalah Discrete Wavelet Transform (DWT) dimana nilai-nilai wavelet hanya terdefinisi pada titik-titik diskret. Vektor yang memuat nilai-nilai wavelet disebut filter wavelet. Ada dua jenis filter pada DWT yaitu filter wavelet (filter detil) dinotasikan dengan h dan filter skala yang dinotasikan dengan g. Panjang suatu filter dinotasikan dengan L. Suatu filter wavelet harus memenuhi tiga sifat dasar berikut: L 1 l=0 h l = 0 (5a) L 1 2 l=0 h l = 1 (5b) L 1 l=0 h l h l+2n = l= h l h l+2n = 0 (5c) Jika diberikan filter wavelet {hl} maka filter skala didefinisikan sebagai berikut : g l ( 1) l+1 h L 1 l (6) Filter skala diasumsikan memenuhi kondisi berikut : L 1 l=0 g l = 2 (7a) g l 2 L 1 l=0 = 1 (7b)

4 l= g l g l+2n = 0 dan l= g l h l+2n = 0 (7c) Syarat yang harus dipenuhi untuk memenuhi sifat-sifat tersebut adalah panjang filter L bernilai genap. Misalkan diberikan filter wavelet h = (h0, h1,..., hl-1) dan X = (X 1,, X n ) adalah nilai fungsi X pada x1,..., xn. Syarat yang harus dipenuhi adalah n=2 J dengan J suatu bilangan bulat positif. Transformasi wavelet dengan DWT dapat dituliskan sebagai : W = WX (8) dengan W = hasil transformasi dengan DWT dan W = matriks transformasi berukuran nxn. Dalam hal ini elemen-elemen dari vektor W didekomposisi menjadi J+1 sub vektor. Transformasi dengan DWT akan memetakan vektor X = (X 1,, X n ) ke vektor koefisien W = (W1, W2,..., WJ, VJ) dengan Wj, j = 1, 2,..., J memuat koefisien wavelet dj,k dan VJ memuat koefisien skala cj,k. Koefisien wavelet yang bernilai besar mempunyai kontribusi besar dalam rekonstruksi fungsi sedangkan koefisien yang kecil mempunyai kontribusi yang kecil sehingga dapat diabaikan (dianggap nol). Dengan mengabaikan koefisien-koefisien wavelet yang dianggap kecil, transformasi dengan DWT dapat digunakan untuk proses denoising. 4. Maximal Overlap DWT Pemfilteran dengan DWT sebagaimana pada persamaan (8) tidak dapat dilakukan jika sampel yang diamati berukuran sebarang yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk 2 J dengan J bilangan bulat positif. Sebagai alternatif, penghitungan koefisien dj,k dan cj,k dapat dilakukan dengan Maximal Overlap Discrete Transform (MODWT). Keuntungan MODWT adalah dapat mengeliminasi reduksi data menjadi setengahnya (down-sampling) sehingga dalam setiap level akan terdapat koefisien wavelet dan skala sebanyak panjang data (Percival dan Walden, 2000). Misalkan data time series dengan panjang N, transformasi MODWT akan memberikan vektor kolom w1, w2,..., wj0 dan vj0 masing-masing dengan panjang N. g l Misalkan dipunyai filter wavelet MODWT h l dengan h l h l 2 dan filter skala g l dengan g l 2, maka filter wavelet dan filter skala MODWT harus memenuhi kondisi berikut : L 1 l=0 h l = 0, L 1 l=0 h l2 = 1, dan 2 h lh l+2n = 0 L 1 l=0 g l = 1, L 1 g l2 l=0 = 1 2 l= (9), dan l= g l g l+2n = 0 (10) Hubungan antara g l dan h l dapat dirumuskan sebagai berikut : l= g lh l+2n = 0 (11) Pada MODWT koefisien wavelet pada setiap level selalu sama sehingga lebih sesuai untuk pemodelan pada time series dibandingkan dengan DWT. Prediksi data time series satu langkah ke depan dimodelkan secara linear berdasarkan koefisien wavelet hasil dekomposisi pada waktu-waktu sebelumnya. Misalkan dipunyai sinyal X=(X1,..., Xt). Prediksi satu langkah ke depan dari proses autoregresif order p atau AR(p) dapat dituliskan sebagai X t+1 = p k =1 φ kx t (k 1). Pada pemodelan wavelet untuk proses ini, Renaud dkk (2003) dan Murtagh dkk (2004) menyusun prosedur penentuan lag-lag yang menjadi variabel input untuk prediksi multiskala autoregresif. Koefisien wavelet (detil) dan koefisien skala hasil transformasi

5 MODWT yang dianggap mempunyai pengaruh untuk prediksi pada waktu t+1 akan berbentuk w j,t 2 j (k 1) dan c J,t 2 J (k 1) atau dapat dituliskan dalam persamaan (12) berikut : J A j A J +1 X t+1 = j=1 a j,k w k=1 j,t 2 j (k 1) + k=1 a J+1,k c J,t 2 J (k 1) (12) Simbol J menyatakan level dekomposisi sedangkan Aj menjelaskan banyaknya koefisien yang terpilih pada setiap level dekomposisi. Misalkan jika dipilih Aj = 1 untuk semua level resolusi j, maka bentuk persamaan (12) akan menjadi : J X t+1 = j=1 a jw j,t + a J+1 c J,t (13) Gambar 1 menunjukkan pixel dari sinyal input yang digunakan untuk menghitung koefisien wavelet terakhir pada skala yang berbeda sedangkan gambar 2 memperlihatkan koefisien wavelet yang digunakan untuk prediksi menggunakan Aj = 2 untuk semua level resolusi j, dan J = 4 atau transformasi wavelet dengan lima skala (empat koefisien wavelet + koefisien skala). Pada kasus ini dapat dilihat bahwa hanya terdapat sepuluh koefisien yang digunakan. Sinyal Transforma level 1 level 2 level 3 level 4 Gambar 1. Pixel dari sinyal input yang digunakan untuk menghitung koefisien wavelet terakhir pada skala yang berbeda Sinyal Transforma level 1 level 2 level 3 level 4 Gambar 2. Koefisien wavelet yang digunakan untuk prediksi data time series 5. Terapan pada Data Time Series Data yang digunakan dalam tugas ini adalah berupa data sekunder yang diambil dari Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (BMKG) Maritim Kota Semarang mengenai data tinggi pasang surut air laut tahun sebanyak 120 dan data yang digunakan diambil di Dinas Perindustrian dan Perdagangan Provinsi Jawa Tengah. Data yang diambil adalah data bulanan jumlah penerbitan Surat Keterangan Asal (SKA) dari periode Januari 2007 sampai dengan Februari 2011 sebanyak 50 data.pengolaha n data dilakukan dengan menggunakan software R dengan package toolkit wmtsa, software minitab 16, dan software SAS Jenis wavelet yang digunakan adalah wavelet Haar.

6 Tabel 1. Hasil perhitungan statistik nilai prediksi data pasang surut kota Semarang dengan wavelet Kriteria Nilai MSE R-Squared Min Q Median Q Max Dari tabel 1 nampak bahwa nilai MSE minimal diperoleh pada dekomposisi level 1 dan banyaknya koefis ien pada level tersebut adalah 3. Model yang diperoleh dapat dituliskan dalam persamaan berikut : Z n+1 = 2.1w 1,n w 1,n w 2,n Tabel 2. Hasil perhitungan statistik nilai prediksi data surat keterangan asal (SKA) dengan wavelet Kriteria Nilai MSE R-Squared Min Q Median Q Max Dari tabel 2 nampak bahwa nilai MSE minimal diperoleh pada dekomposisi level 1 dan banyaknya koefis ien pada level tersebut adalah 3. Model yang diperoleh dapat dituliskan dalam persamaan berikut : Z n+1 = 95.01w 1,n w 1,n w 2,n Tabel 3. Hasil perhitungan statistik nilai prediksi data pasang surut Kota SemarangdenganARIMA Model Uji Normalitas Residual Independensi Residual Signifikansi Parameter MSE SARIMA Berdistribusi normal Tidak terdapat korelasi signifikan ([3],1,0)(0,0,1) 12 antar lag SARIMA Berdistribusi normal Tidak terdapat korelasi signifikan (0,1,[3])(1,0,0) 12 antar lag SARIMA Berdistribusi normal Tidak terdapat korelasi signifikan (0,1,[3])(0,0,1) 12 antar lag ARIMA Berdistribusi normal Tidak terdapat korelasi signifikan ([3,12],1,0) antar lag ARIMA Berdistribusi normal Tidak terdapat korelasi signifikan (0,1,[3,12]) antar lag Dari tabel 3 nampak bahwa nilai MSE minimal diperoleh model ARIMA ([3,12],1,0) Kemudian dibentuk model ARIMA ([3,12],1,0)dengan Z t = ( B 3 )a t (1 ( B 12 )(1 B) Tabel 4. Hasil perhitungan statistik nilai prediksi data surat keterangan asal (SKA) dengan ARIMA

7 Model Arima Uji Normalitas Residual Independensi Residual Signifikansi MSE Parameter ARIMA (0,1,1) Berdistribusi normal Terdapat korelasi antar lag signifikan ARIMA (1,1,1) Berdistribusi normal Tidak terdapat korelasi signifikan antar lag ARIMA (2,1,1) Berdistribusi normal Terdapat korelasi antar lag signifikan Dari tabel 4 nampak bahwa nilai MSE minimal model ARIMA (0,1,1) Kemudian dibentuk model ARIMA ARIMA (0,1,1) dengan Z t = Z t 1 + a t a t 1 Sehingga model yang terbaik dan layak untuk dilakukan peramalan adalah model ARIMA (0,1,1) dengan model Z t = Z t 1 + a t + θ 1 a t 1. Dengan parameter hasil estimasi θ 1 = maka model ARIMA (0,1,1) menjadi Z t = Z t 1 + a t a t 1 6. Penutup Dari analisis dapat disimpulkan bahwa untuk permasalahan data pasang surut Kota Semarang model yang terbaik digunakan adalah ARIMA ([3,12],1,0) karena mendapatkan nilai MSE minimal untuk permasalahan data surat keterangan asal (SKA) MSE minimal diperoleh pada dekomposisi level 1 dan banyaknya koefisien pada level tersebut adalah 3 dengan nilai MSE Daftar Pustaka Caraka, R.E., Yasin,H and Suparti Pemodelan Tinggi Pasang Surut Air Laut Di Kota Semarang Dengan Menggunakan Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform (MODWT). Climate Knowledge for climate action, Indonesian Agency for Meteorological, Climatological and Geophysics (BMKG). Vol.2 No.2 ISSN: pp Khashman, A. and Dimililer, K., 2008, Image Compression using Neural Networks and Haar Wavelet, Wseas Transactions On Signal Processing, ISSN: , 330 Issue 5, Volume 4, May Kozlowski, B., 2005, Time Series Denoising with Wavelet Transform, Journal of Telecommunications and Information Technology, Warsawa, Polandia Makridakis, S., Wheelwright, S.C., and McGee, V.E Metode dan Aplikasi Peramalan. Jilid satu edisi kedua, Terjemahan Ir. Hari Suminto.Jakarta. Bina Rupa Aksara. Mallat, S., 1998, A Wavelet Tour of Signal Processing. New York: Academic Press Murguia, J.S. and Canton, E.C., 2006, Wavelet Analysis of Chaotic Time Series, Revista Mexicana de Fisica 52 (2) Murtagh, F., Stark, J.L., and Renaud, O., 2004, On Neuro-Wavelet Modelling, Decision Support System, 37, Percival, D.,B. and Walden, A.,T., 2000,Wavelet Methods for Time Series Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom Renaud, O., Starcx, J.L., and Murtagh, F., 2003, Prediction Based on a Multiscale Decomposition, Int. Journal of Wavelets, Multiresolution and Information Processing, Vol. 1., No. 2, pp Suparti dan Subanar, H., Estimasi Regresi dengan Metode Wavelet Shrinkage, Jurnal Sains dan Matematika, 2000, 8/3: Suparti.,Caraka,R.E.,Warsito,B and Yasin,H THE SHIFT INVARIANT DISCRETE WAVELET TRANSFORM (SIDWT) WITH INFLATION TIME SERIES APPLICATION. Journal of Mathematics

8 Research. Vol.8, No.4; Agustus. Published by Canadian Center of Science and Education. ISSN E-ISSN Tarno Kombinasi Prosedur Pemodelan Subset Arima dan DeteksiOutlier untuk Prediksi Data Runtun Waktu. Prosiding Seminar Nasional Statistika UNDIP Semarang. Warsito,B., Sunamar., dan Aburakhman.,2013, Pemodelan Time Series Dengan Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform, Prosiding Seminar Nasional Statistika, ISBN:

9 LAMPIRAN: SYNTAX PERMASALAHAN PERMASALAHAN PASANG SURUT KOTA SEMARANG SYNTAX PERMASALAHAN SURAT KETERANGAN ASAL

10 OUTPUT WAVELET PERMASALAHAN PASANG SURUT KOTA SEMARANG OUTPUT WAVELET PERMASALAHAN SURAT KETERANGAN ASAL

11 LAMPIRAN OUTPUT PERMASALAHAN SURAT KETERANGAN ASAL ARIMA TERBAIK

12 Model ARIMA (0,1,1) Estimates at each iteration Iteration SSE Parameters ** Convergence criterion not met after 25 iterations ** Final Estimates of Parameters Type Coef SE Coef T P MA Constant Mean Number of observations: 49 Residuals: SS = (backforecasts excluded) MS = DF = 47 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag Chi-Square DF P-Value Uji Normalitas Residual Model ARIMA (0,1,1) Uji Normalitas Residual ARIMA(0,1,1) Normal Percent Mean StDev N 49 KS P-Value > RESI LAMPIRAN OUTPUT PERMASALAHAN PASANG SURUT KOTA SEMARANG

13 ARIMA ([3,12],1,0) The SAS System The ARIMA Procedure Conditional Least Squares Estimation Standard Approx Parameter Estimate Error t Value Pr > t Lag AR1, AR1, Variance Estimate Std Error Estimate AIC SBC Number of Residuals 107 * AIC and SBC do not include log determinant. Correlations of Parameter Estimates Parameter AR1,1 AR1,2 AR1, AR1, Autocorrelation Check of Residuals To Chi- Pr > Lag Square DF ChiSq Autocorrelations Model for variable y Period(s) of Differencing 1 Autoregressive Factors Factor 1: B**(3) B**(12) The UNIVARIATE Procedure Variable: RESIDUAL (Residual: Actual-Forecast) Moments N 107 Sum Weights 107 Mean Sum Observations Std Deviation Variance Skewness Kurtosis Uncorrected SS Corrected SS Coeff Variation Std Error Mean Basic Statistical Measures Location Variability Mean Std Deviation Median Variance Mode. Range Interquartile Range Tests for Location: Mu0=0 Test -Statistic p Value Student's t t Pr > t Sign M 1.5 Pr >= M Signed Rank S 101 Pr >= S Tests for Normality Test --Statistic p Value Shapiro-Wilk W Pr < W Kolmogorov-Smirnov D Pr > D > Cramer-von Mises W-Sq Pr > W-Sq > Anderson-Darling A-Sq Pr > A-Sq > Quantile Estimate 100% Max

14 99% % % % Q % Median % Q % % % % Min Extreme Observations Lowest Highest----- Value Obs Value Obs Missing Values -----Percent Of----- Missing Missing Value Count All Obs Obs The AUTOREG Procedure Dependent Variable RESIDUAL Residual: Actual-Forecast Ordinary Least Squares Estimates SSE DFE 107 MSE Root MSE SBC AIC Regress R-Square Total R-Square Durbin-Watson Q and LM Tests for ARCH Disturbances Order Q Pr > Q LM Pr > LM