Seasonal ARIMA adalah model ARIMA yang mengandung faktor musiman.

Transkripsi

1

2 Definisi Seasonal ARIMA adalah model ARIMA yang mengandung faktor musiman. Musiman berarti kecenderungan mengulangi pola tingkah gerak dalam periode musim, biasanya satu tahun untuk data bulanan. Karena itu, time series musiman mempunyai karakteristik yang ditunjukkan oleh adanya korelasi beruntun yang kuat pada jarak semusim (periode musim), yakni waktu yang berkaitan dengan banyak observasi pada per periode musim.

3 Notasi Notasi ARIMA dapat diperluas untuk mencakup aspek musiman yaitu: ARIMA (p,d,q) (P,D,Q) s Jumlah periode per musim Bagian nonmusiman Bagian musiman Keterangan: (p,q): komponen non-musiman model ARMA d: orde diferensi non-musimam P : nilai dari seasonal AR (SAR) D : nilai dari differencing seasonal Q : nilai dari moving average seasonal (SMA)

4 Identifikasi Identifikasi bagian non-musiman: Model ACF PACF AR(1) Menurun secara eksponensial Signifikan di lag 1 AR(p) Menurun secara eksponensial Signifikan sampai lag p MA(1) Signifikan di lag 1 Menurun secara ekponensial MA(q) Signifikan sampai lag q Menurun secara ekponensial ARMA(p,q) Signifikan keluar sampai lag q Signifikan keluar sampai lag p Menurun secara eksponensial (dies down) Dies down

5 Identifikasi bagian musiman: Model ACF PACF SAR(1) SAR(P) SMA(1) SMA(Q) SARMA (P,Q) Menurun secara exponensial pada level seasonal (lag 1s) Menurun secara exponensial pada level seasonal (lag 1s, 2s,, Ps) Signifikan pada lag 1s dan selanjutnya tidak signifikan Signifikan pada lag 1s, 2s,, Qs dan setelah lag Qs tidak signifikan Signifikan pada lag 1s, 2s,, Qs dan setelah lag Qs tidak signifikan Signifikan pada lag 1s dan selanjutnya tidak signifikan Signifikan pada lag 1s, 2s,, Ps dan setelah lag Ps tidak signifikan Menurun secara exponensial pada level seasonal (lag 1s) Menurun secara exponensial pada level seasonal (lag 1s, 2s,, Qs) Signifikan pada lag 1s, 2s,, Ps dan setelah lag Ps tidak signifikan

6 Diferensi Diferensi non-musiman: Jika data mengandung tren, maka data perlu didiferensi untuk menstasionerkannya. Seringkali (namun tidak selalu), diferensi data orde pertama cukup untuk menstasionerkan data. Diferensi musiman: Jika data mengandung musiman, maka data perlu didiferensi musiman. Jika data mengandung tren dan musiman, maka dilakukan diferensi nonmusiman dan diferensi musiman.

7 Contoh Identifikasi: Contoh data produksi beer di Australia: Data dengan panjang periode s = 4 Data mengalami diferensi non-musiman orde 1 (d = 1) dan diferensi musiman orde 1 (D = 1) Identifikasi non-musiman: Berdasarkan plot PACF yang signifikan sampai lag ke-2, diperoleh p = 2 Identifikasi musiman: Berdasar plot ACF yang signifikan secara musiman (kuartal) di lag 1x4, diperoleh Q = 1 Sehingga modelnya: ARIMA (2,1,0)(0,1,1) 4 Dapat dicoba juga model: ARIMA (2,1,0)(0,1,2) 4, ARIMA (2,1,1)(0,1,2) 4

8 Model AR(p) dan Seasonal AR(P) Model AR dan AR musiman (SAR): Musiman (AR) Non Musiman (SAR) Model AR(1): Model AR(1) 12 : Z Z a t 1 t 1 t Model AR(2): Model AR(2) 12 : Model AR(p) Model AR(P) s : Z Z a t 1 t 12 t Zt 1Z t 1 2Zt 2 at Z 1Z 12 1Z 24 a t t t t Zt 1Z t 1... pzt p a Z t t 1Zt s 2Zt 2 s Z a P t Ps t

9 Model MA(q) dan Seasonal MA(Q) Model MA dan MA musiman (SMA): Musiman (MA) Non Musiman (SMA) Model AR(1): Model AR(1) 12 : Z a a t t 1 t 1 Model AR(2): Model AR(2) 12 : Model AR(p) Model AR(P) s : Z a a t t 1 t 12 Zt at 1at 1 2at 2 Zt at 1at 12 1at 24 Zt at 1at 1... pa Z t q t at 1at s 2at 2 s a Q t Qs

10 Contoh: Diberikan data bulanan jumlah turis yang mengunjungi negara Spanyol selama Januari 1970 sampai Maret M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M

11 Plot Data SARIMA 10,000,000 8,000,000 6,000,000 4,000,000 2,000, Dari plot data diatas terlihat data memiliki musiman dan trend.

12 Uji Stasioner: Nilai ADF Test Statisticnya lebih besar dari nilai critical value, sehingga data dapat dikatakan belum stasioner dalam mean.

13 Plot ACF dan PACF Dari plot disamping terlihat bahwa terdapat musiman pada Autokorelasi Karena data belum stasioner dalam mean maupun variansi maka dilakukan transformasi log dan diferencing orde satu. Transformasi dan diferensing dilakukan pada kedua situasi baik yang musiman atau non-musiman, kemudian dibandingkan mana yang lebih baik. Hasil dari transformasi dan diferensing yang non-musiman diberi nama dlogsarima sedangkan yang musiman dslogsarima

14 DLOGSARIMA Plot data setelah ditransformasi dan didiferencing (non-musiman) DSLOGSARIMA Plot data setelah ditransformasi dan didiferencing (musiman)

15 DLOGSARIMA DSLOGSARIMA Terlihat bahwa masih terdapat pola seasonal yang kuat pada obyek series dlogsarima, dengan variasi yang lebih besar dari dibanding dslogsarima. Karena itu, akan relatif lebih mudah untuk melakukan identifikasi model runtun waktu yang baik bagi data dslogsarima dibanding dlogsarima.

16 Plot ACF dan PACF Terlihat disini fungsi ACF dari dslogsarima menurun perlahan, mengindikasikan bahwa data nonstasioner dalam mean. Untuk itu dilakukan diferensi terhadap dslogsarima

17 Uji Stasioner: Setelah didiferensi, hasil diferensi orde 1 diuji: Nilai ADF Test Statistiknya lebih kecil dari nilai critical value 1%, sehingga data sudah stasioner dalam mean.

18 Identifikasi: Identifikasi Non-Musiman: Plot ACF: signifikan pada lag 1, menunjukkan proses MA nonmusiman (q = 1) Plot PACF: menurun (dies down) Identifikasi Musiman: Plot ACF: signifikan pada lag 12, menunjukkan adanya proses MA musiman (Q = 1). Plot PACF: signifikan pada lag 12, menunjukkan adanya proses AR musiman (P = 1) Sehingga modelnya: ARIMA (0,1,1)(1,1,1) 12 Model lainnya: ARIMA (0,1,1)(1,1,0) 12 ARIMA (0,1,1)(0,1,1) 12

19 Rangkuman Hasil Modeling SAR(12) (0.0000) MA(1) (0.0000) Model 1 Model 2 Model (0.0000) (0.0000) MA(12) (0.0000) SMA(12) (0.0000) MA(12) (0.0000) SSR AIC SBC/BIC Q(12) (0.546) Q(24) (0.001) Q(36) (0.002) (0.308) (0.122) (0.117) (0.007) (0.000) (0.000) Berdasrkan rangkuman hasil modeling di atas, dari uji t terhadap koefisian dari model dan dari uji diagnostik dapat disimpulkan bahwa model terbaik secara statistik adalah model 2 Pada model 1 dan 3 masih terdapat korelasi serial dalam residual dari model, sehingga model belum cukup baik menggambarkan data. Model 2 dapat dituliskan ARIMA(0, 1, 1)(0,1,1) 12

20 Peramalan 1 periode: Hasil fitting dan peramalan untuk data 1 bulan ke depan dengan menggunakan metode static 14,000,000 12,000,000 10,000,000 8,000,000 6,000,000 4,000,000 2,000,000 Forecast: SARIMAF Actual: SARIMA Forecast sample: 1970M M04 Adjusted sample: 1971M M04 Included observations: 218 Root Mean Squared Error Mean Absolute Error Mean Abs. Percent Error Theil Inequality Coefficient Bias Proportion Variance Proportion Covariance Proportion SARIMAF ± 2 S.E.

21 Peramalan n periode: Peramalan untuk 12 bulan ke depan: 16,000,000 14,000,000 12,000,000 10,000,000 8,000,000 6,000,000 4,000,000 2,000, Q2 1989Q3 1989Q4 1990Q1 SARIMAF2 ± 2 S.E.

22 Terima Kasih