MASALAH PENENTUAN RUTE KENDARAAN ANTARJEMPUT ROTI SONIA MEITHANIA

Transkripsi

1 MASALAH PENENTUAN RUTE KENDARAAN ANTARJEMPUT ROTI SONIA MEITHANIA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Masalah Penentuan Rute Kendaraan Antarjemput Roti adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Maret 2014 Sonia Meithania NIM G

4 ABSTRAK SONIA MEITHANIA. Masalah Penentuan Rute Kendaraan Antarjemput Roti. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan FARIDA HANUM. Pendistribusian produk merupakan salah satu kegiatan penting bagi sebuah perusahaan. Karya ilmiah ini membahas tentang masalah antarjemput produk dalam suatu perusahaan. Karya ilmiah ini bertujuan menentukan sebuah rute optimal dalam bentuk vehicle routing problem with pickup and delivery with time windows (VRPPDTW). Dalam karya ilmiah ini terdapat contoh yang menggambarkan proses antarjemput produk dalam suatu perusahaan roti dengan 1 depot, 10 pelanggan, dan 7 buah kendaraan. Tahap pertama dengan menentukan jumlah minimum kendaraan yang digunakan. Tahap kedua dengan menentukan rute dengan biaya minimum. LINGO 11.0 digunakan dalam menyelesaikan masalah tersebut. Kata kunci: antarjemput produk, optimasi, time windows, vehicle routing problem ABSTRACT SONIA MEITHANIA. Route Decision Problem of Bread Pickup and Delivery. Supervised by TONI BAKHTIAR and FARIDA HANUM. Product distribution is one of important activitis for a company. In this paper we discussed a pickup and delivery problem in a company. The objective is to find an optimal route in the framework of vehicle routing problem with pickup and delivery with time windows (VRPPDTW). We provided an illustrative example which describes a pickup and delivery process in a bread company with 1 depot, 10 customers, and 7 units of vehicles. In the first stage we decided the minimum number of vehicles required. Then, in the second stage, we determined the route with minimum cost. LINGO 11.0 is utilized in solving the problem. Keywords: optimum, pickup and delivery product, time windows, vehicle routing problem

5 MASALAH PENENTUAN RUTE KENDARAAN ANTARJEMPUT ROTI SONIA MEITHANIA Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

6

7 Judul Skripsi : Masalah Penentuan Rute Kendaraan Antarjemput Roti Nama : Sonia Meithania NIM : G Disetujui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Pembimbing I Dra Farida Hanum, MSi Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam karya ilmiah ini ialah Riset Operasi, dengan judul Masalah Penentuan Rute Kendaraan Antarjemput Roti. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Toni Bakhtiar, MSc dan Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku pembimbing, serta Bapak Drs Siswandi, MSi yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta teman-teman, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Maret 2014 Sonia Meithania

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 1 TINJAUAN PUSTAKA 1 Vehicle Routing Problem (VRP) 1 Definisi dan Karakteristik VRP 1 Metode Penyelesaian VRP 2 Formulasi Matematika VRP 2 Kelas-kelas VRP 3 Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW) 4 Formulasi Matematika VRPTW 5 Vehicle Routing Problem with Pickup and Delivery (VRPPD) 6 Formulasi Matematika VRPPD 6 APLIKASI PENDISTRIBUSIAN ROTI PADA PT NIPPON INDOSARI CORPORINDO 7 HASIL DAN PEMBAHASAN 13 SIMPULAN 21 DAFTAR PUSTAKA 21 LAMPIRAN 23 RIWAYAT HIDUP 46 vi vi vi

10 DAFTAR TABEL 1 Jarak antarlokasi depot dan pelanggan 9 2 Banyak roti yang dikirim dan diambil, waktu pelayanan, dan time windows 10 3 Kapasitas, kecepatan, dan biaya operasional kendaraan 10 4 Time windows yang berlaku pada kendaran Jumlah roti diantarjemput dan jumlah roti pada sepanjang lintasan oleh Kendaraan Time windows yang berlaku pada kendaran Jumlah roti diantarjemput dan jumlah roti pada sepanjang lintasan oleh Kendaraan Time windows yang berlaku pada kendaran Jumlah roti diantarjemput dan jumlah roti pada sepanjang lintasan oleh Kendaraan Time windows yang berlaku pada kendaran Jumlah roti diantarjemput dan jumlah roti pada sepanjang lintasan oleh Kendaraan 7 20 DAFTAR GAMBAR 1 Lokasi depot dan semua pelanggan 9 2 Rute Kendaraan 4 pada Tahap Rute Kendaraan 5 pada Tahap Rute Kendaraan 6 pada Tahap Rute Kendaraan 7 pada Tahap Rute Kendaraan 4 pada Tahap Rute Kendaraan 5 pada Tahap Rute Kendaraan 6 pada Tahap Rute Kendaraan 7 pada Tahap Aktivitas antarjemput roti dan time windows pada Kendaraan Aktivitas antarjemput roti dan time windows pada Kendaraan Aktivitas antarjemput roti dan time windows pada Kendaraan Aktivitas antarjemput roti dan time windows pada Kendaraan 7 21 DAFTAR LAMPIRAN 1 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 dalam menyelesaikan jumlah kendaraan optimal pada pendistribusian roti 22 2 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 dalam menentukan minimum biaya yang dikeluarkan perusahaan 35

11 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam suatu perusahaan ada beberapa masalah yang dihadapi di antaranya ialah masalah pendistribusian hasil produksi perusahaan dari depot ke semua pelanggannya. Akibatnya harus ditentukan rute yang tepat dengan mempertimbangkan jarak yang ditempuh, jumlah, dan kapasitas kendaraan yang dipakai, waktu yang diperlukan dalam perjalanan, serta faktor lain yang lazimnya dapat meminimumkan biaya operasional. Dalam karya ilmiah ini dibahas masalah pendistribusian roti ke sejumlah pelanggan. Pada masalah pendistribusian roti dalam kasus ini, setiap kendaraan tidak hanya bertugas untuk mengantarkan roti baru kepada pelanggan, namun juga mengambil roti yang sudah kadaluarsa. Pada proses pengambilan dan pengiriman roti tersebut dipertimbangkan pula kendala batas waktu (time windows) dari setiap pelanggan yaitu waktu kendaraan harus tiba di suatu pelanggan dan waktu kendaraan harus meninggalkan pelanggan tersebut, serta ditentukan pula waktu setiap kendaraan harus berangkat dan kembali ke depot. Masalah antarjemput tersebut termasuk dalam Vehicle Routing Problem Pickup and Delivery with Time Windows (VRPPDTW). Model tersebut bertujuan meminimumkan banyaknya kendaraan yang dipakai dan mampu meminimumkan biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan dengan rute yang optimal. Tujuan Penelitian Tujuan karya ilmiah ini ialah: 1 memformulasikan masalah pendistribusian roti sebagai Vehicle Routing Problem with Pickup and Delivery and Time Windows (VRPPDTW), 2 menerapkan model VRPPDTW tersebut pada pendistribusian roti pada PT Nippon Indosari Corporindo. TINJAUAN PUSTAKA Vehicle Routing Problem (VRP) Definisi dan Karakteristik Vehicle Routing Problem (VRP) Dalam pendistribusian barang atau jasa dibutuhkan penentuan rute kendaraan yang optimal untuk mendukung kelancaran pelayanan barang atau jasa. Masalah ini dikenal dengan istilah Vehicle Routing Problem (VRP). VRP merupakan masalah pencarian rute optimal untuk pengiriman atau pengumpulan barang atau jasa dari satu atau lebih depot ke sejumlah kota atau pelanggan dengan memenuhi kendala tertentu (Toth dan Vigo 2002). Masalah VRP ini merupakan generalisasi dari multiple Travelling Salesman Problem (m-tsp).

12 2 Pada TSP terdapat sejumlah kota dan seorang salesman yang harus menemukan jalur terpendek untuk mengunjungi setiap kota tepat satu kali dan selesai di kota asal, sementara pada m-tsp terdapat sejumlah salesman yang akan mengunjungi sejumlah kota tepat satu kali. Pada VRP, kota-kota di m-tsp merupakan pelanggan-pelanggan yang memiliki permintaan terhadap barang dan jasa. Salesman pada m-tsp merupakan kendaraan yang memiliki kapasitas tertentu sehingga total permintaan dari pelanggan-pelanggan pada suatu rute tidak boleh melebihi kapasitas kendaraan yang melayani rute tersebut, dan setiap pelanggan dalam VRP hanya boleh dikunjungi satu kali (Benavent dan Martinez 2009). VRP pertama kali dipelajari oleh Dantzig dan Ramser pada tahun 1959 dalam bentuk rute dan penjadwalan truk. Pada tahun 1964 Clarke dan Wright kemudian melanjutkan penelitian ini dengan memperkenalkan istilah depot sebagai tempat keberangkatan dan kembalinya kendaraan. Sejak saat itu penelitian VRP terus berkembang karena peran VRP yang penting dalam distribusi dunia industri. Terdapat empat tujuan utama VRP, yaitu meminimalkan biaya transportasi, meminimalkan jumlah kendaraan yang dibutuhkan, mengoptimalkan rute, dan meminimalkan biaya penalti akibat pelayanan yang kurang memuaskan. Karakteristik utama VRP berdasarkan komponen-komponennya terdiri dari rute perjalanan yang digambarkan dengan graph yang terdiri dari arc (lengkung) dan verteks (titik), pelanggan yang ditandai dengan suatu verteks (titik) yang memiliki jumlah permintaan barang dan time windows yang berbedabeda, depot yang ditandai dengan verteks (titik) yang menjadi titik awal dan akhir perjalanan dari tiap kendaraan (Toth dan Vigo 2002). Metode Penyelesaian VRP Permasalahan untuk mendapatkan hasil solusi yang optimal dari pemecahan VRP (Vehicle Routing Problem) menjadi bertambah jika terdapat penambahan kendala (constraints) pada kasus yang harus diselesaikan. Pada dasarnya terdapat tiga macam penyelesaian VRP yaitu dengan metode solusi eksak yang melakukan pendekatan dengan menghitung sampai satu solusi terbaik dapat diperoleh, dengan metode heuristik yaitu dengan melakukan pendekatan namun waktu penyelesaian lebih cepat daripada solusi eksak, dan dengan metode metaheuristik yaitu dengan melakukan perbaikan mulai dengan satu atau lebih solusi awal (Toth dan Vigo 2002). Dalam karya ilmiah ini digunakan metode solusi eksak dengan bantuan software LINGO 11.0 dalam mencari solusi optimal. Formulasi Matematika VRP Didefinisikan G = (V, A) merupakan graf lengkap dengan V = {0,1,.. n}, verteks 0 menunjukkan depot, dan selainnya menunjukkan pelanggan. Dimisalkan bahwa S V {0} menunjukkan himpunan pelanggan, sedangkan A didefinisikan sebagai sejumlah lintasan yang terdiri dari lintasan berlawanan (i, j) dan (j, i) untuk setiap i, j A. Sedangkan c ij menunjukkan besarnya biaya yang dikeluarkan untuk melakukan perjalanan dari pelanggan i ke pelanggan j, r menunjukkan jumlah minimum kendaraan yang dibutuhkan untuk melayani pelanggan, serta K menunjukkan banyaknya kunjungan yang masuk ke depot ataupun keluar dari depot.

13 3 Variabel keputusan x ij = { 1, jika terjadi kunjungan dari pelanggan i ke pelanggan j 0, selainnya Fungsi objektif min c ij x ij i V j V Kendala x ij = 1, j V {0}...(1) i V x ij = 1, i V {0}...(2) j V x i0 = K...(3) i V x 0j = K...(4) j V x ij r (S), S V {0}, S...(5) i S j S x ij {0,1}, i, j V...(6) Dari formulasi matematika tersebut ditunjukkan bahwa fungsi objektif bertujuan meminimumkan biaya perjalanan. Kendala (1) dan (2) menyatakan bahwa tiap pelanggan tepat dikunjungi satu kali. Kendala (3) dan (4) menyatakan bahwa banyaknya kunjungan yang masuk ke depot dan keluar dari depot besarnya sama dan ditunjukkan dengan K. Kendala (5) menyatakan kunjungan yang terjadi bernilai lebih besar atau sama dengan jumlah kendaraan yang tersedia. Kendala (6) menyatakan bahwa variabel kunjungan bernilai biner (Toth dan Vigo 2002). Kelas-Kelas VRP Berdasarkan variasi permasalahan utama yang terjadi pada VRP, maka VRP dapat dibedakan menjadi beberapa kelas, antara lain Capacitated VRP (CVRP) yaitu kendala yang ada ditambah dengan kapasitas kendaraan yang terbatas, Distance Constrained VRP (DCVRP) yaitu VRP dengan kendala batasan panjang rute, VRP with Backhauls (VRPB) yaitu VRP dengan proses pengambilan baru dapat dilakukan setelah semua pengiriman selesai, VRP with Time Windows (VRPTW) yaitu VRP dengan kendala setiap pelanggan memiliki batasan waktu, VRP with Pickup and Delivery (VRPPD) yaitu VRP dengan aktivitas pengambilan dan pengantaran barang dilakukan dalam saat yang bersamaan (Toth dan Vigo 2002). Berikut gambar yang menunjukkan hubungan antara kelas-kelas VRP tersebut.

14 4 CVRP (Capacitated VRP) Route Length DCVRP (Distance Capacitated VRP) Backhauling Time Windows Mix Service VRPB (VRP Backhauls) VRPTW (VRP with Time Windows) VRPPD (VRP with Pickup and Delivery) VRPBTW (VRP with Backhauls&Time Windows) VRPPDTW (VRP with Pickup and Delivery and Time Windows) Dalam karya ilmiah ini dibahas dua kelas VRP yaitu VRP with Time Windows (VRPTW) dan VRP with Pickup and Delivery (VRPPD). Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW) Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW) adalah masalah penentuan rute kendaraan dengan biaya minimum untuk melayani seluruh pelanggan dan memenuhi kendala kapasitas kendaraan dan time windows pada setiap pelanggan dan depot. Time windows pada depot didefinisikan sebagai selang waktu kendaraan berangkat dan kembali lagi ke depot. Time windows pada depot disebut juga scheduling horizon, yang berarti bahwa setiap kendaraan tidak boleh meninggalkan depot sebelum waktu awal depot dimulai dan harus kembali ke depot sebelum waktu akhir depot selesai. Time windows pada setiap pelanggan didefinisikan sebagai selang waktu sehingga kendaraan dapat memulai pelayanan setelah waktu awal pelanggan dimulai dan sebelum waktu akhir pelanggan selesai. Jika kendaraan datang sebelum waktu awal pelanggan maka kendaraan harus menunggu sampai tiba waktu awal pelanggan dapat dilayani, dan kendaraan yang menunggu tidak dikenai biaya tambahan. Terdapat dua tipe time windows pada VRPTW, yaitu hard time windows dan soft time windows. Pada hard time windows, kendaraan harus tiba di pelanggan sebelum waktu akhir pelanggan. Kendaraan yang datang setelah waktu akhir pelanggan disebut tardy. Pada soft time windows, kendaraan boleh datang setelah waktu akhir pelanggan dan dikenakan biaya tambahan (Kallehauge et al. 2005). VRPTW memiliki beberapa kriteria yaitu rute setiap kendaraan pasti berawal dan berakhir di depot, setiap pelanggan dilewati tepat oleh satu rute, jumlah permintaan dari pelanggan pada suatu rute tidak melebihi kapasitas

15 5 kendaraan, dan setiap pelanggan memiliki kendala time windows (batas waktu) (Cordeau et al. 2002). Formulasi Matematika VRPTW Didefinisikan G = (V, A) merupakan graf lengkap dengan V = {0,1,.. n}, verteks 0 menunjukkan depot dan selainnya menunjukkan pelanggan. Dan dimisalkan bahwa N V {0} menunjukkan himpunan pelanggan sedangkan K menunjukan himpunan kendaraan. A didefinisikan sejumlah lintasan yang terdiri dari lintasan berlawanan (i, j) dan (j, i) untuk setiap i, j A dan k menyatakan kendaraan, k K. Notasi c ij menunjukkan besarnya biaya yang dikeluarkan untuk perjalanan dari pelanggan i ke pelanggan j, d i menunjukkan banyaknya permintaan pada pelanggan i, C menyatakan kapasitas kendaraan, b ik menyatakan waktu dimulainya pelayanan pada pelanggan i oleh kendaraan k, s i menyatakan lama pelayanan pelanggan i, t ijk menyatakan lama perjalanan dari pelanggan i ke pelanggan j dengan kendaraan k, [e i, l i ] menyatakan time windows yang menunjukkan waktu tercepat dan waktu terlama dalam melayani pelanggan i, serta M merupakan konstanta positif yang nilainya relatif besar. Variabel keputusan x ijk = { 1, jika pelanggan j dilayani setelah pelanggan i oleh kendaraan k 0, selainnya Fungsi objektif min k K (i,j) A c ij x ijk Kendala x ijk = 1, i N (1) k K j N x 0jk = 1, k K j N x i0k = 1, k K i N x ijk x jik = 0, k K, j N i N i N (2) (3) (4) d i x ijk C, k K (5) i N j N b ik + s i + t ijk b jk (1 x ijk )M ij, k K, (i, j) A (6) e i b ik (7) b ik + s i l i (8) b ik 0 (9) x ijk 0, k K, (i, j) A (10) x ijk {0,1}, k K, (i, j) A (11)

16 6 Dari formulasi matematika di atas terlihat bahwa fungsi objektif bertujuan meminimumkan biaya perjalanan. Kendala 1 menyatakan tiap pelanggan tepat dikunjungi sekali oleh tiap kendaraan. Kendala 2 dan 3 menyatakan bahwa semua kendaraan harus memulai rute perjalanan dari depot dan kembali lagi ke depot. Kendala 4 menyatakan kekontinuan rute yaitu ketika kendaraan meninggalkan pelanggan, kendaraan tidak akan kembali ke pelanggan tersebut. Kendala 5 menyatakan bahwa banyaknya permintaan tidak akan melebihi kapasitas kendaraan. Kendala 6-8 menyatakan batas waktu (time windows) yang berlaku pada setiap pelanggan. Kendala 9 dan 10 merupakan kendala ketaknegatifan. Kendala 11 menyatakan bilangan biner yaitu jika terjadi kunjungan maka bernilai 1 sedangkan jika tidak terjadi kunjungan maka bernilai 0 (Cordeau et al. 2002). Vehicle Routing Problem with Pickup and Delivery (VRPPD) Vehicle Routing Problem with Pickup and Delivery (VRPPD) adalah aktivitas pendistribusian barang pada VRP yang tidak hanya sekedar mengantar barang tetapi juga mengambil barang dari setiap pelanggan pada satu rute. VRPPD bertujuan meminimumkan biaya dengan cara meminimumkan jarak/rute yang ditempuh oleh kendaraan dengan batasan semua aktivitas antarjemput barang terpenuhi dan setiap pelanggan hanya sekali dikunjungi oleh satu kendaraan dengan kapasitas yang terbatas (Desaulniers et al. 2002). Dalam VRPPD diasumsikan bahwa pengiriman dilakukan sebelum pengambilan. Formulasi Matematika Didefinisikan G = (V, A) merupakan graf lengkap dengan V = {0,1,.. n}, verteks 0 menunjukkan depot dan selainnya menunjukkan pelanggan. Dimisalkan bahwa N V {0} yang menunjukkan himpunan pelanggan, sedangkan A adalah himpunan yang terdiri dari rute yang berlawanan (i, j) dan (j, i) untuk setiap i, j A. Diketahui D ij dan P ij menunjukkan banyaknya barang yang diantar dan dijemput pada sepanjang lintasan (i, j) A, sedangkan x ij merupakan bilangan biner yang menyatakan ada atau tidak adanya kunjungan yang dilakukan dari pelanggan i ke pelanggan j. Parameter c ij = biaya perjalanan dari pelanggan i ke pelanggan j yang dikeluarkan oleh perusahaan D ij = banyaknya barang yang diantar pada sepanjang lintasan dari pelanggan i ke pelanggan j P ij = banyaknya barang yang diambil pada sepanjang lintasan dari pelanggan i ke pelanggan j m = banyaknya kendaraan yang tersedia Q = kapasitas kendaraan Variabel keputusan x ij = { 1, ada kunjungan dari pelanggan i ke pelanggan j 0, selainnya

17 7 Fungsi objektif min c ij x ij. i V j V Fungsi objektif bertujuan meminimumkan total biaya perjalanan dari semua perjalanan di setiap pelanggan. Kendala 1 Setiap pelanggan harus dikunjungi tepat sekali: x ij = 1, i V, j V x ji = 1, i V. j V 2 Kendaraan yang tersedia cukup untuk melakukan pendistribusian: x 0j m. j V 3 Banyaknya barang antarjemput pada pelanggan j bergantung pada banyaknya barang pada sepanjang lintasan: D ij D ji = d j, i V, i V i V P ji P ij = p j, i V. i V i V 4 Total barang yang dikirim dan diambil tidak melebihi kapasitas kendaraan: D ij + P ij Qx ij, (i, j) A. 5 Kendala ketaknegatifan: D ij 0, (i, j) A, P ij 0, (i, j) A, x ij {0,1}, (i, j) A. (Subramanian dan Ochi 2010). APLIKASI PENDISTRIBUSIAN ROTI PADA PT NIPPON INDOSARI CORPORINDO Salah satu masalah yang dapat diselesaikan dengan Vehicle Routing Problem adalah permasalahan pendistribusian produk dengan menentukan rute yang optimal, sehingga biaya yang dikeluarkan bisa seminimum mungkin. Dalam karya ilmiah ini, dibahas masalah pendistribusian roti di PT Nippon Indosari Corporindo. Sistem perusahaan tidak hanya sekedar mengantar roti yang baru ke seluruh pelanggan namun juga mengambil roti yang sudah kadaluarsa. Roti merupakan produk yang mempunyai kendala waktu, maka dalam kasus ini perlu dipertimbangkan kendala waktu. Selain itu, perlu dipertimbangkan pula kendala

18 8 kapasitas kendaraan, jarak, serta beberapa kendala yang lainnya. Pada formulasi permasalahan ini digunakan asumsi-asumsi sebagai berikut: 1 semua permintaan antarjemput roti dari pelanggan dapat terpenuhi, 2 dari beberapa variasi dan ukuran roti yang diproduksi, dalam simulasi ini jenis roti yang diantarjemput adalah homogen (memiliki ukuran dan jenis yang sama), karena akan berpengaruh pada kapasitas kendaraan dan biaya yang dikeluarkan perusahaan, 3 jarak antarpelanggan adalah simetrik, artinya jarak dari pelanggan i ke pelanggan j sama dengan jarak dari pelanggan j ke pelanggan i, 4 kecepatan dari tiap kendaraan berbeda-beda satu dengan yang lain, namun kecepatan kendaraannya konstan yakni kendaraan tidak mempercepat maupun memperlambat kecepatan, 5 pengiriman dan pengambilan roti dilakukan di pelanggan yang sama, yaitu dengan mengantar roti yang baru ke suatu pelanggan sekaligus mengambil roti yang sudah kadaluarsa. Langkah awal yang harus dilakukan adalah memodelkan masalah pendistribusian produk dalam model VRP. Dalam karya ilmiah ini, data yang dipakai berasal dari beberapa sumber. Data banyaknya pengiriman dan waktu yang dibutuhkan untuk melayani tiap pelanggan diperoleh dari hasil penelitian Raditya pada tahun Data jarak antarpelanggan diperoleh dengan bantuan Googlemap, sedangkan data banyaknya pengambilan, data waktu tercepat dan terlama, dan data tentang kendaraan yang dipakai dalam pendistribusian merupakan data hipotetik. Karya ilmiah ini mengambil studi kasus pendistribusian roti pada PT Nippon Indosari Corporindo yang dikenal dengan produknya bermerek Sari Roti. Perusahaan tersebut kemudian disebut sebagai depot yang menjadi awal keberangkatan dan akhir proses distribusi serta dinotasikan dengan A. Dari seluruh pelanggan yang ada, diambil 10 pelanggan yang berada di kawasan kota Bekasi, yaitu Lion Superindo Borobudur Bekasi, Giant Jati Bening, Carrefour Cakung, Giant Pondok Kopi, Star Mart Persada Golf, Tip Top Pondok Gede, Hero Kemang Pratama, Carrefour Bekasi Square, Tip Top Pondok Bambu, dan Giant Kalimalang. Pelanggan dinotasikan dengan B, C,..., K. Peta lokasi depot dan pelanggan dengan bantuan Googlemap dapat dilihat pada Gambar 1.

19 9 Gambar 1 Lokasi depot dan semua pelanggan Dari peta pada Gambar 1, dapat dilihat letak dari depot dan pelanggan, sedangkan jarak di antaranya diasumsikan simetris yaitu jarak dari pelanggan i ke pelanggan j sama dengan jarak dari pelanggan j ke pelanggan i. Jarak antarlokasi diperoleh dari bantuan Googlemap dapat dilihat pada tabel sebagai berikut: Tabel 1 Jarak antarlokasi depot dan pelanggan (km) Jarak A B C D E F G H I J K A B C D E F G H I J 0 10 K 0 Setiap pelanggan memiliki jumlah permintaan barang yang harus diantar dan dijemput. Lamanya waktu yang dibutuhkan untuk melayani tiap pelanggan berbeda-beda. Selain itu, tiap pelanggan memiliki batas waktu (time windows) yang berbeda pula yaitu selang waktu tercepat dan terlama dalam melayani tiap pelanggan. Banyaknya roti yang diantar dan lamanya waktu pelayanan diperoleh dari hasil penelitian Raditya pada tahun 2009, sedangkan banyaknya roti yang dijemput dan time windows merupakan data hipotetik. Data disajikan pada Tabel 2.

20 10 Tabel 2 Label Banyak roti yang dikirim dan diambil, waktu pelayanan, dan time windows Nama tempat Jumlah roti dikirim (kardus) Jumlah roti diambil (kardus) Waktu pelayanan (menit) Time windows (menit ke) A PT Nippon Indosari Corporindo (depot) B Lion Superindo Borobudur Bekasi C Giant Jati Bening D Carrefour Cakung E Giant Pondok Kopi F Star Mart Persada Golf H Hero Kemang Pratama I Carrefour Bekasi Square J Tip-Top Pondok Bambu K Giant Kalimalang Proses pendistribusian roti menggunakan 7 buah kendaraan, yaitu 2 buah mobil boks besar, 2 buah mobil boks sedang, 2 buah mobil boks kecil, dan 1 buah sepeda motor. Setiap kendaraan memiliki kapasitas dan kecepatan yang berbedabeda dan besarnya biaya operasional yang berbeda. Data disajikan pada Tabel 3. Tabel 3 Kapasitas, kecepatan, dan biaya operasional kendaraan No. Kapasitas Kecepatan Biaya Operasional Jenis Kendaraan Kend (kardus) (km/menit) (rupiah/km) 1 Mobil Boks Besar Mobil Boks Besar Mobil Boks Sedang Mobil Boks Sedang Mobil Boks Kecil Mobil Boks Kecil Sepeda Motor

21 11 Penyelesaian masalah pendistribusian roti melalui 2 tahap yaitu meminimumkan banyak kendaraan yang digunakan, dan meminimumkan biaya yang dikeluarkan perusahaan. Formulasi matematika dari masalah tersebut dapat ditulis sebagai berikut : Himpunan N = {A, B,.. K} = himpunan depot dan pelanggan, dengan A menyatakan depot H = {B, C,.. K} = himpunan pelanggan K = {1,2,,7} = himpunan kendaraan Indeks i, j = indeks untuk menyatakan depot dan pelanggan k = indeks untuk menyatakan kendaraan Parameter c ij = biaya perjalanan dari pelanggan i ke pelanggan j yang dikeluarkan oleh perusahaan (Rp /km) d j = banyaknya roti baru yang dikirim ke pelanggan j p j = banyaknya roti lama yang diambil dari pelanggan j g ij = jumlah roti baru yang dibawa pada sepanjang lintasan dari pelanggan i ke pelanggan j h ij = jumlah roti lama yang dibawa pada sepanjang lintasan dari pelanggan i ke pelanggan j a k = kapasitas kendaraan k f k = biaya penggunaan kendaraan k v k = kecepatan kendaraan k r ij = jarak antara pelanggan i ke pelanggan j (km) t ijk = lama perjalanan dari pelanggan i ke pelanggan j dengan kendaraan k s i = lama pelayanan pelanggan i b ik = waktu dimulainya pelayanan pada pelanggan i oleh kendaraan k [e i, l i ] = time windows yang menunjukkan waktu tercepat dan waktu terlama dalam melayani pelanggan i y = total biaya yang dikeluarkan perusahaan M = konstanta positif yang nilainya relatif besar Dalam simulasi ini digunakan 1 depot, 10 pelanggan, dan 7 kendaraan. Maka nilai dari i = 1,2,..10, j = 1,2,..10, sedangkan 0 menyatakan depot dan k = 1,2,..7. Variabel keputusan x ijk = { 1, pelanggan j dilayani setelah pelanggan i oleh kendaraan k 0, selainnya, z k = { 1, jika kendaraan k digunakan 0, selainnya. Fungsi objektif Tahap 1 (Meminimumkan jumlah kendaraan) 7 min K = z k. k=1

22 12 Kendala 1 Total biaya yang dikeluarkan perusahaan meliputi biaya perjalanan dan biaya operasional kendaraan: i=1 j=1 k=1 7 y = c ij x ijk + f k z k, i, j, i j, c ij = 1000r ij. k=1 2 Tidak semua kendaraan keluar dari depot: 10 x 0jk 1, k K. j=1 3 Setiap pelanggan dikunjungi tepat sekali oleh satu kendaraan: 10 7 x ijk = 1, j, i=1 k=1 i j 10 7 x ijk = 1, i. j=1 k=1 j 1 4 Kekontinuan rute yaitu ketika kendaraan meninggalkan pelanggan, kendaraan tidak akan kembali ke pelanggan tersebut: 10 x jik x ijk = 0, i, k. j=1 j i 10 j=1 i j 5 Total barang yang dikirim dan diambil tidak melebihi kapasitas setiap kendaraan: 7 g ij + h ij x ijk a k, i, j, i j. k=1 6 Lama perjalanan dipengaruhi oleh jarak antarpelanggan dan kecepatan kendaraan yang digunakan: t ijk = r ij, i, j, k, i j. v k 7 Banyaknya barang yang diambil pada pelanggan j bergantung pada banyaknya barang pada sepanjang lintasan: 10 h ji h ij = p j, j, j > 1. i=1 j i 10 i=1 i j 8 Banyaknya barang yang dikirim pada pelanggan j bergantung pada banyaknya barang pada sepanjang lintasan: 10 g ij g ji = d j, j, j > 1. i=1 j i 10 i=1 i j 9 Kendala ketaknegatifan: g ij 0, i, j, i j,

23 13 h ij 0, i, j, i j. 10 Waktu pelanggan i mulai dilayani oleh kendaraan k: b ik + s i + t ijk M(1 x ijk ) b jk, i, j, k, i j, j Time window yang berlaku di setiap pelanggan: e i b ik, i, k, i 1, b ik + s i l i, i, k, i 1, b ik 0, i, k, i 1. Tahap 2 (Meminimumkan biaya) Kendala k min c ij x ijk + f k z k. i=1 j=1 k=1 j 1 7 z k = k, k=1 dengan k merupakan banyaknya kendaraan minimum yang diperoleh dari Tahap 1. Selainnya sama dengan kendala pada Tahap 1 nomor HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam karya ilmiah ini solusi optimal masalah pendistribusian roti dicari dengan peranti lunak LINGO Tujuan akhir dari masalah ini adalah menemukan rute antarjemput roti yang meminimumkan biaya operasional kendaraan. Ada dua tahap pencarian solusi, pertama menentukan jumlah minimum kendaraan yang diperlukan. Setelah jumlah ditentukan, tahap kedua adalah mengatur ulang rute agar mendapatkan rute yang optimal sedemikian sehingga biaya operasional dapat ditekan sekecil mungkin. Tahap 1 Meminimumkan jumlah kendaraan Dari 7 kendaraan yang tersedia diperoleh kendaraan optimal yang digunakan untuk pendistribusian ini adalah 4 kendaraan, yaitu kendaraan 4, 5, 6 dan 7. Waktu yang dibutuhkan untuk mendapatkan solusi tersebut adalah 3 jam 50 menit 11 detik dengan menggunakan komputer Intel Atom CPU N450@1.66Ghz 512KB Cache dengan banyaknya iterasi adalah iterasi. Biaya yang dikeluarkan Dari simulasi tahap pertama ini, biaya yang harus dikeluarkan oleh perusahaan ialah Rp

24 14 Rute yang dihasilkan Hasil dari iterasi program LINGO 11.0 rute Kendaraan 4 adalah A-K-C-A pada gambar 2, rute Kendaraan 5 adalah A-D-E-G-A pada gambar 3, rute Kendaraan 6 adalah A-J-B-A pada gambar 4, sedangkan rute Kendaraan 7 adalah A-F-H-I-A pada gambar 5. Berikut rute yang diperoleh pada pendistribusian roti ini: Kendaraan 4 Kendaraan 5 J D E J D E F F B B K C I K C I G H A G H A Gambar 2 Rute Kendaraan 4 pada Tahap 1 Gambar 3 Rute Kendaraan 5 pada Tahap 1 Kendaraan 6 Kendaraan 7 J D E J D E F F B B K C I K C I G H A G H A Gambar 4 Rute Kendaraan 6 pada Tahap 1 Gambar 5 Rute Kendaraan 7 pada Tahap 1 Tahap 2 Biaya minimum yang dikeluarkan Setelah diketahui pada Tahap 1 bahwa banyaknya kendaraan yang dipakai sebanyak 4 buah yakni kendaraan 4, 5, 6, dan 7 kemudian digunakan untuk melakukan simulasi selanjutnya dengan fungsi objektif untuk meminimumkan jumlah biaya yang dikeluarkan perusahaan. Dengan 1 depot dan 10 pelanggan serta 4 kendaraan yang digunakan, biaya minimum yang harus dikeluarkan

25 15 perusahaan adalah sebesar Rp Waktu yang dibutuhkan untuk mendapatkan solusi tersebut adalah 1 jam 25 menit 41 detik dengan menggunakan komputer Intel Atom CPU N450@1.66Ghz 512KB Cache dan banyaknya iterasi sebanyak iterasi. Rute yang dihasilkan Rute yang dihasilkan dari iterasi program tersebut mendapatkan 4 rute, rute Kendaraan 4 adalah A-K-G-A pada gambar 6, rute Kendaraan 5 adalah A-J-B-A pada gambar 7, rute Kendaraan 6 adalah A-C-E-D-A pada gambar 8, sedangkan rute Kendaraan 7 adalah A-F-H-I-A pada gambar 9. Berikut rute yang diperoleh pada pendistribusian roti ini: Kendaraan 4 Kendaraan 5 J D E J D E F F B B K C I K C I G H A G H A Gambar 6 Rute Kendaraan 4 pada Tahap 2 Gambar 7 Rute Kendaraan 5 pada Tahap 2 Kendaraan 6 Kendaraan 7 J D E J D E F F B B K C I K C I G H A G H A Gambar 8 Rute Kendaraan 6 pada Tahap 2 Gambar 9 Rute Kendaraan 7 pada Tahap 2 Jika dilihat hasil antara Tahap 1 dan Tahap 2 maka terjadi perubahan pada rute yang ditempuh oleh kendaraan, serta terjadi perubahan besar biaya yang

26 16 dikeluarkan. Dengan memastikan terlebih dahulu kendaraan yang digunakan dari hasil Tahap 1, maka mampu menghemat biaya sebesar Rp Aktivitas antarjemput roti beserta time windows yang berlaku Kendaraan 4 Dari data yang telah ditunjukkan di awal serta dari hasil LINGO 11.0 maka dapat diketahui waktu yang diperlukan pada setiap kendaraan. Lama pelayanan dan time windows telah diketahui, sedangkan lama perjalanan dan waktu pelanggan mulai dilayani dapat dilihat dari hasil LINGO Waktu tunggu adalah selisih antara waktu pelanggan mulai dilayani dikurangi dengan total lama perjalanan. Sebagai contoh pada Kendaraan 4, rute yang diperoleh A-K-G-A maka dari pelanggan A ke K menghasilkan lama perjalanan selama 42,57 menit sedangkan pelanggan mulai dilayani di menit ke-42,57 maka waktu tunggu adalah nol. Diketahui lamanya pelayanan selama 58 menit, maka total waktu yang dibutuhkan 100,57 menit. Kemudian kendaraan menuju pelanggan G selama 10,28 menit, maka kendaraan tiba pada menit ke-110,85 sedangkan pelanggan baru dilayani di menit ke-120 maka waktu tunggu kendaraan selama 9,15 menit dan lama pelayanan selama 60 menit, maka total waktu yang dibutuhkan 180 menit kemudian kendaraan kembali ke depot selama 24,83 menit, maka kendaraan tiba pada menit ke-204,83. Penjelasan dapat dilihat sebagai berikut: Tabel 4 Time windows yang berlaku pada Kendaraan 4 Rute Lama perjalanan (t ijk ) (menit) Waktu mulai dilayani (b ik ) (menit ke-) Waktu tunggu (menit) Lama pelayanan (s i ) (menit) Time windows [e i, l i ] (menit) A-K K-G G-A Dari time windows tersebut, diketahui lama waktu yang dibutuhkan untuk mengambil roti lama, mengantarkan roti baru, dan waktu yang harus dipenuhi untuk sampai pada pelanggan selanjutnya tepat waktu. Jumlah roti yang diantarjemput pada setiap pelanggan dan jumlah roti pada sepanjang lintasan oleh Kendaraan 4 dengan kapasitas 80 kardus dapat dilihat pada tabel berikut:

27 17 Tabel 5 Jumlah roti diantarjemput dan jumlah roti pada sepanjang lintasan oleh Kendaraan 4 Rute Jumlah roti baru dikirim (d j ) (kardus) Jumlah roti lama diambil (p j ) (kardus) Jumlah roti baru pada sepanjang lintasan (g ij ) (kardus) Jumlah roti lama pada sepanjang lintasan (h ij ) (kardus) A-K K-G G-A Rute pendistribusian dengan menggunakan Kendaraan 4 dapat dilihat pada gambar berikut dengan asumsi aktivitas pendistribusian dimulai dari pukul WIB A (g 60, h 60 ) = (0,15) (g 0 10, h 0 10 ) = (29,0) d 6 = 11 d 10 = 18 G K p 6 = 5 p 10 = (g 10 6, h 10 6 ) = (11,10) Gambar 10 Aktivitas antarjemput roti dan time windows pada Kendaraan 4 Kendaraan 5 Alur waktu yang terjadi pada Kendaraan 5 dengan metode perhitungan yang sama dengan Kendaraan 4 maka waktu yang dibutuhkan oleh Kendaraan 5 dimulai sejak meninggalkan depot sampai kembali ke depot dapat dilihat sebagai berikut: Tabel 6 Time windows yang berlaku pada Kendaraan 5 Rute Lama perjalanan (t ijk ) (menit) Waktu mulai dilayani (b ik ) (menit ke-) Waktu tunggu (menit) Lama pelayanan (s i ) (menit) Time windows [e i, l i ] (menit) A-J J-B 11, , B-A 23,

28 18 Jumlah roti yang diantarjemput pada setiap pelanggan dan jumlah roti pada sepanjang lintasan oleh Kendaraan 5 dengan kapasitas 50 kardus dapat dilihat pada tabel berikut: Tabel 7 Jumlah roti diantarjemput dan jumlah roti pada sepanjang lintasan oleh Kendaraan 5 Rute Jumlah roti baru dikirim (d j ) (kardus) Jumlah roti lama diambil (p j ) (kardus) Jumlah roti baru pada sepanjang lintasan (g ij ) (kardus) Jumlah roti lama pada sepanjang lintasan (h ij ) (kardus) A-J J-B B-A Dengan asumsi aktivitas pendistribusian dimulai pukul WIB maka rute pendistribusian pada Kendaraan 5 bisa dilihat sebagai berikut : A (g 10, h 10 ) = (0,30) (g 09, h 09 ) = (44,0) d 1 = 7 d 9 = 37 p 1 = 5 B J p 9 = (g 91, h 91 ) = (7,25) Gambar 11 Aktivitas antarjemput roti dan time windows pada Kendaraan 5 Kendaraan 6 Alur waktu yang terjadi pada Kendaraan 6 dengan metode perhitungan yang sama dengan Kendaraan 4 maka waktu yang dibutuhkan oleh Kendaraan 6 dimulai sejak meninggalkan depot sampai kembali ke depot dapat dilihat sebagai berikut:

29 19 Tabel 8 Time windows yang berlaku pada Kendaraan 6 Rute Lama perjalanan (t ijk ) (menit) Waktu mulai dilayani (b ik ) (menit ke-) Waktu tunggu (menit) Lama pelayanan (s i ) (menit) Time windows [e i, l i ] (menit) A-C 22,75 32,92 10, C-E 8,25 88, E-D 3, D-A 24, Jumlah roti yang diantarjemput pada setiap pelanggan dan jumlah roti pada sepanjang lintasan oleh Kendaraan 6 dengan kapasitas 50 kardus dapat dilihat pada tabel berikut: Tabel 9 Jumlah roti diantarjemput dan jumlah roti pada sepanjang lintasan oleh Kendaraan 6 Rute Jumlah roti baru dikirim (d j ) (kardus) Jumlah roti lama diambil (p j ) (kardus) Jumlah roti baru pada sepanjang lintasan (g ij ) (kardus) Jumlah roti lama pada sepanjang lintasan (h ij ) (kardus) A-C C-E E-D D-A Dengan asumsi aktivitas pendistribusian dimulai pukul WIB maka rute pendistribusian pada Kendaraan 6 bisa dilihat sebagai berikut : (g 02, h 02 ) = (36,0) A C d 2 = 9 p 2 = 10 (g 30, h 30 ) = (0,24) (g 24, h 24 ) = (27,10) d 3 = 12 D (g 43, h 43 ) = (12,20) d 4 = 15 E p 3 = 4 p 4 = Gambar 12 Aktivitas antarjemput roti dan time windows pada Kendaraan 6

30 20 Kendaraan 7 Alur waktu yang terjadi pada Kendaraan 7 dengan metode perhitungan yang sama dengan Kendaraan 4 maka waktu yang dibutuhkan oleh Kendaraan 7 dimulai sejak meninggalkan depot sampai kembali ke depot dapat dilihat sebagai berikut: Tabel 10 Time windows yang berlaku pada Kendaraan 7 Rute Lama Perjalanan (t ijk ) (menit) Waktu Mulai Dilayani (b ik ) (menit ke-) Waktu Tunggu (menit) Lama Pelayanan (s i ) (menit) Time Windows [e i, l i ] (menit) A-F 22, , F-H 11,77 44,85 0, H-I 4, I-A 12, Jumlah roti yang diantarjemput pada setiap pelanggan dan jumlah roti pada sepanjang lintasan oleh Kendaraan 7 dengan kapasitas 25 kardus dapat dilihat pada tabel berikut: Tabel 11 Jumlah roti diantarjemput dan jumlah roti pada sepanjang lintasan oleh Kendaraan 7 Rute Jumlah roti baru dikirim (d j ) (kardus) Jumlah roti lama diambil (p j ) (kardus) Jumlah roti baru pada sepanjang lintasan (g ij ) (kardus) Jumlah roti lama pada sepanjang lintasan (h ij ) (kardus) A-F F-H H-I I-A Dengan asumsi aktivitas pendistribusian dimulai pukul maka rute pendistribusian pada Kendaraan 7 bisa dilihat sebagai berikut :

31 (g 05, h 05 ) = (24,0) A F d 5 = 4 p 5 = 4 (g 80, h 80 ) = (0,14) (g 57, h 57 ) = (20,4) d 8 = 8 I (g 78, h 78 ) = (8,13) H d 7 = 12 p 8 = 1 p 7 = 9 Gambar 13 Aktivitas antarjemput roti dan time windows pada Kendaraan 7 SIMPULAN Masalah penentuan rute optimal dalam pendistribusian antarjemput roti dapat dimodelkan dengan Vehicle Routing Problem Pickup and Delivery (VRPPD) dengan tambahan kendala time windows, sehingga selain dapat diketahui rute pendistribusian optimal, tiap kendaraan juga dapat menyesuaikan waktu pelanggan dapat dilayani. Dalam kasus ini digunakan 2 tahap simulasi, yaitu dengan meminimumkan jumlah kendaraan yang digunakan lalu dengan meminimumkan total biaya yang dikeluarkan perusahaan. Penyelesaian masalah ini menggunakan software LINGO 11.0 dapat menghasilkan rute optimal yang memenuhi semua permintaan pelanggan. DAFTAR PUSTAKA Benavent E, Martinez A A polyhedral study of the multi depot multiple traveling salesman problem. Universtat de Valencia. 1:1-34. Cordeau JF, Desaulniers G, Desrosiers J, Solomon MM, Soumis F Vehicle routing problem with time windows. Di dalam: Toth P, Vigo D, editor. The Vehicle Routing Problem. Philadelphia (US): Siam. hlm Desaulniers G, Desrosiers J, Erdmann A, Solomon MM, Soumis F Vehicle routing problem pickup and delivery. Di dalam: Toth P, Vigo D, editor. The Vehicle Routing Problem. Philadelphia (US): Siam. hlm Kallehauge B, Larsen J, Madsen OBG, Solomon MM Vehicle routing problem with time windows. Di dalam: Desaulniers G, Desorsiers J, Marius M.S, editor. Column Generation. Unitated Stated of America (US): Springer Science. hlm

32 22 Raditya A Penggunaan metode heuristik dalam permasalahan vehicle routing problem dan implementasinya di PT Nippon Indosari Corporindo [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Subramanian A, Ochi LS New lower bounds for the vehicle routing problem with simultaneous pickup and delivery. Instituto de Computacao. 1:1-22. Toth P, Vigo D An overview of vehicle routing problems. Di dalam: Toth P, Vigo D, editor. The Vehicle Routing Problem. Philadelphia (US): Siam. hlm 1-26.

33 23 Lampiran 1 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 dalam menyelesaikan jumlah kendaraan optimal pada pendistribusian roti model: sets: kendaraan/1..7/:a,v,f,z;!a=kapasitas v=kecepatan f=biaya tetap dr penggunaan kendaraan z=menggunakan kendaraan k; pelanggan/1..11/:s,e,l,p,d;!s=lama pelayanan e=waktu tercepat l=waktu terlama p=banyak barang yg diambil di pelanggan j d=banyak barang yg dikirim di pelanggan j; load(pelanggan,kendaraan):b;!b=waktu pelanggan i mulai dilayani oleh kendaraan k; link(pelanggan,pelanggan):r,c,g,h;!r=jarak antar pelanggan c=biaya perjalanan h=banyak barang sepanjang lintasan saat pengambilan dari pelanggan i ke j g=banyak barang sepanjang lintasan saat pengiriman dari pelanggan i ke j; rute(pelanggan,pelanggan,kendaraan):x,t;!x=variabel keputusan jika kendaraan k melayani j setelah i t=lama perjalanan dari pelanggan i ke j dengan kendaraan k; endsets DATA: p= ; d= ;!Jarak; r= ;!kapasitas; a= ;!biaya tetap penggunaan kendaraan; f= ;!kecepatan kendaraan(dalam satuan km/menit); v= ;!waktu melayani;

34 24 s= ;!waktu tercepat; e= ;!waktu terlama; l= ; M= ;!=@size(kendaraan); END DATA!fungsi objektif; min =@sum(kendaraan(k):z(k));!jumlah kendaraan yang di j#ne#i:c(i,j)=1000*r(i,j))); y j#ne#i:c(i,j )* x(i,j,k)))) +@sum(kendaraan(k):f(k)*z(k));!kendala;!tidak setiap kendaraan keluar dari j#ne#1:x(1,j,k))<=1);!setiap pelanggan tepat dikunjungi 1 kali oleh satu j#ne#1:@sum(kendaraan(k):@sum(pelanggan(i) j#ne# i#ne#1:@sum(kendaraan(k):@sum(pelanggan(j) j#ne# i:x(i,j,k)))=1);!kekontinuan j#ne#i:x(j,i,k))-@sum(pelanggan(j) i#ne#j:x(i,j,k))=0));!barang yang diangkut untuk didistribusikan tidak melebihi kapasitas masing2 i#ne#j:g(i,j)+h(i,j)<=@sum(ken daraan(k):x(i,j,k)*a(k))));!hubungan lama perjalanan, jarak, dan i#ne#j:t(i,j,k)=(r(i,j)/v(k)))));!ketaknegatifan g dan i#ne#j:h(i,j)>=0));!persamaan yang menunjukkan kekontinuan pengambilan barang j#gt#1:@sum(pelanggan(i) i#ne#j:h(i,j))=p(j));!persamaan yang menunjukkan kekontinuan pengiriman barang j#gt#1:@sum(pelanggan(i) i#ne#j:g(j,i))=d(j));!waktu pelanggan i mulai dilayani oleh kendaraan k;

35 25 i#ne# j: b(i,k)+s(i)+t(i,j,k)-m*(1-x(i,j,k))<=b(j,k))));!memastikan dilayani pada time window dari adalah biner; x(i,j,k))))); end Hasil yang diperoleh:

36 26 Global optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: E-14 Extended solver steps: Total solver iterations: Variable Value Reduce Cost M y A( 1) A( 2) A( 3) A( 4) A( 5) A( 6) A( 7) V( 1) V( 2) V( 3) V( 4) V( 5) V( 6) V( 7) F( 1) F( 2) F( 3) F( 4) F( 5) F( 6) F( 7) Z( 1) Z( 2) Z( 3) Z( 4) Z( 5) Z( 6) Z( 7) S( 1) S( 2) S( 3) S( 4) S( 5) S( 6) S( 7) S( 8) S( 9) S( 10) S( 11) E( 1) E( 2) E( 3) E( 4) E( 5) E( 6) E( 7) E( 8) E( 9) E( 10) E( 11) L( 1) L( 2) L( 3) L( 4) L( 5) L( 6) L( 7) L( 8) L( 9) L( 10) L( 11) P( 1) P( 2) P( 3) P( 4) P( 5) P( 6) P( 7) P( 8) P( 9) P( 10) P( 11) D( 1) D( 2) D( 3) D( 4) D( 5) D( 6) D( 7) D( 8) D( 9) D( 10) D( 11) B( 2, 1) B( 2, 2) B( 2, 3) B( 2, 4) B( 2, 5) B( 2, 6) B( 2, 7) B( 3, 1) B( 3, 2) B( 3, 3) B( 3, 4) B( 3, 5) B( 3, 6) B( 3, 7) B( 4, 1) B( 4, 2) B( 4, 3) B( 4, 4) B( 4, 5) B( 4, 6) B( 4, 7) B( 5, 1) B( 5, 2) B( 5, 3) B( 5, 4) B( 5, 5)

37 27 B( 5, 6) B( 5, 7) B( 6, 1) B( 6, 2) B( 6, 3) B( 6, 4) B( 6, 5) B( 6, 6) B( 6, 7) B( 7, 1) B( 7, 2) B( 7, 3) B( 7, 4) B( 7, 5) B( 7, 6) B( 7, 7) B( 8, 1) B( 8, 2) B( 8, 3) B( 8, 4) B( 8, 5) B( 8, 6) B( 8, 7) B( 9, 1) B( 9, 2) B( 9, 3) B( 9, 4) B( 9, 5) B( 9, 6) B( 9, 7) B( 10, 1) B( 10, 2) B( 10, 3) B( 10, 4) B( 10, 5) B( 10, 6) B( 10, 7) B( 11, 1) B( 11, 2) B( 11, 3) B( 11, 4) B( 11, 5) B( 11, 6) B( 11, 7) R( 1, 1) R( 1, 2) R( 1, 3) R( 1, 4) R( 1, 5) R( 1, 6) R( 1, 7) R( 1, 8) R( 1, 9) R( 1, 10) R( 1, 11) R( 2, 1) R( 2, 2) R( 2, 3) R( 2, 4) R( 2, 5) R( 2, 6) R( 2, 7) R( 2, 8) R( 2, 9) R( 2, 10) R( 2, 11) R( 3, 1) R( 3, 2) R( 3, 3) R( 3, 4) R( 3, 5) R( 3, 6) R( 3, 7) R( 3, 8) R( 3, 9) R( 3, 10) R( 3, 11) R( 4, 1) R( 4, 2) R( 4, 3) R( 4, 4) R( 4, 5) R( 4, 6) R( 4, 7) R( 4, 8) R( 4, 9) R( 4, 10) R( 4, 11) R( 5, 1) R( 5, 2) R( 5, 3) R( 5, 4) R( 5, 5) R( 5, 6) R( 5, 7) R( 5, 8) R( 5, 9) R( 5, 10) R( 5, 11) R( 6, 1) R( 6, 2) R( 6, 3) R( 6, 4) R( 6, 5) R( 6, 6) R( 6, 7) R( 6, 8) R( 6, 9) R( 6, 10) R( 6, 11) R( 7, 1) R( 7, 2) R( 7, 3) R( 7, 4) R( 7, 5) R( 7, 6) R( 7, 7) R( 7, 8) R( 7, 9) R( 7, 10) R( 7, 11) R( 8, 1) R( 8, 2) R( 8, 3) R( 8, 4) R( 8, 5) R( 8, 6) R( 8, 7) R( 8, 8) R( 8, 9)

38 28 R( 8, 10) R( 8, 11) R( 9, 1) R( 9, 2) R( 9, 3) R( 9, 4) R( 9, 5) R( 9, 6) R( 9, 7) R( 9, 8) R( 9, 9) R( 9, 10) R( 9, 11) R( 10, 1) R( 10, 2) R( 10, 3) R( 10, 4) R( 10, 5) R( 10, 6) R( 10, 7) R( 10, 8) R( 10, 9) R( 10, 10) R( 10, 11) R( 11, 1) R( 11, 2) R( 11, 3) R( 11, 4) R( 11, 5) R( 11, 6) R( 11, 7) R( 11, 8) R( 11, 9) R( 11, 10) R( 11, 11) C( 1, 1) C( 1, 2) C( 1, 3) C( 1, 4) C( 1, 5) C( 1, 6) C( 1, 7) C( 1, 8) C( 1, 9) C( 1, 10) C( 1, 11) C( 2, 1) C( 2, 2) C( 2, 3) C( 2, 4) C( 2, 5) C( 2, 6) C( 2, 7) C( 2, 8) C( 2, 9) C( 2, 10) C( 2, 11) C( 3, 1) C( 3, 2) C( 3, 3) C( 3, 4) C( 4, 1) C( 4, 2) C( 4, 3) C( 4, 4) C( 4, 5) C( 4, 6) C( 4, 7) C( 4, 8) C( 4, 9) C( 4, 10) C( 4, 11) C( 5, 1) C( 5, 2) C( 5, 3) C( 5, 4) C( 5, 5) C( 5, 6) C( 5, 7) C( 5, 8) C( 5, 9) C( 5, 10) C( 5, 11) C( 6, 1) C( 6, 2) C( 6, 3) C( 6, 4) C( 6, 5) C( 6, 6) C( 6, 7) C( 6, 9) C( 6, 10) C( 6, 11) C( 7, 1) C( 7, 2) C( 7, 3) C( 7, 4) C( 7, 5) C( 7, 6) C( 7, 7) C( 7, 8) C( 7, 9) C( 7, 10) C( 7, 11) C( 8, 1) C( 8, 2) C( 8, 3) C( 8, 4) C( 8, 5) C( 8, 6) C( 8, 7) C( 8, 8) C( 8, 9) C( 8, 10) C( 8, 11) C( 9, 1) C( 9, 4) C( 9, 2) C( 9, 8) C( 9, 3) C( 9, 7) C( 9, 5) C( 9, 6) C( 9, 9) C( 9, 10) C( 9, 11) C( 10, 1) C( 10, 2) C( 10, 3) C( 10, 4)

39 29 C( 10, 5) C( 10, 6) C( 10, 7) C( 10, 8) C( 10, 9) C( 10, 10) C( 10, 11) C( 11, 1) C( 11, 2) C( 11, 3) C( 11, 4) C( 11, 5) C( 11, 6) C( 11, 7) C( 11, 8) C( 11, 9) C( 11, 10) C( 11, 11) G( 1, 4) G( 1, 6) G( 1, 10) G( 1, 11) G( 4, 5) G( 5, 7) G( 6, 8) G( 8, 9) G( 10, 2) G( 11, 3) H( 2, 1) H( 3, 1) H( 4, 5) H( 5, 7) H( 6, 8) H( 7, 1) H( 8, 9) H( 9, 1) H( 10, 2) H( 10, 6) H( 10, 7) H( 11, 3) X( 1, 4, 5) X( 1, 6, 7) X( 1, 10, 6) X( 1, 11, 4) X( 2, 1, 6) X( 3, 1, 4) X( 4, 5, 5) X( 5, 7, 5) X( 6, 8, 7) X( 7, 1, 5) X( 8, 9, 7) X( 9, 1, 7) X( 10, 2, 6) X( 11, 3, 4) T( 1, 2, 1) T( 1, 2, 2) T( 1, 2, 3) T( 1, 2, 4) T( 1, 2, 5) T( 1, 2, 6) T( 1, 2, 7) T( 1, 3, 1) T( 1, 3, 2) T( 1, 3, 3) T( 1, 3, 4) T( 1, 3, 5) T( 1, 3, 6) T( 1, 3, 7) T( 1, 4, 1) T( 1, 4, 2) T( 1, 4, 3) T( 1, 4, 4) T( 1, 4, 5) T( 1, 4, 6) T( 1, 4, 7) T( 1, 5, 1) T( 1, 5, 2) T( 1, 5, 3) T( 1, 5, 4) T( 1, 5, 5) T( 1, 5, 6) T( 1, 5, 7) T( 1, 6, 1) T( 1, 6, 2) T( 1, 6, 3) T( 1, 6, 4) T( 1, 6, 5) T( 1, 6, 6) T( 1, 6, 7) T( 1, 7, 1) T( 1, 7, 2) T( 1, 7, 3) T( 1, 7, 4) T( 1, 7, 5) T( 1, 7, 6) T( 1, 7, 7) T( 1, 8, 1) T( 1, 8, 2) T( 1, 8, 3) T( 1, 8, 4) T( 1, 8, 5) T( 1, 8, 6) T( 1, 8, 7) T( 1, 9, 1) T( 1, 9, 2) T( 1, 9, 3) T( 1, 9, 4) T( 1, 9, 5) T( 1, 9, 6) T( 1, 9, 7) T( 1, 10, 1) T( 1, 10, 2) T( 1, 10, 3) T( 1, 10, 4) T( 1, 10, 5) T( 1, 10, 6) T( 1, 10, 7) T( 1, 11, 1) T( 1, 11, 2) T( 1, 11, 3) T( 1, 11, 4) T( 1, 11, 5) T( 1, 11, 6) T( 1, 11, 7) T( 2, 1, 1) T( 2, 1, 2) T( 2, 1, 3) T( 2, 1, 4) T( 2, 1, 5) T( 2, 1, 6)

40 30 T( 2, 1, 7) T( 2, 2, 1) T( 2, 2, 2) T( 2, 2, 3) T( 2, 2, 4) T( 2, 2, 5) T( 2, 2, 6) T( 2, 2, 7) T( 2, 3, 1) T( 2, 3, 2) T( 2, 3, 3) T( 2, 3, 4) T( 2, 3, 5) T( 2, 3, 6) T( 2, 3, 7) T( 2, 4, 1) T( 2, 4, 2) T( 2, 4, 3) T( 2, 4, 4) T( 2, 4, 5) T( 2, 4, 6) T( 2, 4, 7) T( 2, 5, 1) T( 2, 5, 2) T( 2, 5, 3) T( 2, 5, 4) T( 2, 5, 5) T( 2, 5, 6) T( 2, 5, 7) T( 2, 6, 1) T( 2, 6, 2) T( 2, 6, 3) T( 2, 6, 4) T( 2, 6, 5) T( 2, 6, 6) T( 2, 6, 7) T( 2, 7, 1) T( 2, 7, 2) T( 2, 7, 3) T( 2, 7, 4) T( 2, 7, 5) T( 2, 7, 6) T( 2, 7, 7) T( 2, 8, 1) T( 2, 8, 2) T( 2, 8, 3) T( 2, 8, 4) T( 2, 8, 5) T( 2, 8, 6) T( 2, 8, 7) T( 2, 9, 1) T( 2, 9, 2) T( 2, 9, 3) T( 2, 9, 4) T( 2, 9, 5) T( 2, 9, 6) T( 2, 9, 7) T( 2, 10, 1) T( 2, 10, 2) T( 2, 10, 3) T( 2, 10, 4) T( 2, 10, 5) T( 2, 10, 6) T( 2, 10, 7) T( 2, 11, 1) T( 2, 11, 2) T( 2, 11, 3) T( 2, 11, 4) T( 2, 11, 5) T( 2, 11, 6) T( 2, 11, 7) T( 3, 1, 1) T( 3, 1, 2) T( 3, 1, 3) T( 3, 1, 4) T( 3, 1, 5) T( 3, 1, 6) T( 3, 1, 7) T( 3, 2, 1) T( 3, 2, 2) T( 3, 2, 3) T( 3, 2, 4) T( 3, 2, 5) T( 3, 2, 6) T( 3, 2, 7) T( 3, 3, 1) T( 3, 3, 2) T( 3, 3, 3) T( 3, 3, 4) T( 3, 3, 5) T( 3, 3, 6) T( 3, 3, 7) T( 3, 4, 1) T( 3, 4, 2) T( 3, 4, 3) T( 3, 4, 4) T( 3, 4, 5) T( 3, 4, 6) T( 3, 4, 7) T( 3, 5, 1) T( 3, 5, 2) T( 3, 5, 3) T( 3, 5, 4) T( 3, 5, 5) T( 3, 5, 6) T( 3, 5, 7) T( 3, 6, 1) T( 3, 6, 2) T( 3, 6, 3) T( 3, 6, 4) T( 3, 6, 5) T( 3, 6, 6) T( 3, 6, 7) T( 3, 7, 1) T( 3, 7, 2) T( 3, 7, 3) T( 3, 7, 4) T( 3, 7, 5) T( 3, 7, 6) T( 3, 7, 7) T( 3, 8, 1) T( 3, 8, 2) T( 3, 8, 3) T( 3, 8, 4) T( 3, 8, 5) T( 3, 8, 6) T( 3, 8, 7) T( 3, 9, 1) T( 3, 9, 2) T( 3, 9, 3)

41 31 T( 3, 9, 4) T( 3, 9, 5) T( 3, 9, 6) T( 3, 9, 7) T( 3, 10, 1) T( 3, 10, 2) T( 3, 10, 3) T( 3, 10, 4) T( 3, 10, 5) T( 3, 10, 6) T( 3, 10, 7) T( 3, 11, 1) T( 3, 11, 2) T( 3, 11, 3) T( 3, 11, 4) T( 3, 11, 5) T( 3, 11, 6) T( 3, 11, 7) T( 4, 1, 1) T( 4, 1, 2) T( 4, 1, 3) T( 4, 1, 4) T( 4, 1, 5) T( 4, 1, 6) T( 4, 1, 7) T( 4, 2, 1) T( 4, 2, 2) T( 4, 2, 3) T( 4, 2, 4) T( 4, 2, 5) T( 4, 2, 6) T( 4, 2, 7) T( 4, 3, 1) T( 4, 3, 2) T( 4, 3, 3) T( 4, 3, 4) T( 4, 3, 5) T( 4, 3, 6) T( 4, 3, 7) T( 4, 4, 1) T( 4, 4, 2) T( 4, 4, 3) T( 4, 4, 4) T( 4, 4, 5) T( 4, 4, 6) T( 4, 4, 7) T( 4, 5, 1) T( 4, 5, 2) T( 4, 5, 3) T( 4, 5, 4) T( 4, 5, 5) T( 4, 5, 6) T( 4, 5, 7) T( 4, 6, 1) T( 4, 6, 2) T( 4, 6, 3) T( 4, 6, 4) T( 4, 6, 5) T( 4, 6, 6) T( 4, 6, 7) T( 4, 7, 1) T( 4, 7, 2) T( 4, 7, 3) T( 4, 7, 4) T( 4, 7, 5) T( 4, 7, 6) T( 4, 7, 7) T( 4, 8, 1) T( 4, 8, 2) T( 4, 8, 3) T( 4, 8, 4) T( 4, 8, 5) T( 4, 8, 6) T( 4, 8, 7) T( 4, 9, 1) T( 4, 9, 2) T( 4, 9, 3) T( 4, 9, 4) T( 4, 9, 5) T( 4, 9, 6) T( 4, 9, 7) T( 4, 10, 1) T( 4, 10, 2) T( 4, 10, 3) T( 4, 10, 4) T( 4, 10, 5) T( 4, 10, 6) T( 4, 10, 7) T( 4, 11, 1) T( 4, 11, 2) T( 4, 11, 3) T( 4, 11, 4) T( 4, 11, 5) T( 4, 11, 6) T( 4, 11, 7) T( 5, 1, 1) T( 5, 1, 2) T( 5, 1, 3) T( 5, 1, 4) T( 5, 1, 5) T( 5, 1, 6) T( 5, 1, 7) T( 5, 2, 1) T( 5, 2, 2) T( 5, 2, 3) T( 5, 2, 4) T( 5, 2, 5) T( 5, 2, 6) T( 5, 2, 7) T( 5, 3, 1) T( 5, 3, 2) T( 5, 3, 3) T( 5, 3, 4) T( 5, 3, 5) T( 5, 3, 6) T( 5, 3, 7) T( 5, 4, 1) T( 5, 4, 2) T( 5, 4, 3) T( 5, 4, 4) T( 5, 4, 5) T( 5, 4, 6) T( 5, 4, 7) T( 5, 5, 1) T( 5, 5, 2) T( 5, 5, 3) T( 5, 5, 4) T( 5, 5, 5) T( 5, 5, 6) T( 5, 5, 7)

42 32 T( 5, 6, 1) T( 5, 6, 2) T( 5, 6, 3) T( 5, 6, 4) T( 5, 6, 5) T( 5, 6, 6) T( 5, 6, 7) T( 5, 7, 1) T( 5, 7, 2) T( 5, 7, 3) T( 5, 7, 4) T( 5, 7, 5) T( 5, 7, 6) T( 5, 7, 7) T( 5, 8, 1) T( 5, 8, 2) T( 5, 8, 3) T( 5, 8, 4) T( 5, 8, 5) T( 5, 8, 6) T( 5, 8, 7) T( 5, 9, 1) T( 5, 9, 2) T( 5, 9, 3) T( 5, 9, 4) T( 5, 9, 5) T( 5, 9, 6) T( 5, 9, 7) T( 5, 10, 1) T( 5, 10, 2) T( 5, 10, 3) T( 5, 10, 4) T( 5, 10, 5) T( 5, 10, 6) T( 5, 10, 7) T( 5, 11, 1) T( 5, 11, 2) T( 5, 11, 3) T( 5, 11, 4) T( 5, 11, 5) T( 5, 11, 6) T( 5, 11, 7) T( 6, 1, 1) T( 6, 1, 2) T( 6, 1, 3) T( 6, 1, 4) T( 6, 1, 5) T( 6, 1, 6) T( 6, 1, 7) T( 6, 2, 1) T( 6, 2, 2) T( 6, 2, 3) T( 6, 2, 4) T( 6, 2, 5) T( 6, 2, 6) T( 6, 2, 7) T( 6, 3, 1) T( 6, 3, 2) T( 6, 3, 3) T( 6, 3, 4) T( 6, 3, 5) T( 6, 3, 6) T( 6, 3, 7) T( 6, 4, 1) T( 6, 4, 2) T( 6, 4, 3) T( 6, 4, 4) T( 6, 4, 5) T( 6, 4, 6) T( 6, 4, 7) T( 6, 5, 1) T( 6, 5, 2) T( 6, 5, 3) T( 6, 5, 4) T( 6, 5, 5) T( 6, 5, 6) T( 6, 5, 7) T( 6, 6, 1) T( 6, 6, 2) T( 6, 6, 3) T( 6, 6, 4) T( 6, 6, 5) T( 6, 6, 6) T( 6, 6, 7) T( 6, 7, 1) T( 6, 7, 2) T( 6, 7, 3) T( 6, 7, 4) T( 6, 7, 5) T( 6, 7, 6) T( 6, 7, 7) T( 6, 8, 1) T( 6, 8, 2) T( 6, 8, 3) T( 6, 8, 4) T( 6, 8, 5) T( 6, 8, 6) T( 6, 8, 7) T( 6, 9, 1) T( 6, 9, 2) T( 6, 9, 3) T( 6, 9, 4) T( 6, 9, 5) T( 6, 9, 6) T( 6, 9, 7) T( 6, 10, 1) T( 6, 10, 2) T( 6, 10, 3) T( 6, 10, 4) T( 6, 10, 5) T( 6, 10, 6) T( 6, 10, 7) T( 6, 11, 1) T( 6, 11, 2) T( 6, 11, 3) T( 6, 11, 4) T( 6, 11, 5) T( 6, 11, 6) T( 6, 11, 7) T( 7, 1, 1) T( 7, 1, 2) T( 7, 1, 3) T( 7, 1, 4) T( 7, 1, 5) T( 7, 1, 6) T( 7, 1, 7) T( 7, 2, 1) T( 7, 2, 2) T( 7, 2, 3) T( 7, 2, 4)

43 33 T( 7, 2, 5) T( 7, 2, 6) T( 7, 2, 7) T( 7, 3, 1) T( 7, 3, 2) T( 7, 3, 3) T( 7, 3, 4) T( 7, 3, 5) T( 7, 3, 6) T( 7, 3, 7) T( 7, 4, 1) T( 7, 4, 2) T( 7, 4, 3) T( 7, 4, 4) T( 7, 4, 5) T( 7, 4, 6) T( 7, 4, 7) T( 7, 5, 1) T( 7, 5, 2) T( 7, 5, 3) T( 7, 5, 4) T( 7, 5, 5) T( 7, 5, 6) T( 7, 5, 7) T( 7, 6, 1) T( 7, 6, 2) T( 7, 6, 3) T( 7, 6, 4) T( 7, 6, 5) T( 7, 6, 6) T( 7, 6, 7) T( 7, 7, 1) T( 7, 7, 2) T( 7, 7, 3) T( 7, 7, 4) T( 7, 7, 5) T( 7, 7, 6) T( 7, 7, 7) T( 7, 8, 1) T( 7, 8, 2) T( 7, 8, 3) T( 7, 8, 4) T( 7, 8, 5) T( 7, 8, 6) T( 7, 8, 7) T( 7, 9, 1) T( 7, 9, 2) T( 7, 9, 3) T( 7, 9, 4) T( 7, 9, 5) T( 7, 9, 6) T( 7, 9, 7) T( 7, 10, 1) T( 7, 10, 2) T( 7, 10, 3) T( 7, 10, 4) T( 7, 10, 5) T( 7, 10, 6) T( 7, 10, 7) T( 7, 11, 1) T( 7, 11, 2) T( 7, 11, 3) T( 7, 11, 4) T( 7, 11, 5) T( 7, 11, 6) T( 7, 11, 7) T( 8, 1, 1) T( 8, 1, 2) T( 8, 1, 3) T( 8, 1, 4) T( 8, 1, 5) T( 8, 1, 6) T( 8, 1, 7) T( 8, 2, 1) T( 8, 2, 2) T( 8, 2, 3) T( 8, 2, 4) T( 8, 2, 5) T( 8, 2, 6) T( 8, 2, 7) T( 8, 3, 1) T( 8, 3, 2) T( 8, 3, 3) T( 8, 3, 4) T( 8, 3, 5) T( 8, 3, 6) T( 8, 3, 7) T( 8, 4, 1) T( 8, 4, 2) T( 8, 4, 3) T( 8, 4, 4) T( 8, 4, 5) T( 8, 4, 6) T( 8, 4, 7) T( 8, 5, 1) T( 8, 5, 2) T( 8, 5, 3) T( 8, 5, 4) T( 8, 5, 5) T( 8, 5, 6) T( 8, 5, 7) T( 8, 6, 1) T( 8, 6, 2) T( 8, 6, 3) T( 8, 6, 4) T( 8, 6, 5) T( 8, 6, 6) T( 8, 6, 7) T( 8, 7, 1) T( 8, 7, 2) T( 8, 7, 3) T( 8, 7, 4) T( 8, 7, 5) T( 8, 7, 6) T( 8, 7, 7) T( 8, 8, 1) T( 8, 8, 2) T( 8, 8, 3) T( 8, 8, 4) T( 8, 8, 5) T( 8, 8, 6) T( 8, 8, 7) T( 8, 9, 1) T( 8, 9, 2) T( 8, 9, 3) T( 8, 9, 4) T( 8, 9, 5) T( 8, 9, 6) T( 8, 9, 7) T( 8, 10, 1)

44 34 T( 8, 10, 2) T( 8, 10, 3) T( 8, 10, 4) T( 8, 10, 5) T( 8, 10, 6) T( 8, 10, 7) T( 8, 11, 1) T( 8, 11, 2) T( 8, 11, 3) T( 8, 11, 4) T( 8, 11, 5) T( 8, 11, 6) T( 8, 11, 7) T( 9, 1, 1) T( 9, 1, 2) T( 9, 1, 3) T( 9, 1, 4) T( 9, 1, 5) T( 9, 1, 6) T( 9, 1, 7) T( 9, 2, 1) T( 9, 2, 2) T( 9, 2, 3) T( 9, 2, 4) T( 9, 2, 5) T( 9, 2, 6) T( 9, 2, 7) T( 9, 3, 1) T( 9, 3, 2) T( 9, 3, 3) T( 9, 3, 4) T( 9, 3, 5) T( 9, 3, 6) T( 9, 3, 7) T( 9, 4, 1) T( 9, 4, 2) T( 9, 4, 3) T( 9, 4, 4) T( 9, 4, 5) T( 9, 4, 6) T( 9, 4, 7) T( 9, 5, 1) T( 9, 5, 2) T( 9, 5, 3) T( 9, 5, 4) T( 9, 5, 5) T( 9, 5, 6) T( 9, 5, 7) T( 9, 6, 1) T( 9, 6, 2) T( 9, 6, 3) T( 9, 6, 4) T( 9, 6, 5) T( 9, 6, 6) T( 9, 6, 7) T( 9, 7, 1) T( 9, 7, 2) T( 9, 7, 3) T( 9, 7, 4) T( 9, 7, 5) T( 9, 7, 6) T( 9, 7, 7) T( 9, 8, 1) T( 9, 8, 2) T( 9, 8, 3) T( 9, 8, 4) T( 9, 8, 5) T( 9, 8, 6) T( 9, 8, 7) T( 9, 10, 1) T( 9, 10, 2) T( 9, 10, 3) T( 9, 10, 4) T( 9, 10, 5) T( 9, 10, 6) T( 9, 10, 7) T( 9, 11, 1) T( 9, 11, 2) T( 9, 11, 3) T( 9, 11, 4) T( 9, 11, 5) T( 9, 11, 6) T( 9, 11, 7) T( 10, 1, 1) T( 10, 1, 2) T( 10, 1, 3) T( 10, 1, 4) T( 10, 1, 5) T( 10, 1, 6) T( 10, 1, 7) T( 10, 2, 1) T( 10, 2, 2) T( 10, 2, 3) T( 10, 2, 4) T( 10, 2, 5) T( 10, 2, 6) T( 10, 2, 7) T( 10, 3, 1) T( 10, 3, 2) T( 10, 3, 3) T( 10, 3, 4) T( 10, 3, 5) T( 10, 3, 6) T( 10, 3, 7) T( 10, 4, 1) T( 10, 4, 2) T( 10, 4, 3) T( 10, 4, 4) T( 10, 4, 5) T( 10, 4, 6) T( 10, 4, 7) T( 10, 5, 1) T( 10, 5, 2) T( 10, 5, 3) T( 10, 5, 4) T( 10, 5, 5) T( 10, 5, 6) T( 10, 5, 7) T( 10, 6, 1) T( 10, 6, 2) T( 10, 6, 3) T( 10, 6, 4) T( 10, 6, 5) T( 10, 6, 6) T( 10, 6, 7) T( 10, 7, 1) T( 10, 7, 2) T( 10, 7, 3) T( 10, 7, 4) T( 10, 7, 5)

45 35 T( 10, 7, 6) T( 10, 7, 7) T( 10, 8, 1) T( 10, 8, 5) T( 10, 8, 6) T( 10, 8, 7) T( 10, 9, 1) T( 10, 9, 2) T( 10, 9, 3) T( 10, 9, 4) T( 10, 9, 5) T( 10, 9, 6) T( 10, 9, 7) T( 10, 11, 1) T( 10, 11, 2) T( 10, 11, 3) T( 10, 11, 4) T( 10, 11, 5) T( 10, 11, 6) T( 10, 11, 7) T( 11, 1, 1) T( 11, 1, 2) T( 11, 1, 3) T( 11, 1, 4) T( 11, 1, 5) T( 11, 1, 6) T( 11, 1, 7) T( 11, 2, 1) T( 11, 2, 2) T( 11, 2, 3) T( 11, 2, 4) T( 11, 2, 5) T( 11, 2, 6) T( 11, 2, 7) T( 11, 3, 1) T( 11, 3, 2) T( 11, 3, 3) T( 11, 3, 4) T( 11, 3, 5) T( 11, 3, 6) T( 11, 3, 7) T( 11, 4, 1) T( 11, 4, 2) T( 11, 4, 3) T( 11, 4, 4) T( 11, 4, 5) T( 11, 4, 6) T( 11, 4, 7) T( 11, 5, 1) T( 11, 5, 2) T( 11, 5, 3) T( 11, 5, 4) T( 11, 5, 5) T( 11, 5, 6) T( 11, 5, 7) T( 11, 6, 1) T( 11, 6, 2) T( 11, 6, 3) T( 11, 6, 4) T( 11, 6, 5) T( 11, 6, 6) T( 11, 6, 7) T( 11, 7, 1) T( 11, 7, 2) T( 11, 7, 3) T( 10, 8, 2) T( 10, 8, 3) T( 10, 8, 4) T( 11, 7, 4) T( 11, 7, 5) T( 11, 7, 6) T( 11, 7, 7) T( 11, 8, 1) T( 11, 8, 2) T( 11, 8, 3) T( 11, 8, 4) T( 11, 8, 5) T( 11, 8, 6) T( 11, 8, 7) T( 11, 9, 1) T( 11, 9, 2) T( 11, 9, 3) T( 11, 9, 4) T( 11, 9, 5) T( 11, 9, 6) T( 11, 9, 7) T( 11, 10, 1) T( 11, 10, 2) T( 11, 10, 3) T( 11, 10, 4) T( 11, 10, 5) T( 11, 10, 6) T( 11, 10, 7)

46 36 Lampiran 2 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 dalam menentukan minimum biaya yang dikeluarkan perusahaan model: sets: kendaraan/1..4/:a,v,f,z;!a=kapasitas v=kecepatan f=biaya tetap dr penggunaan kendaraan z=menggunakan kendaraan k; pelanggan/1..11/:s,e,l,p,d;!s=lama pelayanan e=waktu tercepat l=waktu terlama p=banyak barang yg diambil di pelanggan j d=banyak barang yg dikirim di pelanggan j; load(pelanggan,kendaraan):b;!b=waktu pelanggan i mulai dilayani oleh kendaraan k; link(pelanggan,pelanggan):r,c,g,h;!r=jarak antar pelanggan c=biaya perjalanan h=banyak barang sepanjang lintasan saat pengambilan dari pelanggan i ke j g=banyak barang sepanjang lintasan saat pengiriman dari pelanggan i ke j; rute(pelanggan,pelanggan,kendaraan):x,t;!x=variabel keputusan jika kendaraan k melayani j setelah i t=lama perjalanan dari pelanggan i ke j dengan kendaraan k; endsets DATA: p= ; d= ;!Jarak; r= ;!kapasitas; a= ;!biaya tetap penggunaan kendaraan; f= ;!kecepatan kendaraan(dalam satuan km/menit); v= ;!waktu melayani;

47 37 s= ;!waktu tercepat; e= ;!waktu terlama; l= ; END DATA j#ne#i:c(i,j)=1000*r(i,j)));!fungsi objektif; min j#ne#i:c(i,j )* x(i,j,k)))) +@sum(kendaraan(k):f(k)*z(k));!kendala;!semua kendaraan berawal di j#ne#1:x(1,j,k))<=1);!setiap pelanggan tepat dikunjungi 1 kali oleh satu j#ne#1:@sum(kendaraan(k):@sum(pelanggan(i) j#ne# i#ne#1:@sum(kendaraan(k):@sum(pelanggan(j) j#ne# i:x(i,j,k)))=1);!kekontinuan j#ne#i:x(j,i,k))-@sum(pelanggan(j) i#ne#j:x(i,j,k))=0));!barang yang diangkut untuk didistribusikan tidak melebihi kapasitas masing2 i#ne#j:g(i,j)+h(i,j)<=@sum(ken daraan(k):x(i,j,k)*a(k))));!hubungan lama perjalanan, jarak, dan i#ne#j:t(i,j,k)=(r(i,j)/v(k)))));!memastikan g dan h nilainya i#ne#j:h(i,j)>=0));!persamaan yang menunjukkan pengambilan barang j#gt#1:@sum(pelanggan(i) i#ne#j:h(i,j))=p(j));!persamaan yang menunjukkan pengiriman barang j#gt#1:@sum(pelanggan(i) i#ne#j:g(j,i))=d(j));

48 38!waktu pelanggan i mulai dilayani oleh kendaraan j#gt#1:@for(pelanggan(i) i#ne# j: b(i,k)+s(i)+t(i,j,k)-m*(1-x(i,j,k))<=b(j,k))));!memastikan dilayani pada time window dari masing-masing i#gt#1:@for(kendaraan(k):b(i,k)+s(i)<=l(i)));!b(i,k) i#ne#1:@for(kendaraan(k):b(i,k)>=0));!x(i,j,k) adalah i#ne#j:@for(kendaraan(k):@bin( Hasil yang diperoleh: