BAB 2 MODEL PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS

Transkripsi

1 BAB 2 MODEL PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS 2.1 Pengertian Lokasi Fasilitas Pemilihan suatu lokasi merupakan hal yang sangat penting, karena faktor biaya dipengaruhi oleh fasilitas yang akan di tempatkan dan biaya juga mempengaruhi untuk menentukan lokasi dimana secara ekonomis dalam membiayai, produksi, transportasi dan distribusi serta biaya memasok kebutuhan untuk melayani permintaan dari pelanggan. Jadi untuk menempatkan suatu lokasi fasilitas merupakan suatu keputusan yang tepat agar dapat meminimalkan biaya, jika masingmasing fasilitas terbatas untuk melayani pelanggan maka persoalannya menjadi persoalan lokasi fasilitas berkapasitas, jika masing-masing fasilitas tidak terbatas untuk melayani pelanggan maka persoalannya menjadi persoalan lokasi tak berkapasitas (uncapacitated facility location problem disingkat dengan UFLP). 2.2 Model Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas Dalam persoalan program linear penyelesaian optimal dapat berupa bilangan real yang berarti bisa bilangan bulat atau bilangan pecahan. Jika pada penyelesaian pecahan dilakukan pembulatan ke bilangan bulat terdekat maka hasil yang diperoleh bisa tidak sesuai dengan hasil yang akan diharapkan. Diberbagai persoalan banyak memerlukan penyelesaian yang bulat sehingga dicari model penyelesaian dari suatu persoalan sedemikian hingga memperoleh penyelesaian optimum yang bulat atau penyelesaian integer yang optimum. Program integer merupakan pengembangan dari program linear, dalam per- 4

2 soalan integer programming jika modelnya mengharapkan semua variabelnya bernilai integer maka disebut pure integer. Jika nilai variabel-variabel tertentu bernilai integer artinya varibelnya tidak semuanya bulat maka programnya disebut dengan program linear integer campuran atau Mixed Integer Linear Program (MILP). Biasanya persoalan lokasi fasilitas berkapasitas atau Capacitated Facility Location Problem (CFLP) disebut juga sebagai program linear integer campuran yang mempunyai model sebagai berikut : Z = min C kj x kj + f j y j (2.2.1) Dengan kendala : x kj = 1, k K (2.2.2) d k x kj s j y j, j J (2.2.3) s j y j d k (2.2.4) x kj y i 0, k K, j J (2.2.5) 0 x kj 1, 0 y j 1, k K, j J (2.2.6) y j {0,1}, j J (2.2.7) Z J K C kj f j adalah fungsi tujuan adalah himpunan semua lokasi fasilitas yang potensial adalah himpunan semua pelanggan adalah biaya persediaan dan permintaan d k dari pelanggan k s dari fasilitas j adalah biaya operasi fasilitas j, dan kapasitas C j jika dibuka 5

3 { 0 Jika fasilitas j ditutup y j = 1 Jika fasilitas j dibuka x kj adalah biaya permintaan pelanggan k s dari fasilitas j Dan kendala persamaan (2.2.2) merupakan kendala permintaan kendala persamaan (2.2.3) merupakan kendala kapasitas kendala persamaan (2.2.4) merupakan kendala kapasitas secara keseluruhan kendala persamaan (2.2.5) merupakan penambahan batas implisit Dengan asumsi : C kj 0, k K dan j J (2.2.8) f j 0, j J (2.2.9) s j > 0, j J (2.2.10) d k 0, k K (2.2.11) s j > d(k) = d k (2.2.12) Dengan menerapkan relaksasi lagrangean kedalam permasalahan CFLP dengan mengabaikan kendala (2.2.2), maka model relaksasi lagrangean adalah : Dengan kendala : Z D (η) = η k +min x,y (C kj η k )x kj + f j y j (2.2.13) d k x kj s j y j, j J (2.2.14) s j y j d(k) (2.2.15) 6

4 x kj y j 0, k K, j J (2.2.16) 0 x kj 1, k K, j J (2.2.17) 0 y j 1, j J (2.2.18) y j {0,1}, j J (2.2.19) Jika kendala persamaan (2.2.2) diganti dengan pengali η k dengan k K makapengalilagrangeanoptimalyaituη opt dapatditentukandariinterval [ η min,η max] η min k = min{c kj, j J\{j(k)}} 0 (2.2.20) C kj (k) = min C kj (2.2.21) η max k = max C kj (2.2.22) Didefinisikan bahwa : V j = max x { } (η k C kj )x kj d k x kj s j, 0 x kj 1, k K (2.2.23) Jika persamaan (2.2.23) direduksi ke dalam persamaan (2.2.13) diperoleh : Z D (η) = η 0 + η k (2.2.24) { } η 0 = min (f j v j )y j s j y j d(k), y j {0,1}, k K (2.2.25) Jadi lagrangean dari persamaan (2.2.13) adalah maksimum dari fungsi lagrangean Z D (η) pada himpunan [ η min,η max], selanjutnya : Misalkan : 7

5 {y t, t T y } adalah himpunan semua solusi yang feasibel untuk persamaan (2.2.25) dan { x t j : t T x j } adalah himpunan semua solusi yang feasibel untuk persamaan (2.2.23) Dan untuk semua t T y dan t T x j didefinisikan : F t = f j y t j (2.2.26) C tj = C kj x t kj (2.2.27) Dengan menggunakan persamaan (2.2.23) dan (2.2.25) maka persamaan (2.2.13) dapat ditulis menjadi : Z D = maxη 0 + η k (2.2.28) Dengan kendala : η 0 + yjv t j F t, t T y (2.2.29) x t kjη k v j C tj, j J, t Tj x (2.2.30) u j 0, j J (2.2.31) η min k η k η max k, k K (2.2.32) η 0 R (2.2.33) Mengambil dua kali program master ganda diperoleh program master prima yang bentuknya adalah : Z D = t T y F t α t + C tj β tj + t T x j ηk max p k ηk min p k (2.2.34) 8

6 Dengan batasan : α t = 1 (2.2.35) t T y yjα t t β tj 0, j J (2.2.36) t T y t T x j x t kjβ tj +p k p k 1, k K (2.2.37) t Tj x α t 0, t T y (2.2.38) β tj 0, j J, t Tj x (2.2.39) p k,p k 0, k K (2.2.40) α t adalah variabel rangkap dari persamaan (2.2.22) β tj adalah variabel rangkap dari persamaan (2.2.23) p k dan p k adalah variabel rangkap dari persamaan (2.2.25) 9