PENGALOKASIAN ANGGARAN DENGAN MEMPERTIMBANGKAN MULTI-INPUT/OUTPUT MENGGUNAKAN DATA ENVELOPMENT ANALYSIS

Transkripsi

1 JURNAL TEKNIK INDUSTRI VOL., NO., JUNI 00: 6 - PENGALOKASIAN ANGGARAN DENGAN MEMPERTIMBANGKAN MULTI-INPUT/OUTPUT MENGGUNAKAN DATA ENVELOPMENT ANALYSIS I Nyoman Sutapa Dosen Fakultas Teknologi Industri, Jurusan Teknik Industri Unversitas Kristen Petra ABSTRAK Dalam artikel ini dikembangkan sebuah model data envelopment analysis (DEA) untuk memecahkan masalah pengalokasian anggaran ke masing-masing unit pengambil keputusan (UPK) dalam sebuah organisasi, yang mempertimbangkan multi-input/output. Dalam mengembangkan model, dilakukan dengan beberapa contoh numeris. Hasil perhitungan dengan model DEA ini, didapatkan alokasi anggaran optimal yang berupa batas bawah dan atas serta nilai alokasi diantara kedua nilai tersebut. Kata kunci : data envelopment analysis, eisiensi, alokasi anggaran. ABSTRACT In this article is developed a data envelopment analysis (DEA) model to solve a budget allocation problem to the decision-making units (DMU s) in an organisation. The allocation is depend on multiinput/output. To develop the model is used some o numerical examples. The results o calculation by DEA model are an optimum budget allocation in lower and upper bound and a ix value between them. Keywords: data envelopment analysis, eiciency, budget allocation.. PENDAHULUAN Model data envelopment analysis (DEA) dikembangkan pertama kali oleh Charnes, Cooper dan Rhodes (978), untuk mengevaluasi eisiensi relati unit-unit pengambil keputusan (UPK) dalam sebuah organisasi dengan memberi bobot pada input/output. Model DEA ini beserta turunannya disebut model standar, dimana dalam model ini setiap UPK memilih secara terpisah bobot-bobotnya untuk memaksimalkan eisiensi secara individual. Dalam perkembangan lebih lanjut, Beasley (998), mengembangkan model DEA yang lebih umum (model DEA generalisasi), dimana bobot-bobot dari input dan output dipilih secara simultan untuk semua UPK sedemikian hingga memaksimalkan eisiensi setiap UPK secara rerata. Dalam artikel ini dikembangkan sebuah model DEA untuk memecahkan masalah pengalokasikan anggaran ke masing-masing UPK dalam suatu organisasi yang didasarkan atas model DEA generalisasi. 6

2 PENGALOKASIAN FIXED COSTS DENGAN DATA ENVELOPMENT ANALYSIS (Nyoman Sutapa). MODEL DEA GENERALISASI Misalkan: s jumlah output yang diukur t jumlah input yang diukur n jumlah UPK yang dievaluasi y ip nilai output ke-i (i=,..,s) dari UPK ke-p (p=,..,n) x jp nilai input ke-j (j=,..,t) dari UPK ke-p (p=,..,n) u ip bobot tertimbang bagi nilai output ke-i (i=,..,s) dari UPK ke-p (p=,..,n) v jp bobot tertimbang bagi nilai input ke-j (j=,..,t) dari UPK ke-p (p=,..,n) E pq eisiensi relati UPK ke-q (q=,..,n) bila dievaluasi menggunakan bobot-bobot yang diasosiasikan dengan UPK ke-p (p=,..,n) ε sebuah bilangan yang sangat kecil (0<ε<<) maka E pq dapat dideinisikan sebagai : s uip yiq i= E pq =, p =,..,n; q =,..,n t v x j= jp jq dimana 0 E pq, p =,..,n; q =,..,n dalam hal ini E pq adalah eisiensi dari UPK ke-q bila dievaluasi menggunakan bobotbobot yang berhubungan dengan UPK ke-p. Dalam pendekatan DEA standar, dicari eisiensi E pp untuk UPK ke-p yang dapat dirumuskan menggunakan programa nonlinier: s uip yip i= Maks. Epp = t () v x dengan kendala j= 0 E pq, p, q =,..,n jp jp uip ε, v jp ε, i =,..,s; j =,..,t () Programa nonlinier ()-() dapat dikonversi menjadi programa linier, dengan menetapkan penyebut persamaan () menjadi sebuah konstanta dan selanjutnya menetapkannya menjadi sebuah kendala. Programa nonlinier ini dapat diinterpretasikan sebagai pemilihan bobot-bobot tertimbang sedemikian hingga memaksimalkankan eisiensi UPK ke-p relati terhadap UPK-UPK lainnya. Dalam penentuan eisiensi semua UPK, maka programa nonlinier ()-() diatas harus dipecahkan sebanyak n kali, masing-masing satu untuk setiap p (p=,..,n). Menurut Beasley (998), n programa nonlinier yang saling bebas dapat dikonsolidasikan menjadi sebuah programa nonlinier konsolidasi. Karena, ke-n programa () () () 7

3 JURNAL TEKNIK INDUSTRI VOL., NO., JUNI 00: 6 - linier ()-() diatas adalah bebas linier, maka dapat dikonsolidasikan menjadi memaksimalkan rerata eisiensi semua UPK, yaitu: n E pp Maks. (6) n p= dengan kendala 0 E pq, q =,..,n; p =,..,n uip ε, v jp ε, i =,..,s; j =,..,t; p =,..,n Cara lain menginterpretasikan programa nonlinier konsolidasi ini adalah bobot-bobot dipilih secara simultan untuk semua UPK sedemikian hingga memaksimalkan rerata eisiensi UPK. (7) (8). PEMODELAN DEA UNTUK ALOKASI ANGGARAN Misalkan sebuah organisasi mempunyai total anggaran dengan jumlah tertentu, ingin dialokasikasikan sesuai proporsi ke setiap UPK. Masalah ini biasa ditemui dalam penganggaran/pembiayaan organisasi, yaitu membagi overhead cost diantara berbagai unit (UPK). Berikut ini diturunkan sebuah model DEA untuk memutuskan bagaimana mengalokasikan anggaran secara optimal diantara UPK-UPK. Dalam model DEA, yang dimaksudkan dengan optimal adalah eisiensi setiap UPK sama dengan satu.. Model DEA dengan Multi-output dan Single Input (Alokasi Anggaran) Misalkan dalam suatu organisasi ada unit (UPK) secara bersama-sama mengajukan anggaran untuk memenuhi pengeluaran yang akan direncanakan. Tiga jenis pengeluaran, dideinisikan sebagai output, direncanakan akan terjadi untuk tahun anggaran yang akan datang. Tabel berikut ini berisikan data jumlah pengeluaran (output) yang direncanakan (satuannya sesuai dengan jenis output, dimana dalam semua jenis output ukuran satuannya tidak perlu disamakan/dijadikan satu ukuran). Tabel. Data Output setiap Unit Output ke- UPK Total Misalkan bahwa total anggaran yang tersedia untuk dialokasikan ke- UPK ini adalah terbatas, lebih kecil dibandingkan dengan total permintaan. Misalkan total anggaran besarnya F rupiah. Masalahnya, bagaimana membagi atau mengalokasikan anggaran ini 8

4 PENGALOKASIAN FIXED COSTS DENGAN DATA ENVELOPMENT ANALYSIS (Nyoman Sutapa) sedemikian hingga setiap UPK mendapatkan alokasi yang sepadan dengan rencana pengeluarannya dan seadil mungkin. Dalam membuat model DEA untuk menyelesaikan masalah ini, misalkan p ( 0) menyatakan jumlah alokasi anggaran, dideinisikan sebagi input, yang harus dialokasikan kesetiap UPK-p (p=,..,), dalam hal ini =F. Jadi dalam masalah ini ada satu input dan tiga buah output. Dalam model DEA, pengalokasian anggaran ini dideinisikan sebagai penentuan eisiensi setiap UPK. Sehingga untuk UPK ke- misalnya, eisiensinya dapat dideinisikan sebagai (0α +0α +α )/, dengan α i (i=,,) merupakan bobot tertimbang untuk ketiga output. Dalam artikel ini, anggaran harus dialokasikan sedemikian hingga setiap UPK mendapatkan alokasi secara optimal (dalam model setiap UPK mempunyai eisiensi satu). Secara konseptual, setiap UPK memerlukan anggaran (sebuah input dalam bentuk implisit) untuk menghasilkan output yang optimal. Selanjutnya, model DEA akan dikembangkan sedemikian hingga setiap UPK mendapatkan alokasi anggaran dengan bobot yang sama bagi setiap jenis output untuk setiap UPK, dan memungkinkan setiap UPK mempunyai eisiensi sama dengan satu. Dalam hal ini, terkandung maksud bahwa semua UPK dievaluasi terhadap bobot yang sama dan juga semua UPK mempunyai eisiensi maksimal. Sehingga setiap UPK mendapatkan alokasi anggaran yang adil dan sepadan, dan ini akan memungkinkan mereka semua untuk mencapai eisiensi maksimal dengan menggunakan bobot yang sama. Agar setiap UPK memiliki eisiensi satu terhadap sekumpulan bobot bersama, maka perlu diputuskan alokasi anggaran p, p=,.., dan bobot α i, i=,, sedemikian hingga: 0α α + 0α + 7α + α + α =, =, = F α + α α dan + α + α p 0, α i ε, p =,.., ; i =,, + 7α =, = 7α + 0α Ada 6 buah kendala berbentuk persamaan dan 8 variabel non-negati, dan disini secara umum akan ada beberapa derajat leksibelitas dalam nilai-nilai yang memenuhi persamaan-persamaan diatas. Untuk menginvestigasi secara sistematis leksibelitas ini, dapat dicari dengan menyelesaikan programa matematis berikut: + α = (9) (0) () Minimalkan q dengan kendala (9) sampai dengan () dan Maksimalkan q dengan kendala (9) sampai dengan (), untuk setiap nilai q (q=,..,). Rumusan ini dapat digunakan untuk menginvestigasi derajat leksibelitas dari besarnya alokasi anggaran untuk setiap UPK. Hasilnya dapat dilihat pada Tabel (untuk memudahkan perhitungan, dimisalkan F=Rp 00): 9

5 JURNAL TEKNIK INDUSTRI VOL., NO., JUNI 00: 6 - Tabel. Batas Alokasi Anggaran Minimum dan Maksimum UPK Minimum q (Rp) Maksimum q (Rp) Total Dari tabel ini, untuk UPK ke- dialokasikan anggaran yang besarnya antara 6.9 dan 9.70 rupiah. Jangkauan antara besarnya anggaran minimal dan maksimal untuk setiap UPK, dapat dilihat pada Tabel, dideinisikan sebagai jangkauan yang dapat diterima bagi setiap UPK. Misalkan L q dan U q adalah anggaran minimal dan maksimal yang dialokasikan bagi UPK ke-q. Dalam hal ini, tidak ada UPK yang mendapatkan alokasi anggaran diluar [L q,u q ]. Jelas bahwa, setiap UPK ke-q dihaharapkan mendapat alokasi seminimal mungkin, yaitu hanya L q. Bagaiamanapun, karena jumlahan total nilai minimal ini hanya Rp. sehingga solusinya tidak mencakup keseluruhan anggaran F=Rp 00. Untuk menangani masalah diatas dan supaya setiap UPK dapat memiliki eisiensi satu (nilai eisiensi maksimal), deinisikan p max dan p min ( 0) sebagai proporsi maksimal/minimal, lebih dan diatas anggaran minimal L q yang mesti dialokasikan ke masing-masing UPK ke-q, yaitu dalam jangkauan yang dapat diterima [L q,u q ]. Maka modelnya dapat dirumuskan sebagai berikut: Min p max p min dengan kendala: q Lq pmax, U q Lq q =,.., () q Lq pmin Uq Lq, q =,.., () persamaan (9) sampai () () pmax, p min 0 persamaan () menjamin bahwa p max sekurang-kurangnya bernilai sebesar proporsi terbesar yang harus dialokasikan ke setiap UPK, sedangkan persamaan () menjamin bahwa p min sekurang-kurangnya bernilai sekecil proporsi terkecil yang harus dialokasikan ke setiap UPK. Meminimalkan perbedaan antara p max dan p min berarti bahwa meminimalkan perbedaan antara proporsi maksimal dan minimal yang harus dialokasikan ke setiap UPK. Dalam hal ini, ada kemungkinan bagi setiap UPK mendapat alokasi dengan proporsi yang sama dengan nilai lebih dan diatas anggaran minimal, yaitu L ) /(U L ) = ( L ) /(U L ) q, p sehingga p max = p min. Dalam kasus ( q q q q p p p p ini, solusi optimal ()-(6) nilainya nol. () (6) 0

6 PENGALOKASIAN FIXED COSTS DENGAN DATA ENVELOPMENT ANALYSIS (Nyoman Sutapa) Solusi dari model ()-(6) diatas adalah p max =0.6 dan p min =0.7066, dengan perbedaan Dalam hal ini, setiap UPK mendapatkan alokasi dengan proporsi yang sama yaitu lebih dan diatas anggaran minimal, dengan mana setiap UPK masih mempunyai eisiensi satu. Alokasi anggaran ke- UPK adalah =Rp 6., =Rp 8.6, =Rp 9.7, =Rp. dan =Rp.0. Bobot yang berhubungan dengan alokasi anggaran ini adalah α =0.6, α =0.69 dan α = Model DEA dengan Multi-output dan Multi-input (Alokasi Anggaran + input lainnya) Dalam kasus dimana setiap UPK memiliki banyak output dan banyak input, maka model DEA-nya dapat dikembangkan dari model DEA ()-(6), sebagai berikut: Misalkan sebagai tambahan bahwa: α i bobot tertimbang untuk output i (i=,..,s) bobot tertimbang untuk input j (j=,..,t) β j E p S eisiensi relati UPK ke-p (p=,..,n) himpunan UPK-UPK yang alokasi anggarannya telah diputuskan (dimana awalnya ditetapkan S= ), dimana setiap UPK p S mempunyai himpunan anggaran F p. Himpunan ini hanya digunakan apabila ada beberapa UPK tidak memiliki leksibelitas dalam alokasi anggaran-nya atau jika diinginkan untuk memindahkan lleksibelitas UPK dengan perbedaan proporsi minimal (p max -p min ) yang telah didapat. Maka alokasi anggarannya, dapat dirumuskan sebagai berikut: Langkah : Tentukan rerata maksimal eisiensi UPK menggunakan programa nonlinier: Maksimalkan n E p p = n (7) dengan kendala: s αi yip i= E p =, t β j x jp + p j= p =,..,n (8) p = Fp, p S (9) p 0, p =,..,n 0 E p, p =,..,n αi ε, β j ε, i =,..,s; j =,..,t () Persamaan (8) mendeinisikan eisiensi setiap UPK. Persamaan (9) menjamin bahwa jumlah semua anggaran yang dialokasikan harus tepat sama dengan F. Misalkan E * adalah solusi optimal dari rumusan (7)-(). (0) ()

7 JURNAL TEKNIK INDUSTRI VOL., NO., JUNI 00: 6 - Langkah. Perlu ditentukan leksibelitas yang dihubungkan dengan alokasi anggaran untuk setiap UPK, dengan menyelesaikan programa nonlinier: n Minimalkan q dengan kendala (8)-() dan E p * = E dan, p+ n n Maksimalkan q dengan kendala (8)-() dan E p * = E, untuk q=,..,n. p+ n Seperti sebelumnya, misalkan L q dan U q solusi optimum (minimal/ maksimal anggaran yang dialokasikan) untuk UPK ke-q untuk programa nonlinier diatas. Tetapkan S=S {q} dan F q =L q untuk semua UPK ke-q S (q=,..,n) dengan L q =U q. Catatan: jika E * = programa nonlinier diatas dapat dinyatakan sebagai programa linier. Langkah. Deinisikan p max dan p min ( 0) sebagai proporsi maksimal/minimal, lebih dan diatas anggaran minimal, dibayarkan oleh sembarang UPK ke-q dalam jangkauan yang dapat diterima [L q,u q ]. Pecahkan yang berikut ini: Minimumkan pmax p min () dengan kendala q L q p max, q =,..,n; q S U q L q () q L q p min U L, q =,..,n; q S q n E persamaan (8)-() dan n q p= p = E * () pmax, pmin 0 (6) Misalkan P * solusi optimum yang dihubungkan dengan ()-(6). Langkah. Selanjutnya, perlu ditentukan apakah masih ada leksibelitas yang dapat dilakukan terhadap alokasi anggaran untuk setiap UPK ke-q, dengan memecahkan: minimalkan q dengan kendala ()-() dan p max -p min =P * dan maksimalkan q dengan kendala ()-() dan p max -p min =P * untuk q=,..,n. Seperti sebelumnya, misalkan solusi optimum adalah L q dan U q. Langkah. Jika L q =U q (q=,..,n) maka solusi akhir dari alokasi anggaran telah dicapai untuk setiap UPK ke-q, yaitu q =L q =U q. Bagaimanapun, jika L q <U q untuk beberapa UPK ke-q, maka dalam hal ini masih ada beberapa leksibelitas tersisa. Jika kasusnya demikian, ambillah UPK ke-k yang berhubungan dengan U k -L k =min[u q -L q U q -L q >0, q=,..,n;q S] dan tetapkan F k =(L k +U k )/. Ini berhubungan dengan penetapan anggaran bagi UPK ke-k dengan jangkauan yang dapat diterima terkecil [L k,u k ] ke (L k +U k )/. Jika hal ini dapat diselesaikan, maka tetapkan dulu S=S {k} dan lanjutkan ke Langkah.

8 PENGALOKASIAN FIXED COSTS DENGAN DATA ENVELOPMENT ANALYSIS (Nyoman Sutapa). Contoh Numeris Berikut diberikan sebuah contoh numeris perhitungan alokasi anggaran menggunakan data seperti pada Tabel, yang meliputi n= UPK, s= output dan t= input dengan total anggaran F=Rp 00. Tabel. Data Input dan Output setiap UPK UPK Output Output Input Input Input Dengan menerapkan pendekatan umum yang diberikan diatas, maka didapatkan: Langkah. Tetapkan E * =, agar semua UPK dapat mencapai eisiensi satu. Langkah. Tentukan [L q,u q ] untuk q=,.., didapatkan [Rp,7; Rp8,79], [Rp,; Rp9,69], [Rp,0; Rp9,8], [Rp,78; Rp,7], [Rp,68; Rp,6], [Rp0; Rp9,7], [Rp0; Rp,], [Rp,70; Rp,9], [Rp8,6; Rp,8], [Rp,06; Rp7,8], [Rp0; Rp,9], dan [Rp8,; Rp,]. Langkah. P * = 0,608 dengan p max =0,677 dan p min =0, Langkah. Tidak ada lagi leksibelitas, dan alokasi anggaran didapatkan: =Rp 6,78, =Rp 7,, =Rp 6,8, =Rp 8,7, =Rp 7,08, 6 =Rp 0,06, 7 =Rp,09, 8 =Rp 7,7, 9 =Rp,, 0 =Rp 0,08, =Rp,8, dan =Rp,97. Dari hasil diatas ini nampak bahwa, total anggaran yang ada, yaitu F=Rp 00, telah dialokasikan secara merata ke dalam UPK, sesuai dengan input yang mereka perlukan untuk menghasilkan outputnya. Dengan kata lain, setiap UPK mendapatkan alokasi dengan eisiensi 00%. Hal ini jelas nampak, misalnya pada UPK ke-9 dan ke-, mereka menggunakan input yang sama tetapi output yang dihasilkan berbeda, UPK ke-9 menghasilkan output yang lebih besar daripada UPK ke-, sehingga wajar mendapatkan bagian anggaran yang lebih besar, yaitu 9 =Rp, > =Rp,8. Demikian juga kalau dilihat UPK ke-0 dan ke-.. KESIMPULAN Dalam artikel ini, telah dibahas masalah pengalokasian anggaran ke masing-masing unit pengambil keputusan (UPK), yang saling mendukung dalam sebuah organisasi.

9 JURNAL TEKNIK INDUSTRI VOL., NO., JUNI 00: 6 - Model matematis pengalokasin anggaran yang dibahas disini menggunakan data envelopment analysis (DEA) yang digeneralisasi, dengan bobot-bobot tertimbang dipilih secara simultan sedemikian hingga memaksimalkan rerata eisiensi dari semua UPK. Dari contoh numeris, model DEA digeneralisasi ini ternyata berhasil mengalokasikan total anggaran yang ada secara merata dengan eisiensi setiap UPK adalah seratus persen. DAFTAR PUSTAKA Beasley, J.E., 998. Allocating Fixed Costs and Resources via Data Envelopment Analysis, The Management School, Imperial College, London. Charnes, A., Cooper, W.W., 96. Programming with Linear Fractional Functionals, Naval Res. Logistics Q. 9, Charnes, A., Cooper, W.W. and Rhodes, E., 978. Measuring the Eiciency o Decision Making Units, European Journal o Operational Research, 9-. Cook, W.D. and Kress, M., 999. Characterizing an Equitable Allocation o Shared Costs: a DEA Approach, European J. O Operational research 9, Sutapa, I N., Rahardjo, J., 00. Analisis Eisiensi Proses Produksi Mempertimbangkan Aspek Teknis dan Ekonomis dengan Data Envelopment Analysis, Proseding Seminar Nasional: Teknik Industri dan Manajemen Produksi 00, Jurusan Teknik Industri, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.