INTEGER PROGRAMMING. Rudi Susanto, M.Si

Transkripsi

1 INTEGER PROGRAMMING Rudi Susanto, M.Si 1

2 Pendahuluan Pemecahan dgn Linier Programing menghasilkan nilai variabel yg biasanya berupa pecahan, padahal banyak masalah memerlukan hasil yg bulat. Misal lokasi fasilitas, Pilihan Investasi, Production planning dll. Misal hasil optimal X 1 = 6,67, X 2 = 15,73. Kalau dibulatkan dgn 7 dan 16 apakah tidak melanggar kendala/ sumberdaya yg ada? Maka diperlukan hasil optimalnya angka utuh (integer), dan kendala tetap diikuti. 2

3 Integer Programming Definisi :. Suatu model matematis dari Integer Programming adalah Program linier dengan penambahan batasan bahwa beberapa atau semua variabel harus bernilai integer.

4 Kapan Model Integer Diperlukan? Produk atau bahan baku tidak dapat dibagi. Batasan Logikal : \if A then B"; \A or B" Biaya tetap. Merupakan bentuk kombinasi (sequencing, allocation) Dalam keputusan membeli, investasi, sewa atau lainnya.

5 Tipe Dari Integer Programming 1. Pure IP - Semua variable adalah integers. 2. Mixed IP - Beberapa variable adalah integers IP Semua variable harus sama dengan 0 atau 1.

6 LP optimal Vs IP optimal IP optimal tidak lebih baik dari pada LP optimal, kenapa? IP Optimal LP Optimal

7 Penyelesaian Integer Programming Branch and Bound Cara yang effektif untuk mendapatkan solusi integer. Tahap demi tahap dengan menggambarkan cabang pada solusi yang akan didapatkan nilai integernya. Grafik, Komputer

8 Contoh Tipe Integer Programming Max z = 3x1 + 2x2 st 2x1 + x2 <= 4 (1) x1 + 3x2 <= 5 (2) x1, x2 >= 0 & Integer (3)

9 Solusi Grafis X 2 Pure IP : ditambah batasan X 1, X 2 integer Mixed IP : ditambah batasan X 1 atau X 2 integer 0-1 IP : ditambah batasan X 1, X 2 = 0 atau 1 X 1

10 Solusi Grafis Pure IP Penambahan batasan x 1, x 2 integer Daerah feasible (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (2,0) Mixed IP Penambahan batasan x 2 integer Daerah feasible x 2 = 0 and x1 <= 2; x 2 = 1 and x 1 <= 3/2 0-1 IP Penambahan batasan x 1, x 2 = 0 atau 1 Daerah feasible (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)

11 Cara Menyelesaikan Permasalahan Integer Programming Max z = 4x 1 + 5x 2 s.t. 2x 1 + x 2 5 (1) 2x 1 + 3x 2 5 (2) x 1 0 (3) x 2 0 (4) x 1 dan x 2 = integer

12 Cara Menyelesaikan Permasalahan Integer Programming X 2 X 1

13 Cara Menyelesaikan Permasalahan Integer Programming Nilai optimal dari LP adalah (2.5,0) dengan z =10 Dibulatkan keatas : (3,0) menjadi infeasible. Dibulatkan kebawah : (2,0) nilai z =8. Apakah nilai tersebut optimal untuk IP? Bila dibutuhkan nilai x 1 and x 2 adalah integer. Daerah feasibel menjadi: (0,0), (0,1), (1,0),(1,1), (2,0) Nilai optimal IP adalah (1,1) dengan z =9.

14 Contoh 1: Formulasi masalah sbb: Fungsi tujuan: Maksimum Z = 2X 1 + 5X 2 Kendala-kendala: (1) 3X 1 + 6X 2 < 16 (2) X 1, X 2 > 0 Kalau diselesaikan dgn metoda grafik sbb: 14

15 X 2 B (0, 2,67) Z = 13,33 A(5,33, 0) Z = 10,67 X 1 15

16 Hasil optimal: Dgn LP di titik B, memiliki nilai variabel pecahan (noninteger) Untuk membuat integer harus ditambah kendala X 2 = 2 Jangan dijadikan 3 sebab akan melanggar kendala X 1 juga harus integer, diberi kendala X 1 = 1 Hasil integer-nya sbb: 16

17 Grafik untuk integer programming X 2 B (0, 2,67) Z = 13,33 2 C A(5,33, 0) 0 1 X 1 17

18 Hasil optimal integer programming: Untuk membuat nilai X 2 integer, maka harus dijadikan 2, kalau 3 melanggar kendala X 1 juga dapat menjadi 1, lihat gambar! Maka hasil optimal di titik C: X 1 = 1, X 2 = 2, Z = 12 18

19 Latihan Soal! F Tujuan: Maks. Z = 7X 1 + 6X 2 Kendala-kendala: (1) 2X 1 + 3X 2 < 12 (2) 6X 1 + 5X 2 < 30 (3) X 1, X 2 > 0 19

20 Grafik: X (3,75, 0,5) Z = 35,25 (5, 0) Z = 35 6 X 1 20

21 Alternatif titik: X 1 X 2 Z Optimal 21

22 Latihan Max z = 5 x x 2 St x 1 + x 2 <= 5 10 x x 2 <= 45 x 1, x 2 >= 0 x 1, x 2 adalah integer

23 Solusi

24 Contoh Model Total Integer Pemilik Toko Jual Beli mesin merencanakan untuk mengadakan perluasan dengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan keuntungan sebesar $100 per hari dan tiap mesin bubut akan menaikkan keuntungan sebesar $150 per hari. Banyaknya mesin yang dapat dibeli dibatasi dengan biaya mesin dan tersedianya ruang dalam toko. Harga beli mesin dan luas tempat sbb : Mesin Luas Tempat (ft2) Harga Beli ($) Pencetak Bubut

25 Contoh Model Total Integer Anggaran pembelian mesin sebesar $ sedangkan tempat yang tersedia seluas 200 feet persegi. Pemilik ingin mengetahui beberapa banyak tiap jenis mesin dapat dibeli untuk memaksimalkan kenaikan keuntungan per hari. Maksimalkan Z = 100 x x 2 Batasan x x x x ft 2 x 1, x 2 0 di mana x 1 = jumlah mesin pencetak x 2 = jumlah mesin bubut

26

27 Contoh Model Integer 0-1 Suatu dewan kota harus memutuskan fasilitas rekreasi yang perlu didirikan di kota tersebut. Empat fasilitas rekreasi yang telah diusulkan-sebuah kolam renang, sebuah lapangan tenis, sebuah lapangan atletik, dan sebuah gelanggang olahraga. Dewan berkeinginan mendirikan fasilitasfasilitas yang dapat memaksimalkan penggunaan harian yang diharapkan oleh penduduk setempat dengan biaya dan lahan yang terbatas. Penggunaan harian sbb: Fasilitas Rekreasi Penggunaan yang Diharapkan (orang/hari) Biaya ($) Lahan yang Diperlukan (acre) Kolam renang Lapangan tenis Lapangan atletik Gelanggang olah raga

28 Contoh Model Integer 0-1 Kota menyediakan anggaran sebesar $ dan lahan seluas 12 acre. Karena lahan untuk kolam renang dan lapangan tenis berada di daerah yang sama maka hanya akan didirikan satu dari dua fasilitas rekreasi ini.

29 Formulasi matematiknya?

30

31 Contoh Model Integer Campuran Seorang pengusaha memiliki kelebihan uang $ dan akandi investasikan pada 3 alternatif, yaitu : kondominium, tanah, danobligasi. Dia ingin menginvestasikan uangnya dengan tujuanpengembalian terbesar diperoleh pada akhir tahun.data jenis investasi:

32 Formulasi matematiknya?

33 Terima Kasih