MODUL BERSUPLEMEN UTAMA SEBAGAI GENERALISASI DARI MODUL BERSUPLEMEN

Transkripsi

1 MODUL BERSUPLEMEN UTAMA SEBAGAI GENERALISASI DARI MODUL BERSUPLEMEN Fitriani Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung Jl ProfDr Soemantri Brojonegoro No1 Bandar Lampung Abstract An R-e M is called supplemented if every sube of M has a supplement in M Principally supplemented es are defined as generalizations of lifting principally lifting and supplemented es In this paper we will characterize principally supplemented es as a generalization of supplemented e respect to duo e and distributive e Keywords: supplemented e principally supplemented e duo e distributive e 1 PENDAHULUAN Modul salah satu struktur aljabar perumuman ruang vektor Salah satu jenis adalah bersuplemen Modul bersuplemen telah didiskusikan oleh banyak peneliti dalam berbagai literatur Modul ini mempunyai peranan penting di antaranya adalah dalam karakterisasi semiperfect ring Dalam kaitannya dengan penentuan amplop proyektif Azumaya [1] telah memperkenalkan generalisasi amplop proyektif dalam karakterisasi semiperfect Selanjutnya pada tahun 2005 Bilhan menginvestigasi salah satu jenis bersuplemen yaitu amply fws (finitely weak supplemented) e sifatsifatnya Selain itu Wang and Ding [2] pada tahun 2006 mengemukakan generalisasi bersuplemen untuk menentukan karakterisasi semiperfect ring Dalam perkembangannya bersuplemen utama adalah salah satu jenis bersuplemen perumuman lifting es principally lifting es bersuplemen Acar and Harmaci [3] pada tahun 2010 telah menginvestigasi beberapa sifat penting ini Selain itu mereka juga menghasilkan karakterisasi baru ring semiperfect menggunakan bersuplemen utama Dalam penelitian ini akan diuraikan beberapa sifat bersuplemen masih berlaku pada bersuplemen utama terkait dengan duo distributifsifat karakterisasi bersuplemen dikaji [4] [5] segkan beberapa sifat bersuplemen utama dikaji [3] 2 PEMBAHASAN 21 Modul Bersuplemen Diberikan R- M Suplemen suatu sub M didefinisikan sebagai berikut Misalkan M adalah R- U V sub M Sub V dikatakan suplemen U di M jika V minimal terhadap himpunan sub-sub L M memenuhi U + L = M Jadi V = min {L U + L = M} [4] Dengan kata lain V adalah suplemen U di M jika U + V = M untuk setiap L sub M dengan U + L = M berakibat V L Misalkan M adalah R- S sub M Sub kecil di R- M didefinisikan sebagai berikut Sub S dikatakan sub kecil di M ditulis S << M dengan M S + T untuk setiap sub sejati T M [5] Sifat karakterisasi suplemen suatu 1

2 Fitriani(Modul Bersuplemen Utama Sebagai Generalisasi Modul Bersuplemen) dalam kaitannya dengan sub kecil diberikan dalam proposisi berikut Proposisi 21[5] Diberikan U V sub R- M Sub V suplemen U di M jika hanya jika U + V = M U V sub kecil di V (yaitu Diketahui V suplemen U di M X V memenuhi (U V) + X = V Akan ditunjukkan X = V Perhatikan bahwa M = V + U = (U V ) + X + U = U + X Berdasarkan keminimalan V diperoleh V X Karena X sub V X = V U V sub kecil di V Sebaliknya diketahui U + V = M Akan ditunjukkan V suplemen U di M yaitu V minimal terhadap sub-sub L M meme nuhi U + L = M Misal Y V memenuhi U + Y = M V = M V = (U + Y ) V = (U V ) + Y Berdasarkan hipotesis Oleh itu diperoleh Y = V Jadi terbukti bahwa V suplemenu di M Karakterisasi lain suplemen suatu disajikan dalam proposisi berikut Proposisi 22 [5] Misalkan M adalah R Jika X A M A suplemen di M Misalkan X + Y = A untuk suatu Y sub A Karena A suplemen di M terdapat K sub M memenuhi M = K + A Jadi M = K + A = K + X + Y Karena diperoleh K + Y = M Dengan menggunakan hukum ar diperoleh A = ( A K ) + Y berakibat A = Y Oleh itu terbukti bahwa Pada Z dipang sebagai Z setiap sub sejati tak nol 2 tidak mempunyai suplemen Dapat diperhatikan bahwa U + V Z untuk setiap U V sub sejati Z sebagai Z - Hal ini mendasari pendefinisian suatu setiap sub sejatinya tak nol mempunyai suplemen di dalam dinan dengan bersuplemen Salah satu contoh bersuplemen adalah semi sederhana Jumlahan berhingga bersuplemen juga bersuplemen Sebelum membuktikan hal tersebut akan dibuktikan Lemma berikut ini Lemma 23 [5] Misalkan M adalah R sub di M dengan bersuplemen Jika memiliki suplemen di M U juga memiliki suplemen di M Misalkan X adalah suplemen di M Oleh itu Selanjutnya sub di diketahui bahwa bersuplemen memiliki suplemen di katakan Oleh itu Akan ditunjukkan Y suplemen di yaitu Perhatikan bahwa Jadi diperoleh Selanjutnya Oleh itu Y suplemen di Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa suplemen di Sebelumnya telah diuraikan bahwa Dapat diperhatikan bahwa

3 Jurnal Matematika Vol 18 No1 April 2015: 1-6 Hal ini berakibat Jadi terbukti U memiliki suplemen di M yaitu Selanjutnya akan dibuktikan bahwa jumlahan bersuplemen bersuplemen dalam Teorema berikut Teorema 24 [5] Diberikan M adalah R Jika dengan bersuplemen M bersuplemen Diketahui dengan bersuplemen Akan ditunjukkan M bersuplemen Diberikan sebarang sub di M Akan ditunjukkan U memliki suplemen di M Berdasarkan hipotesis Oleh itu untuk sebarang sub U di M berlaku Karena bersuplemen berdasarkan Lemma 23 memiliki suplemen di M Selanjutnya dengan cara sama bersuplemen berdasarkan Lemma 23 U memiliki suplemen di M Jadi dapat disimpulkan bahwa setiap sub di M memiliki suplemen di M Sehingga terbukti M bersuplemen Sebagai akibat langsung Teorema 24 diperoleh bahwa jumlahan berhingga bersuplemen juga bersuplemen sebagai berikut Akibat 25 Diberikan M adalahr- Jika dengan bersuplemen M bersuplemen 22 Modul Bersuplemen Utama Sebelum membahas pengertian bersuplemen utama diberikan Lemma berikut Lemma 26 [3] Diberikan R- M NL sub di M Pernyataan berikut ekuivalen (1) M = N + L (2) M = N + L untuk setiap sub sejati K L (1) (2) Misalkan N K sub di M dengan M = N +K Oleh itu Berdasarkan (1) diperoleh L = K Jadi dapat disimpulkan bahwa untuk setiap sub sejati K di L berlaku (2) (1) Jika dengan K sub di L M = N + L = N + K Berdasarkan (2) diperoleh K = L Hal ini membuktikan bahwa sub kecil di L Misalkan M R- N sub siklik di M Sub L dikatakan suplemen utama N di M jika L memenuhi kondisi pada Lemma 31 M dikatakan bersuplemen utama jika setiap sub sikliknya memiliki suplemen utama di M [3] Berdasarkan definisi ini jelas bahwa setiap bersuplemen bersuplemen utama Tetapi tidak sebaliknya Tidak semua bersuplemen utama bersuplemen Sebagai contoh dipang sebagai - bersuplemen utama tetapi bukan bersuplemen Tidak seperti bersuplemen jumlahan langsung berhingga bersuplemen utama belum tentu bersuplemen utama Dalam hal ini terdapat kelas tertentu yaitu duo distributif memenuhi sifat setiap jumlahan bersuplemen utamajuga bersuplemen utama 3

4 Fitriani(Modul Bersuplemen Utama Sebagai Generalisasi Modul Bersuplemen) Sebelum membahas pengertian duo berikut ini akan diuraikan mengenai salah satu jenis sub yaitu sub fully invariant Misalkan R Ring M R- kanan Sub N M disebut fully invariant jika f (N) termuat di N untuk setiap Rendomorfisma f M Jika S = End(MR) ring R-endomorfisma M M adalah S- kiri R- kanan atau M bi [5] Oleh itu N sub fully invariant jika hanya jika N adalah sub-bi M Jelas bahwa 0 M sub fully invariant M Jika setiap sub M sub fully invariant M disebut dengan duo [5] Jika M dekomposisi bersuplemen utama juga duo M bersuplemen utama seperti diberikan dalam Teorema berikut Teorema 27 [3] Misalkan dekomposisi M dengan bersuplemen utama Jika M duo M juga bersuplemen utama Misalkan duo adalah sub siklik M Karena M duo adalah sub fully invariant Oleh itu dapat dinyatakan sebagai berikut: Diberikan sebarang Karena dapat dinyatakan sebagai untuk suatu Oleh itu Karena bersuplemen utama secara berturut-turut adalah sub siklik 4 terdapat sub di suplemen di terdapat sub suplemen yaitu : Selanjutnya ditunjukkan Oleh sub di Selain itu = dengan cara sama diperoleh: Oleh sub kecil di mrupakan sub kecil di sub kecil di sub kecil di Jadi terbukti bahwa setiap sub kecil di M memiliki suplemen di M Dengan kata lain terbukti M bersuplemen utama Selain itu jika M duo sekaligus bersuplemen utama setiap hasil jumlah langsung M juga bersuplemen utama seperti dibuktikan sebagai berikut Teorema 28 [3] Misalkan M adalah duo Jika M

5 Jurnal Matematika Vol 18 No1 April 2015: 1-6 bersuplemen utama setiap hasil jumlah langsung M bersuplemen utama Misalkan Dibentuk sub siklik dibangun Karena M oleh myaitu bersuplemen utama memeiliki suplemen di M katakan A Oleh itu sub kecil di A Akan ditunjukkan M1 bersuplemen utama Dapat dilihat bahwa Akan ditunjukkan bahwa sub kecil di Andaikan terdapat T sub memenuhi kondisi Oleh sub kecil A Hal ini membuktikan bahwa sub kecil di Jadi dapat disimpulkan bahwa setiap hasil jumlah langsung M juga bersuplemen utama Selain duo terdapat kelas lain yaitu distributif memenuhi kondisi pada Teorema 28 sebagai berikut Teorema 29 [3] Misalkan M adalah distributif Jika M bersuplemen utama setiap hasil tambah langsung M bersuplemen utama Misalkan Dibentuk sub siklik M dibangun oleh m yaitu mr Karena M bersuplemen utama terdapat sub A di M suplemen mr Oleh itu sub kecil di A Karena M distributif berakibat sub kecil di Sehingga terbukti bahwa setiap sub siklik di memiliki suplemen Dengan kata lain terbukti bahwa setiap hasil jumlah langsung M bersuplemen utama 3 PENUTUP Modul bersuplemen tertutup terhadap jumlahan berhingga hasil jumlah langsung Tidak seperti bersuplemen jumlahan langsung berhingga bersuplemen utama belum tentu bersuplemen utama Dalam hal ini terdapat kelas tertentu yaitu duo distributif memenuhi sifat setiap jumlahan bersuplemen utamajuga bersuplemen utama Demikian halnya pada kelas duo distributif bersuplemen utama tertutup terhadap hasil jumlah langsung 4 DAFTAR PUSTAKA [1] G Azumaya (1993) Some characterizations of semiperfect rings and es in Ring Theory edited by SK Jain and S T Rizvi Proc Biennial Ohio-Denison Conf May 1992 World Scientific Publ Singapore : [2] Y Wang and N Ding (2006) Generalized supplemented es Taiwanese J Math 10(6): [3] Acar Ummahan HarmanciA (2010) Principally Supplemented Module Albanian Journal of Mathematics 4(3) : [4] Clark J Lomp C Vanaja N Wisbauer R (2006) Lifting Modules (Supplement and Projectivity in Modul Theory) Birkhauser Verlag Base Switzerland 5

6 Fitriani(Modul Bersuplemen Utama Sebagai Generalisasi Modul Bersuplemen) [5] Wisbauer R (1991) Foundation of Module and Ring Theory Gordon and Breach Philadelphia USA 6